ভূমিকা
কল্পনা করুন যে হেক্সাগনের একটি গ্রিড, মৌচাকের মতো, আপনার সামনে প্রসারিত। কিছু ষড়ভুজ খালি; অন্যগুলো শক্ত কংক্রিটের একটি 6-ফুট লম্বা কলাম দ্বারা ভরা হয়। ফলাফল হল এক ধরনের গোলকধাঁধা। অর্ধ শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে, গণিতবিদরা এলোমেলোভাবে তৈরি করা মেজ সম্পর্কে প্রশ্ন তুলেছেন। সাফ করা পথের বৃহত্তম জাল কত বড়? এক প্রান্ত থেকে গ্রিডের কেন্দ্রে যাওয়ার এবং আবার ফিরে আসার সম্ভাবনা কী? গ্রিড আকারে স্ফীত হওয়ার সাথে সাথে তার প্রান্তগুলিতে আরও বেশি ষড়ভুজ যোগ করার সাথে সেই সম্ভাবনাগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
অনেক খালি জায়গা বা অনেক কংক্রিট থাকলে এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া সহজ। বলুন প্রতিটি ষড়ভুজকে এলোমেলোভাবে তার অবস্থা বরাদ্দ করা হয়েছে, অন্য সমস্ত ষড়ভুজ থেকে স্বাধীন, একটি সম্ভাব্যতা সহ যা সমগ্র গ্রিড জুড়ে স্থির থাকে। বলুন, প্রতিটি ষড়ভুজ খালি থাকার 1% সম্ভাবনা থাকতে পারে। কংক্রিট গ্রিডকে ভিড় করে, মাঝখানে বাতাসের ছোট পকেট রেখে, প্রান্তে যাওয়ার পথ খুঁজে পাওয়ার সুযোগ কার্যকরভাবে শূন্য করে দেয়। অন্যদিকে, যদি প্রতিটি ষড়ভুজ খালি থাকার 99% সম্ভাবনা থাকে, তবে সেখানে কংক্রিটের দেয়ালগুলির একটি পাতলা ছিটানো, খোলা জায়গার বিরামচিহ্নিত swaths - খুব একটা গোলকধাঁধা নয়। এই ক্ষেত্রে কেন্দ্র থেকে প্রান্তে একটি পথ খুঁজে পাওয়া প্রায় নিশ্চিত।
বৃহৎ গ্রিডের জন্য, সম্ভাবনা 1/2 হিট হলে একটি উল্লেখযোগ্যভাবে আকস্মিক পরিবর্তন হয়। ঠিক যেমন শূন্য ডিগ্রি সেলসিয়াসে বরফ গলে তরল জলে পরিণত হয়, ঠিক তেমনই এই ট্রানজিশন পয়েন্টে গোলকধাঁধাটির চরিত্র ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়, যাকে বলা হয় সমালোচনামূলক সম্ভাবনা। সমালোচনামূলক সম্ভাবনার নীচে, বেশিরভাগ গ্রিড কংক্রিটের নীচে পড়ে থাকবে, যখন খালি পথগুলি সর্বদাই শেষ প্রান্তে চলে আসবে। সমালোচনামূলক সম্ভাবনার উপরে, বিশাল ট্র্যাক্টগুলি খালি রাখা হয়েছে এবং এটি কংক্রিটের দেয়ালগুলি যা পিটার আউট নিশ্চিত। আপনি যদি সমালোচনামূলক সম্ভাবনায় ঠিক থেমে যান, তাহলে কংক্রিট এবং শূন্যতা একে অপরের ভারসাম্য বজায় রাখবে, উভয়ই গোলকধাঁধাকে আয়ত্ত করতে সক্ষম হবে না।
"গুরুত্বপূর্ণ সময়ে, যা আবির্ভূত হয় তা হল উচ্চ মাত্রার প্রতিসাম্য," বলেন মাইকেল আইজেনম্যান, প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গাণিতিক পদার্থবিদ। "এটি গণিতের বিশাল অংশের দরজা খুলে দেয়।" গ্যাস মাস্কের নকশা থেকে শুরু করে কীভাবে সংক্রামক রোগ ছড়ায় বা পাথরের মধ্য দিয়ে কীভাবে তেল ছড়িয়ে পড়ে তার বিশ্লেষণ পর্যন্ত এর ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে।
একটি ইন কাগজ গত পতন পোস্ট, চারজন গবেষক অবশেষে 1/2 এর সমালোচনামূলক সম্ভাবনায় গোলকধাঁধাগুলির জন্য একটি পথ খুঁজে পাওয়ার সুযোগ গণনা করেছেন।
একটি অস্ত্র রেস
