গণিতের 'এ-টিম' যোগ এবং সেটের মধ্যে একটি জটিল লিঙ্ক প্রমাণ করে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

এলোমেলোভাবে নির্বাচিত সংখ্যার সেটে, সংযোজন বন্য হতে পারে।

এই ধরনের একটি সেট থেকে প্রতিটি জোড়া একসাথে যোগ করুন, এবং আপনি একটি নতুন তালিকার সাথে শেষ করবেন যেটিতে আপনি যা দিয়ে শুরু করেছেন তার থেকে অনেক বেশি সংখ্যা থাকতে পারে। 10টি এলোমেলো সংখ্যা দিয়ে শুরু করুন এবং এই নতুন তালিকায় (যাকে সমসেট বলা হয়) প্রায় 50টি উপাদান থাকবে। 100 দিয়ে শুরু করুন এবং সমসেট সম্ভবত প্রায় 5,000 হবে; 1,000 এলোমেলো প্রাথমিক সংখ্যা একটি সমসেট 500,000 সংখ্যা দীর্ঘ হবে.

কিন্তু যদি আপনার প্রাথমিক সেটের গঠন থাকে, তাহলে সমসেট এর থেকে কম সংখ্যার সাথে শেষ হতে পারে। আরেকটি 10-সংখ্যার সেট বিবেচনা করুন: 2 থেকে 20 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যা। কারণ বিভিন্ন জোড়া একই সংখ্যায় যোগ করবে — 10 + 12 হল 8 + 14 এবং 6 + 16 - সমসেটে মাত্র 19টি সংখ্যা রয়েছে, নয় 50. সেটগুলি বড় হওয়ার সাথে সাথে এই পার্থক্যটি আরও গভীর হয়। 1,000 সংখ্যার একটি সুগঠিত তালিকার একটি সমসেট থাকতে পারে যার মধ্যে মাত্র 2,000টি সংখ্যা থাকতে পারে।

1960-এর দশকে একজন গণিতবিদ ড গ্রেগরি ফ্রেইম্যান সংযোজন এবং সেট কাঠামোর মধ্যে লিঙ্কটি অনুসন্ধান করার প্রয়াসে ছোট সমসেট সহ সেটগুলি তদন্ত করা শুরু করে - একটি গুরুত্বপূর্ণ সংযোগ যা সংযোজন সংমিশ্রণবিদ্যার গাণিতিক ক্ষেত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। ফ্রিম্যান চিত্তাকর্ষক অগ্রগতি করেছেন, প্রমাণ করেছেন যে একটি ছোট সমসেট সহ একটি সেট অবশ্যই একটি বড় সেট দ্বারা ধারণ করতে হবে যার উপাদানগুলি একটি অত্যন্ত নিয়মিত প্যাটার্নে ব্যবধানযুক্ত। কিন্তু তারপরই মাঠ থমকে যায়। "ফ্রেইম্যানের আসল প্রমাণটি বোঝা অসাধারণভাবে কঠিন ছিল, যেখানে কেউ সত্যিই নিশ্চিত ছিল না যে এটি সঠিক ছিল। তাই এটা সত্যিই প্রভাব ছিল না যে এটা হতে পারে,” বলেন টিমোথি গওয়ারস, Collège de France এবং ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ এবং একজন ফিল্ডস পদক বিজয়ী। "কিন্তু তারপর ইমরে রুজসা ঘটনাস্থলে ফেটে যায়।"

একটি সিরিজ এর মধ্যে দুই কাগজপত্র 1990-এর দশকে, রুজসা একটি মার্জিত নতুন যুক্তি দিয়ে ফ্রেইম্যানের উপপাদ্যকে পুনরায় প্রমাণ করেন। কয়েক বছর পরে, ক্যাটালিন মার্টন, একজন প্রভাবশালী হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ যিনি 2019 সালে মারা গিয়েছিলেন, একটি ছোট সমসেট মূল সেটের গঠন সম্পর্কে কী বোঝায় সেই প্রশ্নটি টুইক করেছেন। তিনি সেটে উপস্থিত উপাদানগুলির ধরন এবং গণিতবিদদের যে ধরণের কাঠামোর সন্ধান করা উচিত তা প্রতিস্থাপন করেছিলেন, এই ভেবে যে গণিতবিদদের আরও বেশি তথ্য আহরণ করতে পারবেন। মার্টনের অনুমান প্রুফ সিস্টেম, কোডিং থিওরি এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির সাথে লিঙ্ক রয়েছে এবং সংযোজন কম্বিনেটরিক্সে একটি উচ্চ স্থান দখল করে আছে।

