علماء الرياضيات يلفون النرد ويحصلون على مقص ورق صخري

كما يروي بيل جيتس القصة ، تحديه وارن بافيت ذات مرة في لعبة النرد. سيختار كل واحد واحدًا من أربعة أحجار نرد تنتمي إلى بافيت ، ثم يتدحرجون ، مع فوز الرقم الأعلى. لم تكن هذه نردًا قياسيًا - كان لديهم تشكيلة مختلفة من الأرقام عن المعتاد من 1 إلى 6. عرض بافيت السماح لجيتس بالاختيار أولاً ، حتى يتمكن من اختيار أقوى يموت. لكن بعد أن فحص جيتس النرد ، أعاد اقتراحًا مضادًا: على بافيت أن يختار أولاً.

كان جيتس قد أدرك أن نرد بافيت أظهر خاصية غريبة: لم يكن أحد منهم هو الأقوى. إذا كان جيتس قد اختار أولاً ، فعندئذٍ أيًا كان اختياره ، لكان بافيت قادرًا على العثور على نرد آخر يمكنه التغلب عليه (أي ، شخص لديه فرصة أكثر من 50 ٪ للفوز).

نرد بافيت الأربعة (اتصل بهم A, B, C و D) شكّل نمطًا يذكرنا بمقص الورق الصخري ، والذي فيه A يدق B, B يدق C, C يدق D و D يدق A. يقول علماء الرياضيات أن مثل هذه المجموعة من النرد "لازمة".

قال: "ليس من البديهي على الإطلاق أن [النرد اللازم] يجب أن يكون موجودًا" بريان كونري، مدير المعهد الأمريكي للرياضيات (AIM) في سان خوسيه ، الذي كتب ورقة مؤثرة حول هذا الموضوع في عام 2013.

جاء علماء الرياضيات مع الأمثلة الأولى منذ أكثر من 50 عامًا ، وفي النهاية ثبت أنه عندما تفكر في النرد ذي الجوانب المتزايدة ، فمن الممكن إنشاء دورات لازمة من أي طول. ما لم يعرفه علماء الرياضيات حتى وقت قريب هو مدى شيوع النرد اللازم. هل يتعين عليك استنباط مثل هذه الأمثلة بعناية ، أم يمكنك اختيار النرد عشوائيًا والحصول على فرصة جيدة في العثور على مجموعة لازمة؟

النظر إلى ثلاث نرد ، إذا كنت تعرف ذلك A يدق B و B يدق C، يبدو أن هذا دليل على ذلك A هو الاقوى الحالات فيها C يدق A يجب أن تكون نادرة. وبالفعل ، إذا سُمح للأرقام الموجودة على الزهر بأن تُجمع إلى مجاميع مختلفة ، فإن علماء الرياضيات يعتقدون أن هذا الحدس صحيح.

ولكن أ تم نشر الورق على الإنترنت يُظهر أواخر العام الماضي أنه في بيئة طبيعية أخرى ، فشل هذا الحدس بشكل مذهل. افترض أنك تطلب أن يستخدم نردك فقط الأرقام التي تظهر على نرد عادي ولها نفس المجموع مثل النرد العادي. ثم أظهرت الورقة ، إذا A يدق B و B يدق C, A و C لديهم فرص متساوية في التغلب على بعضهم البعض.

"مع العلم أن A يدق B و B يدق C فقط لا يمنحك أي معلومات حول ما إذا كان A يدق C،" قال تيموثي جاورز من جامعة كامبريدج ، الحاصل على ميدالية فيلدز وأحد المساهمين في النتيجة الجديدة ، والتي تم إثباتها من خلال تعاون مفتوح عبر الإنترنت يُعرف باسم مشروع Polymath.

