يكشف التلوين بالأرقام عن الأنماط الحسابية في الكسور

بعد عام من بدء الدكتوراه. في الرياضيات في جامعة ماكجيل ، واجه مات بوين مشكلة. قال "لقد خضت امتحاناتي التأهيلية وقمت بها بشكل فظيع للغاية". كان بوين متأكدًا من أن علاماته لا تعكس مهاراته الرياضية ، وقرر إثبات ذلك. في الخريف الماضي فعل ، عندما هو ومستشاره ، مارسين سابوك, سجلت تقدم كبير في المجال المعروف باسم نظرية رامزي.

منذ ما يقرب من قرن من الزمان ، كان منظرو رامزي يجمعون الأدلة على أن البنية الرياضية لا تزال قائمة في ظروف معادية. قد يفصلون مجموعات كبيرة من الأرقام مثل الأعداد الصحيحة أو الكسور ، أو يقطعون الاتصالات بين النقاط على الشبكة. ثم يجدون طرقًا لإثبات أن بعض الهياكل لا مفر منها ، حتى لو حاولت تجنب إنشائها عن طريق كسرها أو تشريحها بطريقة ذكية.

عندما يتحدث منظرو رامزي عن تقسيم مجموعة من الأرقام ، فإنهم غالبًا ما يستخدمون لغة التلوين. اختر عدة ألوان: الأحمر والأزرق والأصفر على سبيل المثال. الآن قم بتعيين لون لكل رقم في المجموعة. حتى لو قمت بذلك بطريقة عشوائية أو فوضوية ، ستظهر أنماط معينة حتمًا طالما أنك تستخدم فقط عددًا محدودًا من الألوان المختلفة ، حتى لو كان هذا الرقم كبيرًا جدًا. يحاول منظرو رامزي العثور على هذه الأنماط ، والبحث عن مجموعات منظمة من الأرقام "أحادية اللون" ، مما يعني أن عناصرها قد تم تخصيص اللون نفسه لها.

تعود نتائج التلوين الأولى إلى أواخر القرن التاسع عشر. بحلول عام 19 ، أثبت إساي شور أنه مهما كنت تلون الأعداد الصحيحة الموجبة (المعروفة أيضًا باسم الأعداد الطبيعية) ، سيكون هناك دائمًا زوج من الأرقام x و y مثل ذلك x, y، ومجموعها س + ص كلها من نفس اللون. طوال القرن العشرين ، واصل علماء الرياضيات العمل على مشاكل التلوين. في عام 20 ، نيل هندمان مددت نتيجة شور لتضمين مجموعة فرعية لا نهائية من الأعداد الصحيحة. مثل نظرية شور ، تنطبق هندمان بغض النظر عن كيفية تلوين الأرقام الطبيعية (مع عدد محدود من الطباشير الملون). لا يقتصر الأمر على تعيين هذه الأعداد الصحيحة في مجموعة Hindman بنفس اللون ، ولكن إذا قمت بتلخيص أي مجموعة منها ، فستكون النتيجة أيضًا هذا اللون. تشبه هذه المجموعات الأرقام الزوجية في ذلك ، تمامًا كما أن أي مجموع من الأرقام الزوجية دائمًا ما يكون زوجيًا ، كذلك يمكن أيضًا تضمين مجموع أي أرقام في إحدى مجموعات هندمان في تلك المجموعة.

قال سابوك: "نظرية هندمان قطعة رائعة من الرياضيات". "إنها قصة يمكننا صنع فيلم عنها."

لكن هندمان اعتقد أن المزيد من الممكن أن يكون. كان يعتقد أنه يمكنك العثور على مجموعة أحادية اللون كبيرة (ولكن محدودة) بشكل تعسفي لا تحتوي فقط على مبالغ أعضائها ، ولكن أيضًا المنتجات. قال: "لقد أصررت على مدى عقود على أن هذه حقيقة" ، مضيفًا: "لا أصر على أنني أستطيع إثبات ذلك".

تخمين هندمان

إذا تخلت عن المجموع وأردت فقط التأكد من أن المنتجات بنفس اللون ، فمن السهل تكييف نظرية هندمان باستخدام الأس لتحويل المبالغ إلى منتجات (مثلما تفعل قاعدة الشريحة).

ومع ذلك ، فإن المصارعة بالمبالغ والمنتجات في نفس الوقت أصعب بكثير. قال "من الصعب للغاية جعل هذين الشخصين يتحدثان مع بعضهما البعض" جويل موريرا، عالم رياضيات في جامعة وارويك. "فهم كيفية ارتباط الجمع والضرب - هذا ، بطريقة ما ، أساس كل نظرية الأعداد تقريبًا."

حتى النسخة الأبسط التي اقترحها هيندمان لأول مرة في السبعينيات أثبتت أنها صعبة. لقد توقع أن أي تلوين للأعداد الطبيعية يجب أن يحتوي على مجموعة أحادية اللون من الشكل {x, y, xy, س + ص} - رقمان x و y، بالإضافة إلى مجموعها ومنتجها. قال بوين: "لم يحرز الناس حقًا أي تقدم بشأن هذه المشكلة منذ عقود". "ثم فجأة ، حوالي عام 2010 ، بدأ الناس في إثبات المزيد والمزيد من الأشياء حول هذا الموضوع."

