عندما كان دانيال لارسن في المدرسة الإعدادية ، بدأ في تصميم الألغاز المتقاطعة. كان عليه أن يضع هوايته فوق اهتماماته الأخرى: الشطرنج ، والبرمجة ، والبيانو ، والكمان. تأهل مرتين إلى Scripps National Spelling Bee بالقرب من واشنطن العاصمة ، بعد فوزه في منافسته الإقليمية. قالت والدة لارسن ، أييليت ليندنشتراوس: "إنه يركز على شيء ما ، وهو مجرد دوي ، دوي ، فرقعة ، حتى ينجح". تم رفض أول ألغاز الكلمات المتقاطعة الخاصة به من قبل الصحف الكبرى ، لكنه استمر في ذلك ، وفي النهاية اقتحمها. حتى الآن ، هو يحمل الرقم القياسي لأصغر شخص ينشر الكلمات المتقاطعة في نيو يورك تايمز، في سن 13 عامًا ، قال ليندنشتراوس: "إنه مثابر جدًا".
ومع ذلك ، شعرت أن هوس لارسن الأخير مختلف ، "أطول وأكثر كثافة من معظم مشاريعه الأخرى" ، على حد قولها. لأكثر من عام ونصف ، لم يستطع لارسن التوقف عن التفكير في مسألة حسابية معينة.
لها جذور في سؤال أوسع ، وهو سؤال اعتبره عالم الرياضيات كارل فريدريش جاوس من بين أهم الأسئلة في الرياضيات: كيفية التمييز بين رقم أولي (رقم لا يقبل القسمة إلا على 1 ونفسه) من رقم مركب. لمئات السنين ، سعى علماء الرياضيات إلى طريقة فعالة للقيام بذلك. أصبحت المشكلة أيضًا ذات صلة في سياق التشفير الحديث ، حيث أن بعض أنظمة التشفير الأكثر استخدامًا اليوم تتضمن إجراء عمليات حسابية بأعداد أولية هائلة.
منذ أكثر من قرن من الزمان ، في هذا البحث عن اختبار بدائية سريع وقوي ، عثر علماء الرياضيات على مجموعة من المشاغبين - الأرقام التي تخدع الاختبارات في التفكير في أنها أولية ، على الرغم من أنها ليست كذلك. كانت هذه الجرائم الكاذبة ، المعروفة بأرقام كارمايكل ، صعبة الفهم بشكل خاص. فقط في منتصف التسعينيات ، على سبيل المثال ، أثبت علماء الرياضيات أن هناك عددًا لا نهائيًا منهم. إن القدرة على قول شيء أكثر حول كيفية توزيعها على طول خط الأعداد تشكل تحديًا أكبر.
ثم جاء لارسن معه دليل جديد حول ذلك بالضبط ، واحد مستوحى من العمل التاريخي الحديث في منطقة مختلفة من نظرية الأعداد. في ذلك الوقت ، كان عمره 17 عامًا فقط.
الشرارة
نشأ لارسن في بلومنجتون ، إنديانا ، وكان دائمًا منجذبًا إلى الرياضيات. عرّفه والديه ، وكلاهما رياضيات ، على هذا الموضوع وأخته الكبرى عندما كانا صغيرين. (وهي الآن تسعى للحصول على الدكتوراه في الرياضيات). عندما كان لارسن في الثالثة من عمره ، تتذكر ليندنشتراوس ، بدأ في طرح أسئلتها الفلسفية حول طبيعة اللانهاية. قال "اعتقدت أن هذا الطفل لديه عقل رياضي" ليندنشتراوس، أستاذ في جامعة إنديانا.
