গণিতবিদরা পাশা রোল এবং রক-পেপার-কাঁচি পান

বিল গেটস যেমন গল্প বলছেন, ওয়ারেন বাফেট একবার তাকে পাশা খেলার জন্য চ্যালেঞ্জ করেছিলেন। প্রত্যেকে বাফেটের চারটি পাশার মধ্যে একটি নির্বাচন করবে, এবং তারপর তারা রোল করবে, উচ্চতর নম্বর জিতেছে। এগুলি স্ট্যান্ডার্ড ডাইস ছিল না — তাদের সংখ্যার সাধারণ 1 থেকে 6 এর চেয়ে আলাদা ভাণ্ডার ছিল৷ বাফেট গেটসকে প্রথমে বেছে নেওয়ার প্রস্তাব দিয়েছিলেন, যাতে তিনি সবচেয়ে শক্তিশালী ডাই বেছে নিতে পারেন৷ কিন্তু গেটস পাশা পরীক্ষা করার পরে, তিনি একটি পাল্টা প্রস্তাব ফিরিয়ে দেন: বাফেটকে প্রথমে বাছাই করা উচিত।

গেটস চিনতে পেরেছিলেন যে বাফেটের পাশা একটি কৌতূহলী সম্পত্তি প্রদর্শন করেছিল: তাদের মধ্যে কেউই শক্তিশালী ছিল না। যদি গেটস প্রথমে বেছে নিতেন, তারপর যেটি ডাই বেছে নিতেন, বাফেট আরেকটি ডাই খুঁজে পেতেন যেটি এটিকে পরাজিত করতে পারে (অর্থাৎ, জয়ের 50% এর বেশি সম্ভাবনা রয়েছে)।

বাফেটের চারটি পাশা (তাদের কল করুন A, B, C এবং D) রক-কাগজ-কাঁচির স্মরণ করিয়ে দেয় এমন একটি প্যাটার্ন তৈরি করেছে, যার মধ্যে A beats B, B beats C, C beats D এবং D beats A. গণিতবিদরা বলেন যে এই ধরনের পাশার একটি সেট "অকার্যকর"।

"এটি মোটেও স্বজ্ঞাত নয় যে [অনিষ্ক্রিয় পাশা] এমনকি বিদ্যমান থাকা উচিত," বলেন ব্রায়ান কনরে, সান জোসে আমেরিকান ইনস্টিটিউট অফ ম্যাথমেটিক্স (AIM) এর পরিচালক, যিনি 2013 সালে এই বিষয়ে একটি প্রভাবশালী গবেষণাপত্র লিখেছিলেন।

গণিতবিদদের সঙ্গে এসেছেন প্রথম উদাহরণ 50 বছরেরও বেশি আগে, এবং অবশেষে প্রতিপন্ন যে আপনি আরো এবং আরো পক্ষের সঙ্গে পাশা বিবেচনা, এটি যে কোনো দৈর্ঘ্যের অকার্যকর চক্র তৈরি করা সম্ভব. সাম্প্রতিককাল পর্যন্ত গণিতবিদরা যা জানতেন না তা হল অকার্যকর পাশা কতটা সাধারণ। আপনাকে কি এই জাতীয় উদাহরণগুলি সাবধানে তৈরি করতে হবে, নাকি আপনি এলোমেলোভাবে পাশা বাছাই করতে পারেন এবং একটি অকার্যকর সেট খুঁজে পেতে ভাল শট করতে পারেন?

থ্রি ডাইসের দিকে তাকাচ্ছেন, যদি জানেন A beats B এবং B beats C, যে প্রমাণ মত মনে হচ্ছে যে A সবচেয়ে শক্তিশালী; পরিস্থিতি যেখানে C beats A বিরল হওয়া উচিত। এবং প্রকৃতপক্ষে, যদি ডাইসের সংখ্যাগুলিকে বিভিন্ন মোট যোগ করার অনুমতি দেওয়া হয়, তবে গণিতবিদরা বিশ্বাস করেন যে এই অন্তর্দৃষ্টি সত্য।

