بعد قرن من الزمان، الرياضيات الجديدة تسهل النسبية العامة | مجلة كوانتا

حققت النظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين نجاحًا كبيرًا في وصف كيفية عمل الجاذبية وكيف تشكل البنية واسعة النطاق للكون. وقد تم تلخيص ذلك في مقولة للفيزيائي جون ويلر: “إن الزمكان يخبر المادة كيف تتحرك؛ المادة تخبر الزمكان كيف ينحني. ومع ذلك، فإن رياضيات النسبية العامة غير بديهية إلى حد كبير.

ونظرًا لأن معادلاتها الأساسية معقدة للغاية، فمن الصعب إثبات حتى أبسط العبارات. على سبيل المثال، لم يثبت علماء الرياضيات حتى عام 1980 تقريبًا، كجزء من نظرية رئيسية في النسبية العامة، أن النظام الفيزيائي المعزول، أو الفضاء، الذي لا يحتوي على أي كتلة، يجب أن يكون مسطحًا.

وقد ترك هذا دون حل مسألة كيف يبدو الفضاء إذا كان شبه فراغ، وله كمية ضئيلة من الكتلة. هل هي بالضرورة مسطحة تقريبًا؟

في حين أنه قد يبدو من الواضح أن الكتلة الأصغر ستؤدي إلى انحناء أصغر، إلا أن الأمور ليست مقطوعة وجافة عندما يتعلق الأمر بالنسبية العامة. ووفقا لهذه النظرية، يمكن للتركيزات الكثيفة للمادة أن "تشوه" جزءًا من الفضاء، مما يجعله منحنيًا للغاية. في بعض الحالات، يمكن أن يكون هذا الانحناء شديدًا، مما قد يؤدي إلى تكوين ثقوب سوداء. يمكن أن يحدث هذا حتى في الفضاء الذي يحتوي على كميات صغيرة من المادة، إذا كانت مركزة بقوة كافية.

في الآونة الأخيرة ورقة, كونغان دونغ، طالب دراسات عليا في جامعة ستوني بروك، و أغنية انطوانأثبت، وهو أستاذ مساعد في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا، أن سلسلة من المساحات المنحنية ذات كميات أصغر وأصغر من الكتلة سوف تتقارب في النهاية إلى مساحة مسطحة مع انحناء صفر.

تمثل هذه النتيجة تقدمًا جديرًا بالملاحظة في الاستكشاف الرياضي للنسبية العامة، وهو السعي الذي لا يزال يؤتي ثماره بعد أكثر من قرن من ابتكار أينشتاين لنظريته. دان ليقال عالم الرياضيات في كلية كوينز الذي يدرس رياضيات النسبية العامة ولكنه لم يشارك في هذا البحث، إن برهان دونغ وسونغ يعكس فهمًا عميقًا لكيفية تفاعل الانحناء والكتلة.

ما أثبتوه

يتعلق برهان دونج وسونج بالمساحات ثلاثية الأبعاد، لكن فكر أولاً في مثال ثنائي الأبعاد من أجل التوضيح. تصور مساحة مسطحة بدون كتلة كورقة عادية وناعمة من الورق. الفضاء ذو ​​الكتلة الصغيرة، في هذه الحالة، قد يبدو مشابهًا من مسافة بعيدة، أي مسطح في الغالب. ومع ذلك، فإن الفحص الدقيق قد يكشف عن بعض الارتفاعات الحادة أو الفقاعات التي تظهر هنا وهناك - وهي عواقب لتجمع المادة. من شأن هذه النتوءات العشوائية أن تجعل الورقة تشبه حديقة جيدة الصيانة مع ظهور الفطر أو الساق من السطح من حين لآخر.

أثبت دونغ وسونغ أ تخمين التي تم صياغتها في عام 2001 من قبل علماء الرياضيات جيرهارد هويسكين و توم إيلمانين. ينص التخمين على أنه عندما تقترب كتلة الفضاء من الصفر، يجب أن يكون انحناءه كذلك. ومع ذلك، أدرك هويسكن وإلمانين أن هذا السيناريو معقد بسبب وجود الفقاعات والارتفاعات (التي تختلف رياضيا عن بعضها البعض). لقد افترضوا أنه يمكن قطع الفقاعات والمسامير بطريقة تجعل المنطقة الحدودية التي تركتها على سطح الفضاء بواسطة كل عملية قطع صغيرة. لقد اقترحوا، ولكن لم يتمكنوا من إثبات، أن المساحة المتبقية بعد إزالة هذه الزوائد المزعجة ستكون قريبة من المسطحة. كما أنهم لم يكونوا متأكدين من كيفية إجراء مثل هذه التخفيضات.

