تاريخ موجز للبلاط الرياضي الصعب | مجلة كوانتا

كل يوم نرى أمثلة على الزخارف المتكررة. قد يبدو هذا التناظر والانتظام أمرًا عاديًا وغير مرئي تقريبًا، كما هو الحال مع أعمال الطوب على جدران المباني أو النمط السداسي في قرص العسل. أو إذا كنا محظوظين بما فيه الكفاية لرؤية شيء مثل أعمال البلاط الأنيقة في قصر الحمراء في إسبانيا أو الرسومات الإبداعية لـ MC Escher، فإن الأنماط يمكن أن تلهمنا وتدهشنا.

لعدة قرون، لعب علماء الرياضيات بهذه الأشكال المتكررة، وانتزعوا منها رؤى رائعة وإمكانيات جديدة. جمال الرياضيات ينافس جمال التصاميم نفسها.

أبسط أنواع التبليط تكون مصنوعة من مضلعات متطابقة ذات جوانب متساوية الطول وزوايا متساوية القياس مرتبطة بالحافة الكاملة بالحافة الكاملة. ولكن على الرغم من وجود عدد لا نهائي من هذه المضلعات "العادية" - واحد لكل عدد من الأضلاع - إلا أن هناك ثلاثة تبليطات منتظمة فقط، مكونة من أشكال ذات ثلاثة أو أربعة أو ستة جوانب - أي المثلثات والمربعات والأشكال السداسية.

الأشكال الأخرى ليست مصممة لذلك. الشكل الخماسي المنتظم (ذو خمسة أضلاع) له زاوية داخلية قياسها 108 درجات. هذا لا ينقسم بالتساوي إلى 360 درجة، لذا فإن أي محاولة لتجميع الخماسيات المنتظمة في بلاطة لا بد أن تنتج فجوات لا يمكن ملؤها؛ نقول أن الخماسي المنتظم لا يستطيع أن يبلط الطائرة. والمضلعات المنتظمة التي لها أكثر من ستة أضلاع لها زوايا داخلية كبيرة جدًا بحيث لا يمكن لثلاثة أضلاع أن تلتقي عند نقطة واحدة، وبالتالي لا يمكنها فعل ذلك أيضًا.

فكرة أخرى عن التبليط باستخدام المضلعات المنتظمة تأتي من يوهانس كيبلر، الذي اشتهر اليوم باكتشافاته حول حركة الكواكب. في عام 1619، أظهر أنه حتى إذا كنت تستخدم أكثر من مضلع منتظم، فيمكنك إنشاء ثمانية أنماط تبليط جديدة فقط حيث يكون التكوين حول كل قمة متطابقًا. (إذا سمح لنا بالابتعاد عن هذا القيد، فهناك المزيد من الاحتمالات).

عندما نسمح بوجود مضلعات غير منتظمة، تصبح الأمور أكثر إثارة للاهتمام. من المثير للدهشة أن كل مثلث يمكنه أن يبلّط المستوى، والأكثر إثارة للدهشة أن كل شكل رباعي يمكن أن يفعل ذلك أيضًا.

من ناحية أخرى، من المستحيل بلاط المستوى بأي مضلع محدب يزيد عن ستة جوانب؛ مجموع الزوايا الداخلية كبير جدًا. وهذا يترك فقط الأشكال الخماسية والسداسيات كاحتمالات متبقية.

في أطروحته للدكتوراه عام 1918، أثبت كارل راينهارت أنه من الممكن تلبيس المستوى بعدد لا نهائي من الأشكال السداسية المحدبة - تلك التي لا تحتوي على مسافات بادئة - والتي قام بتجميعها في ثلاث عائلات.

كانت المضلعات الخماسية المحدبة التي تبليط الطائرة أكثر صعوبة في التصنيف. اكتشف راينهارت خمس عائلات من هذه الخماسيات. وبعد مرور 50 عامًا، وجد ريتشارد كيرشنر ثلاثة آخرين. ثم في عام 1975، كتب مارتن جاردنر عن هذه المشكلة العلمي الأميركي، لجذب انتباه علماء الرياضيات المحترفين والهواة على حدٍ سواء. أحد هؤلاء الهواة، وهو مبرمج كمبيوتر يُدعى ريتشارد جيمس الثالث، أرسل إلى جاردنر مثالاً لعائلة تاسعة، متسائلاً: "هل توافق على أن كيرشنر فاته هذه العائلة؟" كان لديه.