তার অনুমান "সত্যিই সবচেয়ে মৌলিক জিনিসগুলির মধ্যে একটি বলে মনে হয় যা আমরা বুঝতে পারিনি," বলেন বেন গ্রিন, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। এটি "আমার যত্ন নেওয়ার মতো অনেক কিছুর উপর ভিত্তি করে।"

সবুজ গাওয়ারদের সাথে বাহিনীতে যোগ দিয়েছে, ফ্রেডি ম্যানার্স ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, সান দিয়েগো, এবং টেরেন্স টাও, ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া, লস এঞ্জেলেসের ফিল্ডস পদক বিজয়ী ইসরায়েলি গণিতবিদ এবং ব্লগার গিল কালাই একটি "একটি দলগণিতবিদদের। তারা একটি কাগজে অনুমানের একটি সংস্করণ প্রমাণ করেছে 9 নভেম্বর শেয়ার করা হয়েছে.

নেট কাটজ, রাইস ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ যিনি কাজের সাথে জড়িত ছিলেন না, প্রমাণটিকে বর্ণনা করেছেন "সুন্দরভাবে সোজা" - এবং "কম বা কম সম্পূর্ণরূপে নীলের বাইরে।"

তাও তারপরে প্রমাণটিকে আনুষ্ঠানিক করার প্রচেষ্টা শুরু করেন রোগা, একটি প্রোগ্রামিং ভাষা যা গণিতবিদদের উপপাদ্য যাচাই করতে সাহায্য করে। মাত্র কয়েক সপ্তাহের মধ্যে, সেই প্রচেষ্টা সফল হয়। ৫ ডিসেম্বর মঙ্গলবার ভোরে, টাও ঘোষণা করলেন যে লীন কোনো "দুঃখিত" ছাড়াই অনুমান প্রমাণ করেছিলেন - কম্পিউটার একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপ যাচাই করতে না পারলে প্রদর্শিত আদর্শ বিবৃতি। এই ধরনের সর্বোচ্চ-প্রোফাইল ব্যবহার 2021 সাল থেকে যাচাইকরণ সরঞ্জাম, এবং গণিতবিদরা যেভাবে একটি কম্পিউটার বুঝতে পারে সেভাবে প্রমাণ লেখেন তাতে একটি প্রতিফলন বিন্দু চিহ্নিত করে। যদি এই সরঞ্জামগুলি গণিতবিদদের ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট সহজ হয়ে যায়, তবে তারা প্রায়শই দীর্ঘায়িত এবং কঠিন পিয়ার পর্যালোচনা প্রক্রিয়ার বিকল্প করতে সক্ষম হতে পারে, গাওয়ারস বলেছেন।

প্রমাণের উপাদানগুলি কয়েক দশক ধরে সিদ্ধ হয়ে আসছে। 2000 এর দশকের গোড়ার দিকে গাওয়ারস এর প্রথম পদক্ষেপের ধারণা করেছিলেন। কিন্তু কালাই যাকে মাঠের "পবিত্র গ্রেইল" বলে তা প্রমাণ করতে 20 বছর লেগেছিল।

ইন-গ্রুপ

মার্টনের অনুমান বুঝতে, এটি একটি গোষ্ঠীর ধারণার সাথে পরিচিত হতে সাহায্য করে, একটি গাণিতিক বস্তু যা একটি সেট এবং একটি অপারেশন নিয়ে গঠিত। পূর্ণসংখ্যার কথা চিন্তা করুন — সংখ্যার একটি অসীম সেট — এবং যোগ করার ক্রিয়াকলাপ। প্রতিবার আপনি একসাথে দুটি পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে আপনি আরেকটি পূর্ণসংখ্যা পাবেন। সংযোজন গ্রুপ অপারেশনের কিছু অন্যান্য নিয়মও মেনে চলে, যেমন সহযোগীতা, যা আপনাকে অপারেশনের ক্রম পরিবর্তন করতে দেয়: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2।

