الأهداف و مجموعة الألغاز الأخيرة تميزت بمقياس التوازن المزدوج المتواضع ، والذي كان تاريخيًا رمزًا للتجارة والحكومة والفن والعلوم. المقاييس المتوازنة شائعة أيضًا في الرياضيات الترفيهية. تتطلب ألغاز التوازن تفكيرًا منطقيًا واضحًا وتناسب التعميم الرياضي جيدًا. دعونا نرى كيف كوانتا وازن القراء هذه الصفات في الألغاز أدناه.
لغز 1
لديك ثماني عملات متطابقة المظهر. أحدهما مزيف وأخف وزناً من الآخر الذي له نفس الأوزان. ابحث عن العملة الرديئة بوزنتين. ابحث عن الصيغة العامة للحد الأقصى لعدد العملات التي يمكنك العثور على العملة المزيفة بها x أوزان.
غالبًا ما يكشف التعامل مع نسخة بسيطة من المشكلة عن مفتاح الحل. في هذه الحالة ، تخيل أن لديك ثلاث عملات فقط ، واحدة أخف من الاثنتين الأخريين. إذا وزنت أيًا منهم مقابل أحد الاثنين الآخرين ، فإما أن يتوازنوا أو لا يفعلوا. إذا لم يفعلوا ذلك ، فأنت تعرف أيهما أخف. إذا قاموا بالتوازن ، فإن الثالث هو الخفيف. ما عليك سوى وزن واحد.
لذا في هذا اللغز ، إذا كان بإمكانك عزل مجموعة من ثلاثة (أو أقل) تحتوي على العملة الخفيفة في الوزن الأول ، فستحتاج فقط إلى وزن واحد آخر. يمكنك القيام بذلك عن طريق موازنة أي ثلاثة مقابل أي ثلاثة أخرى. إذا كانت المجموعتان غير متوازنتين ، فقد وجدت المجموعة التي تحتوي على المجموعة الخفيفة ويمكنك المضي قدمًا على النحو الوارد أعلاه في عملية الوزن الثانية. إذا توازنا ، فقم فقط بوزن القطعتين المتبقيتين مقابل بعضهما البعض ، وستجد القطعة الخفيفة.
لاحظ أن هذا يعمل أيضًا إذا كان هناك ثلاثة في المجموعة غير الموزونة ، لذلك كان من الممكن أن نبدأ بتسع عملات معدنية. باتباع هذا المنطق ، وبدءًا من ثلاث عملات معدنية ، لكل وزن إضافي ، يمكننا العثور على العملة الخفيفة بثلاثة أضعاف عدد العملات التي كانت لدينا سابقًا. الصيغة تعطينا أقصى عدد من العملات المعدنية n in w وبالتالي فإن أوزانها n = 3w.
لغز 2
لديك 12 قطعة نقدية متطابقة المظهر. إحداها إما أثقل أو أخف من الأخرى التي لها أوزان متطابقة.
-
ابحث عن العملة الرديئة بثلاثة أوزان.
-
ما هو الحد الأقصى لعدد العملات المعدنية التي يمكنك إيجاد العملة السيئة من أجلها في أربعة أوزان؟ صف كيف ستجد العملة المزيفة.
تم وصف حل هذا اللغز جيدًا بواسطة نشر لتجفيفه، الذي أظهر أيضًا أنه يمكنك بالفعل اكتشاف العملة الرديئة من بين 13 قطعة نقدية في ثلاثة أوزان. إليك حل تيد (مع المسافات البادئة لفصل الأوزان الثلاثة في كل حالة):
ابدأ بوزن 4 عملات مقابل 4 عملات.
الحالة 1: إذا كان غير متوازن ، ضع 2 من الجانب الأثقل على كلا جانبي الميزان مع 1 لكل جانب أخف.
1 أ: إذا كانت العملة غير متوازنة ، فإن العملة الرديئة هي إما العملات المعدنية 2 على الجانب الثقيل أو العملة الفردية لا تزال على الجانب الخفيف.
