1950 এর দশকের গোড়ার দিকে, ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডির একদল গবেষক একটি উচ্চ-প্রযুক্তি প্রকল্পে সূচনা করেন। এ আদেশ জন ভন নিউম্যান এবং হারম্যান গোল্ডস্টাইনের মধ্যে, পদার্থবিজ্ঞানী হেডভিগ সেলবার্গ আইএএস-এর 1,700-ভ্যাকুয়াম-টিউব কম্পিউটারকে কৌতূহলী গাণিতিক যোগফল গণনা করার জন্য প্রোগ্রাম করেছিলেন যার উত্স 18 শতকে প্রসারিত হয়েছিল।
রাশিগুলি খ্যাতিমান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের নামে নামকরণ করা হয়েছে চতুর্মুখী গাউস সমষ্টির সাথে সম্পর্কিত। গাউস কিছু মৌলিক সংখ্যা বেছে নেবেন p, তারপর $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ ফর্মের সংখ্যাগুলি যোগ করুন। তাদের সূচনা থেকে, দ্বিঘাত গাউস সমষ্টিগুলি নির্দিষ্ট ধরণের সমীকরণের সমাধান গণনার মতো কাজের জন্য অমূল্য প্রমাণিত হয়েছে। "এটা দেখা যাচ্ছে যে গাউসের অঙ্কগুলি যাদুকর, তারা কেবল বিস্ময়কর কাজ করে কারণ ঈশ্বর জানেন কি কারণ," বলেন জেফরি হফস্টেইন, ব্রাউন ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ।
19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, জার্মান গণিতবিদ আর্নস্ট এডুয়ার্ড কুমার এই চতুর্মুখী গাউস রাশিগুলির সাথে একটি ঘনিষ্ঠ আত্মীয়ের সাথে খেলছিলেন, যেখানে n2 সূচকে একটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় n3. কুমার লক্ষ্য করেছেন যে তারা একটি আশ্চর্যজনক মাত্রার কাছাকাছি নির্দিষ্ট মান সংগ্রহ করার প্রবণতা দেখায় - একটি গভীর পর্যবেক্ষণ যা সংখ্যা তত্ত্বে শতাব্দীর তদন্তের দিকে পরিচালিত করবে।
যদি কিউবিক গাউসের যোগফলকে একটি সহজ সূত্রে পুনরায় কাজ করা না হয়, তাহলে তাদের মান অনুমান করা কঠিন। এই ধরনের একটি সূত্রের অভাবে, কুমার ঘন গাউস রাশির গণনা - এবং গণনা করা এবং গণনা করা শুরু করেছিলেন। "তখন হাতে এই ধরনের বীরত্বপূর্ণ গণনা করা তাদের পক্ষে খুব সাধারণ ছিল," বলেছেন ম্যাথু ইয়ং, টেক্সাস এএন্ডএম বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। প্রথম 45টি অ-তুচ্ছ মৌলিক সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ 45টি রাশির মাধ্যমে চাষ করার পর, কুমার অবশেষে হাল ছেড়ে দেন।
তার ফলাফল জরিপ, কুমার কিছু আকর্ষণীয় লক্ষ্য করেছেন। তাত্ত্বিকভাবে, যোগফল −1 এবং 1 এর মধ্যে যেকোন কিছু হতে পারে ("স্বাভাবিক" হওয়ার পরে — একটি উপযুক্ত ধ্রুবক দ্বারা ভাগ করা হয়)। কিন্তু যখন তিনি গণনা করেছিলেন, তখন তিনি আবিষ্কার করেছিলেন যে সেগুলি একটি অদ্ভুত উপায়ে বিতরণ করা হয়েছিল। অর্ধেক ফলাফল ছিল ½ এবং 1 এর মধ্যে, এবং তাদের মধ্যে মাত্র ষষ্ঠাংশ ছিল −1 এবং −½ এর মধ্যে। তারা প্রায় 1 ক্লাস্টার হাজির.
