খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় শতাব্দীতে, আর্কিমিডিস যাকে জাহির গবাদি পশু পালনের বিষয়ে একটি ধাঁধা, যা তিনি দাবি করেছিলেন, শুধুমাত্র একজন সত্যিকারের জ্ঞানী ব্যক্তিই সমাধান করতে পারেন। তার সমস্যাটি শেষ পর্যন্ত একটি সমীকরণে ফুটে ওঠে যা দুটি বর্গাকার পদের মধ্যে পার্থক্য জড়িত, যা এইভাবে লেখা যেতে পারে x2 - dy2 = 1. এখানে, d একটি পূর্ণসংখ্যা - একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক গণনা সংখ্যা - এবং আর্কিমিডিস উভয়ই সমাধান খুঁজছিলেন x এবং y পাশাপাশি পূর্ণসংখ্যা হয়।
পেল সমীকরণ নামে পরিচিত এই শ্রেণির সমীকরণটি সহস্রাব্দ ধরে গণিতবিদদের মুগ্ধ করেছে।
আর্কিমিডিসের কয়েক শতাব্দী পরে, ভারতীয় গণিতবিদ ব্রহ্মগুপ্ত এবং পরবর্তীতে গণিতবিদ ভাস্কর দ্বিতীয়, এই সমীকরণগুলির পূর্ণসংখ্যা সমাধান খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম প্রদান করেছিলেন। 1600-এর দশকের মাঝামাঝি, ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে দে ফার্মাট (যিনি সেই কাজটি সম্পর্কে অবগত ছিলেন না) কিছু ক্ষেত্রে এটি পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন, এমনকি যখন d একটি অপেক্ষাকৃত ছোট মান বরাদ্দ করা হয়েছিল, যার জন্য সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য পূর্ণসংখ্যা সমাধান x এবং y বিশাল হতে পারে। যখন তিনি প্রতিদ্বন্দ্বী গণিতবিদদের কাছে চ্যালেঞ্জ সমস্যাগুলির একটি সিরিজ পাঠান, তখন তারা সমীকরণটি অন্তর্ভুক্ত করে x2 - 61y2 = 1, যার ক্ষুদ্রতম সমাধানে নয়টি বা 10টি সংখ্যা রয়েছে। (আর্কিমিডিসের জন্য, তার ধাঁধাটি মূলত সমীকরণের পূর্ণসংখ্যা সমাধানের জন্য জিজ্ঞাসা করেছিল x2 - 4,729,494y2 = 1. "ছোটতম সমাধান প্রিন্ট করতে, এটি 50 পৃষ্ঠা লাগে," বলেন পিটার কোয়ম্যানস, মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "কিছু অর্থে, এটি আর্কিমিডিসের একটি বিশাল ট্রল।")
কিন্তু পেল সমীকরণের সমাধান আরও অনেক কিছু করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বলুন আপনি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে $latex sqrt{2}$, একটি অযৌক্তিক সংখ্যা আনুমানিক করতে চান। দেখা যাচ্ছে যে পেল সমীকরণ সমাধান করা x2 - 2y2 = 1 আপনাকে এটি করতে সাহায্য করতে পারে: $latex sqrt{2}$ (অথবা, আরও সাধারণভাবে, $latex sqrt{d}$) ফর্মের একটি ভগ্নাংশ হিসাবে সমাধানটি পুনরায় লেখার মাধ্যমে ভালভাবে আনুমানিক করা যেতে পারে x/y.
সম্ভবত আরও কৌতূহলজনক, সেই সমাধানগুলি আপনাকে নির্দিষ্ট নম্বর সিস্টেম সম্পর্কে কিছু বলে, যাকে গণিতবিদরা রিং বলে। এই ধরনের সংখ্যা পদ্ধতিতে, গণিতবিদরা $latex sqrt{2}$কে পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্ত করতে পারেন। রিংগুলির নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং গণিতবিদরা সেই বৈশিষ্ট্যগুলি বুঝতে চান। Pell সমীকরণ, এটি সক্রিয় আউট, তাদের এটি করতে সাহায্য করতে পারে.