قم بوزن عملتين ثقيلتين محتملتين ، فالعملة السيئة هي إما أثقل من الاثنين ، أو واحدة خفيفة إذا كانت متوازنة.
1 ب: إذا كان الوزن الثاني متوازنًا ، فإن العملة الرديئة هي واحدة من 2 غير مستخدمة من الجانب الأخف للوزن الأول.
زنهم ضد بعضهم البعض ، فالأخف سيء.
الحالة 2: إذا كانت متوازنة ، فإن العملة الرديئة هي واحدة من الخمسة المتبقية. قم بوزن 5 من هؤلاء مقابل أي 3 تم وزنهم بالفعل (من المعروف [أنها] جيدة).
الحالة 2 أ: إذا كانت غير متوازنة ، فأنت تعلم أن العملة الرديئة هي واحدة من هؤلاء الثلاثة وما إذا كانت خفيفة أو ثقيلة.
الميزان الثالث هو أي 2 من تلك العملات مقابل بعضهما البعض - إذا كان غير متوازن ، فهذا يحدد العملة الرديئة ، إذا كانت متوازنة فهي الأخيرة من الثلاثة.
الحالة 2 ب: إذا كان الوزن الثاني متوازنًا ، فإن العملة الرديئة هي واحدة من العملات 2 المتبقية.
قم بوزن أي منهما مقابل عملة جيدة معروفة. إذا كانت هذه النتيجة غير متوازنة ، فهذه العملة الجديدة سيئة وأنت تعرف ما إذا كانت ثقيلة أم خفيفة. إذا كانت هذه النتيجة متوازنة ، فإن العملة رقم 13 سيئة ، لكن من غير المعروف ما إذا كانت ثقيلة أم خفيفة (وهو ما لا نحتاج إلى معرفته ، لذلك انتهينا).
نشر لتجفيفه أوضح أيضًا أن الحد الأقصى لعدد العملات المعدنية لأربعة أوزان هو 40. صيغة هذا اللغز هي: n = (3w - 1) / 2.
بالنسبة إلى الألغاز المتبقية ، لا تزال الصيغ المعممة قيد التحقيق من قبل علماء الرياضيات المحترفين وهي موضوع الأوراق المنشورة ، والتي تم الاستشهاد ببعض منها بواسطة راينر من الربيع. سأقتصر على حلول للأعداد الصغيرة من العملات المعدنية التي نأخذها في الاعتبار في الألغاز وسأذكر فقط التعميمات التي تتبع بشكل طبيعي من الأساليب المستخدمة في هذه الحالات.
لغز 3
هذا شكل من أشكال اللغز 1. لديك مرة أخرى ثماني عملات متطابقة المظهر ، إحداها أخف من العملات الأخرى. ومع ذلك ، لديك الآن ثلاثة مقاييس. يعمل اثنان من المقاييس ، لكن الثالث مكسور ويعطي نتائج عشوائية (أحيانًا يكون صحيحًا وأحيانًا خاطئ). أنت لا تعرف المقياس الذي تم كسره. كم عدد الأوزان المطلوبة للعثور على العملة المعدنية الخفيفة؟
كما رأينا في المشكلة 1 ، هذا يتطلب وزنين فقط مع توازن جيد. نحن نعلم أيضًا أن الميزان الجيدان سيتفقان دائمًا ، لذلك إذا كررنا فقط وزن كل منهما على الأرصدة الثلاثة ، فسنحصل على الإجابة في ستة أوزان كما اقترح أحد القراء. إذا حاولنا القيام بذلك في عدد أقل من الأوزان ، فسيصبح الأمر صعبًا بعض الشيء. لا يمكننا تحديد مقياس جيد بمجرد وزن نفس العملات على مقياسين ، لأنه حتى لو اتفقا ، فقد يظل أي منهما مقياسًا سيئًا. (يُظهر هذا أيضًا مدى سهولة المعلومات الخاطئة أو المعلومات العشوائية في تشويش الحقيقة).