قرأت أيضًا مارجوري رايس، ربة منزل، عمود جاردنر وبدأت تتساءل عن المشكلة الموجودة على طاولة مطبخها. لقد عدلت لأكثر من عامين واكتشفت أربع عائلات أخرى من تبليط الخماسيات.

عثر الباحثون على العائلة الرابعة عشرة من الأشكال الخماسية المبلطة في عام 14، وبعد ثلاثة عقود، عثر فريق آخر على العائلة الخامسة عشرة باستخدام البحث عبر الكمبيوتر. ولم يعرف أحد ما إذا كان هذا الاكتشاف قد أكمل القائمة، أو ما إذا كان هناك المزيد من العائلات التي لا تزال مختبئة. تمت الإجابة على هذا السؤال في عام 1985 عندما قام مايكل راو ثبت أنه تم العثور على جميع الأضلاع الخماسية المحدبة - ومعها جميع مضلعات التبليط المحدبة.

كل هذه التبليط تتكرر. أي أن لديهم تماثلًا دوريًا، وهو ما يعني في الأساس أنه إذا أردنا تتبع التبليط على قطعة من الورق وحركنا تلك الورقة في اتجاهات معينة، فإنها ستصطف تمامًا مع التبليط مرة أخرى.

أنواع أخرى من التماثلات ممكنة أيضا. على سبيل المثال، يشير تناظر المرآة إلى أن أنماطنا سوف تصطف إذا قلبنا ورق التتبع الخاص بنا رأسًا على عقب حول خط ثابت. التماثل الدوراني يعني أنهم سوف يصطفون إذا قمنا بتدوير ورقتنا. ويمكننا الجمع بين الإجراءات للحصول على تناظر انعكاس انزلاقي، وهو ما يشبه تحريك الورقة ثم قلبها.

وفي عام 1891، أثبت عالم البلورات الروسي إيفغراف فيدوروف أن هناك 17 طريقة فقط يمكن من خلالها الجمع بين هذه التماثلات. وبما أن هذا القيد ينطبق على جميع الزخارف الدورية للطائرة، فيشار إليها على نطاق واسع باسم "مجموعات ورق الحائط" السبعة عشر.

بمجرد أن يصبح المرء على دراية بهذا التصنيف لأنماط التناظر، يكاد يكون من المستحيل رؤية تصميم دوري، مهما كان معقدًا، وعدم النظر إليه باعتباره لغزًا يحتاج إلى فك شفرته: أين وكيف يتكرر بالضبط؟ أين تلك التماثلات؟

وبطبيعة الحال، ليس كل تصميم تبليط دوري. من الممكن، وغالبًا ما يكون من السهل، وضع البلاط في المستوى بحيث لا يتكرر التصميم الناتج أبدًا. في مثالنا مع الأشكال السداسية والمربعات والمثلثات، يمكنك القيام بذلك ببساطة عن طريق تدوير مسدس واحد والمضلعات المحيطة به بمقدار 30 درجة. لم يعد التبليط الناتج يحتوي على تماثلات انتقالية.

في عام 1961، خمن عالم المنطق هاو وانغ أنه إذا قامت مجموعة من الأشكال بتجانب المستوى، فيجب أن تكون الأشكال قادرة على تجانب المستوى بشكل دوري. وبعد بضع سنوات فقط، أثبت طالب الدراسات العليا روبرت بيرغر خطأه من خلال اكتشاف مجموعة ضخمة من أكثر من 20,000 قطعة بلاط تبليط الطائرة، ولكن بشكل غير دوري فقط. تسمى مجموعات البلاط هذه غير دورية.

