تصادم نظرية الأعداد والاحتمالية - في لحظة

كانت طموحاتهم عالية دائمًا. عندما بدأ ويل ساوين وميلاني ماتشيت وود العمل معًا لأول مرة في صيف عام 2020 ، شرعوا في إعادة التفكير في المكونات الرئيسية لبعض التخمينات الأكثر إثارة في نظرية الأعداد. مواضيع اهتمامهم ، مجموعات الفصل ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأسئلة الأساسية حول كيفية عمل الحساب عندما تمتد الأرقام إلى ما بعد الأعداد الصحيحة. رأى في، في جامعة كولومبيا ، و خشبأراد ، في جامعة هارفارد ، إجراء تنبؤات حول الهياكل الأكثر عمومية وتخويفًا من الناحية الرياضية من مجموعة الفصل.

حتى قبل أن ينتهوا من صياغة توقعاتهم ، أثبتوا في أكتوبر أن نتيجة جديدة يتيح ذلك لعلماء الرياضيات تطبيق واحدة من أكثر الأدوات المفيدة لنظرية الاحتمالات ليس فقط على مجموعات الفئات ، ولكن أيضًا على مجموعات من الأرقام والشبكات والعديد من الكائنات الرياضية الأخرى.

قال "هذه ستكون الورقة التأسيسية التي يلجأ إليها الجميع عندما يبدأون في التفكير في هذه المشاكل" ديفيد زوريك براون، عالم رياضيات في جامعة إيموري. "لم يعد عليك ابتكار الأشياء عن طريق الصفر بعد الآن."

قانون فئة

مجموعة الفصل هي مثال على مجموعة رياضية منظمة تسمى المجموعة. تتضمن المجموعات العديد من المجموعات المألوفة ، مثل الأعداد الصحيحة. ما يجعل الأعداد الصحيحة مجموعة ، وليس مجرد مجموعة من الأرقام ، هو أنه يمكنك جمع عناصرها معًا والحصول على عدد صحيح آخر. بشكل عام ، المجموعة هي مجموعة إذا كانت تأتي مع بعض العمليات التي ، مثل الإضافة ، تجمع بين عنصرين في عنصر ثالث بطريقة تلبي بعض المتطلبات الأساسية. على سبيل المثال ، يجب أن يكون هناك إصدار من الصفر ، وهو عنصر لا يغير أيًا من العناصر الأخرى.

الأعداد الصحيحة ، التي يسميها علماء الرياضيات عادةً $ latex mathbb {Z} $ ، لا نهائية. لكن الكثير من المجموعات لها عدد محدود من العناصر. على سبيل المثال ، لإنشاء مجموعة بها أربعة عناصر ، ضع في اعتبارك المجموعة {0 ، 1 ، 2 ، 3}. بدلًا من الجمع المنتظم ، اقسم مجموع أي رقمين على 4 وخذ الباقي. (بموجب هذه القواعد ، 2 + 2 = 0 ، و 2 + 3 = 1.) تسمى هذه المجموعة $ latex mathbb {Z} / 4mathbb {Z} $.

بشكل عام ، إذا كنت ترغب في تكوين مجموعة تحتوي على عناصر $ latex n $ ، فيمكنك أخذ الأرقام من الصفر n - 1 واعتبر الباقي عند القسمة على n. تسمى المجموعة الناتجة $ latex mathbb {Z} / nmathbb {Z} $ ، على الرغم من أن هذه ليست دائمًا المجموعة الوحيدة التي تحتوي على n العناصر.

تظهر مجموعة الفصل عندما يبحث منظرو الأعداد في بنية الأعداد التي تتجاوز الأعداد الصحيحة. للقيام بذلك ، يضيفون أرقامًا جديدة إلى الأعداد الصحيحة ، مثل i (الجذر التربيعي لـ −1) أو $ latex sqrt {5} $ أو حتى $ latex sqrt {–5} $.

"الأشياء التي اعتدنا عليها فيما يتعلق بالأرقام لم تعد صحيحة في هذا السياق. أو على الأقل ، ليست بالضرورة صحيحة " الأردن إلينبيرغ، عالم رياضيات في جامعة ويسكونسن ماديسون.

على وجه التحديد ، يعمل التحليل بشكل مختلف في امتدادات الأعداد الصحيحة. إذا التزمت بالأعداد الصحيحة فقط ، فيمكن تحليل الأرقام إلى أعداد أولية (أرقام لا يمكن تقسيمها إلا على نفسها و 1) بطريقة واحدة فقط. على سبيل المثال ، 6 هي 2 × 3 ، ولا يمكن تحليلها في أعداد أولية أخرى. هذه الخاصية تسمى العوامل الفريدة.

