একজন গণিতবিদ বীজগণিত এবং জ্যামিতির মধ্যে নাচছেন

অনেক লোকের মতো যারা গণিতবিদ হয়ে উঠবে, ওয়েই হো গণিত প্রতিযোগিতায় প্রতিদ্বন্দ্বিতা করে বড় হয়েছি। অষ্টম শ্রেণীতে, তিনি উইসকনসিনে ম্যাথকাউন্টস রাজ্য প্রতিযোগিতায় জয়ী হন এবং তার দল জাতীয় পর্যায়ে তৃতীয় স্থান অধিকার করে।

অনেক ভবিষ্যতের গণিতবিদদের থেকে ভিন্ন, তিনি নিশ্চিত ছিলেন না যে তিনি কখনও একজন হতে চান।

"আমি সব কিছু করতে চেয়েছিলাম, সব সময়," হো বলেন। “আমি প্রাথমিক উচ্চ বিদ্যালয় পর্যন্ত ব্যালেকে খুব গুরুত্ব সহকারে নিয়েছিলাম। আমি সাহিত্য পত্রিকা সম্পাদনা করেছি। আমি বিতর্ক এবং ফরেনসিক করেছি। আমি টেনিস এবং সকার এবং পিয়ানো এবং বেহালা খেলেছি।" এর বিপরীতে, অনেক সফল গণিতবিদকে গণিতের প্রতি আচ্ছন্ন মনে হয়েছে অন্য সবকিছু বাদ দিয়ে। কিভাবে সে, অসংখ্য আবেগ সহ একজন ব্যক্তি, সেই স্তরের ফোকাসের সাথে প্রতিদ্বন্দ্বিতা করতে পারে?

শেষ পর্যন্ত, হো গণিতের কঠোরতার প্রতি আকৃষ্ট হয়েছিল। তিনি এখনও ব্যালে, উপন্যাস পড়া এবং ক্রিপ্টিক ক্রসওয়ার্ড পাজলগুলি উপভোগ করেন, এমনকি তিনি গাণিতিক যন্ত্রপাতিকে নতুনভাবে উদ্ভাবন করতে সাহায্য করেন যা মৌলিক গাণিতিক বস্তুগুলিকে আন্ডারপিন করে, যেমন বহুপদী সমীকরণ, যার সাথে যুক্ত দীর্ঘস্থায়ী এবং বিভ্রান্তিকর খোলা প্রশ্ন রয়েছে৷

হো পরিচিত জ্যামিতিক বস্তুগুলি অধ্যয়ন করে, কিন্তু সেগুলিকে মূলদ সংখ্যার পরিমণ্ডলে স্থাপন করার জন্য প্রশ্নগুলিকে সংস্কার করে — যে সংখ্যাগুলিকে ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে। "তারপর সংখ্যা তত্ত্ব এই সবের সাথে মিশ্রিত হতে শুরু করে," তিনি বলেছিলেন।

তিনি বিশেষভাবে উপবৃত্তাকার বক্ররেখায় আগ্রহী, যেগুলি একটি বিশেষ ধরনের বহুপদী সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা গণিতের বিভিন্ন শাখায় প্রয়োগ করে। উপবৃত্তাকার বক্ররেখা বিশ্লেষণে উপস্থিত হয় — বিস্তৃতভাবে বলতে গেলে, বাস্তব সংখ্যার মতো অবিচ্ছিন্ন জিনিসগুলির অধ্যয়ন — এবং বীজগণিত, যা সুনির্দিষ্ট গাণিতিক কাঠামো খুঁজে বের করা এবং সংজ্ঞায়িত করার বিষয়ে। (যদিও তাদের ফোকাস ভিন্ন, বিশ্লেষণ এবং বীজগণিত একটি কঠোর সীমানার চেয়ে সংবেদনশীলতার দ্বারা বেশি বিভক্ত, কারণ তাদের মধ্যে প্রচুর ওভারল্যাপ রয়েছে।)