على الرغم من أن بيرغر وآخرين تمكنوا من تقليل حجم هذه المجموعات غير الدورية بشكل كبير، إلا أنه في منتصف سبعينيات القرن العشرين، استحوذ روجر بنروز على انتباه العالم من خلال اكتشاف مجموعات صغيرة جدًا من البلاط غير الدوري الخاص به. تتطلب أصغر المجموعات قطعتين فقط من البلاط.

هذه الأشكال والأنماط فتنت علماء الرياضيات والعلماء وعامة الناس. لكنهم أثاروا السؤال التالي الواضح: هل هناك بلاطة واحدة غير دورية؟ كان المسعى النهائي لنظرية التبليط الآن هو العثور على بلاطة "أينشتاين" - لم تحمل اسم الفيزيائي، بل نسبة إلى العبارة الألمانية "حجر واحد".

في عام 2010، اقترب جوشوا سوكولار وجوان تايلور من اكتشاف أينشتاين. كانت المشكلة في نهجهم هي ذلك كان لا بد من فصل البلاط الخاص بهم; سيكون هذا مثل تبليط المستوى بأشكال مثل ولاية هاواي، وهي كيان واحد يتكون من مناطق منفصلة، ​​وليس بأشكال متصلة مثل كاليفورنيا. على نحو متزايد، كان علماء الرياضيات يشككون في أنه إذا كان أينشتاين موجودًا بالفعل، فيجب أن يكون شيئًا معقدًا هندسيًا للغاية.

في مارس 2023، صدم أحد الهواة العالم من جديد. لم يكتشف فني طباعة متقاعد وهاوي رياضي يدعى ديفيد سميث كتلة أحادية غير دورية فحسب، بل اكتشف أيضًا جزيءًا أحاديًا غير دوري عائلة لا نهاية لها من هؤلاء آينشتاين بعيد المنال. لقد حلق مع كريج كابلان، وحاييم جودمان شتراوس، وجوزيف صامويل مايرز - خبراء في علوم الكمبيوتر والرياضيات ونظرية التبليط - وقدموا معًا أينشتاين بسيط هندسيًا يسمى بلاط القبعة (الذي اعتقد الإنترنت أنه يشبه قميصًا) ).

وكان رد الفعل سريعا وإيجابيا. تحدث المكتشفون في المؤتمرات وألقوا محادثات عبر الإنترنت. انتهز فنانو الرياضيات الفرصة لإيجاد طرق مبتكرة لإنتاج تصميمات شبيهة بـ Escher تعتمد على هذه البلاطات الهندسية الجديدة المثيرة للاهتمام. حتى أن بلاطة القبعة ظهرت في مونولوج أحد البرامج التلفزيونية في وقت متأخر من الليل.

ومع ذلك، لا يزال هناك مجال للتحسين. لتبليط الطائرة بالقبعة، عليك أن تقلب حوالي سبع البلاطات رأسًا على عقب. سيتعين على صاحب المنزل الذي يرغب في تبليط حمامه ببلاط القبعة شراء نوعين من البلاط: البلاط القياسي وصورة المرآة. هل كان هذا ضروريًا حقًا؟

وحتى قبل أن تهدأ الإثارة المتعلقة ببلاط القبعة، أصدر الفريق إعلانًا آخر. لقد وجد سميث، في تلك العائلة اللانهائية من الوحدات الأحادية غير الدورية، عائلة أطلق عليها اسم «الشبح» الذي يمكنه أن يبلط المستوى دون الحاجة إلى نسخ منعكسة. لقد ظهر أينشتاين الحقيقي أخيرًا.

نحن الآن في خضم عودة الاستكشاف الرياضي للتبليط والفسيفساء. لقد اعتمدت على مساهمات مهمة من الهواة، وألهمت إبداع الفنانين الرياضيين، وتسخير قوة أجهزة الكمبيوتر لدفع حدود المعرفة إلى الأمام. ومنه حققنا رؤى جديدة في طبيعة التناظر والهندسة والتصميم.

تصحيح: 30 أكتوبر 2023
نصت النسخة الأصلية من هذه المقالة على أنه من المستحيل تلبيس المستوى بأي مضلع يزيد عن ستة أضلاع. وهذا صحيح فقط إذا كان المضلع محدبًا.

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.