2000 এর দশকের মাঝামাঝি ফ্রান্সে ডক্টরাল ছাত্র হিসাবে, পিয়েরে নলিন সমালোচনামূলক সম্ভাব্যতার দৃশ্যটি বিশদভাবে অধ্যয়ন করেছেন। এলোমেলো গোলকধাঁধা, তিনি মনে করেন, "সত্যিই একটি সুন্দর মডেল, সম্ভবত আপনি উদ্ভাবিত সহজতম মডেলগুলির মধ্যে একটি।" তার ডক্টরাল অধ্যয়নের শেষের দিকে, যা তিনি 2008 সালে শেষ করেছিলেন, নোলিন একটি বিশেষভাবে চ্যালেঞ্জিং প্রশ্ন দ্বারা বিমোহিত হয়েছিলেন যে কীভাবে সমালোচনামূলক সম্ভাবনায় একটি ষড়ভুজ গ্রিড আচরণ করে। বলুন আপনি একটি কেন্দ্রীয় বিন্দুর চারপাশে একটি গ্রিড তৈরি করেন, যাতে এটি একটি বৃত্তের আনুমানিক হয় এবং আপনি সেখান থেকে এলোমেলোভাবে আপনার গোলকধাঁধা তৈরি করেন। নোলিন সেই সুযোগটি অন্বেষণ করতে চেয়েছিলেন যে আপনি একটি খোলা পথ খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন যা কিনারা থেকে কেন্দ্রে পৌঁছায় এবং পিছনের দিকে ফিরে আসে। গণিতবিদরা এটিকে একটি একরঙা দুই-সশস্ত্র পথ বলে, কারণ অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক উভয় "বাহু" খোলা পথে রয়েছে। (কখনও কখনও এই ধরনের গ্রিডগুলিকে সমানভাবে দুটি ভিন্ন রঙের তৈরি বলে মনে করা হয়, খোলা এবং বন্ধ কক্ষের পরিবর্তে হালকা নীল এবং গাঢ় নীল বলুন।) আপনি যদি গোলকধাঁধাটির আকার বাড়ান তবে প্রয়োজনীয় পথের দৈর্ঘ্যও বৃদ্ধি পাবে , এবং এই ধরনের একটি পথ খুঁজে পাওয়ার সুযোগ ছোট থেকে ছোট হয়ে যাবে। কিন্তু গোলকধাঁধাটি নির্বিচারে বড় হওয়ার সাথে সাথে প্রতিকূলতা কত দ্রুত হ্রাস পায়?
আরও সহজ সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তর কয়েক দশক আগে দেওয়া হয়েছিল। দ্বারা 1979 থেকে গণনা মার্সেল ডেন নিজস আপনি প্রান্ত থেকে কেন্দ্রে একটি পথ বা বাহু খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা অনুমান করেছেন। (নলিনের প্রয়োজনীয়তার সাথে এটির বৈসাদৃশ্য করুন যে একটি বাহু ভিতরে এবং একটি আলাদা আলাদা।) ডেন নিজের কাজ ভবিষ্যদ্বাণী করেছে যে একটি ষড়ভুজ গ্রিডে একটি বাহু খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা $latex 1/n^{5/48}$ এর সমানুপাতিক। , কোথায় n কেন্দ্র থেকে প্রান্ত পর্যন্ত টাইলের সংখ্যা বা গ্রিডের ব্যাসার্ধ। ২ 2002 ২ সালে, গ্রেগরি ললার, Oded Schramm এবং ওয়েন্ডেলিন ওয়ার্নার পরিশেষে প্রতিপন্ন যে এক বাহু ভবিষ্যদ্বাণী সঠিক ছিল. সংক্ষিপ্তভাবে গ্রিডের আকার বৃদ্ধির সাথে সাথে হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনাকে পরিমাপ করতে, গবেষকরা হর থেকে সূচক ব্যবহার করেন, 5/48, যা এক-বাহু সূচক হিসাবে পরিচিত।
নোলিন আরও অধরা একরঙা দুই-বাহুর সূচক গণনা করতে চেয়েছিলেন। 1999 সালে সংখ্যাসূচক সিমুলেশন দেখায় যে এটি 0.3568 এর খুব কাছাকাছি ছিল, কিন্তু গণিতবিদরা এর সঠিক মান নির্ধারণ করতে ব্যর্থ হন।