في الواقع ، يمكن حل هذه المشكلة ، بذكاء شديد ، في أربعة أوزان فقط! راينر من الربيع نشر الحل باستخدام تدوين جديد يبدو أنه قد تم إنشاؤه لهذا اللغز. لكن قبل أن تذهب إلى هناك ، أريدك أن تتخيل سيناريو أتمنى أن يجعل الأمور أكثر سهولة.
تخيل أنك محقق يحقق في حادث اصطدام وفرار في دولة صغيرة تحتوي سياراتها على لوحات ترخيص مكونة من رقمين باستخدام الأرقام 0 و 1 و 2. فقط ، لاحظ ثلاثة أشخاص ، A و B و C ، الحادث. يجيب اثنان منهم دائمًا على سؤال من ثلاثة خيارات بشكل صحيح ، ويعطي الآخر إجابات عشوائية تمامًا. أنت لا تعرف من هو المجيب العشوائي. عليك أن تسأل كل منهم سؤالًا واحدًا من ثلاثة اختيارات ثم تختار الشخص الذي يقول الحقيقة بالتأكيد للحصول على مزيد من المعلومات.
إليك كيف تفعل ذلك. اسأل A إذا كان الرقم الأول هو 0 أو 1 أو 2. لنفترض أن A يقول 2. اسأل B إذا كان الرقم الثاني هو 0 أو 1 أو 2. دعنا نقول B 1. ثم اطلب من C الاختيار بين هذه العبارات الثلاثة:
- فقط (أ) يقول الحقيقة.
- فقط ب يقول الحقيقة.
- كلاهما يقول الحقيقة.
يمكنك أن تصدق الشخص الذي يخبرك به C ويسأله عن الرقم الآخر. لمعرفة السبب ، ضع في اعتبارك أنه إذا كان A يكذب ، فإن C موثوق بها وستقول أن B تقول الحقيقة. سيكون الرقم الثاني في الواقع 1 ويمكنك بعد ذلك سؤال B عن الرقم الأول. وبالمثل ، إذا كان B يكذب ، فعندئذٍ يكون C موثوقًا مرة أخرى وسيقول أن A يقول الحقيقة. ثم يكون الرقم الأول في الواقع 2 ويمكنك سؤال "أ" عن الرقم الثاني. أخيرًا ، إذا كانت C تكذب ، فعندئذٍ يكون كل من A و B موثوقًا به ، لذلك لا يزال بإمكانك تصديق واختيار من يقول لك C. (وإذا قالت C أن كلا من A و B يقولان الحقيقة ، فيجب أن يكونا كذلك). المفتاح هنا هو أن اختيارك للأسئلة لا يسمح لـ C بالكذب بطريقة تثير الشك في كل من A و B. نظرًا لأن واحدًا على الأقل من A و B يجب أن يكون موثوقًا به ، يمكنك دائمًا اختيار الإجابة التي توافق عليها C ، حتى لو كانت مجرد إجابة عشوائية. إذا وافق الثلاثة ، فهذا يعني أنه لديك بالفعل كلا رقمي لوحة الترخيص.
إليك كيفية ترجمة هذه الحكاية مرة أخرى إلى أحجيةنا. المقاييس هي A و B و C. يمكنك ترجمة الرقمين من لوحة الترخيص إلى العملات المعدنية على النحو التالي: 01 عبارة عن عملة 1 ، 02 عملة 2 ، 10 عملة 3 ، 11 عملة 4 ، 12 عملة 5 ، 20 عبارة عن عملة 6 ، و 21 عبارة عن عملة معدنية 7 و 22 عملة معدنية 8. سيدرك القراء المتمرسون أن هذا هو نظام الأرقام الأساسي 3 (أو الثلاثي). لاحظ أيضًا أن هناك رقمًا إضافيًا محتملًا 00 ، والذي يمكنك استخدامه للعملة التاسعة التي ستعمل هذه التقنية معها أيضًا ، كما هو الحال في اللغز 1.