ولكن إذا أضفت $ latex sqrt {–5} $ إلى نظام الأرقام الخاص بك ، فلن يكون لديك عامل فريد بعد الآن. يمكنك تحليل العدد 6 إلى الأعداد الأولية بطريقتين مختلفتين. لا يزال 2 × 3 ، ولكنه أيضًا $ latex (1 + sqrt {–5}) $ × $ latex (1 - sqrt {–5}) $.

يتم إنشاء مجموعات الفصل من هذه الامتدادات إلى الأعداد الصحيحة. قال وود: "المجموعات الطبقية مهمة للغاية". "ومن الطبيعي أن نتساءل: ما الذي يعجبهم عادةً؟"

حجم مجموعة الفئة المرتبطة بأي امتداد للأعداد الصحيحة هو مقياس لمقدار تفكك العوامل الفريدة. على الرغم من أن علماء الرياضيات أثبتوا أن المجموعات الطبقية محدودة دائمًا ، إلا أن اكتشاف هيكلها وحجمها أمر معقد. لهذا السبب في عام 1984 ، هنري كوهين وهندريك لينسترا غامر ببعض التخمينات. تخميناتهم ، التي تسمى الآن استدلال كوهين لينسترا ، تهتم بجميع المجموعات الطبقية التي تظهر عند إضافة جذور تربيعية جديدة إلى الأعداد الصحيحة. إذا تم تجميع كل مجموعات الفصل هذه معًا ، اقترح كوهين ولينسترا إجابات لأسئلة مثل: ما نسبة هذه المجموعات التي تحتوي على المجموعة $ latex mathbb {Z} / 3mathbb {Z} $؟ أو $ latex mathbb {Z} / 7mathbb {Z} $؟ أو نوع آخر معروف من المجموعة المحدودة؟

قام كوهين ولينسترا بدفع منظري الأعداد إلى النظر ليس فقط في الأمثلة المعزولة لمجموعات الفصل ، ولكن الإحصائيات التي تكمن وراء المجموعات الصفية ككل. تنبأت تنبؤاتهم برؤية الرياضيات ككون مع أنماط يمكن الكشف عنها على كل المستويات.

بعد ما يقرب من 40 عامًا ، يُعتقد على نطاق واسع أن استدلال كوهين لينسترا صحيح ، على الرغم من عدم اقتراب أحد من إثباتها. قال نايجل بوسطن ، الأستاذ الفخري في جامعة ويسكونسن ، ماديسون ، إن تأثيرهم على الرياضيات كان واضحًا. قال "ما تم اكتشافه هو هذه الشبكة الرائعة". "هناك بنية تحتية ضخمة للطريقة التي نعتقد أن العالم قد تم تجميعه".

اللعبة الوحيدة في المدينة

غير قادر على معالجة الاستدلال بشكل مباشر ، توصل علماء الرياضيات إلى مشاكل أكثر قابلية للتتبع يأملون في إلقاء الضوء على الموقف. من هذا العمل ، ظهرت مجموعة مفيدة من الكميات بدأ علماء الرياضيات في استدعاء اللحظات ، بعد مصطلح مستخدم في نظرية الاحتمالات.

على الأرجح ، يمكن أن تساعدك اللحظات في حساب التوزيعات وراء الأرقام العشوائية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك توزيع درجة الحرارة اليومية المرتفعة في الأول من كانون الثاني (يناير) في مدينة نيويورك - الاحتمالات أنه في الأول من كانون الثاني (يناير) من العام المقبل ، ستكون 1 درجات فهرنهايت ، أو 1 درجة ، أو 10 أو 40. كل ما عليك العمل عليه مع بيانات سابقة: تاريخ أعلى مستوى يومي له في 70 يناير من كل عام منذ بداية التاريخ المسجل.

إذا قمت بحساب متوسط ​​درجات الحرارة هذه ، فسوف تتعلم القليل ، لكن ليس كل شيء. لا يخبرك متوسط ​​درجة الحرارة المرتفعة البالغة 40 درجة باحتمال أن تكون درجة الحرارة أعلى من 50 درجة أو أقل من 20.

لكن هذا يتغير إذا تم تزويدك بمزيد من المعلومات. على وجه التحديد ، قد تتعلم متوسط ​​مربع درجة الحرارة ، وهي كمية تُعرف باسم اللحظة الثانية للتوزيع. (المتوسط ​​هو اللحظة الأولى). أو قد تتعلم متوسط ​​المكعبات ، والذي يُعرف باسم العزم الثالث ، أو متوسط ​​القوى الرابعة - اللحظة الرابعة.