ثم قبل بضع سنوات - في وقت قريب من انغماسه في مشاريع التهجئة والكلمات المتقاطعة - صادف وثائقي عن الصابون يتانغ تشانغ، عالم رياضيات غير معروف نشأ من الغموض في 2013 بعد إثبات نتيجة بارزة التي تضع حداً أعلى للفجوات بين الأعداد الأولية المتتالية. نقر شيء ما في لارسن. لم يستطع التوقف عن التفكير في نظرية الأعداد ، وحول المشكلة ذات الصلة التي كان Zhang وعلماء الرياضيات الآخرون يأملون في حلها: حدسية التوأم الأولي ، والتي تنص على أن هناك عددًا لا نهائيًا من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف بمقدار 2 فقط.
بعد عمل جانغ ، الذي أظهر أن هناك عددًا لا نهائيًا من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف بأقل من 70 مليونًا ، قفز آخرون في لخفض هذا الحد إلى أبعد من ذلك. في غضون أشهر ، علماء الرياضيات جيمس ماينارد و تيرينس تاو أثبت بشكل مستقل بيانًا أقوى حول الفجوات بين الأعداد الأولية. تقلصت هذه الفجوة منذ ذلك الحين إلى 246.
أراد لارسن فهم بعض الرياضيات الكامنة وراء عمل ماينارد وتاو ، "لكن ذلك كان مستحيلًا إلى حد كبير بالنسبة لي" ، قال. كانت أوراقهم معقدة للغاية. حاول لارسن قراءة الأعمال ذات الصلة ، فقط ليجدها غير قابلة للاختراق أيضًا. استمر في ذلك ، قفزًا من نتيجة إلى أخرى ، حتى وصل أخيرًا ، في فبراير 2021 ، إلى ورقة وجدها جميلة ومفهومة. موضوعها: أرقام كارمايكل ، تلك الأعداد المركبة الغريبة التي يمكن أن تظهر في بعض الأحيان كأعداد أولية.
كل شيء ما عدا Prime
في منتصف القرن السابع عشر ، كتب عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات رسالة إلى صديقه وصديقه المقرب فرينيكل دي بيسي ، ذكر فيها ما سيعرف لاحقًا باسم "نظريته الصغيرة". إذا N هو عدد أولي ، إذن bN - b دائمًا من مضاعفات N، بغض النظر b هو. على سبيل المثال ، 7 هو عدد أولي ، ونتيجة لذلك ، 27 - 2 (التي تساوي 126) هي من مضاعفات الرقم 7. وبالمثل ، 37 - 3 من مضاعفات 7 ، وهكذا.
رأى علماء الرياضيات احتمالية إجراء اختبار كامل لمعرفة ما إذا كان عدد معين أوليًا أم مركبًا. كانوا يعرفون ذلك إذا N رئيس الوزراء bN - b دائمًا من مضاعفات N. ماذا لو كان العكس صحيحًا أيضًا؟ هذا هو ، إذا bN - b من مضاعفات N لجميع قيم b، يجب N يكون رئيسيا؟
للأسف ، اتضح أنه في حالات نادرة جدًا ، N يمكن أن تفي بهذا الشرط ولا تزال مركبة. أصغر عدد هو 561: لأي عدد صحيح b, b561 - b دائمًا ما يكون من مضاعفات العدد 561 ، على الرغم من أن 561 ليس عددًا أوليًا. تم تسمية مثل هذه الأرقام على اسم عالم الرياضيات روبرت كارمايكل ، الذي غالبًا ما يُنسب إليه نشر المثال الأول في عام 1910 (على الرغم من أن عالم الرياضيات التشيكي Václav Šimerka اكتشف بشكل مستقل أمثلة في عام 1885).
أراد علماء الرياضيات فهم أفضل لهذه الأرقام التي تشبه إلى حد بعيد العناصر الأساسية في نظرية الأعداد ، الأعداد الأولية. اتضح أنه في عام 1899 - قبل عقد من نتيجة كارمايكل - توصل عالم رياضيات آخر ، ألوين كورسلت ، إلى تعريف مماثل. إنه ببساطة لم يكن يعرف ما إذا كانت هناك أي أرقام تتناسب مع الفاتورة.
