স্টার ট্রেকের লেফটেন্যান্ট উহুরা কীভাবে জ্যোতির্বিজ্ঞানের প্রতিকূলতা অতিক্রম করেছে

আমাদের ধাঁধা টাস্ক গত মাসে একটি সংরক্ষণ ছিল স্টার ট্রেক আটজনের নেতৃত্বে সারফেস পার্টি উদ্যোগ যোগাযোগ কর্মকর্তা মো লেফটেন্যান্ট উহুরা (দেরী দ্বারা খেলেছে নিচেল নিকোলস) ক্রু একটি এলিয়েন জাতি দ্বারা বন্দী, Catenati, একটি গ্রহে নেকলেস নেবুলা. পালানোর জন্য, তাদের এমন একটি কাজ সম্পাদন করার সম্ভাবনাকে সর্বাধিক করতে হবে যা প্রথমে সাফল্যের একটি হতাশাজনক সম্ভাবনার প্রস্তাব দেয় বলে মনে হয়।

আটজনের ক্রুকে একটি সাধারণ কক্ষে অস্থায়ীভাবে রাখার সময় টাস্ক সম্পর্কে অবহিত করা হয় যেখানে তারা যোগাযোগ করতে এবং কৌশল করতে স্বাধীন। কয়েক ঘণ্টার মধ্যে, তাদের নিয়ে যাওয়া হবে, একে একে, রুলেট চেম্বার নামক একটি ঘরে। এই কক্ষে একটি সারিতে সাজানো আটটি বোতাম রয়েছে, যার প্রতিটি আলাদা ক্রু সদস্যের প্রতিক্রিয়া জানাতে প্রোগ্রাম করা হয়েছে। ক্রুদের বিভ্রান্ত করার জন্য, প্রতিটি বোতাম এলোমেলোভাবে অন্য ক্রু সদস্যের নামের সাথে ভুল লেবেল করা হয়। প্রতিটি ক্রু সদস্যকে যে কোনও ক্রমে চারটি বোতাম টিপতে দেওয়া হয়। যখনই তারা একটি বোতাম টিপবে, তারা দেখতে পাবে বোতামটি আসলে কার। তাদের চারটি চেষ্টার মধ্যে, তাদের জন্য নির্ধারিত বোতামটি খুঁজে বের করতে হবে। ক্রুদের বিনামূল্যে যেতে হলে তাদের সবাইকে এই কাজে সফল হতে হবে। তাদের মধ্যে একজনও ব্যর্থ হলে, সবাইকে মৃত্যুদণ্ড দেওয়া হবে। একজন ক্রু সদস্য তাদের প্রচেষ্টা শেষ করার পরে, তাদের কোনও ক্রু সঙ্গীর কাছে তথ্য দেওয়ার কোনও উপায় ছাড়াই তাদের বিচ্ছিন্ন হতে হবে।

সাফল্যের সম্ভাবনা ছোট বলে মনে হচ্ছে। ক্রু সদস্যরা এলোমেলোভাবে বোতাম বেছে নিলে, প্রত্যেকের কাছে তাদের বোতাম খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা 1 টির মধ্যে 2টি থাকবে। আটটি সফল হওয়ার সম্ভাবনা 1-এর মধ্যে মাত্র 256, বা প্রায় 0.4%।

কিন্তু তাদের এলোমেলোভাবে বোতাম টিপতে হবে না। সাফল্যের সম্ভাবনা বাড়ানোর একটি উপায় হল সমস্ত বোতাম টিপগুলিকে কোনওভাবে আউট করা। এটি আমাদের প্রথম ধাঁধা প্রশ্নে নিয়ে আসে।

ধাঁধা 1

ক্রুদের বেঁচে থাকার সম্ভাবনা কতটা উন্নত করা যেতে পারে যদি তারা নিশ্চিত করে যে প্রতিটি বোতাম সমানভাবে টিপছে (যেকোনো চারটি বোতাম এলোমেলোভাবে চাপার পরিবর্তে)?

রব কর্লেট এবং JPayette এই ভাল উত্তর, তারা অন্যান্য সব প্রশ্নের হিসাবে. এই কলামের ধাঁধার পিছনে অধরা কেন্দ্রীয় ধারণার জন্য, রব কর্লেট, জেপায়েট এবং জুনি সেপানেন সুন্দরভাবে বর্ণনা করা হয়েছে, যখন সাচা বুগনন একটি কম্পিউটার সমাধান অবদান.