بحلول العشرينيات من القرن الماضي ، اكتشف علماء الرياضيات أنه إذا كانت اللحظات في هذه السلسلة تنمو ببطء كافٍ ، فإن معرفة كل اللحظات تتيح لك استنتاج أن توزيعًا واحدًا ممكنًا له تلك اللحظات. (على الرغم من أن هذا لا يسمح لك بالضرورة بحساب هذا التوزيع مباشرة).

قال وود: "هذا غير بديهي حقًا". "إذا فكرت في التوزيع المستمر ، فسيكون له بعض الشكل. يبدو الأمر وكأنه يحتوي على أكثر مما يمكن التقاطه في سلسلة من الأرقام ".

اكتشف علماء الرياضيات المهتمون باستدلال كوهين لينسترا أنه ، تمامًا كما يمكن استخدام اللحظات في نظرية الاحتمالات للحصول على توزيع احتمالي ، يمكن أن تكون اللحظات المحددة بطريقة معينة لمجموعات الفصل بمثابة عدسة يمكننا من خلالها رؤية حجمها وبنيتها. . قال جاكوب تسيمرمان ، عالم الرياضيات بجامعة تورنتو ، إنه لا يستطيع أن يتخيل كيف يمكن حساب توزيع أحجام مجموعات الفصل بشكل مباشر. وقال إن استخدام اللحظات "أكثر من أسهل. إنها اللعبة الوحيدة في المدينة ".

هذه اللحظة السحرية

بينما ترتبط كل لحظة في الاحتمال بعدد صحيح - القوة الثالثة ، القوة الرابعة ، وما إلى ذلك - فإن الكميات الجديدة التي قدمها منظرو الأرقام تتوافق مع مجموعة. تعتمد هذه اللحظات الجديدة على حقيقة أنه يمكنك في كثير من الأحيان تقليص مجموعة إلى مجموعة أصغر من خلال طي العناصر المختلفة معًا.

لحساب اللحظة المرتبطة بالمجموعة G، خذ كل مجموعات الفئات الممكنة - واحدة لكل جذر تربيعي جديد تضيفه إلى الأعداد الصحيحة. لكل مجموعة صفية ، احسب عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها طيها G. ثم خذ متوسط ​​هذه الأرقام. قد تبدو هذه العملية معقدة ، لكن العمل بها أسهل بكثير من التوزيع الفعلي وراء تنبؤات كوهين ولينسترا. على الرغم من تعقيد استدلالات كوهين لينسترا نفسها ، إلا أن لحظات التوزيع التي يتوقعونها هي كلها 1.

قالت إيلينبيرج: "هذا يجعلك تفكر ، يا للروعة ، ربما تكون اللحظات هي الطريقة الطبيعية للتعامل معها". "يبدو أنه يمكن تصديق أن تكون قادرًا على إثبات أن شيئًا ما يساوي 1 بدلاً من إثبات أنه يساوي منتجًا لا نهائيًا مجنونًا."

عندما يدرس علماء الرياضيات التوزيعات على المجموعات ، (مجموعات الفصل أو غير ذلك) ينتهي بهم الأمر بمعادلة لكل مجموعة G، حيث تمثل الاحتمالات الآن ، على سبيل المثال ، نسبة مجموعات الفئات التي تبدو مثل $ latex mathbb {Z} / 3mathbb {Z} $. مع وجود عدد لا نهائي من المعادلات ، وعدد لا نهائي من مجموعات الفئات الممكنة ، من الصعب حل الاحتمالات. ليس من الواضح أنه من المنطقي القيام بذلك.

قال وود: "عندما يكون لديك مبالغ لا نهائية ، يمكن أن تسوء الأمور".

ومع ذلك ، استمر علماء الرياضيات ، الذين ما زالوا غير قادرين على إيجاد مسارات أخرى لدراسة التوزيعات ، في العودة إلى مشكلة اللحظة. في العمل المنشور في حوليات الرياضيات في عام 2016 ، إلينبرغ ، مع أكشاي فينكاتيش وكريغ ويسترلاند ، لحظات مستخدمة لدراسة إحصائيات مجموعات الفصل في بيئة مختلفة قليلاً عما اعتبره كوهين ولينسترا. كانت هذه الفكرة إعادة استخدامها عدة مرات. لكن في كل مرة استخدم الباحثون اللحظات ، كانوا يعتمدون على المراوغات في مشكلتهم الخاصة لإثبات أن مجموعة المعادلات اللانهائية لها حل. هذا يعني أن تقنياتهم لم تكن قابلة للتحويل. سيتعين على عالم الرياضيات التالي الذي احتاج إلى استخدام اللحظات أن يحل مشكلة اللحظة مرة أخرى.