وفقًا لمعيار كورسيلت ، هناك رقم N هو رقم كارمايكل إذا وفقط إذا كان يفي بثلاث خصائص. أولاً ، يجب أن يحتوي على أكثر من عامل أولي واحد. ثانيًا ، لا يمكن تكرار أي عامل أولي. وثالثًا ، لكل رئيس p التي تقسم N, p - 1 ينقسم أيضًا N - 1. فكر مرة أخرى في الرقم 561. إنه يساوي 3 × 11 × 17 ، لذلك من الواضح أنه يفي بالخاصيتين الأوليين في قائمة Korselt. لإظهار الخاصية الأخيرة ، اطرح 1 من كل عامل أولي للحصول على 2 و 10 و 16. بالإضافة إلى ذلك ، اطرح 1 من 561. جميع الأعداد الثلاثة الأصغر هي قواسم 560. لذا فإن الرقم 561 هو رقم كارمايكل.
على الرغم من أن علماء الرياضيات اشتبهوا في وجود عدد لا نهائي من أرقام كارمايكل ، إلا أن هناك عددًا قليلاً نسبيًا مقارنة بالأعداد الأولية ، مما جعل من الصعب تحديدها. ثم في عام 1994 ، ريد ألفورد ، أندرو جرانفيل و كارل بوميرانس نشر اختراق ورقة حيث أثبتوا أخيرًا أن هناك بالفعل عددًا لا نهائيًا من هذه الجرائم الكاذبة.
لسوء الحظ ، لم تسمح التقنيات التي طوروها لهم بقول أي شيء عما تبدو عليه أرقام كارمايكل. هل ظهرت في مجموعات على طول خط الأعداد ، مع وجود فجوات كبيرة بينهما؟ أو هل يمكنك دائمًا العثور على رقم كارمايكل في فترة زمنية قصيرة؟ قال جرانفيل: "قد تعتقد أنه إذا كان بإمكانك إثبات وجود عدد لا نهائي منهم ، فمن المؤكد أنك ستتمكن من إثبات أنه لا توجد فجوات كبيرة بينهما ، وأنه يجب أن تكون متباعدة بشكل جيد نسبيًا."
على وجه الخصوص ، كان هو ومؤلفوه يأملون في إثبات بيان يعكس هذه الفكرة - وذلك بالنظر إلى عدد كبير بما فيه الكفاية X، سيكون هناك دائمًا رقم كارمايكل بين X و 2X. قال جون جرانثام ، عالم الرياضيات في معهد تحليلات الدفاع الذي قام بعمل ذي صلة: "إنها طريقة أخرى للتعبير عن مدى انتشارها في كل مكان".
لكن لعقود ، لم يستطع أحد إثبات ذلك. قال بوميرانس إن التقنيات التي طورها ألفورد وجرانفيل وبوميرانس "سمحت لنا بإظهار أنه سيكون هناك العديد من أرقام كارمايكل" ، "لكنها لم تسمح لنا حقًا بالحصول على قدر كبير من التحكم في المكان الذي سيكونون فيه. "
بعد ذلك ، في تشرين الثاني (نوفمبر) 2021 ، فتح جرانفيل بريدًا إلكترونيًا من لارسن ، الذي كان آنذاك يبلغ من العمر 17 عامًا وفي سنته الأخيرة من المدرسة الثانوية. أ ورقة تم إرفاقه - ودهشة جرانفيل ، بدا الأمر صحيحًا. قال: "لم تكن أسهل قراءة على الإطلاق". "لكن عندما قرأته ، كان من الواضح تمامًا أنه لا يعبث. كانت لديه أفكار رائعة ".
ووافق بوميرانس ، الذي قرأ نسخة لاحقة من العمل ، على هذا الرأي. قال "برهانه متقدم حقًا". ستكون ورقة بحثية يفخر أي عالم رياضيات بكتابتها. وها هو طفل في المدرسة الثانوية يكتبها ".
كان مفتاح إثبات لارسن هو العمل الذي جذبه إلى أرقام كارمايكل في المقام الأول: نتائج ماينارد وتاو بشأن الفجوات الأولية.
