এক শতাব্দী পরে, নতুন গণিত সাধারণ আপেক্ষিকতাকে মসৃণ করে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

অ্যালবার্ট আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতার সাধারণ তত্ত্ব কীভাবে মহাকর্ষ কাজ করে এবং কীভাবে এটি মহাবিশ্বের বৃহৎ আকারের কাঠামোকে আকার দেয় তা বর্ণনা করতে অত্যন্ত সফল হয়েছে। এটি পদার্থবিজ্ঞানী জন হুইলারের একটি উক্তিতে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে: “স্পেস-টাইম বলে যে কীভাবে সরানো যায়; বস্তু স্থান-কাল বলে কিভাবে বক্র করতে হয়।" তবুও সাধারণ আপেক্ষিকতার গণিতও গভীরভাবে বিরোধী।

কারণ এর মৌলিক সমীকরণগুলি এত জটিল, এমনকি সহজ-শব্দযুক্ত বিবৃতিগুলিও প্রমাণ করা কঠিন। উদাহরণস্বরূপ, 1980 সালের দিকে গণিতবিদরা প্রমাণ করেছিলেন যে, সাধারণ আপেক্ষিকতার একটি প্রধান উপপাদ্যের অংশ হিসাবে, একটি বিচ্ছিন্ন ভৌত ব্যবস্থা, বা স্থান, এতে কোনো ভর ছাড়াই সমতল হতে হবে।

এটি একটি শূন্যস্থান হলে কেমন দেখায় সেই প্রশ্নটি অমীমাংসিত রেখে গেছে, যদি এটি একটি শূন্যতা হয়, মাত্র অল্প পরিমাণে ভর থাকে। এটা অগত্যা প্রায় সমতল?

যদিও এটা স্পষ্ট মনে হতে পারে যে ছোট ভর ছোট বক্রতার দিকে নিয়ে যাবে, সাধারণ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্রে জিনিসগুলি এতটা কাটা এবং শুকনো হয় না। তত্ত্ব অনুসারে, পদার্থের ঘন ঘনত্ব স্থানের একটি অংশকে "বাঁকা" করতে পারে, এটিকে অত্যন্ত বাঁকা করে তোলে। কিছু ক্ষেত্রে, এই বক্রতা চরম হতে পারে, সম্ভবত ব্ল্যাক হোল গঠনের দিকে পরিচালিত করে। এটি এমন একটি স্থানেও ঘটতে পারে যেখানে অল্প পরিমাণে পদার্থ রয়েছে, যদি এটি যথেষ্ট পরিমাণে ঘনীভূত হয়।

একটি সাম্প্রতিককালে কাগজ, কংহান ডং, স্টনি ব্রুক ইউনিভার্সিটির একজন স্নাতক ছাত্র এবং অ্যান্টোইন গান, ক্যালিফোর্নিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির একজন সহকারী অধ্যাপক, প্রমাণ করেছেন যে ছোট এবং ছোট পরিমাণ ভরের সাথে বক্র স্থানগুলির একটি ক্রম শেষ পর্যন্ত শূন্য বক্রতা সহ একটি সমতল স্থানে একত্রিত হবে।

এই ফলাফলটি সাধারণ আপেক্ষিকতার গাণিতিক অন্বেষণে একটি উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি — আইনস্টাইন তার তত্ত্ব তৈরি করার এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরেও লভ্যাংশ প্রদান করে চলেছে। ড্যান লি, কুইন্স কলেজের একজন গণিতবিদ যিনি সাধারণ আপেক্ষিকতার গণিত অধ্যয়ন করেন কিন্তু এই গবেষণার সাথে জড়িত ছিলেন না, বলেন যে ডং এবং গানের প্রমাণ কীভাবে বক্রতা এবং ভর মিথস্ক্রিয়া করে তার গভীর উপলব্ধি প্রতিফলিত করে।

তারা যা প্রমাণ করেছে

ডং এবং গানের প্রমাণটি ত্রি-মাত্রিক স্থানগুলির সাথে সম্পর্কিত, তবে চিত্রের জন্য প্রথমে একটি দ্বি-মাত্রিক উদাহরণ বিবেচনা করুন। একটি সাধারণ, মসৃণ কাগজের শীট হিসাবে ভরবিহীন একটি সমতল স্থান চিত্র করুন। ছোট ভরের একটি স্থান, এই উদাহরণে, দূর থেকে একই রকম দেখাতে পারে - যা বলতে হয়, বেশিরভাগ সমতল। যাইহোক, একটি ঘনিষ্ঠ পরিদর্শন কিছু তীক্ষ্ণ স্পাইক বা বুদবুদ এখানে এবং সেখানে পপ আপ প্রকাশ করতে পারে — পদার্থের ক্লাস্টারিং এর পরিণতি। এই এলোমেলো আউটক্রপিংগুলি কাগজটিকে একটি ভালভাবে রাখা লনের মতো করে তুলবে যেখানে মাঝে মাঝে মাশরুম বা ডাঁটা পৃষ্ঠ থেকে বেরিয়ে আসে।