পলিক্রোম্যাটিক দুই-বাহু সূচক হিসাবে পরিচিত যা গণনা করা অনেক সহজ ছিল, যা এই সুযোগটিকে চিহ্নিত করে যে, কেন্দ্র থেকে শুরু করে, আপনি কেবল ঘেরের একটি "খোলা" পথই খুঁজে পাবেন না, তবে একটি পৃথক "বন্ধ" পথও খুঁজে পেতে পারেন৷ (বন্ধ পথটিকে এমন একটি হিসাবে ভাবুন যা গোলকধাঁধাটির কংক্রিটের দেয়ালের শীর্ষে চলে যায়।) 2001 সালে, স্ট্যানিস্লাভ স্মিরনভ এবং ওয়ার্নার প্রতিপন্ন যে এই সূচক ছিল 1/4। (কারণ 1/4 5/48 এর থেকে যথেষ্ট বড়, $latex 1/n^{1/4}$ $latex 1/n^{5/48}$ এর চেয়ে দ্রুত সঙ্কুচিত হয় n বৃদ্ধি পায় তারপরে, একটি পলিক্রোম্যাটিক দুই-বাহু কাঠামোর সুযোগ একটি বাহুর সম্ভাবনার চেয়ে অনেক কম, যেমনটি কেউ আশা করতে পারে।)
সেই গণনাটি গ্রাফে ক্লাস্টারের আকার সম্পর্কে জ্ঞানের উপর খুব বেশি ঝুঁকেছিল। কল্পনা করুন যে সমালোচনামূলক সম্ভাবনার একটি গোলকধাঁধা অত্যন্ত বড় - লক্ষ লক্ষ এবং লক্ষ লক্ষ ষড়ভুজ দ্বারা গঠিত। এখন খালি ষড়ভুজগুলির একটি ক্লাস্টার খুঁজুন এবং একটি ঘন কালো শার্পি দিয়ে ক্লাস্টারের প্রান্তটি ট্রেস করুন। এটি সম্ভবত একটি সাধারণ, বৃত্তাকার ব্লব তৈরি করবে না। মাইলের পর মাইল বাতাসে, আপনি একটি নড়বড়ে বক্ররেখা দেখতে পাবেন যা ক্রমাগত দ্বিগুণ হয়ে যায়, প্রায়শই মনে হয় যেন এটি নিজেকে অতিক্রম করতে চলেছে কিন্তু কখনই পুরোপুরি প্রতিশ্রুতিবদ্ধ নয়।
এটি একটি SLE বক্ররেখা নামক এক ধরনের বক্ররেখা, যা শ্রাম দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল a 2000 কাগজ যে ক্ষেত্র পুনরায় সংজ্ঞায়িত. একটি উন্মুক্ত পথ এবং একটি বন্ধ পথ খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা অধ্যয়নরত একজন গণিতবিদ জানেন যে সেই পথগুলিকে অবশ্যই খোলা এবং বন্ধ সাইটের বড় ক্লাস্টারের মধ্যে বসতে হবে, যা শেষ পর্যন্ত একটি SLE বক্ররেখা বরাবর মিলিত হয়। SLE বক্ররেখার গাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি তারপর গোলকধাঁধায় পাথ সম্পর্কে অমূল্য তথ্যে অনুবাদ করে। কিন্তু যদি গণিতবিদরা একই ধরণের একাধিক পথের সন্ধান করেন, তাহলে SLE বক্ররেখাগুলি তাদের কার্যকারিতা অনেকাংশে হারায়।
2007 সালের মধ্যে, নোলিন এবং তার সহযোগী ভিনসেন্ট বেফারা সংখ্যাসূচক সিমুলেশন তৈরি করেছিলেন যা দেখায় যে একরঙা দুই-বাহুর সূচক ছিল প্রায় 0.35। এটি সন্দেহজনকভাবে 17/48-এর কাছাকাছি ছিল — এক-বাহুর সূচকের যোগফল, 5/48, এবং বহুবর্ণের দুই-বাহু সূচক, 1/4 (বা 12/48)। "17/48 সত্যিই আকর্ষণীয়," নলিন বলেছেন। তিনি সন্দেহ করতে শুরু করেছিলেন যে 17/48ই সত্যিকারের উত্তর - যার অর্থ বিভিন্ন ধরণের সূচকগুলির মধ্যে একটি সহজ লিঙ্ক ছিল। আপনি শুধু তাদের একসঙ্গে যোগ করতে পারে. “আমরা বলেছিলাম, ঠিক আছে, মিথ্যা বলা খুব ভালো; এটা সত্য হতে হবে।"
ভূমিকা
কিছুক্ষণের জন্য, নলিন এবং বেফারার অনুমানের কিছুই আসেনি, যদিও নলিন অন্যদের থেকে কাজ করার জন্য এটি তার ওয়েবসাইটে পোস্ট করেছেন। তিনি 2017 সালে হংকং-এ সিটি ইউনিভার্সিটি অফ হংকং-এ প্রফেসরশিপ নিতে চলে যান এবং সমস্যা নিয়ে কাজ করতে থাকেন। 