في بداية تعاونهما ، خطط Sawin و Wood أيضًا للذهاب إلى هذا الطريق. كانوا يستخدمون اللحظات لعمل تنبؤات حول كيفية توزيع الإصدارات الأكثر تعقيدًا من مجموعات الفصل. لكن بعد مرور عام تقريبًا على مشروعهم ، حولوا تركيزهم إلى مشكلة اللحظة نفسها.

الانشقاق

يصف زملاؤه Sawin و Wood بأنهما شغوفان بشكل غير عادي بعملهما. "كلاهما ذكي للغاية. قال زوريك براون "هناك الكثير من الأشخاص الأذكياء". "لديهم هذا الموقف الإيجابي تجاه ممارسة الرياضيات."

في البداية ، أراد Sawin and Wood استخدام اللحظات لتوسيع تنبؤات Cohen-Lenstra إلى إعدادات جديدة. لكنهم سرعان ما أصبحوا غير راضين عن حجة مشكلتهم اللحظية. يتذكر ساوين: "كان علينا أن نكتب حججًا مماثلة مرارًا وتكرارًا". علاوة على ذلك ، أضاف ، اللغة الرياضية التي كانوا يستخدمونها "لا يبدو أنها تدخل في صميم ما تفعله الحجة ... كانت الأفكار موجودة ، لكننا لم نجد الطريقة الصحيحة للتعبير عنها."

بحث Sawin و Wood بشكل أعمق في برهانهما ، في محاولة لمعرفة ما هو حقًا وراء كل ذلك. انتهى بهم الأمر بإثبات حل مشكلة اللحظة ليس فقط لتطبيقهم المحدد ، ولكن لأي توزيع للمجموعات - ولكل أنواع الهياكل الرياضية الأخرى.

قاموا بتقسيم المشكلة إلى خطوات صغيرة يمكن التحكم فيها. بدلاً من محاولة حل التوزيع الاحتمالي بالكامل دفعة واحدة ، ركزوا على جزء صغير فقط من اللحظات.

على سبيل المثال ، لحل مشكلة اللحظة لتوزيع الاحتمالات على المجموعات ، كل لحظة سترتبط بمجموعة G. في البداية ، كان Sawin و Wood ينظران إلى نظام المعادلات الذي يتضمن فقط لحظات قائمة محدودة من المجموعات. ثم يضيفون مجموعات إلى القائمة ببطء ، وينظرون إلى المزيد والمزيد من اللحظات في كل مرة. من خلال جعل المشكلة أكثر تعقيدًا بشكل تدريجي ، جعلوا كل خطوة في مشكلة قابلة للحل. شيئًا فشيئًا ، قاموا ببناء حل كامل لمشكلة اللحظة.

أوضح وود: "هذه القائمة الثابتة تشبه نوعًا ما النظارات التي ترتديها ، وكلما زاد عدد المجموعات التي ترغب في التفكير فيها ، كانت نظارتك أفضل".

عندما قاموا أخيرًا بإزالة الغبار عن آخر التفاصيل الدخيلة ، وجدوا أنفسهم في حجة وصلت محلاقاتها عبر الرياضيات. نجحت نتيجتهم في مجموعات الفصل ، والمجموعات المرتبطة بالأشكال الهندسية ، وشبكات النقاط والخطوط ، بالإضافة إلى مجموعات أخرى ذات تعقيد رياضي أكبر. في كل هذه المواقف ، وجد Sawin and Wood صيغة تأخذ مجموعة من اللحظات وتبث التوزيع الذي يتضمن تلك اللحظات (طالما أن اللحظات لا تنمو بسرعة كبيرة ، من بين متطلبات أخرى).

قالت إيلينبيرج: "إنها تشبه إلى حد كبير أسلوب ميلاني". "لنكون مثل ،" دعنا نثبت نظرية عامة جدًا تعالج الكثير من الحالات المختلفة نوعًا ما بشكل موحد وأنيق. "

يعمل Sawin و Wood الآن على العودة إلى هدفهما الأصلي. في أوائل يناير ، شاركا ورقة جديدة هذا يصحح توقعات كوهين لينسترا الخاطئة صنع في أواخر الثمانينيات من قبل كوهين وزميله جاك مارتينيت. علاوة على ذلك ، لا يزال لديهم المزيد من النتائج في قائمة الانتظار الخاصة بهم ، مع خطط لتوسيع نطاق الاستدلال إلى المزيد من المواقف الجديدة. قال ساوين: "لا أعرف ما إذا كان هذا المشروع سينتهي في يوم من الأيام".

قال Tsimerman إن مشكلة اللحظة التي حلها Sawin and Wood كانت "نوعًا من الشوكة في مؤخرة رأسك للعديد من الأسئلة المختلفة". "أعتقد أن الكثير من علماء الرياضيات سيتنفسون الصعداء."