কুমার একটি অনুমান সহ তার পর্যবেক্ষণগুলি তুলে ধরেছেন: আপনি যদি কোনওভাবে অসীম অনেক ঘন গাউসের সমস্ত যোগফল প্লট করতে সক্ষম হন, আপনি তাদের বেশিরভাগই ½ এবং 1 এর মধ্যে দেখতে পাবেন; −½ এবং ½ এর মধ্যে কম; এবং −1 এবং −½ এর মধ্যে এখনও কম।
সেলবার্গ, ভন নিউম্যান এবং গোল্ডস্টাইন তাদের প্রাথমিক কম্পিউটারে এটি পরীক্ষা করার জন্য বেরিয়েছিলেন। সেলবার্গ এটিকে 10,000-এর কম - সব মিলিয়ে প্রায় 600 রাশির জন্য কিউবিক গাউস রাশি গণনা করার জন্য প্রোগ্রাম করেছিলেন। (গোল্ডস্টাইন এবং ভন নিউম্যান এই গবেষণাপত্রের লেখকের দিকে এগিয়ে যাবেন; তার অবদানগুলি শেষ পর্যন্ত স্বীকৃতির একটি লাইনে পরিণত হবে।) তারা আবিষ্কার করেছিল যে প্রাইমগুলি বড় হওয়ার সাথে সাথে স্বাভাবিক রাশিগুলি 1 এর কাছাকাছি ক্লাস্টারের দিকে কম ঝুঁকেছে। কুমারের অনুমান যে ভুল ছিল তার দৃঢ় প্রমাণ, গণিতবিদরা ঘন গাউসের সমষ্টিগুলিকে গভীরভাবে বোঝার চেষ্টা করতে শুরু করেছিলেন যা নিছক গণনার বাইরে গিয়েছিল।
সেই প্রক্রিয়া এখন সম্পূর্ণ। 1978 সালে, গণিতবিদ ড স্যামুয়েল প্যাটারসন কুমারের গাণিতিক রহস্যের সমাধানের উদ্যোগ নেন, কিন্তু তা প্রমাণ করতে পারেননি। তারপর শেষ পতনে, ক্যালিফোর্নিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির দুজন গণিতবিদ প্যাটারসনের অনুমানকে প্রমাণ করেছিলেন, দীর্ঘ শেষ পর্যন্ত 1846 থেকে কুমারের মিউজিং বন্ধ করে দিয়েছিলেন।
প্যাটারসন 1970-এর দশকে কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের স্নাতক ছাত্র হিসাবে প্রথম সমস্যায় জড়িয়ে পড়েন। তার অনুমান −1 এবং 1 এর মধ্যে যেকোন স্থানে এলোমেলোভাবে সংখ্যা স্থাপন করা হলে কী ঘটে তা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। যদি আপনি যোগ করেন N এই র্যান্ডম সংখ্যাগুলির মধ্যে, যোগফলের সাধারণ আকার হবে $latexsqrt{N}$ (এটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে)। একইভাবে, যদি ঘন গাউস রাশি −1 থেকে 1 পর্যন্ত সমানভাবে বিক্ষিপ্ত হয়, আপনি আশা করতেন N মোটামুটি $latexsqrt{N}$ পর্যন্ত যোগ করতে হবে।
এটি মাথায় রেখে, প্যাটারসন যোগ করেছেন N কিউবিক গাউস যোগফল, মৌলিক সংখ্যার সাথে লেগে থাকার প্রয়োজনীয়তাকে (মুহূর্তের জন্য) উপেক্ষা করে। তিনি দেখতে পান যে অঙ্কটি প্রায় N5/6 — $latexsqrt{N}$ এর চেয়ে বড় (যা হিসাবে লেখা যেতে পারে N1/2), কিন্তু এর চেয়ে কম N. এই মানটি বোঝায় যে যোগফলগুলি এলোমেলো সংখ্যার মতো আচরণ করে কিন্তু একটি দুর্বল বল দিয়ে তাদের ইতিবাচক মানগুলির দিকে চাপ দেয়, যাকে পক্ষপাত বলে। হিসাবে N বৃহত্তর এবং বৃহত্তর, এলোমেলোতা পক্ষপাতকে ছাপিয়ে যেতে শুরু করবে, এবং তাই আপনি যদি একযোগে অসীমভাবে অনেক ঘন গাউস রাশির দিকে তাকান, তাহলে সেগুলি সমানভাবে বিতরণ করা দেখাবে।