2018 সালে, তিনি কথোপকথনে সূচকটিকে তুলে ধরেন ওয়েই কিয়ান, যিনি তখন ইংল্যান্ডের কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের পোস্টডক ছিলেন। Qian SLE বক্ররেখার উপর বিশেষ ফোকাস রেখে বিচ্ছিন্ন প্রসঙ্গের পরিবর্তে অবিচ্ছিন্নভাবে র্যান্ডম জ্যামিতি অধ্যয়ন করছিলেন। তিনি একটি প্রকল্পের মাঝখানে ছিলেন যা একটি ভিন্ন ধরনের র্যান্ডম মডেলে সূচক গণনা করতে SLE ব্যবহার করেছিল, এবং নোলিন সন্দেহ করতে শুরু করেছিলেন যে তার দক্ষতা একরঙা দুই-বাহু সূচকের সাথেও প্রাসঙ্গিক ছিল। এই জুটি শীঘ্রই একটি সহজ-আদর্শ সমীকরণ খুঁজে পেয়েছিল যার সমাধানটি সূচক দেবে, কিন্তু সেই সমীকরণটি গ্রিডের প্রান্তে একটি SLE বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ স্থানের সাথে সম্পর্কিত একটি মধ্যবর্তী পরিমাণের উপর নির্ভর করে। নলিন এবং কিয়ান সেই নম্বরটি পিন করতে পারেনি।
"আমি অনেক গণনা করেছি, কিন্তু আমি এখনও এই সম্পত্তিটি গণনা করতে পারিনি," কিয়ান বলেছেন। "আমি সফল হইনি, তাই আমি কিছু সময়ের জন্য থামলাম।"
নোলিন যোগ করেছেন, "আমরা এটি কারও কাছে উল্লেখ করিনি কারণ আমরা নিশ্চিত নই যে এটি কার্যকর হবে কিনা।"
ব্যাকবোন এক্সপোনেন্ট
একরঙা দুই-বাহুর সূচকটি বিশেষভাবে আকর্ষণীয় কারণ এটি একটি গ্রিডের "ব্যাকবোন" বর্ণনা করে: ষড়ভুজগুলির সংগ্রহ যা দুটি স্বতন্ত্র বাহুতে সংযুক্ত থাকে যা দুটি অ-ওভারল্যাপিং বাহু পর্যন্ত প্রসারিত হয়: একটি গোলকধাঁধার প্রান্তে এবং একটি এর কেন্দ্র। যখন এই সাইটগুলি রঙিন হয়, তখন তারা একটি ওয়েব তৈরি করে যা সমগ্র গ্রিড জুড়ে পৌঁছায় এবং তাকে ব্যাকবোন বলা হয়। গবেষকরা যখন রোগের বিস্তার বা ছিদ্রযুক্ত শিলা গঠনের মডেল করেন, তখন মেরুদণ্ড হল একটি মহাসড়ক যার পাশে জীবাণু বা তেল প্রবাহিত হতে পারে। নোলিন এবং কিয়ান যে সূচকটি চেয়েছিলেন তা মেরুদণ্ডের আকার প্রকাশ করে এবং তাকে মেরুদণ্ডের সূচক হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
নোলিন এবং কিয়ান কেবল মেরুদণ্ডের পরেই ছিলেন না। জিন সান, তারপর পেনসিলভানিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ে, ব্যাকবোন এক্সপোনেন্ট গণনা করার চেষ্টাও করা হয়েছিল। পূর্ববর্তী বছরগুলিতে, নিউ ইয়র্ক বিশ্ববিদ্যালয়ের নিনা হোল্ডেন সহ সূর্য এবং সহযোগীরা এলোমেলো ফ্র্যাক্টাল সারফেস ব্যবহার করে SLE বক্ররেখা অধ্যয়নের একটি উপায় বের করেছিলেন। এই বিস্তৃত, বাঁকা পৃষ্ঠের স্ক্যালপড প্রান্ত রয়েছে যা দীর্ঘ টেন্ড্রিলগুলিতে প্রসারিত হয়। কিছু পয়েন্ট তাদের প্রতিবেশীদের কাছ থেকে একটি সংক্ষিপ্ত হপ, অন্যগুলি একটি মাস-দীর্ঘ যাত্রা। কিছু কিছু জায়গায়, এই প্রভাবগুলি কল্পনা করা যায় না। "এটা আসলে সম্ভব নয়" সম্পূর্ণ নির্ভুলভাবে, হোল্ডেন বলেছিলেন। "আপনাকে পৃষ্ঠটি অনেকটা প্রসারিত করতে হবে।"
