একটি ক্লোজ-আপ ভিউ একটি অসীম গ্রাফের 'গলিত' বিন্দু প্রকাশ করে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

2008 সালে, গণিতবিদ ওডেড শ্রাম সিয়াটলের প্রায় 50 মাইল পূর্বে ক্যাসকেড পর্বতে হাইকিং দুর্ঘটনায় মারা যান। যদিও তিনি মাত্র 46 বছর বয়সে ছিলেন, তিনি গণিতের সম্পূর্ণ নতুন ক্ষেত্র তৈরি করেছিলেন।

"তিনি একজন চমত্কার গণিতবিদ ছিলেন," বলেছেন ইতাই বেঞ্জামিনী, উইজম্যান ইনস্টিটিউট অফ সায়েন্সের একজন গণিতবিদ এবং শ্রামের বন্ধু এবং সহযোগী। "অত্যন্ত সৃজনশীল, অত্যন্ত মার্জিত, অত্যন্ত মৌলিক।"

তিনি যে প্রশ্নগুলি জিজ্ঞাসা করেছিলেন তা এখনও সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানের সীমানাকে ঠেলে দিচ্ছে। এই প্রশ্নগুলির মধ্যে অনেকগুলি গাণিতিক কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত যেগুলির একটি ফেজ ট্রানজিশন রয়েছে - একটি আকস্মিক ম্যাক্রোস্কোপিক পরিবর্তন, যেমন জলে বরফ গলে যাওয়া। যেমন বিভিন্ন পদার্থের বিভিন্ন গলনাঙ্ক থাকে, তেমনি গাণিতিক কাঠামোর পর্যায় পরিবর্তনও পরিবর্তিত হয়।

শ্রাম অনুমান করেছিলেন যে পার্কোলেশন নামক একটি প্রক্রিয়ায় ধাপের রূপান্তরটি সিস্টেমের শুধুমাত্র একটি ক্লোজ-আপ ভিউ ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে — যাকে স্থানীয় দৃষ্টিকোণ বলা হয় — অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক কাঠামোর জন্য। সমস্ত উপায়ে জুম করা এবং পুরো জিনিসটির দিকে তাকানো গণনাকে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন করবে না। গত 15 বছরে, গণিতবিদরা অনুমানের ছোট ছোট টুকরোগুলিকে দূরে সরিয়ে দিয়েছেন, কিন্তু এখন পর্যন্ত, তারা এটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করতে সক্ষম হননি।

একটি ইন প্রিপ্রিন্ট অক্টোবরে পোস্ট করা হয়েছে, টম হাচক্রফট ক্যালিফোর্নিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির এবং তার ডক্টরেট ছাত্র ফিলিপ ইসো শ্রামের স্থানীয় অনুমান প্রমাণ করেছে। তাদের প্রমাণ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির প্রধান ধারণাগুলির উপর নির্ভর করে, যা তারা একটি চতুর উপায়ে একত্রিত করেছে।

"এটি একটি অসাধারণ কাগজ। এটি দীর্ঘ কাজের সঞ্চয়, "বেঞ্জামিনি বলেছিলেন।

অসীম ক্লাস্টার

"পরকোলেশন" শব্দটি মূলত একটি ছিদ্রযুক্ত মাধ্যমে তরল চলাচলকে বোঝায়, যেমন কফি গ্রাউন্ডের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত জল বা পাথরের ফাটলের মধ্য দিয়ে তেল ঝরতে থাকে।

1957 সালে, গণিতবিদ সাইমন রাল্ফ ব্রডবেন্ট এবং জন মাইকেল হ্যামারসলে এই শারীরিক প্রক্রিয়ার একটি গাণিতিক মডেল তৈরি করেছিলেন। দশকের পর থেকে, এই মডেলটি নিজের অধিকারে অধ্যয়নের বস্তু হয়ে উঠেছে। গণিতবিদরা পারকোলেশন অধ্যয়ন করেন কারণ এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভারসাম্যকে আঘাত করে: সেটআপটি সহজ, তবে এটি জটিল এবং বিস্ময়কর বৈশিষ্ট্যগুলি প্রদর্শন করে।