কিন্তু একটি কাগজ অনলাইন পোস্ট গত বছরের শেষের দিকে দেখায় যে অন্য প্রাকৃতিক পরিবেশে, এই অন্তর্দৃষ্টি দর্শনীয়ভাবে ব্যর্থ হয়। ধরুন আপনি আপনার পাশা শুধুমাত্র একটি নিয়মিত ডাই প্রদর্শিত সংখ্যা এবং একটি নিয়মিত ডাই হিসাবে একই মোট সংখ্যা ব্যবহার করতে হবে. তারপর, কাগজ দেখিয়েছে, যদি A beats B এবং B beats C, A এবং C একে অপরের বিরুদ্ধে বিরাজ করার মূলত সমান সম্ভাবনা রয়েছে।

"জানে যে A beats B এবং B beats C শুধু আপনি কিনা সম্পর্কে কোন তথ্য দেয় A beats C, "বলেন টিমোথি গওয়ারস কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের, একজন ফিল্ডস পদক বিজয়ী এবং নতুন ফলাফলে অবদানকারীদের একজন, যা একটি পলিম্যাথ প্রকল্প হিসাবে পরিচিত একটি খোলা অনলাইন সহযোগিতার মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছিল।

এদিকে, আরেকজন সাম্প্রতিক কাগজ চার বা ততোধিক পাশার সেট বিশ্লেষণ করে। এই অনুসন্ধানটি তর্কাতীতভাবে আরও বেশি বিরোধিতামূলক: যদি, উদাহরণস্বরূপ, আপনি এলোমেলোভাবে চারটি পাশা বাছাই করেন এবং আপনি এটি খুঁজে পান A beats B, B beats C এবং C beats D, তারপর এটা সামান্য অধিক জন্য সম্ভবত D মারতে A বিপরীত তুলনায়.

শক্তিশালীও না দুর্বলও নয়

ফলাফলের সাম্প্রতিক ফুসকুড়িটি প্রায় এক দশক আগে শুরু হয়েছিল, যখন কনরে একটি সেশনের সাথে গণিত শিক্ষকদের জন্য একটি সমাবেশে যোগ দিয়েছিলেন যা অনাকাঙ্খিত পাশা কভার করেছিল। "আমার ধারণা ছিল না যে এই ধরনের জিনিস থাকতে পারে," তিনি বলেছিলেন। "আমি তাদের দ্বারা মুগ্ধ হয়েছি।"

তিনি সিদ্ধান্ত নেন (পরে তার সহকর্মী যোগ দেন কেন্ট মরিসন AIM-এ) তিনজন উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্রদের সাথে বিষয় অন্বেষণ করার জন্য যা তিনি পরামর্শ দিচ্ছিলেন — জেমস গ্যাবার্ড, কেটি গ্রান্ট এবং অ্যান্ড্রু লিউ। কতবার, দলটি ভেবেছিল, এলোমেলোভাবে বাছাই করা পাশা কি একটি অকার্যকর চক্র গঠন করবে?

পাশার অকার্যকর সেটগুলিকে বিরল বলে মনে করা হয় যদি পাশার মুখের সংখ্যাগুলি বিভিন্ন মোটের সাথে যোগ করে, কারণ সর্বোচ্চ মোটের সাথে ডাই অন্যদের হারানোর সম্ভাবনা থাকে। তাই দলটি এমন পাশাগুলিতে ফোকাস করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে যেগুলির দুটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে: প্রথমত, ডাইসগুলি একটি স্ট্যান্ডার্ড ডাই-এর মতো একই সংখ্যা ব্যবহার করে — 1 থেকে n, একটি ক্ষেত্রে n-পার্শ্বিক ডাই। এবং দ্বিতীয়ত, মুখের সংখ্যাগুলি স্ট্যান্ডার্ড ডাই-এর মতো একই মোট যোগ করে। কিন্তু স্ট্যান্ডার্ড ডাইসের বিপরীতে, প্রতিটি ডাই কিছু সংখ্যার পুনরাবৃত্তি করতে পারে এবং অন্যটিকে ছেড়ে দিতে পারে।