بالنسبة للوزن الأول ، تقسم العملات على الرقم الأول (الأساسي 3) ، لذا ستكون مجموعاتك الثلاث عملات معدنية [1 ، 2] ، [3 ، 4 ، 5] و [6 ، 7 ، 8]. تزن [3 ، 4 ، 5] مقابل [6 ، 7 ، 8] بالمقياس أ. إذا كان أ يعمل جيدًا ، فستحصل على مجموعة الأرقام الأولى الصحيحة كما في اللغز 1. وبالمثل ، بالنسبة للوزن الثاني على المقياس ب ، فإن مجموعاتك سيكون هؤلاء الذين لديهم نفس الرقم الثاني: [1 ، 4 ، 7] ، [2 ، 5 ، 8] و [3 ، 6]. إذا كان B يعمل بشكل جيد ، فسيكون لديك الرقم الثاني الصحيح. بالنسبة للوزن الثالث ، على المقياس C ، يمكنك موازنة المجموعة التي حددها A مقابل المجموعة B التي قام بها. باتباع مثالنا ، بالنسبة لـ 21 ، ستكون المجموعات [6 ، 7 ، 8] و [1 ، 4 ، 7]. لا يمكن وضع العملة 7 على كلا الجانبين في نفس الوقت ، لذلك نتركها ونزن [6 ، 8] و [1 ، 4] ضد بعضنا البعض. لاحظ أنه إذا كان كل من A و B موثوقًا به ، فإن 7 هي في الواقع الإجابة الصحيحة ، ولا يهم أي جانب يخرج أخف على C. لديك إجابتك (العملة 7) في ثلاثة أوزان فقط. إذا كان A موثوقًا و B غير موثوق ، فإن العملة الأخف في [6 ، 8] ، أي مقياس سي سيؤكد ، وإذا كان B موثوقًا وكان A غير موثوق ، تكون العملة الأخف في [1 ، 4] ، أي مقياس C سيؤكد أيضًا.
لذلك في ثلاث أوزان ، إما حددنا العملة الخفيفة أو قمنا بتضييقها إلى مجموعة مكونة من اثنين ، وحددنا أيضًا مقياسًا للعمل. الوزن الرابع على أي مقياس A أو B (أيهما مقياس C متفق عليه) سيفي بالباقي.
هذا الحل يبدو لي أنه جميل بشكل مثير للدهشة!
يمكن تعميم هذه الطريقة للعثور على العملة الخفيفة بين 32x عملات معدنية في 3x + 1 مع مجموعة موازين معينة. وبالتالي ، فأنت بحاجة إلى سبعة أوزان مقابل 81 قطعة نقدية. لأعداد أكبر من العملات المعدنية (> ~ 1,000،XNUMX) ، حل أقوى موجود.
لغز 4
لديك 16 قطعة نقدية ، ثمانية منها ثقيلة ومن نفس الوزن. الثمانية الآخرون خفيفون ولهم نفس الوزن. أنت لا تعرف العملات المعدنية الثقيلة أو الخفيفة. تبدو العملات المعدنية متطابقة باستثناء تلك التي لها علامات خاصة. باستخدام مقياس واحد جيد ، هل يمكنك معرفة ما إذا كانت العملة الخاصة خفيفة أم ثقيلة بثلاثة أوزان؟ ما هو الحد الأقصى لعدد العملات التي يمكنك البدء بها وحل هذه المشكلة بنجاح في أربعة أوزان؟
للوهلة الأولى ، يبدو أن هذا اللغز يكاد يكون مستحيلاً في ثلاثة أوزان ، كما استنتج أحد قرائنا. ومع ذلك ، مع بعض الذكاء يمكن القيام بذلك ، وكلاهما نشر لتجفيفه و راينر من الربيع قدمت الحلول الصحيحة. قدم تيد بعض المبادئ العامة التي لا تقدر بثمن والتي تستحق الاهتمام بها.