2022 সালের গ্রীষ্মে, সান দ্বিতীয় বর্ষের স্নাতক ছাত্র Zijie Zhuang কে তালিকাভুক্ত করেন, জটিল সম্ভাবনায় এলোমেলো গোলকধাঁধা অধ্যয়নে যোগ দিতে। তারা এলোমেলো গোলকধাঁধাকে বিবেচনা করেছিল যেখানে ষড়ভুজগুলি একটি ফ্ল্যাট সমতলের পরিবর্তে একটি এলোমেলো ফ্র্যাক্টাল পৃষ্ঠে থাকে। কারণ সুযোগ নির্ধারণ করে যে পৃষ্ঠটি কোথায় এবং কতটা প্রসারিত এবং সংকুচিত হয়েছে, পৃষ্ঠের অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। (এই বৈশিষ্ট্যগুলি এই ধরনের পৃষ্ঠতলগুলিকে পদার্থবিদদের জন্য উপযোগী করে তোলে যারা দ্বি-মাত্রিক মহাবিশ্বের কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ মডেলগুলি অধ্যয়ন করে, তাদের নাম দেয়: লিউভিল কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ পৃষ্ঠ।) উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি এমন একটি পৃষ্ঠে কাঁচি নিয়ে যান, তবে এর আকারগুলি দুটি অর্ধেক একে অপরের উপর নির্ভর করে না। "এই ধরনের স্বাধীনতা সত্যিই জিনিসগুলিকে অসাধারণভাবে সরল করে," বলেন স্কট শেফিল্ড ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির। যখন জিনিসগুলি এলোমেলো হয়, আপনি সেগুলি সম্পর্কে কম জানেন, তবে এর অর্থ হতে পারে ক্লান্তিকরভাবে অ্যাকাউন্ট করার জন্য কম তথ্য।
সূর্য এবং ঝুয়াং প্রথমে সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করার চেষ্টা করেছিলেন যে গ্রিডের কেন্দ্রের চারপাশে একটি ছোট বৃত্তকে একটি বড়, আশেপাশের বৃত্তের সাথে সংযুক্ত করার জন্য একটি খোলা পথ ছিল। তারা সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার পরে, সান উচ্চাকাঙ্ক্ষায় একটি ধাপ বাড়ানোর পরামর্শ দেন: নেস্টেড সার্কেলগুলির সাথে সংযোগকারী দুটি পথের সম্ভাবনা গণনা করা, যা তাদের মেরুদণ্ডের সূচক গণনা করার একটি উপায় দেবে। তবে শীঘ্রই তারা অসুবিধার মধ্যে পড়েছিল। "আমরা বেশ কয়েক মাস ধরে এই পদ্ধতির চেষ্টা করেছি, কিন্তু গণনাটি খুব সহজ নয় বলে মনে হচ্ছে," ঝুয়াং একটি ইমেলে লিখেছেন।
ভূমিকা
এদিকে, যদিও নলিন এবং কিয়ান সূচকের মান খুঁজে পেতে সফল হননি, তারা অন্যান্য উপায়ে অগ্রগতি করেছে। কিয়ান ফরাসি ন্যাশনাল সেন্টার ফর সায়েন্টিফিক রিসার্চ-এ তার অবস্থান থেকে অনুপস্থিতির ছুটি নিয়েছিলেন এবং হংকংয়ের সিটি ইউনিভার্সিটিতে অধ্যাপক হিসেবে নলিনের সাথে যোগদান করেছিলেন। (তাদের বিয়েও হয়েছিল।) 2021 সালের গ্রীষ্মে, তিনি সান এবং তার সহযোগীদের দ্বারা কিছু কাগজপত্র পেয়েছিলেন যা তাকে আগ্রহী করেছিল, তাই মহামারী ভ্রমণের বিধিনিষেধ তুলে নেওয়ায়, তিনি প্রিন্সটনের ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে যাওয়ার পরিকল্পনা করেছিলেন। , নিউ জার্সি, যেখানে সূর্য বছর কাটছিল।
এটি একটি লাভজনক সফর প্রমাণিত. কিয়ান তার এবং নোলিন যে সমীকরণটি খুঁজে পেয়েছিল তা বর্ণনা করার সাথে সাথে, সান ভাবতে শুরু করেছিলেন যে এটি লিউভিল কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ পৃষ্ঠে গোলকধাঁধাগুলিকে ওভারলে করার জন্য তার এবং ঝুয়াংয়ের কৌশলের জন্য উপযুক্ত হতে পারে। "এটা এক ধরনের কাকতালীয়," সান বলেন। "এক লোকের একটি তালা আছে, একজন ব্যক্তির একটি চাবি আছে।"
ঝুয়াং কিছুটা সন্দিহান ছিল। "আমাদের কোন ভবিষ্যদ্বাণী নেই, এবং আমরা এমনকি জানি না যে সূত্রটির একটি চমৎকার সমাধান হবে কি না," তিনি তখনকার পরিস্থিতি বর্ণনা করে বলেছিলেন। সূর্য এবং ঝুয়াং তাদের লিউভিল কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ কৌশল ব্যবহার করে পরের কয়েক মাস কাটিয়েছেন - চাবিকাঠি - বছরের পর বছর আগে থেকে নোলিন এবং কিয়ানের সমীকরণে অধরা পরিমাণ আনলক করার জন্য - তালা।