এখানে রব কর্লেটের উত্তর:

প্রতিটি বোতাম সমান সংখ্যক বার চাপানো হয় তা নিশ্চিত করার একটি উপায় হল বন্দীদের 4টির দুটি সমান আকারের দলে বিভক্ত করা।

প্রতিটি গ্রুপ শুধুমাত্র তাদের গ্রুপের সদস্যদের সাথে সংশ্লিষ্ট বোতাম টিপে। এইভাবে, A, B, C এবং D যদি একই সাবগ্রুপে থাকে তবে তারা শুধুমাত্র A, B, C এবং D এর জন্য বোতাম টিপুন।

এটি সম্ভাব্যতা জিজ্ঞাসা করতে সমস্যাটিকে পরিবর্তন করে যে প্রতিটি বন্দীকে সঠিক গ্রুপে বরাদ্দ করা হয়েছে কারণ তখন তারা তাদের বোতামটি চার বা তার কম প্রেসে টিপতে পারবে।

প্রথম গোষ্ঠীকে (এবং দ্বিতীয় দলটিও) চারজন লোকের সাথে পপুলেট করার উপায়ের সংখ্যা হল 4 থেকে 8টি বেছে নেওয়ার উপায়গুলির সংখ্যা যা C(8, 4) = 70। সুতরাং, উপায়গুলির মোট সংখ্যা সবাইকে দুই গ্রুপে বরাদ্দ করা হয়েছে ৭০ জন।

শুধুমাত্র একটি বরাদ্দ রয়েছে যা সঠিকভাবে প্রতিটি বন্দীকে সঠিক গ্রুপে বরাদ্দ করে এবং তাই প্রত্যেকের সঠিক গ্রুপে থাকার সম্ভাবনা এবং সমস্ত বন্দী বেঁচে থাকার সম্ভাবনা 1/70 যা আগের কৌশলটির 3.66/1 থেকে 256 গুণ বেশি। [তবে এটি এখনও খুব ছোট: মাত্র 1.4% সম্ভাবনা।]

ধাঁধা 2

মূল হতাশাজনক প্রতিকূলতাকে 90-গুণে প্রায় 36.5% পর্যন্ত উন্নত করার একটি উপায় রয়েছে, যা অলৌকিক বলে মনে হয়! এই কৌশলটিতে লুপ বা অনুমানের চেইন ব্যবহার করা জড়িত — তাই নেকলেস নেবুলা এবং ক্যাটেনটি (ক্যাটেনা চেইন জন্য ল্যাটিন)। কৌশলটির মৌলিক আকারে, প্রতিটি ক্রু সদস্য তাদের নাম সহ বোতামটি টিপে শুরু করে, তারপরে ক্রু সদস্যের নাম সহ বোতামে যায় যে প্রথম বোতামটি প্রকৃতপক্ষে অন্তর্ভুক্ত ছিল এবং তাই নামের একটি চেইন তৈরি করে।

চলুন দেখা যাক কিভাবে এটি অনুশীলনে কাজ করে। ডায়াগ্রামে, বোতামগুলি তাদের লেবেল সহ সাদাতে দেখানো হয়েছে। নীচের নীল অক্ষরগুলি বোতামগুলির প্রকৃত মালিকদের দেখায়৷ যখন প্রথম ক্রু সদস্য, A, রুলেট চেম্বারে প্রবেশ করে, সে প্রথমে A বোতাম টিপে। এটি সি এর বোতাম, তাই সে পরবর্তী বোতাম সি টিপে, তারপর বোতাম ই এবং অবশেষে বোতাম F, যা আসলে A এর নিজস্ব বোতাম, তাই সে চারটি চেষ্টায় এটি সফলভাবে খুঁজে পেয়েছে। লক্ষ্য করুন যে ACEF বোতামগুলি চারটি বোতামের একটি বন্ধ লুপ গঠন করে। যখন ক্রু সদস্যরা C, E এবং F তাদের পালা নেবে, তারা তাদের নিজ নিজ জায়গা থেকে শুরু করে একই বন্ধ লুপের চারপাশে যাবে এবং চারটি চেষ্টায় তাদের নিজস্ব বোতামও খুঁজে পাবে।