قال لي: "كانت هذه الأسئلة صعبة، ولم أتوقع أن أرى حلاً لحدسية هويسكين-إيلمانين".

في قلب التخمين يوجد قياس الانحناء. يمكن أن ينحني الفضاء بطرق مختلفة، وكميات مختلفة، واتجاهات مختلفة - مثل السرج (في بعدين) الذي ينحني لأعلى للأمام والخلف، ولكن للأسفل يتجه لليسار واليمين. تجاهل دونغ وسونغ هذه التفاصيل. ويستخدمون مفهومًا يسمى الانحناء العددي، والذي يمثل الانحناء كرقم واحد يلخص الانحناء الكامل في جميع الاتجاهات.

وقال عمل دونغ وسونغ الجديد دانيال ستيرن من جامعة كورنيل، هي "واحدة من أقوى النتائج التي توصلنا إليها حتى الآن والتي توضح لنا كيف يتحكم الانحناء العددي في هندسة" الفضاء ككل. يوضح بحثهم أنه "إذا كان لدينا انحناء عددي غير سالب وكتلة صغيرة، فإننا نفهم بنية الفضاء جيدًا".

والدليل

تتعلق حدسية Huisken-Ilmanen بهندسة المساحات ذات الكتلة المتناقصة بشكل مطرد. فهو يصف طريقة محددة لتحديد مدى قرب مساحة ذات كتلة صغيرة من مساحة مسطحة. ويسمى هذا المقياس مسافة جروموف-هاوسدورف، والتي سميت على اسم علماء الرياضيات ميخائيل جروموف و فيليكس هاوسدورف. حساب مسافة جروموف-هاوسدورف هو عملية مكونة من خطوتين.

الخطوة الأولى هي إيجاد مسافة هاوسدورف. لنفترض أن لديك دائرتين، A وB. ابدأ بأي نقطة على A واحسب المسافة إلى أقرب نقطة على B.

كرر ذلك لكل نقطة على A. أكبر مسافة تجدها هي مسافة هاوسدورف بين الدوائر.

بمجرد حصولك على مسافة هاوسدورف، يمكنك حساب مسافة جروموف-هاوسدورف. للقيام بذلك، ضع الأشياء الخاصة بك في مساحة أكبر لتقليل مسافة هاوسدورف بينها. في حالة وجود دائرتين متطابقتين، حيث يمكنك وضعهما حرفيًا فوق بعضهما البعض، فإن مسافة جروموف-هاوسدورف بينهما هي صفر. تسمى الكائنات المتطابقة هندسيًا مثل هذه "متساوية القياس".

يعد قياس المسافة أكثر صعوبة، بالطبع، عندما تكون الأشياء أو المساحات التي تتم مقارنتها متشابهة ولكنها ليست متماثلة. توفر مسافة جروموف-هاوسدورف قياسًا دقيقًا لأوجه التشابه (أو الاختلافات) بين أشكال جسمين يقعان في البداية في مساحات مختلفة. قال ستيرن: "إن مسافة جروموف-هاوسدورف هي واحدة من أفضل الطرق التي لدينا للقول إن مساحتين متساوي القياس تقريبًا، وتعطي رقمًا لذلك "تقريبًا".

قبل أن يتمكن دونج وسونج من إجراء مقارنات بين مساحة ذات كتلة صغيرة ومساحة مسطحة تمامًا، كان عليهما قطع النتوءات المزعجة - وهي المسامير الضيقة حيث تكون المادة معبأة بإحكام، وحتى الفقاعات الأكثر كثافة التي قد تؤوي ثقوبًا سوداء صغيرة. قال سونج: "لقد قطعناها بحيث تكون المنطقة الحدودية [حيث تم صنع الشريحة] صغيرة، وأظهرنا أن المنطقة تصبح أصغر مع انخفاض الكتلة".

على الرغم من أن هذا التكتيك قد يبدو وكأنه غش، إلا أن ستيرن قال إنه من المسموح إثبات التخمين بإجراء نوع من المعالجة المسبقة عن طريق قطع الفقاعات والمسامير التي تتقلص مساحتها إلى الصفر مع انخفاض الكتلة.