চার মাস কাজ করার পর, সান এবং ঝুয়াং রূপক তালাটি খুললেন। সান ঝুয়াং, কিয়ান এবং নলিনকে একটি ইমেল পাঠিয়ে ঘোষণা করে: "দারুণ খবর: ব্যাকবোন এক্সপোনেন্টের জন্য সঠিক সূত্র।" উত্তর, তিনি খুঁজে পেয়েছেন, বর্গমূল এবং ত্রিকোণমিতিক সাইন ফাংশনের একটি মাঝারি জটিল অভিব্যক্তি। এটি পূর্বের অনুমানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ছিল, 0.3566668 দিয়ে শুরু হওয়া সংখ্যার একটি অন্তহীন প্রবাহ।
চারজন তাদের কাজকে একটি লিখিত কাগজে পরিণত করেছিল, যতক্ষণ না একদিকে নোলিন এবং কিয়ানের ধারণা এবং অন্যদিকে সান এবং ঝুয়াং এর ধারণাগুলিকে পরিমার্জিত করে, একটি প্রমাণ তৈরি করে যে শেফিল্ড, যিনি সূর্যের ডক্টরাল উপদেষ্টা ছিলেন, তিনি "একটি সুন্দর রত্ন।" "প্রুফ কৌশলটি অবশ্যই আশ্চর্যজনক এবং খুব আসল, কিন্তু তারপরে আপনি যখন এটি দেখেন, এটি এমন কিছু যা প্রাকৃতিক মনে হয়," হোল্ডেন বলেছিলেন।
নোলিন তার 2011 সালের সন্দেহের জন্য দুঃখ প্রকাশ করেছেন যে সূচকটি ঠিক 17/48 ছিল। “আমরা বেশ কিছুদিন মাঠে ভুল করেছি। আমি এটা নিয়ে খুব গর্বিত নই।" ব্যাকবোন এক্সপোনেন্ট তার পলিক্রোম্যাটিক কাজিনদের থেকে আকর্ষণীয়ভাবে আলাদা। এটি কেবল অযৌক্তিকই নয়, এটি অতীন্দ্রিয়ও বটে, যার অর্থ হল $latex pi$ এবং e, এটি একটি সহজ বহুপদী সমীকরণের সমাধান হিসাবে লেখা যাবে না।
"প্রমাণটি আসলে ব্যাখ্যা করে না যে এই সূত্রটি কোথা থেকে আসছে," তিনি বলেছিলেন। "আমরা এটি পদার্থবিদদের দেখিয়েছি, এবং আমরা সত্যিই তাদের অন্তর্দৃষ্টির জন্য অপেক্ষা করছি।"
ব্যাকবোন এক্সপোনেন্টের অতীন্দ্রিয় প্রকৃতি মাঠের অন্যদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিল। চ্যান জুকারবার্গ বায়োহাবের গ্রেগরি হুবার, যিনি সহ-লেখক ফলো-আপ নিবন্ধ ব্যাকবোন এক্সপোনেন্ট সম্পর্কে, তিনি মনে করেন যে ফলাফলটি পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায় "একটি নতুন মহাদেশের প্রথম আভাস"। যদিও SLE বক্ররেখা এবং লিউভিল কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ একত্রিত করা অত্যন্ত প্রযুক্তিগত, তবে স্পষ্ট এবং সহজ সংখ্যাসূচক উত্তর যেটি আবির্ভূত হয়েছে, তিনি লিখেছেন, "আশ্চর্যজনকভাবে সহজ এবং মার্জিত।"
- এসইও চালিত বিষয়বস্তু এবং পিআর বিতরণ। আজই পরিবর্ধিত পান।
- PlatoData.Network উল্লম্ব জেনারেটিভ Ai. নিজেকে ক্ষমতায়িত করুন। এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোএআইস্ট্রিম। Web3 ইন্টেলিজেন্স। জ্ঞান প্রসারিত. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোইএসজি। কার্বন, ক্লিনটেক, শক্তি, পরিবেশ সৌর, বর্জ্য ব্যবস্থাপনা. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটো হেলথ। বায়োটেক এবং ক্লিনিক্যাল ট্রায়াল ইন্টেলিজেন্স। এখানে প্রবেশ করুন.