2018 সালে প্রকাশিত একটি বাধা-ভাঙ্গা প্রিপ্রিন্টে, হো এবং তার সহযোগী Levent Alpöge হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একটি নতুন উপরের সীমা আবিষ্কৃত উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করে এমন বহুপদে পূর্ণসংখ্যা সমাধানের সংখ্যার জন্য। তাদের কৌশলটি আমেরিকান গণিতবিদ লুই মর্ডেলের দশকের পুরানো কাজের উপর আঁকেন, যিনি 1906 সালে ব্রিটেনে চলে আসেন। তাদের গবেষণাপত্রে, হো এবং আলপোজ এই পূর্ণসংখ্যা সমাধানগুলির বিতরণ সম্পর্কে নতুন তথ্য সংগ্রহ করতে সক্ষম হয়েছিল যা অনুরূপ অধ্যয়নরত অন্যান্য দলগুলিকে এড়িয়ে গিয়েছিল। সমস্যা

হো ইন্সটিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে ভিজিটিং প্রফেসর হিসেবে (মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয়ের ফ্যাকাল্টি পদ থেকে ছুটিতে) বছর কাটাচ্ছেন, যেখানে তাকে সম্প্রতি IAS-এর নারী ও গণিত প্রোগ্রামের প্রথম পরিচালক হিসেবে মনোনীত করা হয়েছে। তিনি আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির 2023 সালের ফেলো এবং প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির একজন গবেষণা পণ্ডিত।

তিনি আশাবাদী যে মহিলা এবং গণিত প্রোগ্রাম পরিচালনা করা "অন্তত সম্প্রদায়কে আরও বেশি সাহায্য করবে, আরও বেশি লোককে সাহায্য করবে, শুধুমাত্র আমি আমার অফিসে নিজের দ্বারা বা সহযোগীদের সাথে গণিত গবেষণা করার পরিবর্তে," তিনি বলেছিলেন। “আমি উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারি, এবং হয়তো একদিন আমি একটি উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারি যে 100 বছরের মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ হবে। হয়তো, হয়তো না. কিন্তু আমি অনুভব করেছি যে আমি বিশ্ব বা আমার চারপাশের লোকেদের উপর যথেষ্ট প্রভাব ফেলছি না।"

কোয়ান্টা ভিডিও কনফারেন্সের একটি সিরিজে হো এর সাথে কথা বলেছেন। সাক্ষাত্কারগুলি সংক্ষিপ্ত এবং স্পষ্টতার জন্য সম্পাদনা করা হয়েছে।

আপনি যেভাবে গণিত করবেন তা কীভাবে বর্ণনা করবেন?

কখনও কখনও গণিতবিদরা নিজেদেরকে বীজগণিত এবং বিশ্লেষণাত্মক ব্যক্তিদের মধ্যে বিভক্ত করেন। আমি যে গণিত করি তা উভয় দিকেই স্পর্শ করে, কিন্তু মনের দিক থেকে, আমি একজন বীজগণিতবিদ, যদিও আমি যেভাবে চিন্তা করি সেভাবে আমি জ্যামিতিক। আমি প্রায়ই বীজগণিত এবং জ্যামিতি মূলত একই হিসাবে দেখতে ঝোঁক.

এটি পুরোপুরি সঠিক নয়, তবে মূলত দেকার্তের কাজ থেকে এবং বিশেষত গত শতাব্দীতে, দুটি বিষয় সত্যিই ঘনিষ্ঠ হয়ে উঠেছে। একটি বরং সুনির্দিষ্ট অভিধান আছে যা কিছু পরিস্থিতিতে একটি জ্যামিতিক ছবিকে বীজগাণিতিক ফলাফলে অনুবাদ করতে সাহায্য করতে পারে।

আমার নিজের ক্ষেত্রে, জ্যামিতিক ছবি প্রায়শই বিবৃতি এবং অনুমান তৈরি করতে এবং অন্তর্দৃষ্টি দিতে সাহায্য করে, কিন্তু তারপরে আমরা লেখার সময় বীজগণিতে তাদের অনুবাদ করি। বীজগণিত সাধারণত আরও কঠোর হওয়ায় ভুল সনাক্ত করা সহজ। জ্যামিতি কল্পনা করা খুব কঠিন হয়ে গেলে বীজগণিত ব্যবহার করাও সহজ হতে পারে।

আপনার সাম্প্রতিক কাজে আপনি কোন ধারনার উপর ফোকাস করছেন?