ডং এবং গান একটি প্রমাণিত অনুমান যেটি 2001 সালে গণিতবিদদের দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল গেরহার্ড হুইসকেন এবং টম ইলমানেন. অনুমানটি বলে যে একটি স্থানের ভর যেমন শূন্যের কাছাকাছি আসে, তেমনি এর বক্রতাও হতে হবে। হুইসকেন এবং ইলমানেন স্বীকার করেছেন যে, বুদবুদ এবং স্পাইকগুলির উপস্থিতি (যা গাণিতিকভাবে একে অপরের থেকে আলাদা) দ্বারা এই দৃশ্যটি জটিল। তারা অনুমান করেছিল যে বুদবুদ এবং স্পাইকগুলি এমনভাবে কেটে ফেলা যেতে পারে যে প্রতিটি ছেদনের মাধ্যমে স্থানের পৃষ্ঠের পিছনে ফেলে যাওয়া সীমানা ক্ষেত্রটি ছোট ছিল। তারা পরামর্শ দিয়েছিল, কিন্তু প্রমাণ করতে পারেনি যে, এই ঝামেলাপূর্ণ পরিশিষ্টগুলি সরানোর পরে যে স্থানটি অবশিষ্ট ছিল তা সমতলের কাছাকাছি হবে। তারা নিশ্চিত ছিল না কিভাবে এই ধরনের কাট করা উচিত।

"এই প্রশ্নগুলি কঠিন ছিল, এবং আমি Huisken-Ilmanen অনুমানের একটি সমাধান দেখতে আশা করিনি," লি বলেন।

অনুমানের কেন্দ্রে বক্রতা একটি পরিমাপ হয়. স্থান বিভিন্ন উপায়ে, বিভিন্ন পরিমাণে এবং বিভিন্ন দিকে বক্র হতে পারে — যেমন একটি জিন (দুই মাত্রায়) যা সামনে এবং পিছনে বাঁকানো হয়, কিন্তু নীচে বাম এবং ডানদিকে যায়। ডং এবং গান সেই বিবরণগুলি উপেক্ষা করে। তারা স্কেলার বক্রতা নামে একটি ধারণা ব্যবহার করে, যা বক্রতাকে একটি একক সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করে যা সমস্ত দিকের সম্পূর্ণ বক্রতাকে সংক্ষিপ্ত করে।

ডং ও গানের নতুন কাজ ড ড্যানিয়েল স্টার্ন কর্নেল ইউনিভার্সিটির, "এখন পর্যন্ত আমাদের পাওয়া সবচেয়ে শক্তিশালী ফলাফলগুলির মধ্যে একটি যা আমাদের দেখায় কিভাবে স্কেলার বক্রতা সমগ্র স্থানের জ্যামিতিকে নিয়ন্ত্রণ করে"। তাদের কাগজটি ব্যাখ্যা করে যে "যদি আমাদের অঋণাত্মক স্কেলার বক্রতা এবং ছোট ভর থাকে তবে আমরা স্থানের গঠনটি খুব ভালভাবে বুঝতে পারি।"

প্রমাণ

হুইসকেন-ইলমানেন অনুমান ক্রমাগতভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত ভর সহ স্থানগুলির জ্যামিতিকে উদ্বেগ করে। এটি একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি নির্ধারণ করে যে ছোট ভরের একটি স্থান সমতল স্থানের কতটা কাছাকাছি। সেই পরিমাপকে বলা হয় গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব, গণিতবিদদের নামানুসারে মিখাইল গ্রোমভ এবং ফেলিক্স হাউসডর্ফ। Gromov-Hausdorff দূরত্ব গণনা একটি দ্বি-পদক্ষেপ প্রক্রিয়া।

প্রথম ধাপ হল হাউসডর্ফ দূরত্ব খুঁজে বের করা। ধরুন আপনার দুটি বৃত্ত রয়েছে, A এবং B। A-এর যেকোনো বিন্দু দিয়ে শুরু করুন এবং B-এর নিকটতম বিন্দু থেকে এটি কতটা দূরে তা বের করুন।

A-তে প্রতিটি বিন্দুর জন্য এটি পুনরাবৃত্তি করুন। আপনি যে বৃহত্তম দূরত্বটি খুঁজে পেয়েছেন তা হল বৃত্তের মধ্যে হাউসডর্ফ দূরত্ব।