أولاً ، حتى تحصل على نتيجة غير متوازنة من الوزن ، لن يكون لديك معلومات كافية لتحديد ما إذا كانت العملة الخاصة ثقيلة أم خفيفة. لذلك عليك أن تحاول فرض نتيجة غير متوازنة.
ثانيًا ، إذا حصلت على نتيجة متوازنة (على سبيل المثال ، العملة الخاصة A أرصدة العملة B) ، يمكنك الجمع بين العملات المعدنية المتوازنة ووزنها مقابل عملتين أخريين ، C و D. إذا كانتا غير متوازنتين ، فلديك الإجابة ؛ بخلاف ذلك ، فقد ضاعفت الآن عدد العملات المتشابهة ، مما قد يساعدك في الحصول على إجابة غير متوازنة في الوزن التالي. يمكنك أيضًا تنفيذ هذه العملية في الاتجاه المعاكس باستخدام عدد من العملات التي هي قوى من اثنين (4 ، 8 ، إلخ) إذا كانت لديك نتيجة أولية غير متوازنة كما هو موضح في الحل التالي.
يوجد أدناه الإجراء الكامل الذي يمكنه تحديد نوع العملة الخاصة A في جميع الحالات بثلاثة أوزان. (B و C و D هي ثلاث عملات معدنية موضوعة على نفس الجانب مثل A بوزن 1 (W1) ؛ X و Y هما عملتان غير مستخدمين في W1.)
اخترع عالم الرياضيات الروسي هذا اللغز كونستانتين نوب، سلطة عالمية في ألغاز وزن العملات المعدنية. العديد من أوراقه مكتوبة باللغة الروسية ، ولكن يمكنك العثور على العديد من ألغاز العملات المعدنية (من بين الألغاز الأخرى المثيرة للاهتمام) على مدونة من معاونة له تانيا خوفانوفا.
بالنسبة للتعميم ، سأترك الأمر لك لمعرفة ما إذا كانت هذه الطريقة نفسها تعمل للعثور على نوع عملة معدنية خاصة بين 32 قطعة نقدية ، منها 16 ثقيلة و 16 خفيفة.
لغز 5
لديك n عملات معدنية متطابقة المظهر ، بعضها مزيف وأخف وزناً من البعض الآخر. كل ما تعرفه هو أن هناك عملة واحدة مزيفة على الأقل وأن هناك عملات عادية أكثر من العملات المزيفة. مهمتك هي الكشف عن جميع العملات المزيفة.
حقيقة أن هناك عملة واحدة خفيفة على الأقل وأن هناك عملات عادية أكثر من العملات الخفيفة تجعل هذا اللغز أقل تعقيدًا مما يبدو لأول مرة ، على الأقل بالنسبة للأعداد الصغيرة. لنلقِ نظرة على عدد الأوزان لعملة واحدة إلى ثماني عملات معدنية.
بالنسبة لعملة واحدة واثنين من العملات ، لا يمكن أن يكون هناك عملات معدنية خفيفة في الحالة الثانية ، لذلك لا يلزم إجراء أي أوزان.
ثلاث عملات: عملة واحدة خفيفة. مطلوب وزن واحد لكل لغز 1.
أربع عملات: عملة واحدة خفيفة. مطلوب وزن إضافي ، لذلك w = 2.
خمس عملات معدنية: قطعة واحدة إلى اثنتين من العملات المعدنية الخفيفة. هذه أول حالة مثيرة للاهتمام. السؤال هو: هل يجب أن نزن قطعة نقود واحدة مقابل قطعة واحدة أم قطعتين مقابل قطعتين؟
إذا قمنا بوزن واحد مقابل واحد ، فيمكننا أن نحصل على:
- وزنان غير متوازن: اكتشاف عملتين ؛ لقد إنتهينا.
- وزن واحد متوازن من اثنين: يجب أن تكون العملات المعدنية المتوازنة طبيعية ، لذا فإن آخر عملة تحتاج إلى وزن آخر ، w = 3.