ছয়-পার্শ্বযুক্ত পাশার ক্ষেত্রে, এই দুটি বৈশিষ্ট্য আছে মাত্র 32টি ভিন্ন পাশা। তাই একটি কম্পিউটারের সাহায্যে দলটি যে সমস্ত ত্রিপলকে চিহ্নিত করতে পারে A beats B এবং B beats C. গবেষকরা তাদের আশ্চর্যজনকভাবে এটি খুঁজে পেয়েছেন A beats C 1,756 ট্রিপলে এবং C beats A 1,731 ট্রিপলে - প্রায় অভিন্ন সংখ্যা। এই গণনার উপর ভিত্তি করে এবং ছয়টিরও বেশি দিকের পাশার সিমুলেশন, দল অনুমান করেছে যে পাশা উপর পক্ষের সংখ্যা অসীম কাছাকাছি, সম্ভাব্যতা যে A beats C 50% এর কাছাকাছি।

অনুমান, তার অ্যাক্সেসযোগ্যতা এবং সূক্ষ্মতার মিশ্রণের সাথে, কনরেকে একটি পলিম্যাথ প্রকল্পের জন্য ভাল খাদ্য হিসাবে আঘাত করেছিল, যেখানে অনেক গণিতবিদ ধারনা ভাগ করার জন্য অনলাইনে একত্রিত হন। 2017 সালের মাঝামাঝি সময়ে, তিনি পলিম্যাথ পদ্ধতির প্রবর্তক গওয়ারসকে ধারণাটি প্রস্তাব করেছিলেন। "আমি প্রশ্নটি খুব পছন্দ করেছি, এর আশ্চর্য মূল্যের কারণে," গাওয়ারস বলেছিলেন। তিনি একটি লিখেছেন ব্লগ পোস্ট অনুমান সম্পর্কে যা মন্তব্যের ঝাঁকুনি আকৃষ্ট করেছিল এবং ছয়টি অতিরিক্ত পোস্টের সময়, মন্তব্যকারীরা এটি প্রমাণ করতে সফল হয়েছিল।

তাদের কাগজে, পোস্ট অনলাইন 2022 সালের নভেম্বরের শেষের দিকে, প্রমাণের একটি মূল অংশে দেখানো হয় যে, বেশিরভাগ অংশে, একটি একক মৃত্যু শক্তিশালী না দুর্বল তা নিয়ে কথা বলার কোনো মানে হয় না। বাফেটের পাশা, যার মধ্যে কোনটিই প্যাকের সবচেয়ে শক্তিশালী নয়, এটি অস্বাভাবিক নয়: আপনি যদি এলোমেলোভাবে একটি ডাই বেছে নেন, পলিম্যাথ প্রকল্পটি দেখিয়েছে, এটি অন্য ডাইসের প্রায় অর্ধেককে হারাতে পারে এবং অন্য অর্ধেককে হারাতে পারে। "প্রায় প্রতিটি মৃত্যুই বেশ গড়পড়তা," গাওয়ারস বলেছেন।

প্রকল্পটি AIM টিমের মূল মডেল থেকে এক দিক থেকে বিচ্ছিন্ন হয়েছে: কিছু কারিগরিতা সহজ করার জন্য, প্রকল্পটি ঘোষণা করেছে যে একটি ডাই-এ সংখ্যার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ — সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 122556 এবং 152562 দুটি ভিন্ন পাশা হিসাবে বিবেচিত হবে। কিন্তু পলিম্যাথ ফলাফল, এআইএম দলের পরীক্ষামূলক প্রমাণের সাথে মিলিত, একটি দৃঢ় অনুমান তৈরি করে যে অনুমানটি মূল মডেলেও সত্য, গাওয়ারস বলেছেন।

"আমি একেবারে আনন্দিত যে তারা এই প্রমাণটি নিয়ে এসেছে," কনরে বলেছিলেন।

যখন এটি চার বা ততোধিক পাশার সংগ্রহের কথা আসে, তখন AIM দল তিনটি পাশার মতো একই আচরণের ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল: উদাহরণস্বরূপ, যদি A beats B, B beats C এবং C beats D তারপর একটি মোটামুটি 50-50 সম্ভাবনা থাকা উচিত যে D beats A, ঠিক 50-50 এর কাছাকাছি আসছে যখন ডাইসের বাহুর সংখ্যা অসীমের কাছে আসে।

অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, গবেষকরা 50, 100, 150 এবং 200 পাশ সহ চারটি পাশার সেটের জন্য হেড-টু-হেড টুর্নামেন্ট অনুকরণ করেছেন। সিমুলেশনগুলি তিনটি পাশার ক্ষেত্রে তাদের ভবিষ্যদ্বাণীগুলিকে ততটা ঘনিষ্ঠভাবে মেনে চলেনি তবে অনুমানে তাদের বিশ্বাসকে শক্তিশালী করার জন্য এখনও যথেষ্ট কাছাকাছি ছিল। কিন্তু যদিও গবেষকরা তা বুঝতে পারেননি, এই ছোট অসঙ্গতিগুলি একটি ভিন্ন বার্তা বহন করে: চার বা তার বেশি পাশার সেটের জন্য, তাদের অনুমান মিথ্যা।

"আমরা সত্যিই চেয়েছিলাম [অনুমান] সত্য হতে, কারণ এটি দুর্দান্ত হবে," কনরে বলেছিলেন।

চার পাশার ক্ষেত্রে, এলিসাবেটা কর্নাচিয়া সুইস ফেডারেল ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি লুসানের এবং জান হাজলা আফ্রিকান ইনস্টিটিউট ফর ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেসের কিগালি, রুয়ান্ডা, একটিতে দেখিয়েছেন কাগজ 2020 সালের শেষের দিকে অনলাইনে পোস্ট করা হয়েছে যে যদি A beats B, B beats C এবং C beats D, তারপর D মারধরের সম্ভাবনা 50% এর চেয়ে কিছুটা ভাল A - সম্ভবত কোথাও প্রায় 52%, হাজলা বলেছেন। (পলিম্যাথ পেপারের মতো, কর্নাকিয়া এবং হাজলা এআইএম কাগজের তুলনায় একটু ভিন্ন মডেল ব্যবহার করেছে।)

Cornacchia এবং Hązła এর অনুসন্ধান এই সত্য থেকে উদ্ভূত হয় যে, যদিও, একটি নিয়ম হিসাবে, একটি একক ডাই শক্তিশালী বা দুর্বল হবে না, এক জোড়া পাশার মাঝে মাঝে শক্তির সাধারণ ক্ষেত্র থাকতে পারে। আপনি যদি এলোমেলোভাবে দুটি পাশা বাছাই করেন, Cornacchia এবং Hązła দেখিয়েছেন, একটি শালীন সম্ভাবনা রয়েছে যে পাশাগুলি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হবে: তারা একই পাশাকে হারাতে বা হারাতে থাকে। "যদি আমি আপনাকে দুটি পাশা তৈরি করতে বলি যা একে অপরের কাছাকাছি, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে এটি সম্ভব," হাজলা বলেছিলেন। পারস্পরিক সম্পর্কের এই ছোট পকেটগুলি টুর্নামেন্টের ফলাফলগুলিকে প্রতিসাম্য থেকে দূরে সরিয়ে দেয় যত তাড়াতাড়ি ছবিতে কমপক্ষে চারটি পাশা থাকে৷

সাম্প্রতিক কাগজপত্র গল্পের শেষ নয়। Cornacchia এবং Hązła-এর পেপার শুধুমাত্র সঠিকভাবে উদ্ঘাটন করতে শুরু করে যে কিভাবে ডাইসের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক টুর্নামেন্টের প্রতিসাম্যকে ভারসাম্যহীন করে। এরই মধ্যে, যদিও, আমরা এখন জানি যে সেখানে প্রচুর পরিমাণে অনাকাঙ্খিত পাশা রয়েছে — এমনকি এমন একটিও যা বিল গেটসকে প্রথমে বেছে নেওয়ার জন্য কৌশলে যথেষ্ট সূক্ষ্ম।