برج التخمينات الذي يرتكز على إبرة | مجلة كوانتا

في الرياضيات، المشكلة البسيطة غالبًا ما لا تكون كما تبدو. وفي وقت سابق من هذا الصيف، كوانتا تم الإبلاغ عن إحدى هذه المشكلات: ما هي أصغر مساحة يمكنك مسحها أثناء تدوير إبرة رفيعة بشكل لا نهائي في جميع الاتجاهات الممكنة؟ قم بتدويرها حول مركزها مثل القرص، وستحصل على دائرة. لكن قم بتدويرها بشكل أكثر ذكاءً، ويمكنك تغطية جزء صغير من المساحة بشكل تعسفي. إذا كنت لا تحتاج إلى تحريك الإبرة في حركة واحدة متواصلة، وبدلاً من ذلك ببساطة تضع إبرة في كل اتجاه، يمكنك إنشاء ترتيب من الإبر لا يغطي أي منطقة على الإطلاق.

يسمي علماء الرياضيات هذه الترتيبات بمجموعات كاكيا. في حين أنهم يعرفون أن مثل هذه المجموعات يمكن أن تكون صغيرة من حيث المساحة (أو الحجم، إذا كنت ترتب إبرك في ثلاثة أبعاد أو أكثر)، فإنهم يعتقدون أن المجموعات يجب أن تكون دائمًا كبيرة إذا تم قياس حجمها بمقياس يسمى هاوسدورف البعد.

ولم يتمكن علماء الرياضيات حتى الآن من إثبات هذا البيان، المعروف باسم حدسية كاكيا. ولكن على الرغم من أنه ظاهريًا سؤال بسيط حول الإبر، إلا أن "هندسة مجموعات كاكيا هذه تدعم مجموعة كبيرة من الأسئلة في المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل التوافقي ومجالات أخرى"، كما قال. جوناثان هيكمان من جامعة ادنبره.

يقع تخمين كاكيا في قاعدة تسلسل هرمي لثلاث مشاكل مركزية في التحليل التوافقي، وهو فرع من الرياضيات يدرس كيفية تمثيل الوظائف كمجموع من الوظائف الدورية مثل الموجات الجيبية المتذبذبة بانتظام.

والخطوة التالية في هذا التسلسل الهرمي هي تخمين "التقييد". إذا كان هذا صحيحا، فكذلك هو تخمين كاكيا. (وهذا يعني أيضًا أنه إذا تبين أن حدسية كاكيا خاطئة، فإن حدسية التقييد لا يمكن أن تكون صحيحة.) حدسية التقييد، بدورها، متضمنة ضمنيًا في ما يسمى بحدسية بوشنر-ريسز. وفي الأعلى يوجد تخمين التجانس المحلي.

يتعامل أول تخمينين مع سلوك تحويل فورييه، وهو أسلوب في التحليل التوافقي لحساب كيفية التعبير عن أي دالة تقريبًا كمجموع للموجات الجيبية. إنها واحدة من أقوى الأدوات الرياضية المتاحة للفيزيائيين والمهندسين. لعب تحويل فورييه دورًا أساسيًا في حل المعادلات التفاضلية، والتعبير عن أفكار ميكانيكا الكم مثل مبدأ عدم اليقين لهايزنبرج، وتحليل ومعالجة الإشارات، مما جعل أشياء مثل الهواتف المحمولة الحديثة ممكنة.

نظرًا لأن كل عبارة في التسلسل الهرمي تتضمن العبارة التي تليها، إذا كان تخمين كاكيا خاطئًا، فلن يكون أي من التخمينات الأخرى صحيحًا. سوف ينهار البرج بأكمله قال هيكمان: "يمكنك إنشاء مثال مضاد للوحش الفائق من شأنه أن يكسر الكثير من التخمينات".

ومن ناحية أخرى، فإن إثبات صحة حدسية كاكيا لن يعني تلقائيًا صحة تلك التخمينات الأخرى، لكنه سيعطي علماء الرياضيات رؤى مهمة حول كيفية المضي قدمًا.

وهكذا، قال "ما يقرب من نصف مجتمع التحليل التوافقي الذي أعرفه يعمل على هذه المشكلة والمشكلات ذات الصلة، أو عمل عليها في مرحلة ما". شاومينغ قوه من جامعة ويسكونسن ماديسون.

في الآونة الأخيرة، اكتشف علماء الرياضيات، لدهشتهم، أن التقنيات التي طوروها لمعالجة هذه المشكلات يمكن استخدامها أيضًا لإثبات نتائج رئيسية في مجال نظرية الأعداد الذي يبدو غير ذي صلة. قال قوه: "إنها ظاهرة أكثر عمومية بكثير مما اعتقد الناس".

طبقة الكيك

تبدأ القصة بتحويل فورييه. قال: "أنت تريد تحليل [الوظائف] إلى أجزاء صغيرة، وتحليل تفاعلاتها، ثم جمعها مرة أخرى معًا". يومينج أوي من جامعة بنسلفانيا. بالنسبة للدوال أحادية البعد - المنحنيات التي يمكنك رسمها على قطعة من الورق - يتمتع علماء الرياضيات بفهم جيد لكيفية القيام بذلك، حتى عندما يحتاجون إلى عكس تحويل فورييه باستخدام بعض القطع فقط.

لكن في بعدين أو أكثر، يمكن أن تصبح الأمور فوضوية.

في 1971، تشارلي فيفرماناكتشف عالم الرياضيات في جامعة برينستون كيفية استخدام مجموعات كاكيا لإثبات أن عكس تحويل فورييه يمكن أن يؤدي إلى نتائج غريبة ومدهشة في أبعاد متعددة.