একটি গোষ্ঠীর মধ্যে, আপনি কখনও কখনও ছোট সেটগুলি খুঁজে পেতে পারেন যা সমস্ত গোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি দুটি জোড় সংখ্যা যোগ করেন তবে আপনি আরেকটি জোড় সংখ্যা পাবেন। জোড় সংখ্যাগুলি নিজেদের মধ্যে একটি গ্রুপ, তাদের পূর্ণসংখ্যার একটি উপগোষ্ঠী করে। বিজোড় সংখ্যা, বিপরীতে, একটি উপগোষ্ঠী নয়। আপনি যদি দুটি বিজোড় সংখ্যা যোগ করেন, তাহলে আপনি একটি জোড় সংখ্যা পাবেন — মূল সেটে নয়। কিন্তু আপনি প্রতিটি জোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করে সমস্ত বিজোড় সংখ্যা পেতে পারেন। এই মত একটি স্থানান্তরিত উপগোষ্ঠী একটি coset বলা হয়. এটিতে একটি উপগোষ্ঠীর সমস্ত বৈশিষ্ট্য নেই, তবে এটি বিভিন্ন উপায়ে তার উপগোষ্ঠীর গঠন বজায় রাখে। উদাহরণস্বরূপ, জোড় সংখ্যার মতোই বিজোড় সংখ্যাগুলিও সমানভাবে ব্যবধানে অবস্থিত।

মার্টন অনুমিত যে আপনি যদি একটি সেট আছে যে আমরা কল করব A গ্রুপ এলিমেন্টের সমন্বয়ে গঠিত যার যোগফল এর থেকে অনেক বড় নয় A নিজেই, তারপর কিছু উপগোষ্ঠী বিদ্যমান - এটি কল করুন G - একটি বিশেষ সম্পত্তি সহ। শিফট G কয়েকবার cosets তৈরি করতে, এবং সেই cosets, একসাথে নেওয়া, মূল সেট থাকবে A. অধিকন্তু, তিনি অনুমান করেছিলেন যে কসেটের সংখ্যা সমসেটের আকারের চেয়ে খুব বেশি দ্রুত বৃদ্ধি পায় না - তিনি বিশ্বাস করেছিলেন যে এটি একটি বহুপদী ফ্যাক্টর দ্বারা সম্পর্কিত হওয়া উচিত, যেমনটি অনেক দ্রুত সূচকীয় বৃদ্ধির বিপরীতে।

এটি একটি উচ্চ প্রযুক্তিগত কৌতূহল মত শোনাতে পারে. কিন্তু কারণ এটি একটি সাধারণ পরীক্ষা সম্পর্কিত — আপনি সেটে মাত্র দুটি উপাদান যোগ করলে কী হবে? — একটি উপগোষ্ঠীর ব্যাপক কাঠামোর জন্য, এটি গণিতবিদ এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ। একই সাধারণ ধারণাটি দেখা যায় যখন কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা বার্তাগুলিকে এনক্রিপ্ট করার চেষ্টা করেন যাতে আপনি সময়ে বার্তাটির কিছুটা ডিকোড করতে পারেন। এটি সম্ভাব্যভাবে যাচাইযোগ্য প্রমাণগুলিতেও উপস্থিত হয়, এটি প্রমাণের একটি ফর্ম যা কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা তথ্যের কয়েকটি বিচ্ছিন্ন বিট পরীক্ষা করে যাচাই করতে পারেন। এই প্রতিটি ক্ষেত্রে, আপনি একটি কাঠামোতে মাত্র কয়েকটি পয়েন্ট নিয়ে কাজ করেন — একটি দীর্ঘ বার্তা থেকে মাত্র কয়েকটি বিট ডিকোড করা, বা একটি জটিল প্রমাণের একটি ছোট অংশ যাচাই করা — এবং একটি বড়, উচ্চ-স্তরের কাঠামো সম্পর্কে কিছু উপসংহারে পৌঁছান।