এবং তাই "অনেক খুব বিখ্যাত গণিতবিদ - কিছু সময়ের মধ্যে প্রায় প্রতিটি গণিতবিদ - আসলে এই সমীকরণটি অধ্যয়ন করেছিলেন কারণ এটি কতটা সহজ," বলেন মার্ক শাস্টারম্যান, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। সেই গণিতবিদদের মধ্যে ছিলেন ফার্মাট, অয়লার, ল্যাগ্রঞ্জ এবং ডিরিচলেট। (জন পেলে, এত কিছু নয়; সমীকরণটি ভুলভাবে তার নামে নামকরণ করা হয়েছিল।)
এখন Koymans এবং কার্লো প্যাগানো, মন্ট্রিলের কনকর্ডিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ আছেন প্রমাণিত হয়েছে এক দশকের পুরনো অনুমান পেল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত, যেটি সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট ফর্মের পূর্ণসংখ্যা সমাধান কত ঘন ঘন থাকে তা পরিমাপ করে। এটি করার জন্য, তারা অন্য একটি ক্ষেত্র থেকে ধারণাগুলি আমদানি করেছিল - গোষ্ঠী তত্ত্ব - একই সাথে সেই ক্ষেত্রে অধ্যয়নের একটি গুরুত্বপূর্ণ কিন্তু রহস্যময় বস্তু সম্পর্কে আরও ভাল ধারণা অর্জন করেছিল। "তারা সত্যিই গভীর এবং সুন্দর ধারণা ব্যবহার করেছে," বলেছেন অ্যান্ড্রু গ্র্যানভিল, মন্ট্রিল বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "তারা সত্যিই এটি পেরেক দিয়েছিল।"
ভাঙা পাটিগণিত
1990 এর শুরুর দিকে, পিটার স্টিভেনহেগেন, নেদারল্যান্ডসের লিডেন ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ, পেল সমীকরণ এবং গোষ্ঠী তত্ত্বের মধ্যে যে সংযোগগুলি দেখেছিলেন তার কিছু দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন যে এই সমীকরণগুলির কত ঘন ঘন পূর্ণসংখ্যা সমাধান রয়েছে সে সম্পর্কে একটি অনুমান করতে। কিন্তু “আমি আশা করিনি যে এটা শীঘ্রই প্রমাণিত হবে,” তিনি বলেছিলেন — এমনকি তার জীবদ্দশায়ও। উপলব্ধ কৌশল সমস্যা আক্রমণ করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী বলে মনে হয় না.
তার অনুমান রিংগুলির একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। সংখ্যার রিংয়ে, উদাহরণস্বরূপ, $latex sqrt{-5}$ পূর্ণসংখ্যাগুলিতে যোগ করা হয়েছে (গণিতবিদরা প্রায়শই "কাল্পনিক" সংখ্যাগুলির সাথে কাজ করেন যেমন $latex sqrt{-5}$), সেখানে দুটি স্বতন্ত্র উপায় রয়েছে একটি সংখ্যাকে তার মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে ভাগ করুন। উদাহরণ স্বরূপ 6 নম্বরটি শুধুমাত্র 2 × 3 হিসাবে নয়, (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$) হিসাবেও লেখা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, এই বলয়ে, অনন্য প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন — পাটিগণিতের একটি কেন্দ্রীয় তত্ত্ব, যাকে কার্যত স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে দেওয়া হয় — ভেঙে যায়। এটি যে পরিমাণে ঘটে তা সেই রিংয়ের সাথে সম্পর্কিত একটি বস্তুতে এনকোড করা হয়, যাকে একটি শ্রেণি গ্রুপ বলা হয়।