- উত্স: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- : আছে
- : হয়
- :না
- :কোথায়
- [পৃ
- $ ইউপি
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- সক্ষম
- সম্পর্কে
- উপরে
- AC
- সঙ্গতি
- হিসাব
- সঠিক
- দিয়ে
- প্রকৃতপক্ষে
- যোগ
- যোগ
- যোগ
- অগ্রসর
- ব্যাপার
- পর
- আবার
- পূর্বে
- এয়ার
- সব
- বরাবর
- এছাড়াও
- উচ্চাকাঙ্ক্ষা
- এক্তিয়ারভুক্ত
- an
- বিশ্লেষণ
- এবং
- অন্য
- উত্তর
- যে কেউ
- অ্যাপ্লিকেশন
- অভিগমন
- আনুমানিক
- রয়েছি
- যুক্তি
- এআরএম
- অস্ত্র
- কাছাকাছি
- AS
- নির্ধারিত
- At
- মনোযোগ
- পিছনে
- দাঁড়া
- ভারসাম্য
- BE
- সুন্দর
- হয়ে ওঠে
- কারণ
- হয়েছে
- আগে
- শুরু হয়
- শুরু
- নিচে
- মধ্যে
- বিশাল
- বিট
- কালো
- নীল
- শরীর
- উভয়
- আনীত
- নির্মাণ করা
- কিন্তু
- by
- গণনা করা
- গণিত
- গণক
- হিসাব
- গণনার
- নামক
- কল
- কেমব্রি
- মাংস
- CAN
- না পারেন
- কেস
- ধরা
- সেল
- তাপমাপক যন্ত্র
- কেন্দ্র
- মধ্য
- শতাব্দী
- কিছু
- চ্যালেঞ্জিং
- চ্যান
- সুযোগ
- মতভেদ
- পরিবর্তন
- পরিবর্তন
- চরিত্র
- বৈশিষ্ট্য
- বৃত্ত
- চেনাশোনা
- শহর
- হংকং শহরের সিটি ইউনিভার্সিটি
- পরিষ্কার
- ঘনিষ্ঠ
- বন্ধ
- গুচ্ছ
- সমাপতন, সমস্থানে অবস্থান
- সহযোগী
- সংগ্রহ
- স্তম্ভ
- মিলিত
- মিশ্রন
- আসা
- আসছে
- সংগঠনের
- সম্পূর্ণরূপে
- জটিল
- গণনা
- গণনা
- গনা
- জমাটবদ্ধ
- অনুমান
- সংযুক্ত
- সংযোজক
- বিবেচিত
- ধ্রুব
- প্রতিনিয়ত
- প্রসঙ্গ
- একটানা
- বিপরীত হত্তয়া
- কথোপকথন
- ঠিক
- পারা
- সৃষ্টি
- নির্মিত
- সংকটপূর্ণ
- ক্রস
- বাঁক
- অন্ধকার
- মৃত
- কয়েক দশক ধরে
- ডিসেম্বর
- স্পষ্টভাবে
- ডিগ্রী
- নির্ভর
- বর্ণিত
- বর্ণনা
- বর্ণনা
- নকশা
- বিস্তারিত
- নির্ধারণ
- নির্ধারণ করে
- DID
- বিভিন্ন
- অসুবিধা
- ডিজিটের
- হ্রাস
- রোগ
- রোগ
- স্বতন্ত্র
- do
- না
- আয়ত্ত করা
- Dont
- দরজা
- দ্বিগুণ
- নিচে
- আয়তন বহুলাংশে
- আঁকা
- প্রতি
- পূর্বে
- সহজ
- সহজ
- প্রান্ত
- কার্যকরীভাবে
- কার্যকারিতা
- প্রভাব
- পারেন
- ইমেইল
- উদিত
- আবির্ভূত হয়
- শেষ
- অবিরাম
- প্রান্ত
- ইংল্যান্ড
- সমগ্র
- প্রতিষ্ঠা করে
- আনুমানিক
- অনুমান
- এমন কি
- অবশেষে
- প্রতি
- সব
- ঠিক
- আশা করা
- ল্যাপারোস্কোপিক পদ্ধতি
- ব্যাখ্যা করা
- অন্বেষণ করুণ
- অভিব্যক্তি