وفي الوقت نفسه ، آخر ورقة الزوار يحلل مجموعات من أربعة أحجار نرد أو أكثر. يمكن القول إن هذا الاكتشاف أكثر تناقضًا: إذا اخترت ، على سبيل المثال ، أربعة أحجار نرد عشوائيًا ووجدت ذلك A يدق B, B يدق C و C يدق D، ثم قليلا الأكثر من ذلك على الأرجح D للفوز A من العكس.

لا قوي ولا ضعيف

بدأت سلسلة النتائج الأخيرة منذ حوالي عقد من الزمان ، بعد أن حضرت كونري تجمعًا لمدرسي الرياضيات مع جلسة تناولت النرد اللازم. قال: "لم يكن لدي أي فكرة عن وجود مثل هذه الأشياء". "لقد فتنت بهم نوعًا ما."

قرر (انضم لاحقًا زميله كينت موريسون في AIM) لاستكشاف الموضوع مع ثلاثة طلاب بالمدرسة الثانوية كان يوجههم - جيمس جابارد وكاتي جرانت وأندرو ليو. وتساءلت المجموعة عن عدد المرات التي ستشكل فيها النردات المختارة عشوائيًا دورة لازمة؟

يُعتقد أن مجموعات النرد اللازمتية نادرة إذا كانت أرقام وجه النرد تصل إلى مجاميع مختلفة ، حيث من المرجح أن يتفوق النرد ذو الإجمالي الأعلى على الآخرين. لذلك قرر الفريق التركيز على النرد الذي له خاصيتان: أولاً ، يستخدم الزهر نفس الأرقام المستخدمة في النرد القياسي - من 1 إلى n، في حالة وجود nالموت من جانب واحد. وثانيًا ، تضيف أرقام الوجوه نفس المجموع كما في النرد القياسي. ولكن على عكس النرد القياسي ، قد يكرر كل نرد بعض الأرقام ويتجاهل البعض الآخر.

في حالة النرد سداسي الجوانب ، لا يوجد سوى 32 نردًا مختلفًا له هاتين الخاصيتين. لذلك بمساعدة جهاز كمبيوتر ، يمكن للفريق تحديد جميع العناصر الثلاثية التي فيها A يدق B و B يدق C. وجد الباحثون ، لدهشتهم ، ذلك A يدق C في 1,756،XNUMX ثلاثة أضعاف و C يدق A في 1,731 ثلاثة أضعاف - أرقام متطابقة تقريبًا. بناءً على هذا الحساب ومحاكاة النرد بأكثر من ستة جوانب ، توقع الفريق أنه كلما اقترب عدد الجوانب على النرد من اللانهاية ، فإن الاحتمال A يدق C يقترب من 50٪.

هذا التخمين ، بمزيج من سهولة الوصول والفوارق الدقيقة ، ضرب كونري كعلف جيد لمشروع Polymath ، حيث يجتمع العديد من علماء الرياضيات معًا عبر الإنترنت لمشاركة الأفكار. في منتصف عام 2017 ، اقترح الفكرة على جاورز ، مبتكر نهج بولي ماث. قال جاورز: "لقد أحببت السؤال كثيرًا ، نظرًا لقيمته المفاجئة". كتب أ بلوق وظيفة حول التخمين الذي أثار موجة من التعليقات ، وعلى مدار ست منشورات إضافية ، نجح المعلقون في إثبات ذلك.

في ورقتهم ، نشرت على الانترنت في أواخر تشرين الثاني (نوفمبر) 2022 ، يتضمن جزء أساسي من الإثبات إظهار أنه ، في معظم الأحيان ، ليس من المنطقي التحدث عما إذا كان نرد واحد قويًا أم ضعيفًا. نرد بافيت ، الذي لا يعتبر أي منها هو الأقوى في المجموعة ، ليس بالأمر غير المعتاد: إذا اخترت نردًا عشوائيًا ، كما أظهر مشروع Polymath ، فمن المحتمل أن يتغلب على نصف النرد الآخر ويخسر في النصف الآخر. قال جاورز: "إن كل حالة وفاة تقريبًا متوسطة إلى حد ما".