একটি উপায় যে গণিতবিদরা তাদের আগ্রহী এমন একটি সংখ্যা পদ্ধতিতে গভীর অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করার চেষ্টা করেন — বলুন, $latex sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যার সাথে সংযুক্ত — হল এর ক্লাস গ্রুপ গণনা করা এবং অধ্যয়ন করা। তবুও এই সমস্ত বিভিন্ন নম্বর সিস্টেমে শ্রেণী গোষ্ঠীগুলি কীভাবে আচরণ করে তার জন্য সাধারণ নিয়মগুলি পিন করা প্রায় নিষিদ্ধভাবে কঠিন।
1980 এর দশকে গণিতবিদ ড হেনরি কোহেন এবং হেনড্রিক লেনস্ট্রা সেই নিয়মগুলি কেমন হওয়া উচিত সে সম্পর্কে অনুমানগুলির একটি বিস্তৃত সেট তুলে ধরুন। এই "কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকস" আপনাকে ক্লাস গ্রুপ সম্পর্কে অনেক কিছু বলতে পারে, যার ফলে তাদের অন্তর্নিহিত সংখ্যা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রকাশ করা উচিত।
শুধু একটা সমস্যা ছিল। যদিও অনেক গণনা কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকসকে সমর্থন করে বলে মনে হচ্ছে, তারা এখনও অনুমান, প্রমাণ নয়। "যতদূর উপপাদ্য যায়, খুব সম্প্রতি পর্যন্ত আমরা প্রায় কিছুই জানতাম না," বলেছেন অ্যালেক্স বার্টেল, গ্লাসগো বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।
আশ্চর্যজনকভাবে, একটি শ্রেণী গোষ্ঠীর সাধারণ আচরণ পেল সমীকরণের আচরণের সাথে অঙ্গাঙ্গীভাবে জড়িত। একটি সমস্যা বোঝা অন্যটিকে বোঝাতে সাহায্য করে - এতটাই যে স্টিভেনহেগেনের অনুমান "কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকসে যা কিছু অগ্রগতি হয়েছে তার জন্যও এটি একটি পরীক্ষামূলক সমস্যা ছিল," প্যাগানো বলেছিলেন।
নতুন কাজ নেতিবাচক Pell সমীকরণ জড়িত, যেখানে x2 - dy2 1-এর পরিবর্তে সমান −1 সেট করা হয়েছে। মূল পেল সমীকরণের বিপরীতে, যেটিতে সর্বদা যে কোনোটির জন্য অসীম সংখ্যক পূর্ণসংখ্যা সমাধান থাকে d, এর সব মান নয় d নেতিবাচক পেলে সমীকরণে একটি সমীকরণ পাওয়া যায় যা সমাধান করা যেতে পারে। গ্রহণ করা x2 - 3y2 = −1: আপনি যতই নম্বর রেখা বরাবর তাকান না কেন, আপনি কখনই সমাধান পাবেন না, যদিও x2 - 3y2 = 1 এর অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে।
আসলে, এর মান অনেক আছে d যার জন্য নেতিবাচক পেল সমীকরণটি সমাধান করা যায় না: নির্দিষ্ট সংখ্যাগুলি কীভাবে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত সে সম্পর্কে পরিচিত নিয়মের ভিত্তিতে, d 3, 7, 11, 15 ইত্যাদির গুণিতক হতে পারে না।
কিন্তু এমনকি যখন আপনি সেই মানগুলি এড়িয়ে যান d এবং শুধুমাত্র অবশিষ্ট নেতিবাচক Pell সমীকরণ বিবেচনা করুন, এটি এখনও সমাধান খুঁজে বের করা সবসময় সম্ভব নয়। সম্ভাব্য মানের যে ছোট সেট মধ্যে d, কি অনুপাত আসলে কাজ করে?
1993 সালে, স্টিভেনহেগেন একটি সূত্র প্রস্তাব করেছিলেন যা সেই প্রশ্নের একটি সুনির্দিষ্ট উত্তর দেয়। জন্য মান d এটি কাজ করতে পারে (অর্থাৎ, যে মানগুলি 3, 7, ইত্যাদির গুণিতক নয়), তিনি ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে প্রায় 58% পূর্ণসংখ্যা সমাধানের সাথে নেতিবাচক পেল সমীকরণের জন্ম দেবে।
স্টিভেনহেগেনের অনুমান বিশেষভাবে অনুপ্রাণিত হয়েছিল নেতিবাচক পেল সমীকরণ এবং ক্লাস গ্রুপে কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকসের মধ্যে যোগসূত্র দ্বারা - একটি লিঙ্ক যা কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো শোষণ করেছিল যখন, 30 বছর পরে, তারা অবশেষে তাকে সঠিক প্রমাণ করেছিল।