"এটি গণিতবিদদের জন্য একটি আদর্শ মডেলের মত," হাচক্রফট বলেছেন। “আপনি দৃশ্যত জিনিস চিন্তা করতে পারেন. এটির সাথে কাজ করা সত্যিই সুন্দর করে তোলে।"

পারকোলেশন একটি গ্রাফ দিয়ে শুরু হয়, যা কিনারা (রেখা) দ্বারা সংযুক্ত হতে পারে এমন শীর্ষবিন্দু (বিন্দু) এর একটি সংগ্রহ। সবচেয়ে সহজ উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল একটি বর্গাকার গ্রিড, যার কয়েকটিকে সংযুক্ত করে বর্গাকার এবং প্রান্তগুলির কোণগুলি তৈরি করার জন্য শীর্ষবিন্দুগুলি রেখাযুক্ত।

তার মৃত্যুর কিছুদিন আগে, শ্রাম অনুমান করেছিলেন যে গ্রিমেট এবং মারস্ট্র্যান্ডের উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। তিনি মনে করতেন যে পারকোলেশন থ্রেশহোল্ড সম্পূর্ণরূপে ক্লোজ-আপ বা "অণুবীক্ষণিক" দৃষ্টিকোণ দ্বারা নির্ধারিত হয় যা ট্রানজিটিভ গ্রাফ নামে পরিচিত গ্রাফের একটি বড় শ্রেণীর জন্য।

2009 সালে, বেঞ্জামিনী, আসফ নাছমিয়াস এবং ইউভাল পেরেস প্রতিপন্ন শ্রামের স্থানীয়তা অনুমান, এটি এখন পরিচিত, একটি নির্দিষ্ট ধরণের ট্রানজিটিভ গ্রাফের জন্য যা একটি গাছের মতো। শ্রাম, যাইহোক, অনুমান করেছিল যে এটি সমস্ত ট্রানজিটিভ গ্রাফের জন্য (এক-মাত্রিক গ্রাফের ব্যতিক্রম সহ) ধরে রাখবে।

একটি ট্রানজিটিভ গ্রাফে, সমস্ত শীর্ষবিন্দু একই রকম দেখায়। একটি দ্বি-মাত্রিক গ্রিড একটি উদাহরণ। আপনি যদি দুটি শীর্ষবিন্দু বাছাই করেন, আপনি সর্বদা একটি প্রতিসাম্য খুঁজে পেতে পারেন যা একটি শীর্ষকে অন্য শীর্ষে নিয়ে যায়।

এই সম্পর্ক যেকোন ট্রানজিটিভ গ্রাফের জন্য ধারণ করে। এই প্রতিসাম্যগুলির কারণে, আপনি যদি জুম ইন করেন এবং একটি ট্রানজিটিভ গ্রাফের যেকোন দুটি সমান-আকারের প্যাচগুলি দেখেন তবে তারা একই দেখাবে। এই কারণে, শ্রাম বিশ্বাস করতেন যে ক্লোজ-আপ দৃষ্টিকোণটি গণিতবিদদের সমস্ত ট্রানজিটিভ গ্রাফের জন্য পারকোলেশন থ্রেশহোল্ড গণনা করার অনুমতি দেওয়ার জন্য যথেষ্ট।

ট্রানজিটিভ গ্রাফ অনেক আকার এবং ফর্ম নিতে পারে। এগুলি একটি সাধারণ গ্রিড হতে পারে, যা বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ, ষড়ভুজ বা অন্য কোন আকার দিয়ে তৈরি। অথবা তারা একটি "3-নিয়মিত গাছ" এর মতো একটি জটিল বস্তু তৈরি করতে পারে, যেখানে একটি কেন্দ্রীয় বিন্দু তিনটি শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযোগ করে এবং প্রতিটি শীর্ষবিন্দু তারপর দুটি নতুন বিজ্ঞাপন অসীম তৈরি করতে শাখা তৈরি করে, যার প্রথম কয়েকটি ধাপ এখানে দেখা যায়:

ট্রানজিটিভ গ্রাফের বিভিন্নতা শ্রামের স্থানীয়তা অনুমান প্রমাণ করার অসুবিধায় অবদান রাখে। শ্রামের অনুমান এবং ইসো এবং হাচক্রফটের প্রমাণের মধ্যে 15 বছরের মধ্যে, গণিতবিদদের বিভিন্ন দল নির্দিষ্ট ধরণের গ্রাফের অনুমান প্রমাণ করেছিল, কিন্তু তাদের ধারণাগুলি কখনই সাধারণ ক্ষেত্রে প্রসারিত হয়নি।

হাচক্রফ্ট বলেন, "সমস্ত সম্ভাব্য জ্যামিতির স্থানটি খুব বিস্তৃত এবং সেখানে সবসময় অদ্ভুত জিনিস লুকিয়ে থাকে।"

লেন্স প্রশস্ত করা

Easo এবং Hutchcroft প্রাথমিকভাবে শ্রামের স্থানীয় অনুমানের সমাধান খুঁজছিলেন না, যা অসীম গ্রাফগুলিতে প্রযোজ্য। তারা পরিবর্তে সীমিত গ্রাফে পারকোলেশন অধ্যয়ন করছিল। কিন্তু তাদের একটা ধারণা ছিল যেটা হঠাৎ করেই তাদের দৃষ্টিকে অনুমানের দিকে সরিয়ে দিল।

"আমরা এই নতুন টুলটি নিয়ে এসেছি, এবং আমরা ভেবেছিলাম, ওহ, এটি এমন একটি জিনিসের মতো মনে হচ্ছে যা লোকালয়ে আক্রমণ করতে সহায়ক হতে পারে," ইসো বলেছেন।

অনুমান প্রমাণ করার জন্য, তাদের দেখাতে হয়েছিল যে মাইক্রোস্কোপিক দৃষ্টিকোণটি পারকোলেশন থ্রেশহোল্ডের একটি সঠিক স্ন্যাপশট দেয়। আপনি যখন একটি গ্রাফের কিছু অংশ দেখেন এবং একটি বড় সংযুক্ত ক্লাস্টার পর্যবেক্ষণ করেন, তখন আপনি অনুমান করতে পারেন যে গ্রাফটিতে একটি অসীম ক্লাস্টার রয়েছে এবং তাই এটি পারকোলেশন থ্রেশহোল্ডের উপরে। Easo এবং Hutchcroft এটা প্রমাণ করতে প্রস্তুত.

তারা এমন একটি কৌশলের উপর নির্ভর করেছিল যেটিকে "লেন্স প্রশস্ত করা" হিসাবে ভাবা যেতে পারে। একটি একক শীর্ষে শুরু করুন। তারপরে মূল গ্রাফের এক প্রান্ত দূরে থাকা সমস্ত শীর্ষবিন্দুগুলি দেখতে জুম আউট করুন৷ বর্গাকার গ্রিডে, আপনি এখন মোট পাঁচটি শীর্ষবিন্দু দেখতে সক্ষম হবেন। দুই প্রান্তের দূরত্বের মধ্যে সমস্ত শীর্ষবিন্দু দেখতে লেন্সটিকে আবার প্রশস্ত করুন এবং তারপরে তিন প্রান্তের দূরত্ব, চারটি প্রান্ত এবং আরও অনেক কিছু।