"আপনি হয় ভান করতে পারেন সবকিছু একটি গ্রুপের একটি বড় উপসেট," বলেন টম স্যান্ডার্স, Gowers-এর একজন প্রাক্তন ছাত্র যিনি এখন অক্সফোর্ডে গ্রীনের সহকর্মী, অথবা আপনি পারেন, “অনেক সংযোজন কাকতালীয়তার অস্তিত্ব থেকে আপনি যা চেয়েছিলেন তা পেতে পারেন। এই উভয় দৃষ্টিকোণই দরকারী।"

রুজসা 1999 সালে মার্টনের অনুমান প্রকাশিত হয়, তার সম্পূর্ণ ক্রেডিট প্রদান. "তিনি আমার এবং ফ্রেইম্যানের স্বাধীনভাবে এবং সম্ভবত আমাদের আগে এই অনুমানে এসেছিলেন," তিনি বলেছিলেন। "তাই, যখন আমি তার সাথে কথা বলেছিলাম, আমি এটিকে তার অনুমান বলার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম।" তবুও, গণিতবিদরা এখন এটিকে বহুপদী ফ্রেইম্যান-রুজসা অনুমান বা পিএফআর হিসাবে উল্লেখ করেছেন।

জিরোস এবং ওয়ানস

গোষ্ঠীগুলি, অনেক গাণিতিক বস্তুর মতো, অনেকগুলি বিভিন্ন রূপ নেয়। মার্টন অনুমান করেছিলেন যে তার অনুমান সমস্ত দলের জন্য সত্য। এটি এখনও দেখানো হয়েছে. নতুন কাগজ এটি একটি নির্দিষ্ট ধরণের গোষ্ঠীর জন্য প্রমাণ করে, যা বাইনারি সংখ্যার (0, 1, 1, 1, 0) এর উপাদানগুলির তালিকা হিসাবে নেয়। যেহেতু কম্পিউটারগুলি বাইনারিতে কাজ করে, এই গ্রুপটি কম্পিউটার বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ। কিন্তু এটি সংযোজন সংমিশ্রণেও কার্যকর হয়েছে। "এটি এই খেলনা সেটিং এর মত যেখানে আপনি চারপাশে খেলতে পারেন এবং জিনিসগুলি চেষ্টা করতে পারেন," স্যান্ডার্স বলেছিলেন। পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে কাজ করার চেয়ে "বীজগণিত অনেক, অনেক সুন্দর", তিনি যোগ করেছেন।

তালিকার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে, এবং প্রতিটি বিট হয় 0 বা 1 হতে পারে। আপনি প্রতিটি এন্ট্রিকে অন্য তালিকার প্রতিরূপের সাথে যোগ করে তাদের একত্রে যোগ করুন, নিয়মের সাথে যে 1 + 1 = 0। তাই (0, 1, 1, 1) , 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1)। PFR হল একটি সেট দেখতে কেমন হতে পারে তা বের করার একটি প্রয়াস যদি এটি পুরোপুরি একটি উপগোষ্ঠী না হয় তবে কিছু গোষ্ঠীর মতো বৈশিষ্ট্য থাকে।

PFR সুনির্দিষ্ট করতে, কল্পনা করুন আপনার কাছে বাইনারি তালিকার একটি সেট আছে যাকে বলা হয় A. এখন থেকে উপাদান প্রতিটি জোড়া নিন A এবং তাদের যোগ করুন। ফলস্বরূপ যোগফল এর সমষ্টি তৈরি করে Aবলা হয় A + A. উপাদান যদি A এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়, তারপর বেশিরভাগ যোগফল একে অপরের থেকে আলাদা। যদি থাকে k উপাদানসমূহ A, তার মানে চারপাশে থাকবে k²সমসেটের /2 উপাদান। কখন k বড় - বলুন, 1,000 - k²/2 এর থেকে অনেক বড় k। কিন্তু যদি A একটি উপগোষ্ঠী, এর প্রতিটি উপাদান A + A হয় A, অর্থ যে A + A হিসাবে একই আকার A নিজেই।