একটি ভাল কামান
2010 সালে, কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো তখনও স্নাতক ছাত্র ছিলেন — স্টিভেনহেগেনের অনুমানের সাথে এখনও পরিচিত নন — যখন একটি গবেষণাপত্র বেরিয়ে আসে যেটি কয়েক বছরের মধ্যে সমস্যাটির প্রথম অগ্রগতি করেছিল।
সেই কাজে যা ছিল প্রকাশিত গণিতের ইতিহাস, গণিতবিদ ইতিয়েন ফুভরি এবং ইয়ুর্গেন ক্লুনার্স দেখিয়েছে যে এর মানগুলির অনুপাত d যে নেতিবাচক Pell সমীকরণ জন্য কাজ করবে একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে পড়ে. এটি করার জন্য, তারা প্রাসঙ্গিক শ্রেণি গোষ্ঠীর কিছু উপাদানের আচরণের উপর একটি হ্যান্ডেল পেয়েছে। কিন্তু স্টিভেনহেগেনের 58% এর অনেক বেশি সুনির্দিষ্ট অনুমানে হোম করার জন্য তাদের আরও অনেক উপাদানের বোঝার প্রয়োজন। দুর্ভাগ্যবশত, এই উপাদানগুলি অস্পষ্ট থেকে যায়: তাদের গঠন বোঝার জন্য অভিনব পদ্ধতিগুলি এখনও প্রয়োজন ছিল। পরবর্তী অগ্রগতি অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল।
তারপরে, 2017 সালে, যখন কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো দুজনেই লিডেন ইউনিভার্সিটির স্নাতক স্কুলে একসাথে ছিলেন, একটি কাগজ হাজির যে সবকিছু পরিবর্তন. "যখন আমি এটি দেখেছি, আমি অবিলম্বে স্বীকার করেছি যে এটি একটি খুব, খুব চিত্তাকর্ষক ফলাফল," কোয়ম্যানস বলেছিলেন। "ঠিক আছে, এখন আমার কাছে একটি কামান আছে যে আমি এই সমস্যাটি গুলি করতে পারি এবং আশা করি যে আমি অগ্রগতি করতে পারব।" (সেই সময়ে, স্টিভেনহেগেন এবং লেন্স্রাও লেইডেনের অধ্যাপক ছিলেন, যা সমস্যাটির প্রতি কোয়ম্যান এবং প্যাগানোর আগ্রহ জাগিয়ে তুলতে সাহায্য করেছিল।)
কাগজটি হার্ভার্ডের একজন স্নাতক ছাত্রের ছিল, আলেকজান্ডার স্মিথ (যিনি এখন স্ট্যানফোর্ডে একজন ক্লে ফেলো)। Koymans এবং Pagano কাজটিকে একটি অগ্রগতি হিসাবে স্বাগত জানানোর ক্ষেত্রে একা ছিলেন না। "ধারণাগুলি আশ্চর্যজনক ছিল," গ্র্যানভিল বলেছিলেন। "বিপ্লবী।"
স্মিথ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা নামক সমীকরণের সমাধানের বৈশিষ্ট্য বোঝার চেষ্টা করছিলেন। এটি করতে গিয়ে, তিনি কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকসের একটি নির্দিষ্ট অংশ তৈরি করেছিলেন। এই বৃহত্তর অনুমানগুলিকে গাণিতিক সত্য হিসাবে সিমেন্ট করার ক্ষেত্রে এটি শুধুমাত্র প্রথম বড় পদক্ষেপই ছিল না, তবে এটি শ্রেণী গোষ্ঠীর অংশটিকে নিখুঁতভাবে জড়িত করেছিল যা স্টিভেনহেগেনের অনুমানের উপর তাদের কাজ করার জন্য কোয়ম্যানস এবং প্যাগানোকে বুঝতে হবে। (এই অংশে সেই উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত ছিল যা Fouvry এবং Klüners তাদের আংশিক ফলাফলে অধ্যয়ন করেছিলেন, কিন্তু এটি তাদের থেকেও অনেক বেশি এগিয়ে গিয়েছিল।)