আমার বেশ কিছু কাজ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সাথে করতে হবে, যা সংখ্যা তত্ত্ব এবং গাণিতিক জ্যামিতিতে খুব স্বাভাবিক বস্তু।

এই ধরনের সমীকরণের পূর্ণসংখ্যা সমাধান করা কঠিন হওয়া উচিত। আমরা আশা করি, মূলত, প্রায় সব বক্ররেখার কোনো পূর্ণসংখ্যা সমাধান থাকা উচিত নয়। কিন্তু এটা প্রমাণ করা খুব কঠিন।

লেভেন্ট এবং আমি অখণ্ড বিন্দুর সংখ্যার এই বন্টনটি অধ্যয়ন করেছি। আমরা মর্ডেলের 1969 বই থেকে একটি ধ্রুপদী নির্মাণ ব্যবহার করি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ. আমরা একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অবিচ্ছেদ্য বিন্দুর সংখ্যার উপর একটি উপরের সীমা দিতে সক্ষম। অন্যান্য লোকেরা উপরের সীমানা দিয়েছে। আমরা একটি ভিন্ন আবদ্ধ খুঁজে পেয়েছি যা বলা সহজ।

আপনার সাম্প্রতিক ফলাফলে মর্ডেলের আগের কাজ কী ভূমিকা পালন করেছিল?

আমাদের প্রশ্নে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অবিচ্ছেদ্য বিন্দু জড়িত। মর্ডেলের কাছে এটিকে অন্য কিছুর সাথে সম্পর্কিত করার একটি উপায় রয়েছে যা আমরা অধ্যয়ন করতে সক্ষম।

এটি এমন কিছু যা আমরা গণিতে সব সময় করি: আমরা একটি বস্তুকে বুঝতে চাই, কিন্তু এটি বোঝার জন্য আমাদের একটি প্রক্সি খুঁজে বের করতে হবে। কখনও কখনও যে প্রক্সি খুব সঠিক হয়. কখনও কখনও এটি তথ্য হারায়। কিন্তু এটা আসলে কিছু আমরা অ্যাক্সেস করতে পারেন.

আপনি কখন গণিতে ফোকাস করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন?

আমি মনে করি না আমার জন্য একটি টিপিং পয়েন্ট ছিল. আমি এখন আমার জীবন এবং কর্মজীবন নিয়ে খুশি, কিন্তু আমি অনুভব করি যে জিনিসগুলি যদি কিছুটা ভিন্ন হত, আমি অনেক ক্যারিয়ার বা অন্যান্য ক্ষেত্রে খুশি হতে পারতাম। সম্ভবত এটি এমন কিছু যা বেশিরভাগ গণিতবিদরা বলবেন না, কারণ তারা গণিত সম্পর্কে কতটা উত্সাহী এবং কীভাবে তারা অন্য কিছু সম্পর্কে কখনই ভাবতে পারে না সে সম্পর্কে কথা বলতে পছন্দ করে। আমার জন্য, আমি এটা সত্য মনে করি না.

আমি বিভিন্ন জিনিস অনেক সম্পর্কে কৌতূহলী হয়. সম্ভবত আমি একজন গণিতবিদ হয়েছি কারণ আমি অন্যান্য ক্ষেত্রে কঠোরতার অভাব নিয়ে হতাশ ছিলাম। ছোটবেলায়, আমি কিছু উপায়ে একজন গণিতবিদের মতো চিন্তা করতে প্রশিক্ষিত হয়েছিলাম, কারণ আমরা এভাবেই বাড়িতে কাজ করতাম। আমার বাবা আমার সাথে গণিতের খেলা খেলতেন, যার মানে আমি অল্প বয়স থেকেই যৌক্তিক যুক্তি শিখছিলাম। আমি জিনিসগুলো প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম।

কিন্তু আমি নিশ্চিত ছিলাম না যে আমি একজন ভালো গণিতবিদ হব।

কেন?

