المُقدّمة
في وقت سابق من هذا العام ، قرر ثلاثة علماء رياضيات تحويل الليمون إلى عصير ليمون ، وانتهى بهم الأمر إلى صنع تقدم كبير حول مشكلة كان علماء الرياضيات يفكرون فيها منذ قرون.
كان الثلاثة ينهون للتو مشروعًا ويفكرون في الخطوات التالية ، في أواخر شهر مارس ، اثنان منهم - ليفينت ألبوج من جامعة هارفارد و آري شنيدمان من الجامعة العبرية في القدس - تعاقدت مع Covid-19 ، بشكل منفصل ولكن في وقت واحد تقريبًا. كثير من الناس يأخذون استراحة في ظل هذه الظروف ، لكن العضو الثالث في الفريق ، مانجول بهارجافا من جامعة برينستون ، اقترح العكس. واقترح أن تكثيف اجتماعات Zoom الأسبوعية إلى ثلاث أو أربع مرات في الأسبوع قد يصرف انتباه المتعاونين المرضى عن أعراضهم. قرر الثلاثة أن الحجر الصحي يمكن أن يكون فرصة للتفكير دون إزعاج.
خلال هذه الاجتماعات ، اعتبروا أحد أقدم الأسئلة في نظرية الأعداد: كم عدد الأعداد الصحيحة التي يمكن كتابتها كمجموع لكسرين مكعبين ، أو كما يسميهم علماء الرياضيات ، أرقام منطقية؟ الرقم 6 مثلا يمكن كتابته كـ (17/21)3 + (37/21)3بينما 13 = (7/3)3+ (2/3)3.
ظن علماء الرياضيات لعقود من الزمان أنه يمكن كتابة نصف جميع الأعداد الصحيحة بهذه الطريقة. تمامًا كما هو الحال مع الأرقام الفردية والزوجية ، يبدو أن هذه الخاصية تقسم الأعداد الصحيحة إلى معسكرين متساويين: تلك التي هي مجموع مكعبين ، وتلك التي ليست كذلك.
لكن لم يتمكن أحد من إثبات ذلك ، أو حتى إعطاء أي قيود على نسبة الأعداد الصحيحة التي تقع في كل معسكر. بقدر ما يعرف علماء الرياضيات ، فإن المعسكر الذي يتكون من مجموعات من المكعبات المنطقية قد يكون صغيرًا جدًا - أو قد يحتوي على كل عدد صحيح تقريبًا. علماء الرياضيات حسبت أنه إذا كان هناك شيء يسمى تخمين بيرش وسوينرتون-داير صحيحًا (كما يعتقد على نطاق واسع) ، فإن حوالي 59٪ من الأرقام حتى 10 ملايين هي مجموع مكعبين منطقيين. لكن يمكن لهذه البيانات ، في أحسن الأحوال ، أن تقدم تلميحات حول كيفية تصرف بقية خط الأعداد.
على عكس الأرقام الفردية والزوجية ، قال "هذان المعسكران دقيقان" باري مازور هارفارد. لا يوجد اختبار لتحديد الأرقام التي تنتمي في أي معسكر معروف للعمل مع جميع الأرقام. لقد توصل علماء الرياضيات إلى اختبارات تعتبر مرشحة قوية ، ولكن في الوقت الحالي لكل منها بعض العيوب - فإما أن علماء الرياضيات لا يستطيعون إثبات أن الاختبار سيصل دائمًا إلى نتيجة ، أو لا يمكنهم إثبات صحة الاستنتاج.
قال بهارجافا إن صعوبة فهم مجاميع المكعبات ، والمعادلات التكعيبية بشكل عام ، كانت "إحراجًا متكررًا لمنظري الأعداد". هو فاز بميدالية فيلدز في عام 2014 جزئيًا عن عمله على الحلول العقلانية إلى المعادلات التكعيبية المعروفة بالمنحنيات الإهليلجية ، والتي يعتبر مجموع المكعبين منها حالة خاصة.
الآن، في ورقة نشر على الإنترنت في أواخر أكتوبر ، أظهر Alpöge و Bhargava و Shnidman أنه يمكن كتابة 2/21 على الأقل (حوالي 9.5٪) وعلى الأكثر 5/6 (حوالي 83٪) من الأعداد الصحيحة كمجموع لكسرين مكعبين.
إن مسألة مبالغ المكعبات ليست مجرد فضول. المنحنيات الإهليلجية لها بنية معقدة وغنية دفعتها إلى مركز العديد من مجالات الرياضيات البحتة والتطبيقية ، ولا سيما تمكين المشفرين من بناء شفرات قوية. تخمين بيرش وسوينرتون-داير ، السؤال المركزي في هذا المجال ، لديه مكافأة قدرها مليون دولار على رأسه كواحدة من مشاكل جائزة الألفية لمعهد كلاي للرياضيات.