যাইহোক, Koymans এবং Pagano এখনই স্মিথের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারেনি। (যদি এটা সম্ভব হত, স্মিথ নিজেও সম্ভবত তা করতেন।) স্মিথের প্রমাণ ছিল সঠিক সংখ্যার রিংগুলির সাথে যুক্ত শ্রেণী গোষ্ঠীগুলি সম্পর্কে (যেগুলিতে $latex sqrt{d}$ পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্ত হয়) — তবে তিনি সমস্ত বিবেচনা করেছিলেন এর পূর্ণসংখ্যার মান d. অন্যদিকে কোয়ম্যান এবং প্যাগানো শুধুমাত্র সেই মানগুলির একটি ক্ষুদ্র উপসেট সম্পর্কে চিন্তা করছিল d. ফলস্বরূপ, তাদের শ্রেণী গোষ্ঠীর অনেক ছোট ভগ্নাংশের মধ্যে গড় আচরণের মূল্যায়ন করতে হবে।
এই শ্রেণী গোষ্ঠীগুলি মূলত স্মিথের শ্রেণী গোষ্ঠীর 0% গঠন করেছিল - যার অর্থ স্মিথ যখন তার প্রমাণ লিখছিলেন তখন সেগুলি তাদের ফেলে দিতে পারে। তিনি যে গড় আচরণে অধ্যয়ন করছেন তাতে তারা অবদান রাখেনি।
এবং যখন কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো তার কৌশলগুলিকে শুধুমাত্র তাদের যত্নশীল শ্রেণী গোষ্ঠীগুলিতে প্রয়োগ করার চেষ্টা করেছিলেন, তখন পদ্ধতিগুলি অবিলম্বে ভেঙে যায়। তাদের কাজ করার জন্য এই জুটিকে উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন করতে হবে। তদুপরি, তারা কেবল একটি শ্রেণী গোষ্ঠীকে চিহ্নিত করত না, বরং দুটি ভিন্ন শ্রেণী গোষ্ঠীর মধ্যে যে অমিল থাকতে পারে (এটি করা তাদের স্টিভেনহেগেনের অনুমানের প্রমাণের একটি প্রধান অংশ হবে) - যার জন্য কিছু ভিন্ন সরঞ্জামেরও প্রয়োজন হবে।
তাই কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো স্মিথের কাগজের মাধ্যমে আরও সাবধানে আঁচড়ানো শুরু করেছিলেন ঠিক কোথায় জিনিসগুলি রেলের বাইরে যেতে শুরু করেছিল তা চিহ্নিত করার আশায়। এটি কঠিন, শ্রমসাধ্য কাজ ছিল, শুধুমাত্র এই কারণে নয় যে উপাদানটি এত জটিল ছিল, কিন্তু কারণ স্মিথ তখনও তার প্রিপ্রিন্টকে পরিমার্জন করছিলেন, প্রয়োজনীয় সংশোধন এবং স্পষ্টীকরণ করেছিলেন। (তিনি পোস্ট করেছেন তার কাগজের নতুন সংস্করণ গত মাসে অনলাইন।)
পুরো এক বছর ধরে, কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো একসাথে প্রমাণ শিখেছেন, লাইন বাই লাইন। তারা প্রতিদিন দেখা করত, ব্ল্যাকবোর্ডে কয়েক ঘন্টা কাটানোর আগে মধ্যাহ্নভোজনের একটি প্রদত্ত বিভাগ নিয়ে আলোচনা করত, প্রাসঙ্গিক ধারণার মাধ্যমে একে অপরকে কাজ করতে সাহায্য করত। যদি তাদের একজন নিজে থেকে অগ্রগতি করে, তবে তিনি তাকে আপডেট করার জন্য অন্যটিকে টেক্সট করেছিলেন। শাস্টারম্যান মাঝে মাঝে তাদের অনেক রাত পর্যন্ত কাজ করতে দেখে মনে করে। (বা সম্ভবত এর কারণে) চ্যালেঞ্জ থাকা সত্ত্বেও, "এটি একসাথে করা খুব মজার ছিল," কোয়ম্যানস বলেছিলেন।
তারা শেষ পর্যন্ত চিহ্নিত করেছে যেখানে তাদের একটি নতুন পদ্ধতির চেষ্টা করতে হবে। প্রথম দিকে, তারা শুধুমাত্র পরিমিত উন্নতি করতে সক্ষম হয়েছিল। একসাথে গণিতবিদদের সাথে স্টেফানি চ্যান এবং জর্ডজো মিলোভিচ, তারা শ্রেণী গোষ্ঠীর কিছু অতিরিক্ত উপাদানে কীভাবে একটি হ্যান্ডেল পেতে হয় তা খুঁজে বের করেছিল, যা তাদের Fouvry এবং Klüners এর চেয়ে ভাল বাউন্ড পেতে দেয়। কিন্তু ক্লাস গ্রুপের কাঠামোর উল্লেখযোগ্য অংশগুলি এখনও তাদের এড়িয়ে গেছে।