এটি আপাতদৃষ্টিতে সবকিছু ব্যাখ্যা করেছে: কুমারের গণনাগুলি একটি পক্ষপাত দেখাচ্ছে, সেইসাথে আইএএস গণনাগুলি একটিকে খণ্ডন করছে।
কিন্তু প্যাটারসন মৌলিক সংখ্যার জন্য একই গণনা করতে সক্ষম হননি, তাই 1978 সালে, তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে এটি একটি হিসাবে লিখেছিলেন অনুমান: যদি আপনি মৌলিক সংখ্যার জন্য ঘন গাউস যোগফল যোগ করেন, তাহলে আপনার একই পাওয়া উচিত N5/6 আচরণ।
কুমার সমস্যা নিয়ে তার কাজ সম্পর্কে বক্তৃতা দেওয়ার পরপরই, প্যাটারসনের সাথে রজার হিথ-ব্রাউন নামে একজন স্নাতক ছাত্রের সাথে যোগাযোগ করা হয়েছিল, যিনি মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব থেকে কৌশলগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার পরামর্শ দিয়েছিলেন। দুজনে জুটি বেঁধে শীঘ্রই প্রকাশিত সমস্যাটি একটি অগ্রিম, কিন্তু তারা এখনও দেখাতে পারেনি যে প্যাটারসনের ভবিষ্যদ্বাণী N5/6 পক্ষপাত প্রাইমগুলির জন্য সঠিক ছিল।
পরবর্তী দশকগুলিতে, সামান্য অগ্রগতি ছিল। অবশেষে, সহস্রাব্দের মোড়ে, হিথ-ব্রাউন আরেকটি তৈরি করেন শত্রুবূহ্যভেদ, যেখানে তিনি একটি কিউবিক লার্জ চালনি নামে একটি টুল তৈরি করেছিলেন যা একটি অপরিহার্য ভূমিকা পালন করেছিল।
কিউবিক বৃহৎ চালনী ব্যবহার করার জন্য, হিথ-ব্রাউন কিউবিক গাউসের যোগফলকে একটি ভিন্ন যোগফলের সাথে সম্পর্কিত করার জন্য গণনার একটি সিরিজ ব্যবহার করেছিলেন। এই টুলের সাহায্যে, হিথ-ব্রাউন দেখাতে সক্ষম হয়েছিল যে আপনি যদি প্রাইমগুলির জন্য ঘন গাউসের যোগফলের থেকে কম যোগ করেন N, ফলাফল এর চেয়ে অনেক বড় হতে পারে না N5/6. কিন্তু তিনি ভেবেছিলেন যে তিনি আরও ভাল করতে পারেন - যে চালনিটি নিজেই উন্নত করা যেতে পারে। যদি এটি করতে পারে, তাহলে এটি বাউন্ডকে কমিয়ে দেবে N5/6 ঠিক, এইভাবে প্যাটারসনের অনুমান প্রমাণ করে। পাঠ্যের একটি সংক্ষিপ্ত লাইনে, তিনি চালনীটির জন্য সর্বোত্তম সম্ভাব্য সূত্রটি কী হবে বলে মনে করেছিলেন তা স্কেচ করেছিলেন।
এমনকি এই নতুন টুল হাতে নিয়েও, গণিতবিদরা আর অগ্রসর হতে পারেননি। তারপর দুই দশক পরে, ক্যালটেক পোস্টডকের মধ্যে একটি ভাগ্যবান এনকাউন্টার আলেকজান্ডার ডান এবং তার সুপারভাইজার ম্যাক্সিম রাডজিউইল শেষের শুরুতে চিহ্নিত। ডন 2020 সালের সেপ্টেম্বরে তার অবস্থান শুরু করার আগে, রাডজিউইল প্রস্তাব করেছিলেন যে তারা প্যাটারসনের অনুমানে একসাথে কাজ করবে। কিন্তু কোভিড-১৯ মহামারী এখনও ছড়িয়ে পড়েছে, গবেষণা এবং শিক্ষা দূর থেকে অব্যাহত রয়েছে। অবশেষে, 19 সালের জানুয়ারীতে, সুযোগ - বা ভাগ্য - হস্তক্ষেপ করে যখন দুই গণিতবিদ অপ্রত্যাশিতভাবে একটি পাসাডেনা পার্কিং লটে একে অপরের সাথে ধাক্কা খায়। "আমরা আন্তরিকভাবে চ্যাট করেছি, এবং আমরা সম্মত হয়েছি যে আমাদের গণিতের সাথে দেখা করা এবং কথা বলা শুরু করা উচিত," ডান একটি ইমেলে লিখেছেন। মার্চের মধ্যে, তারা প্যাটারসনের অনুমানের প্রমাণের জন্য অধ্যবসায়ের সাথে কাজ করছিল।
