تخمين قديم يجعل الكرات أكثر تعقيدًا | مجلة كوانتا

في أوائل يونيو/حزيران، تصاعدت الضجة مع هبوط علماء الرياضيات في مطار هيثرو بلندن. كانت وجهتهم جامعة أكسفورد و مؤتمر بمناسبة عيد ميلاده الـ 65 مايكل هوبكنز، عالم رياضيات في جامعة هارفارد والذي عمل كمرشد للعديد من الحاضرين.

صنع هوبكنز اسمًا لنفسه في أواخر الثمانينيات من القرن العشرين من خلال عمله على سبعة تخمينات دوج رافينيل من جامعة روتشستر تم صياغته قبل عقد من الزمن. كان عليهم أن يتعاملوا مع تقنيات تحديد متى يكون الشكلان، أو الفراغان، اللذان قد يبدوان مختلفين، متماثلين بالفعل. أثبت هوبكنز ومعاونوه جميع تخمينات رافينيل باستثناء واحدة، وهي مشكلة ذات اسم موحٍ ولكن غامض يسمى تخمين التلسكوب.

في ذلك الوقت، توقف هوبكنز عن تخمينات رافينيل. ولعقود من الزمن بعد ذلك، بدا من المستحيل حل تخمين التلسكوب.

وقال هوبكنز: "لا يمكنك لمس نظرية كهذه".

ولكن مع وصول علماء الرياضيات إلى لندن، كانت هناك شائعات بأن ذلك قد تم من قبل مجموعة من أربعة علماء رياضيات لهم علاقات بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ثلاثة منهم تلقوا المشورة من هوبكنز في كلية الدراسات العليا. الأصغر بين الأربعة، طالب دراسات عليا اسمه ايشان ليفي، كان من المقرر أن يلقي محاضرة يوم الثلاثاء، اليوم الثاني للمؤتمر، والذي يبدو أنه قد يتم فيه الإعلان عن الدليل.

وقال: "لقد سمعت شائعات عن أن هذا الأمر قادم، ولم أكن أعرف بالضبط ما أتوقعه". فيسنا ستوجانوسكا، عالم الرياضيات في جامعة إلينوي، أوربانا شامبين الذي حضر المؤتمر.

وسرعان ما أصبح من الواضح أن الشائعات كانت صحيحة. ابتداءً من يوم الثلاثاء، وعلى مدى الأيام الثلاثة المقبلة، سيعمل ليفي وزملاؤه في التأليف على: روبرت بيركلوند, جيريمي هان و تومر شلانك - شرح لحشد من حوالي 200 عالم رياضيات كيف أثبتوا أن تخمين التلسكوب كان خاطئًا، مما جعله التخمين الوحيد من بين تخمينات رافينيل الأصلية غير صحيح.

إن دحض تخمين التلسكوب له آثار واسعة النطاق، ولكن أحد أبسطها وأكثرها عمقًا هو ما يلي: إنه يعني أنه في الأبعاد العالية جدًا (فكر في كرة ذات 100 بُعد)، يكون الكون ذو الأشكال المختلفة أكثر تعقيدًا بكثير من الكون ذي الأشكال المختلفة. توقع علماء الرياضيات.

رسم الخرائط

لتصنيف الأشكال، أو الفضاءات الطوبولوجية، يميز علماء الرياضيات بين الاختلافات التي تهم وتلك التي لا تهم. نظرية الهوموتوبي هي المنظور الذي يمكن من خلاله إجراء هذه الفروق. فهو يعتبر أن الكرة والبيضة هما نفس الفضاء الطوبولوجي بشكل أساسي، لأنه يمكنك ثني أحدهما وتمديده في الآخر دون تمزيق أي منهما. وبنفس الطريقة، تعتبر نظرية التجانس أن الكرة والأنبوب الداخلي مختلفان بشكل أساسي لأنه يتعين عليك إحداث ثقب في الكرة لتشويهها في الأنبوب الداخلي.