একটি প্রধান সমস্যা যা তাদের মোকাবেলা করতে হয়েছিল - এমন কিছু যার জন্য স্মিথের পদ্ধতিটি এই নতুন প্রেক্ষাপটে আর কাজ করে না - নিশ্চিত করা হয়েছিল যে তারা সত্যই শ্রেণী গোষ্ঠীর জন্য "গড়" আচরণের মূল্যবোধ হিসাবে বিশ্লেষণ করছে। d বড় এবং বড় হয়েছে. এলোমেলোতার সঠিক মাত্রা প্রতিষ্ঠা করার জন্য, কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো একটি জটিল নিয়মের সেট প্রমাণ করেছেন, যাকে পারস্পরিক আইন বলা হয়। শেষ পর্যন্ত, এটি তাদের দুটি শ্রেণীর গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যের উপর তাদের প্রয়োজনীয় নিয়ন্ত্রণ অর্জনের অনুমতি দেয়।
এই অগ্রিম, অন্যদের সাথে মিলিত, তাদের অবশেষে এই বছরের শুরুতে স্টিভেনহেগেনের অনুমানের প্রমাণ সম্পূর্ণ করার অনুমতি দেয়। "এটি আশ্চর্যজনক যে তারা এটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিল," চ্যান বলেছিলেন। "আগে, আমাদের এই সমস্ত সমস্যা ছিল।"
তারা যা করেছে "আমাকে অবাক করেছে," স্মিথ বলেছেন। "কোয়ম্যান এবং প্যাগানো আমার পুরানো ভাষাকে একরকম ধরে রেখেছে এবং এটিকে আরও এবং আরও এমন একটি দিকে ঠেলে দেওয়ার জন্য ব্যবহার করেছে যা আমি আর বুঝতে পারিনি।"
তীক্ষ্ণতম টুল
পাঁচ বছর আগে তিনি এটি চালু করার সময় থেকে, কোহেন-লেনস্ট্রা হিউরিস্টিকসের একটি অংশের স্মিথের প্রমাণকে উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং আগ্রহের অন্যান্য কাঠামোর প্রশ্ন সহ অন্যান্য সমস্যাগুলির জন্য দরজা খোলার উপায় হিসাবে দেখা হয়েছিল। (তাদের গবেষণাপত্রে, কোয়ম্যানস এবং প্যাগানো প্রায় এক ডজন অনুমান তালিকায় রয়েছে যা তারা তাদের পদ্ধতি ব্যবহার করবে বলে আশা করে। অনেকেরই নেতিবাচক পেল সমীকরণ বা এমনকি ক্লাস গ্রুপের সাথে কিছুই করার নেই।)
"অনেক বস্তুর কাঠামো রয়েছে যা এই ধরণের বীজগাণিতিক গোষ্ঠীর সাথে ভিন্ন নয়," গ্র্যানভিল বলেছেন। কিন্তু কোয়ম্যান এবং প্যাগানোকে যে একই রাস্তার প্রতিবন্ধকতার মুখোমুখি হতে হয়েছিল তার অনেকগুলি এই অন্যান্য প্রসঙ্গেও উপস্থিত রয়েছে। নেতিবাচক Pell সমীকরণের উপর নতুন কাজ এই রাস্তার বাধাগুলি দূর করতে সাহায্য করেছে। "আলেকজান্ডার স্মিথ আমাদের বলেছেন কিভাবে এই করাত এবং হাতুড়িগুলি তৈরি করতে হয়, কিন্তু এখন আমাদের এগুলিকে যতটা সম্ভব ধারালো এবং যতটা সম্ভব হার্ড-হিট করতে হবে এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে যতটা সম্ভব মানিয়ে নিতে হবে," বার্টেল বলেছেন। "এই কাগজটি যে জিনিসগুলি করে তার মধ্যে একটি হল সেই দিকে অনেক বেশি এগিয়ে যাওয়া।"
এই সমস্ত কাজ, ইতিমধ্যে, গণিতবিদদের শ্রেণী গোষ্ঠীর শুধুমাত্র একটি দিক সম্পর্কে বোঝার পরিমার্জন করেছে। বাকি কোহেন-লেনস্ট্রা অনুমানগুলি অন্তত এই মুহুর্তের জন্য নাগালের বাইরে থেকে যায়। কিন্তু Koymans এবং Pagano-এর কাগজ "কোহেন-লেনস্ট্রায় আক্রমণের সমস্যাগুলির জন্য আমাদের যে কৌশলগুলি রয়েছে তা একটি ইঙ্গিত দেয়," স্মিথ বলেছিলেন।
লেনস্ট্রা নিজেও একইভাবে আশাবাদী ছিলেন। এটি "একেবারে দর্শনীয়," তিনি একটি ইমেলে লিখেছেন। "এটি সত্যিই সংখ্যা তত্ত্বের একটি শাখায় একটি নতুন অধ্যায় উন্মুক্ত করে যা সংখ্যা তত্ত্বের মতোই পুরানো।"