"এটি কাজ করার জন্য উত্তেজনাপূর্ণ ছিল, কিন্তু অত্যন্ত উচ্চ ঝুঁকি ছিল," ডান বলেছিলেন। "আমি বলতে চাচ্ছি, আমার মনে আছে, চার বা পাঁচ মাস ধরে প্রতিদিন ভোর পাঁচটায় আমার অফিসে আসতাম।"
ডান এবং রাডজিউইল, তাদের আগে হিথ-ব্রাউনের মতো, তাদের প্রমাণের জন্য কিউবিক বড় চালনিটিকে অপরিহার্য বলে মনে করেছিলেন। কিন্তু যখন তারা সূত্রটি ব্যবহার করেছিল যে হিথ-ব্রাউন তার 2000 কাগজে লিখেছিলেন - যেটিকে তিনি সর্বোত্তম সম্ভাব্য চালু বলে বিশ্বাস করেছিলেন, একটি অনুমান যে সংখ্যা তত্ত্ব সম্প্রদায় বিশ্বাস করেছিল তা সত্য ছিল - তারা বুঝতে পেরেছিল যে কিছু সঠিক ছিল না . "আমরা প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছি যে 1 = 2, খুব জটিল কাজের পরে," Radziwiłł বলেছেন।
সেই সময়ে, Radziwiłł নিশ্চিত ছিল যে ভুলটি তাদেরই ছিল। "আমি একধরনের নিশ্চিত ছিলাম যে আমাদের প্রমাণে মূলত একটি ত্রুটি রয়েছে।" ডান তাকে অন্যভাবে রাজি করান। কিউবিক বড় চালুনি, প্রত্যাশার বিপরীতে, উন্নত করা যায়নি।
কিউবিক বৃহৎ চালনীর সঠিকতার সাথে সজ্জিত, ডান এবং র্যাডজিউইল প্যাটারসনের অনুমানে তাদের পদ্ধতির পুনঃক্রমানুসারে। এবারও তারা সফল হয়েছে।
"আমি মনে করি এটিই প্রধান কারণ ছিল কেন কেউ এটি করেনি, কারণ এই [হিথ-ব্রাউন] অনুমান সবাইকে বিভ্রান্ত করছিল," রাডজিউইল বলেছেন। "আমি মনে করি যদি আমি হিথ-ব্রাউনকে বলি যে তার অনুমান ভুল, তাহলে তিনি সম্ভবত এটি কীভাবে করবেন তা খুঁজে বের করবেন।"
Dunn এবং Radziwiłł 15 সেপ্টেম্বর, 2021-এ তাদের গবেষণাপত্র পোস্ট করেছিলেন। শেষ পর্যন্ত, তাদের প্রমাণ গণিতের একটি বিখ্যাত অপ্রমাণিত অনুমান, সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিসের উপর নির্ভর করে। কিন্তু অন্যান্য গণিতবিদরা এটিকে একটি ছোটখাট ত্রুটি হিসেবে দেখেন। “আমরা অনুমান থেকে পরিত্রাণ পেতে চাই। তবে শর্তসাপেক্ষে এমন একটি ফলাফল পেয়ে আমরা খুশি,” বলেন হিথ-ব্রাউন, যিনি এখন অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের ইমেরিটাস অধ্যাপক।
Heath-Brown, Dunn এবং Radziwiłł-এর কাজ প্যাটারসনের অনুমানের প্রমাণের চেয়েও বেশি কিছু। কিউবিক বৃহৎ চালনীতে তার অপ্রত্যাশিত অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে, তাদের কাগজটি এমন একটি গল্পের বিস্ময়কর সমাপ্তি এনেছে যার সে কয়েক দশক ধরে অংশ ছিল। "আমি আনন্দিত যে আমি আসলে আমার কাগজে লিখিনি, 'আমি নিশ্চিত যে কেউ এটি থেকে পরিত্রাণ পেতে পারে,'" তিনি বলেছিলেন, ডান এবং রাডজিউইল যে চালনীটি আবিষ্কার করেছিলেন তা অপরিহার্য ছিল। “আমি শুধু বলেছিলাম, 'এটা থেকে মুক্তি পেতে পারলে ভালো হবে। এটা সম্ভব মনে হয় আপনি সক্ষম হবে.' এবং আমি ভুল ছিলাম - প্রথমবার নয়।"