يعد Homotopy مفيدًا في تصنيف المساحات الطوبولوجية، مما يؤدي إلى إنشاء مخطط يضم جميع أنواع الأشكال الممكنة. من المهم أيضًا فهم شيء آخر يهتم به علماء الرياضيات: الخرائط بين المسافات. إذا كان لديك فراغان طوبولوجيان، فإن إحدى الطرق لاستكشاف خصائصهما هي البحث عن الدوال التي تحول أو تعين نقاطًا في أحدهما إلى نقاط في الآخر - أدخل نقطة في الفضاء A، واحصل على نقطة في الفضاء B كمخرجات، ونفعل ذلك لجميع النقاط الموجودة على A.

لكي ترى كيف تعمل هذه الخرائط، ولماذا تضيء خصائص المساحات المعنية، ابدأ بدائرة. الآن قم برسمها على الكرة ثنائية الأبعاد، وهي سطح الكرة. هناك طرق عديدة لا حصر لها للقيام بذلك. إذا تخيلت أن الكرة هي سطح الأرض، فيمكنك وضع دائرتك على أي خط عرض، على سبيل المثال. من وجهة نظر النظرية المثلية، فهي جميعًا متكافئة، أو متجانسة، لأنها يمكن أن تتقلص جميعًا إلى نقطة في القطب الشمالي أو الجنوبي.

بعد ذلك، قم برسم الدائرة على السطح ثنائي الأبعاد لأنبوب داخلي (طارة ذات ثقب واحد). مرة أخرى، هناك عدد لا نهائي من الطرق للقيام بذلك، ومعظمها متجانسة. لكن ليس جميعهم. يمكنك وضع دائرة أفقيًا أو رأسيًا حول الطارة، ولا يمكن تشويه أي منهما بسهولة داخل الآخر. هاتان طريقتان (من بين العديد) لرسم دائرة على الطارة، في حين أن هناك طريقة واحدة فقط لرسمها على كرة، مما يعكس اختلافًا أساسيًا بين الفضاءين: تحتوي الطارة على ثقب واحد بينما لا تحتوي الكرة على أي ثقب.

من السهل حساب الطرق التي يمكننا من خلالها رسم خريطة من الدائرة إلى الكرة ثنائية الأبعاد أو الحيد. إنها مساحات مألوفة يسهل تصورها. لكن عد الخرائط يكون أكثر صعوبة عندما يتعلق الأمر بالمساحات ذات الأبعاد الأعلى.

اختلافات الأبعاد

إذا كان هناك مجالان لهما نفس البعد، فهناك دائمًا عدد لا نهائي من الخرائط بينهما. وإذا كانت المساحة التي تقوم بالتعيين منها أقل بعدًا من المساحة التي تقوم بالتعيين إليها (كما في مثالنا للدائرة ذات البعد الواحد والمعينة على كرة ثنائية الأبعاد)، فهناك دائمًا خريطة واحدة فقط.

ولهذا السبب جزئيًا، يكون حساب الخرائط أكثر إثارة للاهتمام عندما يكون للمساحة التي تقوم بالرسم منها بُعدًا أعلى من المساحة التي تقوم بالرسم لها، كما هو الحال عندما تقوم برسم كرة ذات سبعة أبعاد على كرة ثلاثية الأبعاد. في مثل هذه الحالات، يكون عدد الخرائط دائمًا محدودًا.

وقال هان: "الخرائط بين المجالات بشكل عام تميل إلى أن تكون أكثر إثارة للاهتمام عندما يكون للمصدر بعد أكبر".

علاوة على ذلك، فإن عدد الخرائط يعتمد فقط على الاختلاف في عدد الأبعاد (بمجرد أن تصبح الأبعاد كبيرة بدرجة كافية مقارنة بالفرق). أي أن عدد الخرائط من كرة ذات 73 بعداً إلى كرة ذات 53 بعداً هو نفس عدد الخرائط من كرة ذات 225 بعداً إلى كرة ذات 205 بعداً، لأنه في الحالتين يكون فرق البعد هو 20.

يود علماء الرياضيات معرفة عدد الخرائط بين المساحات مهما كان اختلاف أبعادها. لقد تمكنوا من حساب عدد الخرائط لجميع الاختلافات في الأبعاد تقريبًا حتى 100: هناك 24 خريطة بين المجالات عندما يكون الفرق 20، و3,144,960 عندما يكون الفرق 23.