যখন আমি ছোট ছিলাম, আমি জানতাম না যে অনেক গণিতের মানুষ যারা আমার মতো বিভিন্ন উপায়ে। আমরা রোল মডেল সম্পর্কে এই শব্দ চারপাশে নিক্ষেপ. এটা শুধু যে আমি পর্যাপ্ত মহিলা বা এশিয়ান আমেরিকান মহিলাদের দেখতে পাইনি তা নয়।

আমি যা বলতে চাচ্ছি তা হল আমি এমন অনেক লোককে দেখিনি যারা গণিত ছাড়া অন্য জিনিস সম্পর্কে উত্সাহী ছিল। এটা আমাকে অনেক সন্দেহ করেছে। যদি আমি আমার 100% সময় গণিত নিয়ে চিন্তা না করি তাহলে আমি কিভাবে গণিতে সফল হতে পারি? আমি আমার চারপাশে যা দেখেছি। আমার ধারণা ছিল যে অন্য লোকেরা আমার থেকে, আমার সমবয়সীদের এবং আমার চেয়ে বয়স্ক ব্যক্তিদের থেকে ভিন্নভাবে গণিতের কাছে আসছে। আমি ভেবেছিলাম এমন একটি পেশা অনুসরণ করা কঠিন যেখানে আমি এমন হতে যাচ্ছি না। আমার অন্যান্য আগ্রহ থাকবে।

মানুষের দৃষ্টিভঙ্গি এমন কিছু যা আমি অন্য লোকেদের এতটা যত্ন নিতে দেখিনি। আমি ভয় পেয়েছিলাম যে আমার একটি অংশ আমাকে গণিতবিদ হওয়ার ক্ষেত্রে খারাপ করে তুলবে।

আপনি সবেমাত্র আইএএস-এর মহিলা এবং গণিত প্রোগ্রামের ডিরেক্টর মনোনীত হয়েছেন। কি সেই প্রোগ্রাম নারী গণিতবিদদের অফার করে?

এটি কর্মজীবনের বিভিন্ন পর্যায়ে মহিলাদের জন্য একটি সপ্তাহব্যাপী কর্মশালা, যার মধ্যে স্নাতক মহিলা, স্নাতক ছাত্র, পোস্টডক্স এবং কিছু জুনিয়র এবং সিনিয়র ফ্যাকাল্টি রয়েছে৷ এটি একটি সহায়ক পরিবেশে গণিত শেখা।

আন্ডারগ্র্যাজুয়েটরা যারা হয়তো জানেন না যে তারা গণিত নিয়ে যেতে চান তারা খুব সিনিয়র গণিতবিদদের সাথে দেখা করছেন এবং সমস্ত উপায়ে পরামর্শ দিচ্ছেন। তারা কর্মজীবনের বিভিন্ন পর্যায়ে বিভিন্ন লোককে দেখতে পারে এবং তাদের অভিজ্ঞতা সম্পর্কে লোকেদের সাথে কথা বলতে পারে। আমি মনে করি না যে অন্য অনেক প্রোগ্রাম আছে যেগুলির সম্পূর্ণ পরিসীমা রয়েছে এবং একটি নির্দিষ্ট সাবফিল্ডে ফোকাস করা হয়েছে।

2023 প্রোগ্রামটিকে "পূর্ণসংখ্যার প্যাটার্নস" বলা হয়। এটিতে সংযোজন সংমিশ্রণ এবং বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্বে প্রচুর লোক থাকবে। আমরা তাদের সাথে দেখা করার জন্য বিভিন্ন কর্মজীবনের পথ থেকে লোকেদের নিয়ে আসি।

বয়স্ক স্নাতক ছাত্রদের জন্য যারা ইতিমধ্যেই এই এলাকায় কাজ করছে, তারা তাদের ক্ষেত্রে পোস্টডক্স, জুনিয়র এবং সিনিয়র ফ্যাকাল্টির সাথে দেখা করছে এবং তাদের সাথে এক সপ্তাহ কাজ করার সুযোগ পাচ্ছে।

আপনিও এর সাথে জড়িত স্ট্যাক প্রকল্প, যা একটি বিস্তৃত অনলাইন সম্পদ। এটা সম্পর্কে অনন্য কি?