يعتمد العمل الجديد على مجموعة من الأدوات التي طورتها Bhargava على مدار العشرين عامًا الماضية ، جنبًا إلى جنب مع المتعاونين ، من أجل استكشاف الأسرة كاملة المنحنيات الناقصية. إن فهم مجموع مكعّبين يعني تحليل عائلة أصغر بكثير ، و "كلما كانت الأسرة أصغر ، كانت المشكلة أصعب" ، على حد قول بيتر سارناك من معهد الدراسات المتقدمة في برينستون.
وأضاف سارناك أن هذه العائلة بالذات بدت "بعيدة المنال". "كنت سأقول ،" هذا يبدو صعبًا جدًا ، صعبًا جدًا. "
مرحلة انتقالية
على عكس مجاميع الكسور المكعبة ، والتي تبدو وفيرة ، لا تكاد أي أعداد صحيحة هي مجموع كسرين تربيعين. بحلول أوائل القرن السابع عشر ، اكتشف عالما الرياضيات ألبرت جيرارد وبيير دي فيرمات اختبارًا بسيطًا لتحديد الأعداد الصحيحة التي هي مجموع مربعين: حلل الرقم إلى الأعداد الأولية ، ثم تحقق من الأس لكل عدد أولي يحتوي على باقي 1600 عندما تقسمها على 3. إذا كانت هذه الأسس كلها زوجية ، فإن الرقم هو مجموع كسرين تربيعين ؛ خلاف ذلك ، ليس كذلك. على سبيل المثال ، عوامل 4 في 4901 × 51 × 72. العامل الوحيد الذي يتبقى من 3 عند القسمة على 4 هو 7 ، و 7 له أس زوجي. لذلك ، 490 هو مجموع مربعين (بالنسبة للفضوليين ، فهو يساوي 72 + 212).
الغالبية العظمى من الأرقام تفشل في اختبار الأس الزوجي. إذا اخترت عددًا صحيحًا عشوائيًا ، فإن احتمال أن يكون مجموع كسرين تربيعين هو في الأساس صفر. يعتقد علماء الرياضيات أن الأمر نفسه ينطبق على مجاميع كسرين مرفوعين إلى القوة الرابعة ، أو القوة الخامسة ، أو أي قوة أعلى من ثلاثة. فقط بمجموع المكعبات توجد وفرة فجأة.
اعتاد علماء الرياضيات على أن تتصرف المعادلات التكعيبية بشكل مختلف عن سلوك جميع القوى الأخرى. من بين المعادلات المكونة من متغيرين (مثل معادلات مجموع المكعبين) ، تميل المعادلات التي يكون الأس الأعلى لها هو 1 أو 2 إلى أن تكون مفهومة جيدًا - عادةً ما يكون لها إما حلول منطقية أو عدد لا نهائي من الحلول ، وهي بشكل عام مباشرة إلى اقول أي. وفي الوقت نفسه ، فإن المعادلات التي يكون أعلى أس لها 4 أو أعلى لها بشكل عام فقط رش محدود من الحلول العقلانية.
على النقيض من ذلك ، يمكن أن تحتوي المعادلات التكعيبية على عدد محدود من الحلول ، عدد لا نهائي من الحلول أو لا شيء على الإطلاق. تمثل هذه المعادلات نوعًا من انتقال الطور بين الأس أدناه 3 وتلك أعلاه ، وتعرض ظواهر لم يتم رؤيتها مطلقًا في هذه الإعدادات الأخرى. قال مازور: "المكعبات مختلفة من جميع النواحي".
على عكس المعادلات ذات الأس الأقل ، يصعب فهم المكعبات بشكل مذهل. لا توجد طريقة شاملة لإيجاد أو حتى حساب الحلول المنطقية للمكعبات التي ثبت أنها تعمل دائمًا.
"حتى مع كل قوة الحوسبة التي نمتلكها ، إذا أعطيتني منحنى بيضاوي مع معاملات كبيرة جدًا ، فأنا لا أعرف بالضرورة عدد الحلول المنطقية التي يمتلكها ،" وي هو، وهو طالب سابق في Bhargava حاليا أستاذ زائر في معهد الدراسات المتقدمة.
في مسألة مجموع مكعبين ، يمكن أن تكون الكسور المعنية هائلة: فالعدد 2,803 ، على سبيل المثال ، هو مجموع كسرين مكعّبين يحتوي كل مقام على 40 خانة. قال بهارجافا ، وبمجرد أن ننظر إلى أعداد بالملايين ، فإن العديد من الكسور "ستتضمن أرقامًا أكثر مما يمكن أن تتسع له جميع الأوراق في هذا العالم."
مصفوفات رسم الخرائط
نظرًا لأن المنحنيات الإهليلجية غير قابلة للحكم ، يبحث منظرو الأعداد عن طرق لربطها بكائنات أكثر قابلية للتتبع. في شهر أبريل من هذا العام ، بينما كان Alpöge و Shnidman يقاتلان Covid ، قاما هم و Bhargava ببناء العمل الذي قام به الأخير سابقًا مع Ho واكتشفوا أنه كلما كانت معادلة مجموع المكعبات لها حلول منطقية ، فهناك طريقة لبناء 2 خاصة واحدة على الأقل مصفوفة × 2 × 2 × 2 - تناظرية رباعية الأبعاد لمصفوفة ثنائية الأبعاد أكثر شيوعًا. كتب الثلاثة: "لقد بدأنا في وضع خطة لحساب هذه المصفوفات 2 × 2 × 2 × 2".