একবার আপনার হাউসডর্ফ দূরত্ব হয়ে গেলে, আপনি গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব গণনা করতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনার বস্তুগুলিকে একটি বড় জায়গায় রাখুন যাতে তাদের মধ্যে হাউসডর্ফ দূরত্ব কমিয়ে আনা যায়। দুটি অভিন্ন বৃত্তের ক্ষেত্রে, যেহেতু আপনি তাদের আক্ষরিকভাবে একে অপরের উপরে রাখতে পারেন, তাদের মধ্যে গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব শূন্য। এই ধরনের জ্যামিতিকভাবে অভিন্ন বস্তুকে "আইসোমেট্রিক" বলা হয়।

দূরত্ব পরিমাপ করা আরও কঠিন, অবশ্যই, যখন তুলনা করা বস্তু বা স্থানগুলি একই রকম হয় তবে একই নয়। Gromov-Hausdorff দূরত্ব দুটি বস্তুর আকৃতির মধ্যে মিল (বা পার্থক্য) এর একটি সুনির্দিষ্ট পরিমাপ প্রদান করে যা প্রাথমিকভাবে বিভিন্ন স্থানে অবস্থান করে। "গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব হল আমাদের বলার সেরা উপায়গুলির মধ্যে একটি যে দুটি স্পেস প্রায় আইসোমেট্রিক, এবং এটি 'প্রায়' একটি সংখ্যা দেয়," স্টার্ন বলেন।

ডং এবং সং একটি ছোট ভরের একটি স্থান এবং পুরোপুরি সমতল স্থানের মধ্যে তুলনা করার আগে, তাদের বিরক্তিকর প্রোটিউবারেন্সগুলিকে ছিঁড়ে ফেলতে হয়েছিল - সরু স্পাইকগুলি যেখানে পদার্থ শক্তভাবে বস্তাবন্দী এবং এমনকি আরও ঘন বুদবুদ যা ছোট ব্ল্যাক হোলকে আশ্রয় করতে পারে। "আমরা সেগুলিকে কেটে ফেলি যাতে সীমানা এলাকা [যেখানে টুকরোটি তৈরি করা হয়েছিল] ছোট হয়," গান বলেছেন, "এবং আমরা দেখিয়েছি যে ভর কমার সাথে সাথে এলাকাটি ছোট হয়ে যায়।"

যদিও সেই কৌশলটি প্রতারণার মতো শোনাতে পারে, স্টার্ন বলেছিলেন যে বুদবুদ এবং স্পাইকগুলি কেটে ফেলার মাধ্যমে এক ধরণের প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ করার অনুমান প্রমাণ করার জন্য এটি অনুমোদিত, যার ক্ষেত্রফল হ্রাসের সাথে সাথে শূন্যে সঙ্কুচিত হয়।

ছোট ভরের একটি স্থানের প্রক্সি হিসাবে, তিনি পরামর্শ দিয়েছিলেন, আমরা কাগজের একটি চূর্ণবিচূর্ণ শীট কল্পনা করতে পারি যেটি আবার মসৃণ হওয়ার পরেও ধারালো দাগ এবং ভাঁজ রয়েছে। আপনি সবচেয়ে বিশিষ্ট অনিয়মগুলি অপসারণ করতে একটি গর্ত পাঞ্চ ব্যবহার করতে পারেন, এতে কিছু ছিদ্র সহ একটি সামান্য অসম কাগজের টুকরো রেখে যেতে পারেন। সেই গর্তগুলির আকার যেমন সঙ্কুচিত হবে, তেমনি কাগজের ভূখণ্ডের অসমতাও হবে। সীমাতে, আপনি বলতে পারেন, গর্তগুলি শূন্যে সঙ্কুচিত হবে, ঢিবি এবং শিলাগুলি অদৃশ্য হয়ে যাবে এবং আপনার কাছে একটি সমানভাবে মসৃণ কাগজের টুকরো রেখে দেওয়া হবে - সমতল স্থানের জন্য একটি আসল স্ট্যান্ড-ইন।

ডং এবং গান এটাই প্রমাণ করতে চেয়েছিলেন। পরবর্তী পদক্ষেপটি ছিল কীভাবে এই বিচ্ছিন্ন স্থানগুলি - তাদের রুক্ষ বৈশিষ্ট্যগুলির সংক্ষিপ্ত - সম্পূর্ণ সমতলতার মানদণ্ডের বিরুদ্ধে স্তুপীকৃত হয়েছে। তারা যে কৌশলটি অনুসরণ করেছিল তা একটি বিশেষ ধরণের মানচিত্র ব্যবহার করেছিল, যা একটি স্থানের বিন্দুর সাথে অন্য স্থানের বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে দুটি স্থানের তুলনা করার একটি উপায়। তারা যে মানচিত্রটি ব্যবহার করেছিল তা ক কাগজ স্টার্ন এবং তিন সহকর্মী - হুবার্ট ব্রে, ডেমেত্রে কাজারস এবং মার্কাস খুরি দ্বারা লিখিত। দুটি স্পেস ঠিক কতটা কাছাকাছি এই পদ্ধতিটি বানান করতে পারে।