এই বিন্যাসে দুটি বোতামের দুটি ছোট লুপ রয়েছে: BD এবং GH। এই চার ক্রু সদস্য দুটি চেষ্টার মধ্যে তাদের নিজস্ব বোতাম খুঁজে পাবেন। সুতরাং, এই ব্যবস্থার সাথে, সমস্ত ক্রু সদস্য সফল হবে, এবং তারা তাদের স্বাধীনতা অর্জন করবে। এটা স্পষ্ট যে যদি ব্যবস্থায় শুধুমাত্র 4 বা তার কম দৈর্ঘ্যের লুপ থাকে, তবে সমস্ত ক্রু সদস্য সফল হবে এবং মুক্ত করা হবে। অন্য দিকে, যদি 5 বা তার বেশি একটি একক লুপ থাকে, তাহলে সেই লুপের সমস্ত ক্রু সদস্যরা চারটি চেষ্টায় তাদের বোতাম খুঁজে পেতে ব্যর্থ হবে এবং ক্রুকে মৃত্যুদন্ড দেওয়া হবে। সাফল্যের সম্ভাবনা খুঁজে বের করার জন্য, আমরা 5, 6, 7 বা 8 এর লুপ থাকার সম্ভাবনা খুঁজে পেতে পারি, তাদের যোগ করতে পারি এবং 1 থেকে সেই যোগফল বিয়োগ করতে পারি। এটি অন্য উপায়ের তুলনায় গণনা করা সহজ কারণ আটটির জন্য বোতাম, 5, 6, 7 বা 8 সদস্য বিশিষ্ট একটি মাত্র লুপ থাকতে পারে।

আছে ৮টি! আটটি বোতাম সাজানোর বিভিন্ন উপায়। কিন্তু যখন আমরা লুপ তৈরি করি, একই লুপ এই আটটি ব্যবস্থার জন্য অ্যাকাউন্ট করে (ABCDEFGH BCDEFGHA হিসাবে একই লুপ গঠন করে, যা CDEFGHAB এর মতোই, ইত্যাদি)। তাই সাইজ 8 এর একটি লুপ থাকার সম্ভাবনা হল (8!/8)/8!, যা সহজভাবে 8/1। একইভাবে, সাইজ 8 এর লুপ থাকার সম্ভাবনা 7/1, সাইজ 7 এর 6/1 এবং সাইজ 6 এর 5/1। অতএব, আমাদের নির্ভীক ক্রুদের সাফল্যের সম্ভাবনা হল 5 − (1/1 + 5/1 + 6/1 + 7/1), বা 8%, যেমনটি আগে উল্লেখ করা হয়েছে।

উপরোক্ত কৌশলটি যেকোন সংখ্যক বন্দীর জন্য কাজ করে এবং র‍্যান্ডম পদ্ধতির উপর মতপার্থক্যের উন্নতি সেই সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে দ্রুত বৃদ্ধি পায়। এটি চার বন্দীর জন্য প্রায় সাতগুণ, ছয়জনের জন্য 24 গুণ, আটজনের জন্য 93 গুণ এবং একটি আশ্চর্যজনক (3.8 × 10)²⁹-100 বন্দীর জন্য ভাঁজ। এই বিশাল বৃদ্ধি বোঝার চাবিকাঠি হল যে পদ্ধতিটি গ্রুপের প্রতিটি সদস্যের সাফল্য বা ব্যর্থতাকে অন্যদের সাথে আবদ্ধ করে। অনেকাংশে, তারা সবাই একসাথে সফল বা ব্যর্থ হয়। গোষ্ঠীর সাফল্যের সম্ভাবনা একক ব্যক্তির থেকে খুব বেশি কমে যায় না, একজন একক বন্দীর জন্য 50% থেকে কমে 30.69% হয় কারণ বন্দীর সংখ্যা সীমা ছাড়াই বাড়ানো হয়। অন্যদিকে, একটি এলোমেলো পদ্ধতির সম্ভাবনা বা এমনকি একটি "ইভেন-বোতাম প্রেস" পদ্ধতি সফল হওয়ার সম্ভাবনা এমনকি অল্প সংখ্যক বন্দীর জন্য খুব দ্রুত শূন্যের কাছাকাছি।

যদি এই কৌশলটির পিছনে যুক্তিটি এখনও অস্পষ্ট বলে মনে হয় তবে এখানে 100-বন্দি সমস্যাটির একটি বিশ্লেষণ রয়েছে Veritasium দ্বারা চমৎকার ভিডিও.