واقترح، كبديل لمساحة ذات كتلة صغيرة، أننا قد نتخيل ورقة مجعدة، والتي، بعد تنعيمها مرة أخرى، لا تزال تحتوي على تجاعيد وطيات حادة. يمكنك استخدام المثقاب لإزالة أبرز المخالفات، مع ترك قطعة ورق غير مستوية قليلًا وبها بعض الثقوب. ومع تقلص حجم تلك الثقوب، يتقلص أيضًا عدم استواء تضاريس الورقة. عند الحد الأقصى، قد تقول إن الثقوب ستتقلص إلى الصفر، وستختفي التلال والنتوءات، وسيتبقى لك قطعة ورق ناعمة بشكل موحد - وهو بديل حقيقي للمساحة المسطحة.

وهذا ما سعى دونغ وسونغ إلى إثباته. وكانت الخطوة التالية هي رؤية كيف يمكن لهذه المساحات العارية – المجردة من معالمها الخشنة – أن تتنافس مع معيار التسطيح المطلق. استخدمت الإستراتيجية التي اتبعوها نوعًا خاصًا من الخريطة، وهي طريقة لمقارنة مساحتين من خلال ربط النقاط في مساحة واحدة بنقاط في مساحة أخرى. تم تطوير الخريطة التي استخدموها في أ ورقة كتبه ستيرن وثلاثة من زملائه - هيوبرت براي، وديميتر كازاراس، وماركوس خوري. يمكن لهذا الإجراء أن يوضح بالضبط مدى قرب المسافة بين مسافتين.

ولتبسيط مهمتهم، تبنى دونج وسونج خدعة رياضية أخرى من ستيرن ومؤلفيه المشاركين، والتي أظهرت أنه يمكن تقسيم الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى عدد لا نهائي من الشرائح ثنائية الأبعاد تسمى مجموعات المستوى، مثلما تفعل البيضة المسلوقة. يتم تقطيعها إلى صفائح ضيقة بواسطة الأسلاك المشدودة لقطاعة البيض.

ترث مجموعات المستويات انحناء المساحة ثلاثية الأبعاد التي تتكون منها. من خلال تركيز انتباههم على مجموعات المستويات بدلاً من التركيز على الفضاء ثلاثي الأبعاد الأكبر، تمكن دونج وسونج من تقليل أبعاد المشكلة من ثلاثة إلى اثنين. وقال سونج إن هذا مفيد للغاية، لأننا «نعرف الكثير عن الأجسام ثنائية الأبعاد... ولدينا الكثير من الأدوات لدراستها».

وقال سونج إنه إذا تمكنوا بنجاح من إثبات أن كل مجموعة مستويات هي "مسطحة نوعًا ما"، فإن هذا سيسمح لهم بتحقيق هدفهم العام المتمثل في إظهار أن الفضاء ثلاثي الأبعاد ذي الكتلة الصغيرة قريب من المسطح. ولحسن الحظ، نجحت هذه الاستراتيجية.

الخطوات المقبلة

وبالنظر إلى المستقبل، قال سونج إن أحد التحديات التالية التي يواجهها هذا المجال هو جعل الدليل أكثر وضوحًا من خلال وضع إجراء دقيق للتخلص من الفقاعات والمسامير ووصف المناطق التي تم قطعها بشكل أفضل. ولكن في الوقت الحالي، اعترف قائلاً: "ليس لدينا استراتيجية واضحة لتحقيق ذلك".

 وقال سونغ إن السبيل الواعد الآخر هو استكشاف تخمين منفصل التي تمت صياغتها في عام 2011 من قبل لي و كريستينا سورماني، عالم رياضيات في جامعة مدينة نيويورك. تطرح حدسية لي-سورماني سؤالًا مشابهًا للسؤال الذي طرحه هويسكين وإلمانين، ولكنها تعتمد على طريقة مختلفة لقياس الفرق بين الأشكال. بدلاً من النظر في المسافة القصوى بين شكلين، كما تفعل مسافة جروموف-هاوسدورف، يسأل نهج لي-سورماني عن المسافة حجم المساحة بينهم. كلما كان هذا الحجم أصغر، كلما كان أقرب.

وفي الوقت نفسه، يأمل سونج في النظر في الأسئلة الأساسية حول الانحناء العددي التي لا تحفزها الفيزياء. وقال: «في النسبية العامة، نتعامل مع مساحات خاصة جدًا تكاد تكون مسطحة عند اللانهاية، لكن في الهندسة نهتم بجميع أنواع المساحات».

وقال ستيرن: "هناك أمل في أن تكون هذه التقنيات ذات قيمة في بيئات أخرى" لا علاقة لها بالنسبية العامة. وقال: "هناك مجموعة كبيرة من المشاكل ذات الصلة"، وهي في انتظار استكشافها.

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.