غير محتمل - ليس مستحيلاً
عندما شرع لارسن لأول مرة في إظهار أنه يمكنك دائمًا العثور على رقم كارمايكل في فترة زمنية قصيرة ، "بدا أنه كان صحيحًا بشكل واضح ، ما مدى صعوبة إثباته؟" هو قال. سرعان ما أدرك أنه يمكن أن يكون صعبًا جدًا بالفعل. قال "هذه مشكلة تختبر تكنولوجيا عصرنا".
في بحثهم لعام 1994 ، أظهر ألفورد وجرانفيل وبوميرانس كيفية إنشاء عدد لا نهائي من أرقام كارمايكل. لكنهم لم يتمكنوا من التحكم في حجم الأعداد الأولية التي استخدموها في بنائها. هذا ما سيحتاج لارسن إلى فعله لبناء أرقام كارمايكل التي كانت متقاربة نسبيًا في الحجم. أثارت صعوبة المشكلة قلق والده مايكل لارسن. قال: "لم أكن أعتقد أن ذلك مستحيل ، لكنني اعتقدت أنه من غير المرجح أن ينجح". "لقد رأيت مقدار الوقت الذي كان يقضيه في ذلك ... وشعرت أنه سيكون من المدمر أن يبذل الكثير من نفسه لهذا الأمر ولا يحصل عليه."
ومع ذلك ، كان يعرف أفضل من محاولة ثني ابنه. قال: "عندما يلتزم دانيال بشيء يثير اهتمامه حقًا ، يتمسك به في السراء والضراء".
لذلك عاد لارسن إلى أوراق ماينارد - على وجه الخصوص ، للعمل على إظهار أنه إذا أخذت تسلسلات معينة من أعداد كافية ، يجب أن تكون بعض المجموعات الفرعية من هذه الأرقام أولية. عدل لارسن تقنيات ماينارد لدمجها مع الأساليب التي استخدمها ألفورد وجرانفيل وبوميرانس. سمح له ذلك بالتأكد من أن الأعداد الأولية التي انتهى بها ستختلف في الحجم - بما يكفي لإنتاج أرقام كارمايكل التي تقع ضمن الفترات التي يريدها.
قال جرانفيل: "لديه سيطرة على الأشياء أكثر من أي وقت مضى". وقد حقق ذلك من خلال الاستخدام الذكي بشكل خاص لعمل ماينارد. "ليس من السهل ... استخدام هذا التقدم في الفجوات القصيرة بين الأعداد الأولية ،" قال كايزا ماتوماكي، عالم رياضيات في جامعة توركو في فنلندا. "من الجيد جدًا أنه قادر على الجمع بينه وبين هذا السؤال حول أرقام كارمايكل."
في الواقع ، لم تسمح حجة لارسن له فقط بإظهار أن رقم كارمايكل يجب أن يظهر دائمًا بينهما X و 2X. يعمل برهانه أيضًا على فترات زمنية أصغر بكثير. يأمل علماء الرياضيات الآن أن يساعد ذلك أيضًا في الكشف عن جوانب أخرى لسلوك هذه الأرقام الغريبة. قال "إنها فكرة مختلفة" توماس رايت، عالم رياضيات في Wofford College في ساوث كارولينا يعمل على الجرائم الزائفة. "إنه يغير الكثير من الأشياء حول كيفية إثبات أشياء حول أرقام كارمايكل."
وافق جرانثام. قال "الآن يمكنك القيام بأشياء لم تفكر بها من قبل".
في غضون ذلك ، بدأ لارسن للتو سنته الأولى في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. إنه غير متأكد من المشكلة التي قد يعمل عليها بعد ذلك ، لكنه حريص على معرفة ما هو موجود. قال "أنا فقط أتلقى دورات ... وأحاول أن أكون منفتح الذهن".
قال جرانثام: "لقد فعل كل هذا بدون تعليم جامعي". "يمكنني فقط أن أتخيل ما سيأتي به في المدرسة العليا."