Easo এবং Hutchcroft ডায়াল সেট করে যা নির্ধারণ করে যে তারা যেখানে একটি বড় ক্লাস্টার দেখেছে তার কাছাকাছি কতগুলি লিঙ্ক রয়েছে। তারপরে তারা লেন্সটি প্রশস্ত করে, তাদের বড় ক্লাস্টারে আরও বেশি সংখ্যক প্রান্ত জড়ো হতে দেখে। যেহেতু তারা এটি করেছিল, তাদের লিঙ্কগুলি উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা বাড়াতে হয়েছিল, যা গ্রাফটিতে একটি বড় সংযুক্ত উপাদান রয়েছে তা দেখানো সহজ করে তোলে। এটি একটি সূক্ষ্ম ভারসাম্যমূলক কাজ। নাটকীয়ভাবে ডায়ালের অবস্থান পরিবর্তন না করে সম্পূর্ণ অসীম গ্রাফ প্রকাশ করার জন্য তাদের দৃশ্যের ক্ষেত্রটি দ্রুত যথেষ্ট পরিমাণে প্রশস্ত করা এবং লিঙ্কগুলি যোগ করার প্রয়োজন ছিল।

তারা দেখাতে সক্ষম হয়েছিল যে বড় ক্লাস্টারগুলি ছোটগুলির চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়, যাতে Easo বলে, "আপনার ক্লাস্টার দ্রুত এবং দ্রুত বৃদ্ধি পায় যখন এটি বড় এবং বড় হয়, ঠিক যেমন আপনি একটি স্নোবল ঘূর্ণায়মান করছেন।"

বর্গাকার গ্রিডের জন্য, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা তুলনামূলকভাবে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়। এটি মোটামুটিভাবে আপনার লেন্সের বর্গক্ষেত্রের প্রস্থ। 10টি ধাপের পরে, আপনি প্রায় 100টি শীর্ষবিন্দু খুঁজে পাবেন। কিন্তু একটি 3-নিয়মিত গাছ দ্রুতগতিতে বৃদ্ধি পায় — মোটামুটি 2 আপনার লেন্সের প্রস্থের শক্তিতে উত্থাপিত হয়। 10টি ধাপের পরে, আপনি প্রায় 1,024টি শীর্ষবিন্দু দেখতে পাবেন। নীচের দৃষ্টান্তটি দেখায় যে কীভাবে 3-নিয়মিত গাছটি মাত্র সাতটি ধাপ পরে অনেক বড় হয়, যদিও বর্গাকার গ্রিডে প্রথমে আরও শীর্ষবিন্দু রয়েছে। সাধারণভাবে, গ্রাফগুলির বিভিন্ন স্কেলে বিভিন্ন বৃদ্ধির হার থাকতে পারে — সেগুলি দ্রুত শুরু হতে পারে এবং তারপরে ধীর হয়ে যেতে পারে।

2018 সালে ফিরে, Hutchcroft একটি অনুরূপ ধারণা ব্যবহার করা হয় 3-নিয়মিত গাছের মতো দ্রুত বর্ধনশীল গ্রাফের জন্য স্থানীয় অনুমান প্রমাণ করতে। কিন্তু এটি বর্গাকার গ্রিডের মতো ধীর-বৃদ্ধি গ্রাফের জন্য বা মধ্যবর্তী গতিতে বেড়ে ওঠা গ্রাফগুলির জন্য কাজ করেনি, দ্রুত বৃদ্ধির জন্য গাণিতিক মানদণ্ড বা ধীর বৃদ্ধির জন্য নয়।

হাচক্রফট বলেন, "এখানেই তিন বছরের মতো বিষয়গুলো সত্যিই হতাশাজনক হয়ে ওঠে।"

গঠন বনাম সম্প্রসারণ

বিভিন্ন স্কেলে বৃদ্ধির হার মিশ্রিত গ্রাফগুলির জন্য, আপনাকে বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করতে হবে।

একটি খুব সহায়ক তথ্য হল যে, যেমন Easo ব্যাখ্যা করেছেন, "যদি একটি গ্রাফ কিছু স্কেলে ধীর-বৃদ্ধি দেখায়, তবে এটি আটকে যায়।" এটি বড় স্কেলে ধীরে ধীরে বাড়তে থাকবে। যেহেতু ধীর-বৃদ্ধি গ্রাফের অতিরিক্ত কাঠামো থাকে যা গণিতের একটি শাখা দ্বারা নির্ধারিত হয় গ্রুপ তত্ত্ব বলে, এটাও জানা ছিল যে যদি আপনি যথেষ্ট পরিমাণে জুম আউট করেন, তবে ধীর-বৃদ্ধি গ্রাফগুলি জ্যামিতি প্রদর্শন করে যা গাণিতিকভাবে টেম।