وجد علماء الرياضيات حلًا لذلك في شكل حدسية بوشنر-ريسز، والتي تنص بشكل أساسي على أن هناك طرقًا أكثر تعقيدًا لاستعادة الوظيفة الأصلية التي لا تتعطل مثل مثال فيفرمان. لكن هذا الإصلاح اعتمد على صحة حدسية كاكيا.

وقال إنه إذا كان هذا صحيحا، فإن "اقتطاع الترددات لن يؤدي إلا إلى أخطاء صغيرة". بيتسي ستوفال من جامعة ويسكونسن ماديسون. "وهذا يعني أن الأخطاء الصغيرة لا تنفجر."

هكذا بدأ التسلسل الهرمي. لاحقًا، اكتشف علماء الرياضيات ارتباطًا مهمًا آخر: إذا كانت حدسية بوشنر-ريسز صحيحة، فإنها تتضمن أيضًا عبارة تسمى حدسية التقييد. ينص هذا التخمين على أنه إذا بدأت بنسخة محدودة من تحويل فورييه - "قصر" القيم التي تنظر إليها على تلك التي تعيش على أسطح معينة فقط - فلا يزال من الممكن أن يوفر لك هذا معلومات مهمة حول الوظيفة الأصلية. وتبين أنه إذا كانت حدسية التقييد صحيحة، فإن حدسية كاكيا كانت صحيحة أيضًا. (وهذا وضع تخمين التقييد بين كاكيا وبوخنر-ريسز في البرج.)

إن مشكلة التتويج في التسلسل الهرمي، والتي تسمى حدسية التجانس المحلية، لا تتعامل مع تحويل فورييه مباشرة، ولكنها تضع حدودًا على حجم الحلول للمعادلات التي تصف سلوك الموجات.

يمكنك التفكير في هذا أيضًا من حيث هندسة الخطوط في مجموعة Kakeya. يمكنك تقسيم الحل العام للمعادلة الموجية إلى مجموعة من القطع التي تتحرك في اتجاهات مختلفة وتتفاعل مع بعضها البعض بطرق مختلفة مع مرور الوقت. تشبه كل قطعة من هذه القطع رياضيًا إبرة في مجموعة Kakeya. يؤكد تخمين Kakeya أن مثل هذا التكوين لا يمكن أن يكون له الكثير من التداخل. في هذا السياق المادي، قد تتوافق التداخلات مع استمرار السلوكيات غير المنتظمة وغير المتوقعة في الحل. على سبيل المثال، يمكن لموجة صوتية أن تتضخم في الكثير من المناطق في أوقات مختلفة.

ينص تخمين التجانس المحلي على أن مثل هذه المخالفات يجب أن تكون متوسطة. وقال "الأمر أشبه بأخذ متوسط ​​السوق المالية". ديميتر سيبريان من جامعة إنديانا بلومنجتون. "قد تكون هناك أعطال هنا وهناك، ولكن إذا استثمرت أموالك وتقاعدت خلال 40 عامًا، فهناك فرصة جيدة للحصول على بعض الاستثمارات الجيدة."

ولكن كما هو الحال مع كل التخمينات في التسلسل الهرمي، فإن ذلك يعتمد على حقيقة تخمين كاكيا. قال ستوفال: "الفكرة هي أنه إذا استبعدت الكثير من التقاطعات في مجموعات Kakeya، فهذا يعني أنه يمكنك استبعاد هذه المواقف التي تتآمر فيها أجزاء من الحل الخاص بك معًا لإحداث نوع من الانفجار".

هذا التخمين هو الأصعب في المجموعة: في حين تم حل الحالات ثنائية الأبعاد لمشكلتي كاكيا والقيود وبوخنر-ريسز منذ عقود مضت، فإن تخمين التجانس المحلي ثنائي الأبعاد لم يتم إثباته إلا قبل بضع سنوات. (في الأبعاد الأعلى، تظل كل هذه المشكلات مفتوحة.)

ولكن على الرغم من التقدم البطيء في إثبات حدسية التجانس المحلي، فقد أدى العمل عليها إلى تقدم هائل في أماكن أخرى. في عام 1999، أثناء محاولته معالجة التخمين، قدم عالم الرياضيات توماس وولف طريقة تعرف باسم الفصل. ومنذ ذلك الحين، اتخذت هذه التقنية حياة خاصة بها: فقد تم استخدامها لتحقيق اختراقات كبيرة ليس فقط في التحليل التوافقي، ولكن في نظرية الأعداد والهندسة وغيرها من المجالات. وقال: "باستخدام نتائج الفصل، أصبح لديك الآن أرقام قياسية عالمية في مسائل مهمة ومشهورة للغاية". كريستوفر سوج من جامعة جونز هوبكنز، الذي صاغ لأول مرة حدسية التجانس المحلية في التسعينيات. على سبيل المثال، تم استخدام الفصل للمساعدة في حساب عدد الطرق التي يمكن من خلالها تمثيل عدد صحيح كمجموع المربعات أو المكعبات أو بعض القوى الأخرى.

وكما قالت ديميتر، فإن هذه النتائج ممكنة لأننا “يمكننا أن ننظر إلى الأرقام على أنها موجات”. وأضاف أن ربط كل هذه المشاكل بمجموعات إبر كاكيا "أمر رائع". "أنت لا تعتقد أنه يمكن إخفاء الكثير من الجمال والصعوبة والأهمية في شيء يمكن صياغته باستخدام المقاطع الخطية."