علم بوين عن {x, y, xy, س + ص} في عام 2016 ، الفصل الدراسي الثاني له في الكلية ، عندما وصف أحد أساتذته في جامعة كارنيجي ميلون المشكلة في الفصل. لقد أذهل بوين بساطته. قال: "إنها واحدة من هذه الأشياء الرائعة حيث يبدو ، حسنًا ، لا أعرف الكثير من الرياضيات ، لكن يمكنني أن أفهم هذا نوعًا ما".

في عام 2017 ، موريرا ثبت أن لصحتك! يمكن دائما ابحث عن مجموعة أحادية اللون تحتوي على ثلاثة من العناصر الأربعة المرغوبة: x, xyو x + y. في هذه الأثناء ، بدأ بوين في حل هذه المسألة بشكل عرضي خلال سنته الأخيرة. قال "لم أستطع في الواقع حل المشكلة". "لكنني أعود إليها كل ستة أشهر أو نحو ذلك." بعد عرضه الضعيف على درجة الدكتوراه. تأهيل امتحانات 2020 ، ضاعف جهوده. بعد بضعة أيام ، أثبت أنه {x, y, xy, س + ص} لحالة لونين ، وهي نتيجة أثبتها رون جراهام بالفعل في السبعينيات بمساعدة الكمبيوتر.

مع هذا النجاح ، عمل بوين مع Sabok لتوسيع النتيجة إلى أي عدد من الألوان. لكنهم سرعان ما أصبحوا متورطين في التفاصيل الفنية. قال سابوك: "إن تعقيد المشكلة يخرج تمامًا عن السيطرة عندما يكون عدد الألوان كبيرًا". لمدة 18 شهرًا ، حاولوا تخليص أنفسهم ، مع القليل من الحظ. قال سابوك: "خلال هذا العام ونصف العام ، كان لدينا حوالي مليون دليل خاطئ".

إحدى الصعوبات على وجه الخصوص حالت دون تقدم الرياضيين. إذا اخترت عددًا صحيحًا بشكل عشوائي ، فلن تتمكن على الأرجح من تقسيمهما. تعمل القسمة فقط في الحالة النادرة حيث يكون الرقم الأول من مضاعفات الرقم الثاني. تبين أن هذا أمر محدود للغاية. مع هذا الإدراك ، ركز بوين وسابوك على إثبات أن {x, y, xy, س + ص} في الأعداد المنطقية (كما يسمي علماء الرياضيات الكسور) بدلاً من ذلك. هناك ، يمكن تقسيم الأرقام مع التخلي.

برهان بوين وسابوك هو الأكثر أناقة عندما تظهر جميع الألوان المتضمنة بشكل متكرر عبر الأرقام المنطقية. يمكن أن تظهر الألوان "بشكل متكرر" بعدة طرق مختلفة. قد يغطي كل منها أجزاء كبيرة من خط الأعداد. أو قد يعني أنه لا يمكنك السفر لمسافات طويلة على طول خط الأعداد دون رؤية كل لون. عادة ، ومع ذلك ، لا تتوافق الألوان مع هذه القواعد. وأوضح سابوك أنه في هذه الحالات ، يمكنك التركيز على مناطق صغيرة ضمن الأرقام المنطقية حيث تظهر الألوان بشكل متكرر. قال "هذا هو المكان الذي جاء فيه الجزء الأكبر من العمل".

في أكتوبر 2022 ، نشر بوين وسابوك دليلًا على أنه إذا قمت بتلوين الأرقام المنطقية بألوان كثيرة جدًا ، فستكون هناك مجموعة من النموذج {x, y, xy, س + ص} التي جميع عناصرها لها نفس اللون. قال "إنه دليل ذكي بشكل لا يصدق" إمري زعيم من جامعة كامبريدج. "يستخدم نتائج معروفة. لكنه يجمعهم بطريقة رائعة للغاية ، ومبتكرة للغاية ، ومبتكرة للغاية ".

يبقى الكثير من الأسئلة. يمكن لرقم ثالث z أن تضاف إلى المجموعة مع المبالغ والمنتجات المترتبة على ذلك؟ إرضاء تنبؤات Hindman الأكثر جرأة يعني إضافة رقم رابع وخامس ، وفي النهاية بشكل تعسفي العديد من الأرقام الجديدة إلى التسلسل. سيتطلب أيضًا الانتقال من الأسباب المنطقية إلى الأعداد الطبيعية وإيجاد طريقة للتغلب على لغز القسمة الذي أعاق جهود بوين وسابوك.

يعتقد الزعيم أنه مع عمل موريرا وبوين وسابوك على المشكلة ، قد لا يكون هذا الدليل بعيدًا. قال: "هؤلاء الرجال يبدون بارعين بشكل خاص في إيجاد طرق جديدة للقيام بالأشياء". "لذلك أنا متفائل نوعًا ما بأنهم قد يجدونها أو بعض زملائهم."

سابوك أكثر حذرا في تنبؤاته. لكنه لا يستبعد أي شيء. قال: "من مميزات الرياضيات أنه قبل أن تحصل على دليل ، كل شيء ممكن".