ধাঁধা 3

এই ধাঁধাটি ছিল লেফটেন্যান্ট উহুরার শৈশবের একটি খেলা মনে রাখার বিষয়ে, যেটি মূলত একই ধাঁধা ছিল, কিন্তু ছয়জনের জন্য। একটি ইঙ্গিত হিসাবে, আমি চারজনের জন্য সমস্যাটি সমাধান করার পরামর্শ দিয়েছি। এখন যেহেতু আমাদের কাছে সূত্র আছে, আমরা সহজেই সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি।

চার জনের জন্য, দীর্ঘতম লুপটি মাত্র 2 বা 1 হওয়ার সম্ভাবনা হল: 1 − (1/3 + 1/4) বা 41.7% এলোমেলো পছন্দের তুলনায় সাতগুণ লাভ সহ।

ছয় জনের জন্য, দীর্ঘতম লুপ 3, 2 বা 1 হওয়ার সম্ভাবনা হল: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) বা 38.3% 24-গুণেরও বেশি র‍্যান্ডম পছন্দের সাথে।

ধাঁধা 4

আমাদের গল্প চলতে চলতে, দেখা যাচ্ছে যে একজন ক্যাটেনটি এর প্রতি বিশেষ অপছন্দ করেছেন উদ্যোগ ক্রু এবং দূর থেকে তাদের পর্যবেক্ষণ করছে। তিনি সন্দেহ করেন যে তারা উহুরার চিত্রের উপর ভিত্তি করে কিছু কার্যকর কৌশল নিয়ে এসেছে। তিনি রুলেট শুরু হওয়ার আগে চেম্বারে স্লিপ করে এবং ইচ্ছাকৃতভাবে বোতাম লেবেলের ক্রম পরিবর্তন করে তাদের পরিকল্পনা ব্যর্থ করতে বদ্ধপরিকর। তিনি সফলভাবে পরিকল্পনা ব্যর্থ করতে পারেন? ল্যান্ডিং পার্টিকে কী লুকানোর জন্য বিশেষভাবে সতর্ক থাকতে হবে?

ক্রুদের কৌশল আলোচনার খুব তাড়াতাড়ি, উহুরার চোখ হঠাৎ সরু হয়ে গেল। তিনি তার ক্রুকে একটি সংকেত দিয়েছিলেন, এবং তিনি নিকোলিসে কথা বলার জন্য সুইচ করেছিলেন, ঘোষণা করেছিলেন, "নিকোলিসে আরও সমস্ত আলোচনা, অনুগ্রহ করে।" নিকোলিস একটি নতুন ভাষা ছিল উহুরা তার কর্মজীবনের প্রথম দিকে এই ধরনের পরিস্থিতির জন্য, সার্বজনীন অনুবাদকদের ব্যবহারকে বাধা দেওয়ার জন্য উদ্ভাবন করেছিল। "আপনি অবশ্যই সেই সন্দেহজনক ক্যাটেনটি লক্ষ্য করেছেন," তিনি চালিয়ে গেলেন। “সে আমাদের নাশকতার চেষ্টা করতে পারে, তাই আমাদের পরিকল্পনা পরিবর্তন করতে হবে। আমাদের যা করতে হবে তা এখানে…”

উহুরা নতুন পরিকল্পনার রূপরেখা দেন যতক্ষণ না তিনি সন্তুষ্ট হন যে তার ক্রুদের প্রত্যেক সদস্য এটি পুরোপুরি ভালভাবে জানেন। তারপরে তিনি তার চোখের দিকে দূরের দৃষ্টিতে ভাবলেন, “আমি 20 শতকের একজন আইকনিক অভিনেত্রীর নাম নিকোলিস রেখেছি। আমি আনন্দিত যে আমি জোর দিয়েছিলাম যে স্টারফ্লিট আমাদের সমস্ত জাহাজে এটিকে মানসম্মত করে তোলে।"

তিনি ক্রু ফিরে ফিরে. “এই সব, অফিসার. আপনি কি জানেন!"

উহুরা তার দলকে ঠিক কী বলেছে তা আমরা জানি না। কিন্তু JPayette এবং Rob Corlett এর একটি সুন্দর ধারণা ছিল। এখানে আবার রব কর্লেট:

যদি দুষ্ট ক্যাটেনাটি শুনতে পায় যে তারা এই কৌশলটি নিযুক্ত করছে তবে সে ডিসপ্লেতে দেখানো নামগুলি পরিবর্তন করতে পারে যাতে 4 এর থেকে দীর্ঘ একটি চক্র রয়েছে তা নিশ্চিত করতে।

এটি ভাঙতে হলে বন্দীদের একটি গোপন আদেশে সম্মত হতে হবে যা ক্রমটিকে এলোমেলো করে। তারা এমন কিছু বলে এটি করে যে “যদি আপনি উহুরার নাম দেখেন, তাহলে চেকভ চিহ্নিত বোতামটিতে যান। আপনি যদি চেকভের নাম দেখতে পান স্মিথ ইত্যাদি চিহ্নিত বোতামে যান।