PFR সেই সেটগুলিকে বিবেচনা করে যেগুলি এলোমেলো নয়, তবে উপগোষ্ঠীও নয়। এই সেটগুলিতে, উপাদানগুলির সংখ্যা A + A কিছুটা ছোট - বলুন, 10k, বা 100k. "এটি সত্যিই দরকারী যখন আপনার কাঠামোর ধারণাটি কেবলমাত্র একটি সঠিক বীজগণিতীয় কাঠামো হওয়ার চেয়ে অনেক বেশি সমৃদ্ধ হয়," বলেছেন শচার লভট, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী, সান দিয়েগো।

যে সমস্ত সেট গণিতবিদরা জানত যে এই বৈশিষ্ট্যটি মেনে চলে "প্রকৃত উপগোষ্ঠীর খুব কাছাকাছি," টাও বলেছিলেন। "এটি ছিল অন্তর্দৃষ্টি, যে আশেপাশে অন্য কোনও জাল গ্রুপ ছিল না।" ফ্রেইম্যান তার মূল রচনায় এই বক্তব্যের একটি সংস্করণ প্রমাণ করেছিলেন। 1999 সালে, রুজসা ফ্রেইম্যানের উপপাদ্যকে পূর্ণসংখ্যা থেকে বাইনারি তালিকার সেটিং পর্যন্ত প্রসারিত করেন। তিনি প্রমাণ করেছেন যে যখন উপাদান সংখ্যা A + A এর আকারের একটি ধ্রুবক গুণিতক A, A একটি উপগোষ্ঠীর মধ্যে রয়েছে।

কিন্তু রুজসার উপপাদ্যের জন্য উপগোষ্ঠীটি বিশাল হওয়া প্রয়োজন। মার্টনের অন্তর্দৃষ্টি ছিল একটি দৈত্যাকার উপগোষ্ঠীর মধ্যে থাকার পরিবর্তে, A একটি উপগোষ্ঠীর কসেটের বহুপদী সংখ্যার মধ্যে থাকতে পারে যা মূল সেটের চেয়ে বড় নয় A.

'আমি একটি বাস্তব ধারণা জানি যখন আমি একটি বাস্তব ধারণা দেখি'

সহস্রাব্দের মোড়ের দিকে, সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত সংখ্যার স্ট্রিং সম্বলিত সেট সম্পর্কে একটি ভিন্ন সমস্যা অধ্যয়ন করার সময় গাওয়ারস ফ্রেইম্যানের উপপাদ্যের রুজসার প্রমাণ পেয়েছিলেন। "আমার এইরকম কিছু দরকার ছিল, একটি নির্দিষ্ট সেট সম্পর্কে অনেক শিথিল তথ্য থেকে কাঠামোগত তথ্য পাওয়ার ধরণের," গওয়ারস বলেছিলেন। "আমি খুব ভাগ্যবান যে খুব বেশি দিন আগে নয়, রুজসা এই একেবারে চমত্কার প্রমাণ তৈরি করেছিল।"

গওয়াররা অনুমানের বহুপদী সংস্করণের সম্ভাব্য প্রমাণ বের করতে শুরু করে। তার ধারণা ছিল একটি সেট দিয়ে শুরু করা A যার সমষ্টি অপেক্ষাকৃত ছোট ছিল, তারপর ধীরে ধীরে হেরফের A একটি উপগোষ্ঠীতে যদি তিনি প্রমাণ করতে পারেন যে ফলস্বরূপ উপগোষ্ঠীটি মূল সেটের অনুরূপ ছিল A, তিনি সহজেই অনুমান সত্য ছিল উপসংহার করতে পারেন. Gowers সহকর্মীদের সাথে তার ধারনা ভাগ করেছেন, কিন্তু কেউ তাদের একটি পূর্ণ প্রমাণ হিসাবে ছাঁচ করতে পারেনি। যদিও কিছু ক্ষেত্রে গাওয়ারের কৌশল সফল হয়েছিল, অন্যদের ক্ষেত্রে হেরফের হয়েছিল A বহুপদী ফ্রেইম্যান-রুজসা অনুমানের কাঙ্ক্ষিত উপসংহার থেকে আরও দূরে।