তাদের কাজকে সহজ করার জন্য, ডং এবং সং স্টার্ন এবং তার সহ-লেখকদের কাছ থেকে আরেকটি গাণিতিক কৌশল গ্রহণ করেছিলেন, যা দেখিয়েছিল যে একটি ত্রিমাত্রিক স্থানকে অসীমভাবে অনেক দ্বি-মাত্রিক স্লাইসে বিভক্ত করা যেতে পারে যাকে লেভেল সেট বলা হয়, অনেকটা শক্ত-সিদ্ধ ডিমের মতো। একটি ডিম স্লাইসার এর টান তারের দ্বারা সরু শীট মধ্যে বিভক্ত করা.

লেভেল সেটগুলি তাদের গঠিত ত্রিমাত্রিক স্থানের বক্রতার উত্তরাধিকারী হয়। বৃহত্তর ত্রিমাত্রিক স্থানের পরিবর্তে লেভেল সেটে তাদের মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করার মাধ্যমে, ডং এবং গান সমস্যার মাত্রাকে তিন থেকে দুইয়ে কমাতে সক্ষম হয়েছিল। এটি খুবই উপকারী, গান বলেছেন, কারণ "আমরা দ্বি-মাত্রিক বস্তু সম্পর্কে অনেক কিছু জানি … এবং আমাদের কাছে সেগুলি অধ্যয়নের জন্য অনেক সরঞ্জাম রয়েছে।"

যদি তারা সফলভাবে দেখাতে পারে যে প্রতিটি স্তর সেট "সমতল ধরণের," গান বলেছেন, এটি তাদের দেখানোর সামগ্রিক লক্ষ্য অর্জন করতে দেবে যে সামান্য ভর সহ একটি ত্রিমাত্রিক স্থান সমতলের কাছাকাছি। সৌভাগ্যবশত, এই কৌশল প্যান আউট.

পরবর্তী পদক্ষেপ

সামনের দিকে তাকিয়ে, সং বলেছিলেন যে ক্ষেত্রের পরবর্তী চ্যালেঞ্জগুলির মধ্যে একটি হল বুদবুদ এবং স্পাইকগুলি থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার জন্য একটি সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি তৈরি করে এবং কাটা অঞ্চলগুলিকে আরও ভালভাবে বর্ণনা করে প্রমাণটিকে আরও স্পষ্ট করে তোলা। তবে আপাতত, তিনি স্বীকার করেছেন, "এটি অর্জনের জন্য আমাদের কাছে একটি স্পষ্ট কৌশল নেই।"

 আরেকটি প্রতিশ্রুতিশীল উপায়, গান বলেন, একটি অন্বেষণ করা হবে পৃথক অনুমান যেটি 2011 সালে লি এবং ক্রিস্টিনা সোরমানি, নিউইয়র্ক সিটি ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ। লি-সোরমানি অনুমান হুইসকেন এবং ইলমানেন দ্বারা উত্থাপিত একটি অনুরূপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে, কিন্তু এটি আকারের মধ্যে পার্থক্য পরিমাপের একটি ভিন্ন উপায়ের উপর নির্ভর করে। দুটি আকারের মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব বিবেচনা করার পরিবর্তে, যেমন গ্রোমভ-হাউসডর্ফ দূরত্ব করে, লি-সোরমানি পদ্ধতিটি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে স্থানের আয়তন তাদের মধ্যে. যে ভলিউম ছোট, তারা কাছাকাছি.

গান, ইতিমধ্যে, স্কেলার বক্রতা সম্পর্কে প্রাথমিক প্রশ্নগুলি দেখার আশা করে যা পদার্থবিজ্ঞান দ্বারা অনুপ্রাণিত নয়। "সাধারণ আপেক্ষিকতায়," তিনি বলেছিলেন, "আমরা খুব বিশেষ স্থানগুলির সাথে মোকাবিলা করি যেগুলি অসীমে প্রায় সমতল, কিন্তু জ্যামিতিতে আমরা সমস্ত ধরণের স্থানের যত্ন নিই।"

"আশা আছে যে এই কৌশলগুলি অন্যান্য সেটিংসে মূল্যবান হতে পারে" সাধারণ আপেক্ষিকতার সাথে সম্পর্কহীন, স্টার্ন বলেছেন। "সম্পর্কিত সমস্যাগুলির একটি বড় পরিবার রয়েছে," তিনি বলেছিলেন, এটি অন্বেষণের অপেক্ষায় রয়েছে।

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।