اختلف المشروع عن النموذج الأصلي لفريق AIM في جانب واحد: لتبسيط بعض الجوانب الفنية ، أعلن المشروع أن ترتيب الأرقام في قالب مهم - لذلك ، على سبيل المثال ، سيتم اعتبار 122556 و 152562 نردين مختلفين. قال جاورز إن نتيجة Polymath ، جنبًا إلى جنب مع الدليل التجريبي لفريق AIM ، تخلق افتراضًا قويًا بأن التخمين صحيح أيضًا في النموذج الأصلي.

قال كونري: "لقد كنت سعيدًا للغاية لأنهم توصلوا إلى هذا الدليل".

عندما يتعلق الأمر بمجموعات من أربعة أحجار نرد أو أكثر ، توقع فريق AIM سلوكًا مشابهًا لسلوك ثلاثة أحجار نرد: على سبيل المثال ، إذا A يدق B, B يدق C و C يدق D إذًا يجب أن يكون هناك احتمال بنسبة 50-50 تقريبًا D يدق A، تقترب بالضبط من 50-50 حيث يقترب عدد الجوانب على النرد من اللانهاية.

لاختبار التخمين ، قام الباحثون بمحاكاة بطولات وجهاً لوجه لمجموعات من أربعة أحجار نرد مع 50 و 100 و 150 و 200 جانب. لم تمتثل عمليات المحاكاة لتوقعاتهم تمامًا كما في حالة النرد الثلاثة ، لكنها كانت لا تزال قريبة بما يكفي لتعزيز إيمانهم بالتخمين. لكن على الرغم من أن الباحثين لم يدركوا ذلك ، فإن هذه التناقضات الصغيرة حملت رسالة مختلفة: بالنسبة للمجموعات المكونة من أربعة أحجار نرد أو أكثر ، فإن تخمينهم خاطئ.

قال كونري: "أردنا حقًا أن يكون التخمين صحيحًا ، لأن ذلك سيكون رائعًا".

في حالة النرد الأربعة ، إليزابيتا كورناشيا من المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا لوزان و جان هوزا من المعهد الأفريقي للعلوم الرياضية في كيغالي ، رواندا ، في أ ورقة تم نشره على الإنترنت في أواخر عام 2020 إذا كان A يدق B, B يدق C و C يدق D، ثم D لديه فرصة للضرب أفضل بقليل من 50٪ A - ربما في مكان ما حوالي 52٪ ، قال Hązła. (كما هو الحال مع ورقة Polymath ، استخدم Cornacchia و Hązła نموذجًا مختلفًا قليلاً عن ورقة AIM.)

ينبثق اكتشاف كورناشيا وهوزوا من حقيقة أنه على الرغم من أن النرد الفردي ، كقاعدة عامة ، لن يكون قويًا ولا ضعيفًا ، إلا أنه في بعض الأحيان يمكن أن يكون لزوج النرد مناطق قوة مشتركة. إذا اخترت نردتين بشكل عشوائي ، كما أظهر Cornacchia و Hązła ، فهناك احتمال جيد بأن النرد سيكون مترابطًا: سيميلان إلى الفوز أو الخسارة بنفس الزهر. قال هوزا: "إذا طلبت منك أن تصنع حجري نرد قريبين من بعضهما البعض ، اتضح أن هذا ممكن". تعمل هذه الجيوب الصغيرة من الارتباط على دفع نتائج الدورات بعيدًا عن التناظر بمجرد وجود أربعة أحجار نرد على الأقل في الصورة.

الصحف الأخيرة ليست نهاية القصة. بدأت ورقة Cornacchia و Hązła بالكشف بدقة عن كيفية اختلال التوازن بين النرد وتماثل الدورات. في غضون ذلك ، على الرغم من ذلك ، نعلم الآن أن هناك الكثير من مجموعات النرد اللازمية - ربما حتى واحدة خفية بما يكفي لخداع بيل جيتس ليختار أولاً.