- وزنان متوازنان: في الوزن الثالث ، قم بوزن عملة واحدة من كل وزن سابق مقابل أخرى. إذا كانت متوازنة ، فإن الأربعة كلها طبيعية ، والعملة 5 هي العملة الخفيفة. لقد إنتهينا؛ w = 3 مرة أخرى. إذا كانت غير متوازنة ، فقد وجدنا عملتين خفيفتين ، وقد انتهينا من ثلاثة أوزان.
إذا قمنا بدلاً من ذلك بوزن اثنين مقابل اثنين ، فإننا لا نزال بحاجة إلى ثلاثة أوزان ، لأنه يتعين علينا التمييز بين احتمالات أن تكون العملات المعدنية مختلفة أو متشابهة على كلا الجانبين. لا يبدو أن الأوزان التي تستخدم عددًا صغيرًا من العملات المجمعة معًا لها أي ميزة على أوزان العملات ذات العملات المعدنية المفردة.
تم إثبات هذا من أجل:
ست عملات معدنية: قطعة واحدة إلى اثنين من العملات المعدنية الخفيفة ؛ w = 4.
سبع عملات: واحد إلى ثلاث عملات معدنية خفيفة ؛ w = 5.
ثماني عملات: واحد إلى ثلاث عملات معدنية خفيفة ؛ w = 6. هذا الحل له بنية بسيطة:
- قم أولاً بأربع أوزان لعملة واحدة مقابل الأخرى. يتم استخدام جميع العملات المعدنية.
- الحالة الأسوأ: جميع الأوزان الأربعة متوازنة (هناك عملتان خفيفتان تتوازنان بعضهما البعض).
- الميزتان التاليتان: تزن عملة من وزن 1 مقابل عملة من وزن 2 ؛ بالمثل ، قم بوزن عملة من وزن 3 مقابل عملة من وزن 4.
- سيكون أحد هذه الأوزان غير متوازن ، مما يؤدي إلى تحديد عملتين خفيفتين. لقد انتهينا من ستة أوزان.
عذرًا ، تسلسلنا من 0 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ليس بالتأكيد مثيرًا للاهتمام بما يكفي لتقديمه إلى على الإنترنت موسوعة تسلسل عدد صحيح!
As جوناس توجرسين كيلستادلي ، يبدو أن الحل w = n - 2 للأعداد الصغيرة ، لكننا لم نثبت أن هذا لن يتغير للأعداد الكبيرة. في بعض n، قد يؤدي استخدام أوزان متعددة للعملات المعدنية إلى تحقيق نتائج أفضل أو أكثر من ذلك n - 2 قد تكون مطلوبة. يمكننا ببساطة تعميم حل ثماني عملات على جميع قوى العدد 2 ، معطيًا n - 2 كالحد الأعلى لعدد الأوزان لجميع قوى 2.
ناقش مارك بيرسون تشابه هذه المشكلة مع أكواد تصحيح الأخطاء واقترح استخدام نهج نظرية المعلومات بناءً على عدد النتائج المحتملة. باستخدام مثل هذا النهج ، مايك روبرتس نشر حدًا أدنى للحالة الأكثر عمومية ، والتي راينر من الربيع اشتق تقريب ل. كما نشر راينر ملف الحد الاعلى من ورقة منشورة ولكن لاحظ أن الحدود ليست حادة لمنخفض n وبالتالي فهي ليست مفيدة للأعداد الصغيرة التي تناولناها أعلاه. وبالتالي ، بالنسبة لسبع عملات معدنية ، فإن الحدود التي تم الاستشهاد بها تعطي نطاقًا من 4 إلى 16 ، والذي يقع بينه إجابتنا ، 5. J. باييت يعطي مراجع وحدود رياضية إضافية لجميع الألغاز.
شكرا لجميع الذين شاركوا. جائزة Insights لهذا الشهر تذهب بشكل مشترك إلى Ted و Rainer aus dem Spring. تهانينا!
نراكم في المرة القادمة للجديد رؤيه.