2021 সালে, প্যারিসের সোরবোন ইউনিভার্সিটির সেবাস্তিয়ান মার্টিনো, ড্যানিয়েল কনটেরাসের সাথে কাজ করে এবং ভিনসেন্ট টাশন ETH জুরিখ, এই সম্পত্তি ব্যবহার করতে সক্ষম ছিল শ্রামের স্থানীয় অনুমান প্রমাণ করুন গ্রাফের জন্য যা অবশেষে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়।

এই মুহুর্তে, গণিতবিদদের দুটি দল সফলভাবে বিভিন্ন দিক থেকে অনুমানকে মোকাবেলা করেছিল: দ্রুত-বৃদ্ধি এবং ধীর-বৃদ্ধি। কিন্তু এই বিশাল ফাঁক রেখে গেছে। একের জন্য, একটি মধ্যবর্তী-বৃদ্ধি বিভাগ রয়েছে যা Easo এবং Hutchcroft-এর কৌশল বা Contreras, Martineau এবং Tassion-এর প্রমাণ দ্বারা কভার করা হয়নি। আরেকটি সমস্যা ছিল যে আর্গুমেন্টগুলি এখনও পরিবর্তিত বৃদ্ধির হার সহ গ্রাফগুলিতে প্রযোজ্য নয় - শুধুমাত্র যেগুলি দ্রুত বা ধীরগতিতে ছিল। Contreras, Martineau এবং Tassion যুক্তি নির্বিচারে গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করার জন্য, আপনি জুম আউট করার সময় জ্যামিতিটি শেষ পর্যন্ত শালীন দেখায় তা যথেষ্ট ছিল না, Easo ব্যাখ্যা করেছেন: "বর্তমান স্কেলের কাছাকাছি, আমাদের এখন এটিকে শান্ত দেখাতে হবে।"

দাঁড়াতেই মাঝখানে

মধ্যবর্তী বৃদ্ধির ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলি খুব রহস্যময়। গণিতবিদরা কখনও এমন একটি ট্রানজিটিভ গ্রাফের উদাহরণ খুঁজে পাননি যার বৃদ্ধি এই পরিসরে পড়ে। এটা সম্ভব যে তারা এমনকি অস্তিত্ব না. কিন্তু গণিতবিদরা প্রমাণ করেননি যে তাদের অস্তিত্ব নেই, তাই শ্রামের স্থানীয় অনুমানের কোনো সম্পূর্ণ প্রমাণ অবশ্যই তাদের সমাধান করতে হবে। চ্যালেঞ্জের সাথে যোগ করে, Easo এবং Hutchcroft-এর গ্রাফগুলিকে সম্বোধন করতে হবে যেগুলি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের স্কেলে মধ্যবর্তী বৃদ্ধি হতে পারে, এমনকি আপনি যখন জুম ইন বা আউট করেন তখন তারা দ্রুত বা ধীরগতিতে বৃদ্ধি পায়।

Easo এবং Hutchcroft গত বছরের বেশিরভাগ সময় কাটিয়েছে তাদের ফলাফলগুলিকে গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করার জন্য প্রসারিত করার জন্য যা পূর্বের কোন পদ্ধতি দ্বারা আচ্ছাদিত ছিল না।