لكن حساب عدد الخرائط لأي فرق أكبر من 100 يستنفد قوة الحوسبة الحديثة. وفي الوقت نفسه، لم يكتشف علماء الرياضيات ما يكفي من الأنماط في عدد الخرائط لاستقراءها بشكل أكبر. هدفهم هو ملء جدول يحدد عدد الخرائط لأي اختلاف في البعد، لكن هذا الهدف يبدو بعيد المنال.

قال رافينيل، البالغ من العمر 76 عاماً: "هذا ليس سؤالاً أتوقع حلاً كاملاً له في حياة أحفادي".

يقوم تخمين التلسكوب بالتنبؤ بكيفية نمو عدد الخرائط مع زيادة الاختلاف في الأبعاد. في الواقع، فإنه يتنبأ بأن العدد ينمو ببطء. ولو كان ذلك صحيحا، لكان من شأنه أن يجعل مشكلة ملء هذا الجدول أسهل قليلا.

الشك في الكفر

حصل تخمين التلسكوب على اسمه بطريقة غير محتملة.

لقد بدأ الأمر من حقيقة أنه في الأبعاد العالية جدًا، غالبًا ما ينهار الحدس الهندسي المتكون في الأبعاد المنخفضة، ومن الصعب عد الخرائط بين المجالات. ولكن في صياغة حدسه، فهم رافينيل أنه ليس عليك القيام بذلك. بدلاً من حساب الخرائط بين المجالات، يمكنك إجراء إحصاء بديل أسهل للخرائط بين المجالات والكائنات التي تسمى التلسكوبات.

تتضمن التلسكوبات سلسلة من النسخ لمنحنى مغلق عالي الأبعاد، كل واحدة منها عبارة عن نسخة مصغرة من النسخة التي سبقتها. تشبه سلسلة المنحنيات الأنابيب المتشابكة لتلسكوب فعلي قابل للطي. قال رافينيل: "على الرغم من غرابة هذا التلسكوب عندما تصفه، إلا أنه في الواقع جسم أسهل في التعامل معه من التعامل مع الكرة نفسها".

لكن لا يزال بإمكان المجالات رسم الخرائط على التلسكوبات بعدة طرق مختلفة، ويكمن التحدي في معرفة متى تكون هذه الخرائط متميزة حقًا.

لتحديد ما إذا كان الفضاءان متماثلان، يتطلب الأمر اختبارًا رياضيًا يُعرف باسم الثابت، وهو حساب يعتمد على خصائص الفضاءين. إذا أسفرت العملية الحسابية عن قيمة مختلفة لكل مساحة، فأنت تعلم أنها فريدة من نوعها من منظور التجانس.

هناك أنواع عديدة من الثوابت، ويمكن للبعض أن يدرك الاختلافات التي لا يراها الثوابت الأخرى. يتنبأ تخمين التلسكوب بوجود كائن ثابت يسمى مورافا Eيمكن للنظرية (وتناظراتها) التمييز بشكل مثالي بين جميع الخرائط بين المجالات والتلسكوبات حتى التجانس - أي إذا كان مورافا E- النظرية تقول أن الخرائط مختلفة، إنها مختلفة، وإذا قالت أنها متشابهة، فهي متشابهة.

ولكن بحلول عام 1989، بدأ رافينيل يشك في صحة ذلك. ظهرت شكوكه من الحسابات التي أجراها والتي لا تبدو متسقة مع التخمين. ولكن لم يحدث ذلك حتى أكتوبر من ذلك العام، عندما ضرب زلزال هائل منطقة الخليج أثناء وجوده في بيركلي، حيث تحولت تلك الشكوك إلى عدم تصديق كامل.

وقال رافينيل: "لقد توصلت إلى هذا الاستنتاج في غضون يوم أو يومين من وقوع الزلزال، لذا أحب أن أعتقد أن شيئًا ما قد حدث مما جعلني أعتقد أن هذا غير صحيح".