এইভাবে, ক্যাটেনটি দ্বারা পুনর্বিন্যাস করা কোন ব্যাপার না কারণ এটি শুধুমাত্র তখনই কাজ করে যদি আপনি জানেন যে ক্রুরা প্রদর্শনের নামগুলিতে প্রতিক্রিয়া জানাবে। যদিও তাদের যেকোন পুনঃক্রম গোপন রাখতে হবে, অন্যথায় এটি আবার ভেঙে যেতে পারে।

আমরা দেখেছি, উহুরা নিশ্চিত করেছে যে গোপনীয়তা রক্ষা করা হবে। ক্রুদের প্রতিটি সদস্যকে একই গোপন আদেশ ব্যবহার করতে হবে এবং নিশ্চিত করতে হবে যে দুষ্ট ক্যাটেনটি এটি কী তা জানত না। আসলে, দুষ্ট ক্যাটেনটি দ্বারা পরিবর্তিত আদেশ আসলে ক্রুদের সফল হওয়ার সম্ভাবনা বাড়িয়ে দিয়েছে!

এটাই হযেছিল. উহুরাকে প্রথম রুলেটের চেম্বারে নিয়ে যাওয়া হয়। তিনি তিনটি বোতাম টিপলেন। কেউ তার ছিল না. তার কি দুঃখ হওয়া উচিত নাকি খুশি হওয়া উচিত? সে তার শ্বাস আটকে রেখে তার চতুর্থ টিপে দিল। সে তার আসল বোতাম খুঁজে পেয়েছিল!

সে জানত যে তারা সবাই রক্ষা পাবে।

ধাঁধা 5

ল্যান্ডিং পার্টির আকার অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধির সাথে সাথে সাফল্যের সর্বাধিক শতাংশের সীমা কোন সীমাতে পৌঁছায়? আপনি কি ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন এই পদ্ধতিটি র্যান্ডম বোতাম টিপানোর চেয়ে অনেক বেশি কার্যকর?

JPayette লিখেছেন:

উপরের সবকটি সাধারণীকরণ করে সরাসরি 2 জনের ক্রুতেn সদস্যদের প্রত্যেককে সর্বাধিক প্রেস করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে n বোতাম ধাঁধা 2 থেকে, আমরা অনুমান করি যে তাদের সাফল্যের সম্ভাবনা

1 - (অধিক যোগফল k মধ্যে n + 1 এবং 2n 1 / এরk).

যোগফলকে 1/ এর অখণ্ডের সাথে তুলনা করা যেতে পারেx ব্যবধানে [n, 2n], যা আমাদের হিসাবে প্রমাণ করতে দেয় n অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, উপরোক্ত সম্ভাবনা কমে গিয়ে বিস্ময়কর 1 − ln(2) ≈ 30.6%-এ পরিণত হয়। [আসলে 30.69% থেকে দুই দশমিক স্থানে।]

রব কর্লেট যোগ করেছেন:

যদি আপনি ইন্টিগ্রেশন না জানেন, আপনি দ্রুত একটি স্প্রেডশীট ব্যবহার করে গণনা করে একটি আনুমানিক উত্তর পেতে পারেন। আমি একবার পেয়েছিলাম 0.307 n প্রায় 750 এ পৌঁছেছে যা 3 দশমিক স্থানে সঠিক।

এই পদ্ধতিটি কেন কাজ করে তা আমরা ইতিমধ্যে উপরে ব্যাখ্যা করেছি। 1 এর থেকে দীর্ঘ সমস্ত লুপ একাধিক ক্রু সদস্যদের দ্বারা ভাগ করা হয়। তাই তাদের সাফল্য এবং ব্যর্থতা অত্যন্ত পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত। এটি নীতির একটি দৃষ্টান্ত "একজনের জন্য এবং সকলের জন্য এক।" সরাসরি Starfleet ম্যানুয়াল আউট!

আমাদের সব অবদানকারীদের ধন্যবাদ. JPayette এবং Rob Corlett উভয়েই পুরষ্কারযোগ্য উত্তর জমা দিয়েছেন যা এই সমাধান কলামটিকে প্রায় অপ্রয়োজনীয় বলে মনে করেছে। হায়, আমাকে প্রতি ধাঁধা কলামে একজন বিজয়ী বাছাই করার নিয়মে লেগে থাকতে হবে। এখানে এবং আগের ধাঁধায় অবদানের স্বীকৃতিস্বরূপ ইনসাইটস পুরস্কার জেপায়েটকে দেওয়া হয়। অভিনন্দন! রব কর্লেট, আপনার অবদান ভোলা যাবে না।

নতুন অন্তর্দৃষ্টির জন্য পরের মাসে দেখা হবে!