للقيام بذلك ، اعتمد الفريق على مادتين تقليديتين تمت دراسة كل منهما لأكثر من قرن. أحدهما هو "هندسة الأرقام" ، والتي تتضمن كيفية حساب النقاط الشبكية داخل الأشكال الهندسية المختلفة. كان هذا الموضوع يتمتع بنهضة في مجال المنحنيات الناقصية على مدار العشرين عامًا الماضية ، ويرجع ذلك في جزء كبير منه إلى عمل Bhargava والمتعاونين معه.
التقنية الأخرى ، المعروفة باسم طريقة الدائرة ، نشأت في عمل عالم الرياضيات الهندي الأسطوري سرينيفاسا رامانوجان ومعاونه منذ فترة طويلة جي إتش هاردي في أوائل القرن العشرين. قال هو "هذا هو أول تطبيق رئيسي للجمع بين طريقة الدائرة وتقنيات هندسة الأرقام". "هذا الجزء رائع جدًا."
باستخدام هذه الطرق ، تمكن الثلاثي من إظهار أنه بالنسبة ل 1/6 على الأقل من جميع الأعداد الصحيحة ، لا توجد مصفوفة 2 × 2 × 2 × 2. هذا يعني أنه بالنسبة لهذه الأرقام ، لا تحتوي معادلة مجموع المكعبات على حلول منطقية. لذلك لا يمكن أن يكون مجموع الأعداد الصحيحة أكثر من 5/6 ، أو حوالي 83٪ ، هو مجموع مكعبات لكسرين.
في الاتجاه المعاكس ، وجدوا أن 5/12 على الأقل من جميع الأعداد الصحيحة لها مصفوفة واحدة مطابقة تمامًا. من المغري استنتاج أن هذه الأرقام هي مجموع مكعبين ، لكن هذا لا يتبع تلقائيًا. كل رقم يمثل مجموع مكعبين له مصفوفة ، لكن هذا لا يعني بالضرورة أن العكس صحيح: كل رقم به مصفوفة هو مجموع مكعبين.
احتاج Alpöge و Bhargava و Shnidman إلى ما يسميه باحثو المنحنى الإهليلجي نظرية معكوسة - شيء يأخذ معلومات حول معادلة تكعيبية ويستخدمها لبناء حلول منطقية. تشكل النظريات المعادية حقلاً فرعيًا مزدهرًا لنظرية المنحنيات الإهليلجية ، لذلك تحول الثلاثي إلى اثنين من الممارسين الخبراء في الحقل الفرعي - آشاي بورونجال من جامعة تكساس وأوستن وبرينستون. تمكن Burungale و Skinner من إظهار أنه ، على الأقل لبعض الوقت ، إذا كان عدد صحيح يحتوي على مصفوفة واحدة مرتبطة ، فيجب أن يكون هذا الرقم مجموع مكعبين منطقيين. تظهر نظريتهم ، التي تثبت بشكل أساسي جزءًا ذا صلة من تخمين بيرش وسوينرتون-داير ، في الورقة كملحق من ثلاث صفحات ، والذي يصفه سارناك بأنه رائع في حد ذاته.
لم يثبت Burungale و Skinner نظريتهما لكل عدد صحيح بمصفوفة واحدة بالضبط - كان عليهم أن يفرضوا شرطًا تقنيًا أدى إلى تقليص المجموعة الفرعية 5/12 إلى 2/21 ، أو حوالي 9.5٪ من جميع الأعداد الصحيحة. لكن بهارجافا متفائل بأن Burungale و Skinner ، أو باحثين آخرين في منطقتهم ، سيصلون إلى بقية 5/12 (حوالي 41٪ في المجموع) قبل وقت طويل. قال بهارجافا "تقنياتهم تزداد قوة باطراد".
إن إثبات التخمين الكامل - أن نصف جميع الأعداد الصحيحة بالضبط هي مجموع مكعبين - سيتطلب في النهاية معالجة مجموعة الأرقام التي تحتوي على أكثر من مصفوفة مرتبطة. هذه المجموعة ، التي يسميها Bhargava "ضبابية جدًا" ، تتضمن كلا من الأرقام التي تمثل مجموع مكعبين وأرقام ليست كذلك. وقال إن التعامل مع مثل هذه الأرقام يتطلب أفكارًا جديدة تمامًا.
في الوقت الحالي ، يسعد الباحثون بتوصلهم أخيرًا إلى حل مسألة نسبة كبيرة من الأعداد الصحيحة ، وهم حريصون على استكشاف التقنيات في الدليل بشكل أكبر. قال سارناك: "إنها واحدة من تلك الأشياء الجميلة: يمكنك شرح النتيجة بسهولة شديدة ، لكن الأدوات هي في طليعة نظرية الأعداد".