এর নিছক ভলিউম এবং অ্যাক্সেসযোগ্যতা। এটি এত বিশাল - 7,500 পৃষ্ঠার বেশি যদি আপনি এটি মুদ্রণ করেন - অনলাইন সহযোগী প্রকল্প৷ কিন্তু বাস্তবসম্মতভাবে, [কলাম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ] আইসে জোহান ডি জং এটি প্রায় সব লিখে. এটি বীজগণিত জ্যামিতির জন্য একটি কঠোর, সাবধানে লিখিত সম্পদ। এটি একটি আশ্চর্যজনক জিনিস যা তিনি সম্প্রদায়ের জন্য করেছেন।

প্রতি সপ্তাহে বা দুই সপ্তাহে, এটি বৃদ্ধি পায়। এটি প্রায় কিছুর জন্য একটি বিশ্বস্ত রেফারেন্স। এটি একটি বিশাল পরিমাণ বীজগণিত জ্যামিতি কভার করে যার জন্য আপনাকে 20টি পাঠ্যপুস্তকের মতো দেখতে হবে।

এটি এই অর্থে বাস করছে যে জিনিসগুলি যোগ করা এবং সম্পাদনা করা যেতে পারে। ভুল থাকলে ধরা পড়বে।

এটি সম্পর্কে আকর্ষণীয় ধরনের অন্য জিনিস হল ট্যাগ সিস্টেম. যদিও এই দস্তাবেজটি ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে, তবুও আপনি চিরকালের জন্য একটি নির্দিষ্ট ট্যাগ উল্লেখ করতে পারেন৷ নির্দিষ্ট ফলাফলের জন্য 21,000 টির বেশি স্থায়ী ট্যাগ রয়েছে যা আপনি উদ্ধৃত করতে চাইতে পারেন। পিটার বেলম্যানস পুরো পিছনের প্রান্তটি তৈরি করেছিলেন, যা অন্যান্য প্রকল্পেও ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যান্য লোকেরা এটির প্রযুক্তিকে মানিয়ে নিয়েছে।

সমস্যাটি হল - এবং জোহান এটি জানেন - তিনি শেষ পর্যন্ত এটি লিখতে সক্ষম হবেন না। কোনো দিন, যদি আমরা এটি চালিয়ে যেতে চাই, তাহলে অন্য লোকেদের আরও জড়িত হতে হবে।

স্ট্যাক প্রকল্পে আপনার কর্মশালাগুলি কী ভূমিকা পালন করে?

মূল বিষয় হল অল্পবয়সী লোকদের জড়িত করা শুরু করা। আমরা তাদের বিট এবং টুকরো লিখতে দিচ্ছি যা শেষ পর্যন্ত এতে অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। এখানে কিছু উত্তেজনা রয়েছে, কারণ ওয়েবসাইটটি সঠিক এবং উচ্চ মানের একটি সম্পদ হিসাবে থাকার জন্য, এটি সাবধানে সংযত করা প্রয়োজন। তাই জোহানকে এখনও অনেক কাজ করতে হবে এটার মধ্যে রাখার জন্য। এটি উইকিপিডিয়ার মতো হতে পারে না যেখানে কেউ এটি স্পর্শ করতে পারে। এটি কিছুটা দুর্ভাগ্যজনক তবে আপনি যদি এটি কাজ করতে চান তবে এটি ঘটতে হবে।

আমরা ধীরে ধীরে স্ট্যাক প্রকল্পে আরও বেশি লোককে যুক্ত করার উপায় বের করার চেষ্টা করছি। আমরা স্নাতক ছাত্র এবং পোস্টডক্সের সাথে প্রকল্পগুলিতে কাজ করার জন্য পরামর্শদাতাদের নিয়ে আসছি। তারা কিছু বীজগণিত জ্যামিতি শিখে। তারপর তারা কিছু লিখবে।

We শুধু প্রকাশিত একগুচ্ছ এক্সপোজিটরি নিবন্ধ সহ একটি ভলিউম যা আমরা আশা করি অবশেষে স্ট্যাক প্রকল্পে যাবে।

যদি পর্যাপ্ত লোক জড়িত থাকে এবং এটি চালিয়ে যেতে পারে তবে স্ট্যাক প্রকল্পটি শত শত বছর ধরে অত্যন্ত প্রভাবশালী হতে পারে।