শেষ পর্যন্ত মাঠ এগিয়ে গেল। 2012 সালে, স্যান্ডার্স প্রায় প্রমাণিত PFR. কিন্তু তার প্রয়োজনীয় স্থানান্তরিত সাবগ্রুপের সংখ্যা বহুপদী স্তরের উপরে ছিল, যদিও অল্প অল্প করে। "একবার তিনি এটি করেছিলেন, এর অর্থ হল এটি একটি কম জরুরী জিনিস হয়ে উঠেছে, তবে এখনও একটি সত্যিই চমৎকার সমস্যা যার জন্য আমার একটি দুর্দান্ত অনুরাগ রয়েছে," গাওয়ারস বলেছিলেন।

তবে গওয়ারসের ধারণাগুলি তার সহকর্মীদের স্মৃতি এবং হার্ড ড্রাইভে বেঁচে ছিল। "সেখানে একটি বাস্তব ধারণা আছে," গ্রিন বলেন, যিনি গাওয়ারের ছাত্রও ছিলেন। "আমি একটি বাস্তব ধারণা জানি যখন আমি একটি বাস্তব ধারণা দেখি।" এই গ্রীষ্মে, গ্রিন, ম্যানার্স এবং টাও অবশেষে তাদের শুদ্ধিকরণ থেকে গাওয়ারদের ধারণা মুক্ত করেছে।

গ্রীন, টাও এবং ম্যানার্স ছিল 37 পৃষ্ঠার গভীর সহযোগিতায় গাওয়ারসের 20 বছর বয়সী ধারণাগুলিতে ফিরে যাওয়ার আগে। 23 জুনের মধ্যে কাগজ, তারা সফলভাবে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকে একটি ধারণা ব্যবহার করেছে যাকে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বলা হয় ছোট সমসেট সহ সেটের গঠন অনুসন্ধান করতে। এই সুইচটি তৈরি করে, গ্রুপটি তাদের সেটগুলি আরও সূক্ষ্মতার সাথে পরিচালনা করতে পারে। "এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে ডিল করা সেটগুলির সাথে ডিল করার চেয়ে কিছুটা কম কঠোর," ম্যানার্স বলেছেন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে, "আমি সম্ভাব্যতার একটিকে অল্প পরিমাণে পরিবর্তন করতে পারি, এবং এটি আমাকে একটি ভাল র্যান্ডম পরিবর্তনশীল দিতে পারে।"

এই সম্ভাব্য দৃষ্টিভঙ্গি ব্যবহার করে, গ্রীন, ম্যানারস এবং টাও একটি সেটে উপাদানের সংখ্যার সাথে কাজ করা থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, একটি পরিমাণ যাকে এনট্রপি বলে তথ্যের পরিমাপ করতে পারে। সংযোজক সংমিশ্রণবিদ্যায় এনট্রপি নতুন ছিল না। আসলে, টাও চেষ্টা করেছিল 2000 এর দশকের শেষের দিকে ধারণাটিকে জনপ্রিয় করতে। কিন্তু কেউ এখনও বহুপদী ফ্রেইম্যান-রুজসা অনুমানে এটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেনি। গ্রিন, ম্যানারস এবং টাও আবিষ্কার করেছে যে এটি শক্তিশালী। কিন্তু তারা এখনও অনুমান প্রমাণ করতে পারেনি।

গোষ্ঠীটি তাদের নতুন ফলাফলগুলি চিবানোর সাথে সাথে তারা বুঝতে পেরেছিল যে তারা অবশেষে এমন একটি পরিবেশ তৈরি করেছে যেখানে গওয়ারদের সুপ্ত ধারণাগুলি বিকাশ লাভ করতে পারে। যদি তারা একটি সেটের উপাদানের সংখ্যার পরিবর্তে এর এনট্রপি ব্যবহার করে তার আকার পরিমাপ করে, তবে প্রযুক্তিগত বিবরণ আরও ভালভাবে কাজ করতে পারে। "কিছু সময়ে আমরা বুঝতে পেরেছিলাম যে 20 বছর আগে থেকে টিমের এই পুরানো ধারণাগুলি আসলে আমরা যেগুলি চেষ্টা করছি তার চেয়ে বেশি কাজ করার সম্ভাবনা ছিল," টাও বলেছিলেন। “এবং তাই আমরা টিমকে প্রকল্পে ফিরিয়ে এনেছি। এবং তারপরে সমস্ত টুকরো একসাথে আশ্চর্যজনকভাবে সুন্দরভাবে ফিট করে।"