إن دحض تخمين التلسكوب يتطلب إيجاد كائن ثابت أكثر قوة يمكنه رؤية الأشياء مورافا E- النظرية لا تستطيع. ولعقود من الزمن، لم يكن هناك مثل هذا المتغير متاحًا، مما جعل هذا التخمين بعيد المنال تمامًا. لكن التقدم الذي تم إحرازه في السنوات الأخيرة غيّر ذلك - واستفاد بيركلوند وهان وليفي وشلانك من ذلك.

الغريبة المتفجرة

يعتمد برهانهم على مجموعة من الأدوات تسمى الجبرية K- النظرية التي أسسها ألكسندر جروتينديك في الخمسينيات وتطورت بسرعة خلال العقد الماضي. ولها تطبيقات في الرياضيات، بما في ذلك الهندسة، حيث لديها القدرة على شحن الثوابت.

يستخدم المؤلفون الأربعة الجبرية K-النظرية كأداة: يقومون بإدخال مورافا E-النظرية، وناتجهم هو ثابت جديد يشيرون إليه بالجبر K-نظرية النقاط الثابتة لمورافا E-نظرية. ثم يقومون بتطبيق هذا المتغير الجديد على الخرائط من المجالات إلى التلسكوبات ويثبتون أنه يمكنه رؤية الخرائط التي رسمها مورافا E- النظرية لا تستطيع.

ولا يقتصر الأمر على أن هذا المتغير الجديد يرى المزيد من الخرائط. إنه يرى المزيد، بل وأكثر بلا حدود. هناك الكثير مما يجعل من العدل أن نقول مورافا E- كانت النظرية بالكاد تخدش السطح عندما يتعلق الأمر بتحديد الخرائط من المجالات إلى التلسكوبات.

المزيد من الخرائط بشكل لا نهائي من المجالات إلى التلسكوبات يعني المزيد من الخرائط بشكل لا نهائي بين المجالات نفسها. عدد هذه الخرائط محدود لأي اختلاف في البعد، لكن الدليل الجديد يوضح أن العدد ينمو بسرعة وبلا هوادة.

إن وجود الكثير من الخرائط يشير إلى حقيقة هندسية مقلقة: هناك العديد من المجالات.

في عام 1956، حدد جون ميلنور الأمثلة الأولى لما يسمى بالمجالات "الغريبة". هذه هي المساحات التي يمكن تشويهها إلى المجال الفعلي من منظور التجانس ولكنها تختلف عن المجال بمعنى محدد معين. لا توجد المجالات الغريبة على الإطلاق في الأبعاد الأول أو الثاني أو الثالث، ولم يكتشف أحد أمثلة لها تحت البعد السابع، وهو البعد الذي وجدها فيه ميلنور لأول مرة. ولكن مع نمو البعد، ينفجر عدد المجالات الغريبة. يوجد 16,256 في البعد 15، و523,264 في البعد 19.

ومع ذلك، وعلى الرغم من ضخامة هذه الأرقام، فإن دحض تخمين التلسكوب يعني أن هناك الكثير والكثير. يعني الدحض أن هناك خرائط بين المجالات أكثر مما كان متوقعًا عندما ذكر رافينيل التخمين، والطريقة الوحيدة للحصول على المزيد من الخرائط هي من خلال وجود مجموعة أكبر من المجالات للتخطيط بينها.

هناك أنواع مختلفة من التقدم في الرياضيات والعلوم. نوع واحد يجلب النظام إلى الفوضى. ولكن هناك سبب آخر يزيد من حدة الفوضى من خلال تبديد الافتراضات المفعمة بالأمل والتي لم تكن صحيحة. إن دحض تخمين التلسكوب هو هكذا. إنه يعمق تعقيد الهندسة ويزيد من احتمالات أن يأتي ويذهب أجيال عديدة من الأحفاد قبل أن يفهم أي شخص الخرائط بين المجالات بشكل كامل.

وقال رافينيل: "يبدو أن كل تقدم كبير في هذا الموضوع يخبرنا أن الإجابة أكثر تعقيدًا مما كنا نعتقد من قبل".