প্রথমত, তারা 2018 সালের কৌশলটি সংশোধন করেছে যা হাচক্রফট দ্রুত বর্ধনশীল গ্রাফে প্রয়োগ করেছিল এমন গ্রাফগুলিতে কাজ করার জন্য যা বিভিন্ন স্কেলে বৃদ্ধির মাত্রা পরিবর্তন করে। তারপরে তারা ধীর-বৃদ্ধির মামলাটি মোকাবেলা করেছিল, ইন একটি 27-পৃষ্ঠা কাগজ তারা আগস্টে ভাগ করেছে যা কনট্রেরাস, মার্টিনউ এবং টাশনের কাজ সম্প্রসারিত করেছে। অবশেষে, তাদের অক্টোবরের প্রিপ্রিন্টে, তারা এলোমেলো হাঁটার তত্ত্ব ব্যবহার করে আরেকটি যুক্তি তৈরি করেছিল — রেখাগুলি যা স্থানের মধ্য দিয়ে এলোমেলোভাবে নড়ছে — মধ্যবর্তী-বৃদ্ধি কেস পরিচালনা করতে। ট্রাইকোটমি সম্পূর্ণ হওয়ার সাথে সাথে, তারা শ্রামের স্থানীয় অনুমান প্রমাণ করেছিল।

হাচক্রফ্ট বলেন, "আমরা যা জানতাম তার সবকিছুই আমাদের সমস্যায় ফেলতে হয়েছিল।"

সমাধানটি গণিতবিদদের একটি ভাল অন্তর্দৃষ্টি দেয় যা পারকোলেশন থ্রেশহোল্ডের উপরে কী ঘটবে, যেখানে একটি অসীম ক্লাস্টারের সম্ভাবনা 100% এবং এর নীচে, যেখানে সম্ভাবনা 0%। কিন্তু ত্রিমাত্রিক গ্রিড সহ বেশিরভাগ গ্রাফের থ্রেশহোল্ডে ঠিক কী ঘটে তা দেখে গণিতবিদরা এখনও স্তব্ধ। "এটি সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত, সবচেয়ে মৌলিক উন্মুক্ত প্রশ্নটি পারকোলেশন তত্ত্বে," বলেন রাসেল লিয়ন্স ইন্ডিয়ানা বিশ্ববিদ্যালয়ের।

দ্বি-মাত্রিক গ্রিড হল এমন কয়েকটি ক্ষেত্রের মধ্যে একটি যেখানে গণিতবিদরা প্রমাণ করেছেন যে থ্রেশহোল্ডে ঠিক কী ঘটে: অসীম ক্লাস্টার তৈরি হয় না। এবং Grimmett এবং Marstrand বড় স্ল্যাবগুলির জন্য স্থানীয় অনুমানের একটি সংস্করণ প্রমাণ করার পরে, Grimmett এবং সহযোগীরা দেখিয়েছেন যে আপনি যদি একটি 3D গ্রিডকে অর্ধেক অনুভূমিকভাবে স্লাইস করেন, একটি মেঝে তৈরি করেন এবং ডায়ালটিকে ঠিক পারকোলেশন থ্রেশহোল্ডে টিউন করেন, তাহলে কোন অসীম ক্লাস্টার প্রদর্শিত হবে না। তাদের ফলাফল ইঙ্গিত দেয় যে সম্পূর্ণ ত্রি-মাত্রিক গ্রিড, তার দ্বি-মাত্রিক প্রতিরূপের মতো, পারকোলেশন থ্রেশহোল্ডে একটি অসীম ক্লাস্টার নাও থাকতে পারে।

1996 সালে, বেঞ্জামিনী এবং শ্রাম অনুমান করা যে থ্রেশহোল্ডে একটি অসীম ক্লাস্টার খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা সমস্ত ট্রানজিটিভ গ্রাফের জন্য শূন্য — যেমন এটি 2D গ্রিড বা 3D গ্রিডের জন্য অর্ধেক কাটা। এখন যেহেতু স্থানীয় অনুমান স্থির হয়ে গেছে, স্থানান্তরের বিন্দুতে ঠিক কী ঘটবে তার একটি বোঝার কিছুটা কাছাকাছি হতে পারে।

কারেকশন: ডিসেম্বর 18, 2023
একটি 3-নিয়মিত গ্রাফে একটি প্রারম্ভিক নোডের n লিঙ্কের মধ্যে নোডের সংখ্যা মোটামুটি 2 হিসাবে বৃদ্ধি পায়ⁿ, 3 নয়ⁿ এই নিবন্ধটি মূলত বিবৃত হিসাবে. নিবন্ধটি সংশোধন করা হয়েছে।

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।