তবুও, একটি প্রমাণ একত্রিত হওয়ার আগে অনেকগুলি বিবরণ ছিল। "এটি একরকম বোকামি ছিল যে আমরা চারজনই অন্যান্য জিনিস নিয়ে অবিশ্বাস্যভাবে ব্যস্ত ছিলাম," ম্যানার্স বলেছিলেন। "আপনি এই দুর্দান্ত ফলাফল প্রকাশ করতে চান এবং বিশ্বকে বলতে চান, তবে আপনাকে এখনও আপনার মধ্যবর্তী মেয়াদ লিখতে হবে।" অবশেষে, গ্রুপটি এগিয়ে যায় এবং 9 নভেম্বর তারা তাদের কাগজ পোস্ট করে। তারা প্রমাণ করেছে যে A + A এর চেয়ে বড় নয় k এর আকারের বার A, তারপর A এর চেয়ে বেশি কভার করা যাবে না k¹² একটি উপগোষ্ঠীর স্থানান্তর যা এর চেয়ে বড় নয় A. এটি একটি সম্ভাব্য বিপুল সংখ্যক শিফট। কিন্তু এটি একটি বহুপদ, তাই এটি দ্রুতগতিতে বৃদ্ধি পায় না k বড় হয়, এটা যদি হবে k সূচকে ছিল।

কয়েকদিন পর তাও শুরু প্রমাণ আনুষ্ঠানিক করা। তিনি সহযোগিতামূলকভাবে আনুষ্ঠানিককরণ প্রকল্পটি পরিচালনা করেছিলেন, সংস্করণ-নিয়ন্ত্রণ প্যাকেজ গিটহাব ব্যবহার করে অবদানগুলির সমন্বয় করতে বিশ্বজুড়ে 25 জন স্বেচ্ছাসেবক. তারা নামে একটি টুল ব্যবহার করত প্রতিচিত্র নির্মাণে প্যাট্রিক ম্যাসোট, প্যারিস-স্যাকলে বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, তাও কি থেকে অনুবাদ করার প্রচেষ্টাকে সংগঠিত করতে নামক কম্পিউটার কোডে "গাণিতিক ইংরেজি"। ব্লুপ্রিন্ট, অন্যান্য জিনিসের মধ্যে, একটি তৈরি করতে পারে তালিকা প্রমাণের সাথে জড়িত বিভিন্ন যৌক্তিক পদক্ষেপগুলি চিত্রিত করা। একবার সমস্ত বুদবুদগুলিকে আচ্ছাদিত করা হয়েছিল যাকে টাও "সবুজের মনোরম ছায়া" বলে ডাকে, দলটি সম্পন্ন হয়েছিল। তারা কাগজে কয়েকটি খুব ছোটখাট টাইপ আবিষ্কার করেছে — একটি অনলাইনে বার্তা, টাও উল্লেখ করেছেন যে "প্রকল্পের সবচেয়ে গাণিতিকভাবে আকর্ষণীয় অংশগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে তুলনামূলকভাবে সহজ ছিল, কিন্তু এটি ছিল প্রযুক্তিগত 'সুস্পষ্ট' পদক্ষেপ যা দীর্ঘতম সময় নেয়।"

মার্টন তার বিখ্যাত অনুমান প্রমাণিত হওয়ার মাত্র কয়েক বছর আগে মারা যান, কিন্তু প্রমাণটি তার প্রতিধ্বনি করে জীবনের কাজ এনট্রপি এবং তথ্য তত্ত্বের উপর। "আমি যে ফ্রেমওয়ার্কটি করার চেষ্টা করছিলাম তার চেয়ে আপনি যখন এই এনট্রপি ফ্রেমওয়ার্কে এটি করেন তখন সবকিছু অনেক ভাল কাজ করে," গাওয়ারস বলেছিলেন। "আমার কাছে, এটি এখনও কিছুটা যাদুকর বলে মনে হচ্ছে।"

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।