- প্রসারিত করা
- ব্যাপ্ত
- চরম
- অত্যন্ত
- ব্যর্থ
- মিথ্যা
- মতানুযায়ী
- কয়েক
- ক্ষেত্র
- মূর্ত
- ভরা
- পরিশেষে
- আবিষ্কার
- আবিষ্কার
- প্রথম
- ফ্ল্যাট
- প্রবাহ
- কেন্দ্রবিন্দু
- জন্য
- ফর্ম
- সূত্র
- অগ্রবর্তী
- পাওয়া
- চার
- ফ্রান্স
- ফরাসি
- থেকে
- সম্পূর্ণ
- ক্রিয়া
- গ্যাস
- জহর
- উত্পন্ন
- পাওয়া
- দাও
- প্রদত্ত
- দান
- আভাস
- ভাল
- পেয়েছিলাম
- স্নাতক
- চিত্রলেখ
- মাধ্যাকর্ষণ
- মহান
- গ্রিড
- হত্তয়া
- বৃদ্ধি
- লোক
- ছিল
- অর্ধেক
- হাত
- আছে
- জমিদারি
- he
- প্রচন্ডভাবে
- তার
- ঊর্ধ্বতন
- হাইওয়ে
- তার
- হিট
- হংকং
- হংকং
- কিভাবে
- যাহোক
- এইচটিএমএল
- HTTP
- HTTPS দ্বারা
- প্রচুর
- i
- বরফ
- ধারনা
- if
- কল্পনা করা
- in
- অন্যান্য
- সুদ্ধ
- বৃদ্ধি
- স্বাধীনতা
- স্বাধীন
- সংক্রামক
- সংক্রামক রোগ
- তথ্য
- ভিতরে
- সূক্ষ্মদৃষ্টি
- উদাহরণ
- পরিবর্তে
- প্রতিষ্ঠান
- মজাদার
- মধ্যে
- উপস্থাপিত
- অমুল্য
- অপরিবর্তনীয়ভাবে
- অযৌক্তিক
- IT
- এর
- নিজেই
- জার্সি
- যোগদানের
- যোগদান
- যাত্রা
- মাত্র
- রাখা
- চাবি
- রকম
- ধরণের
- জানা
- জ্ঞান
- পরিচিত
- জানে
- কং
- বড়
- বৃহত্তর
- বৃহত্তম
- গত
- রাখা
- ত্যাগ
- ছোড়
- বাম
- লম্বা
- কম
- মিথ্যা
- উত্তোলিত
- আলো
- মত
- LINK
- তরল
- তালা
- দীর্ঘ
- খুঁজছি
- হারান
- অনেক
- নিম্ন
- প্রণীত
- পত্রিকা
- করা
- মেকিং
- মুখোশ
- ম্যাসাচুসেটস
- মাস্যাচুসেট্স ইন্সটিটিউত অফ টেকনোলজি
- বৃহদায়তন
- গণিত
- গাণিতিক
- অংক
- হতে পারে
- গড়
- অর্থ
- বলবিজ্ঞান
- সম্মেলন
- উল্লিখিত
- হতে পারে
- লক্ষ লক্ষ
- এমআইটি
- মডেল
- মডেল
- পরিমিতভাবে
- মাসের
- অধিক
- সেতু
- সরানো হয়েছে
- অনেক
- বহু
- অবশ্যই
- নাম
- জাতীয়
- প্রাকৃতিক
- প্রকৃতি
- কাছাকাছি
- প্রয়োজন
- প্রতিবেশী
- তন্ন তন্ন
- না
- নতুন
- নতুন জার্সি
- নিউ ইয়র্ক
- সংবাদ
- পরবর্তী
- সুন্দর
- না।
- কিছু না
- এখন
- সংখ্যা
- মতভেদ
- of
- প্রায়ই
- তেল
- on
- ONE
- ওগুলো
- কেবল
- খোলা
- খোলা
- প্রর্দশিত
- or
- মূল
- অন্যান্য
- অন্যরা
- বাইরে
- শেষ
- যুগল
- পৃথিবীব্যাপি
- কাগজ
- কাগজপত্র
- বিশেষত
- পথ
- পাথ
- পিডিএফ
- পেনসিলভানিয়া
- পিটার
- প্রকৃতিবিজ্ঞানী
- জায়গা
- সমতল
- পরিকল্পিত
- Plato
- প্লেটো ডেটা ইন্টেলিজেন্স
- প্লেটোডাটা
- পকেট
- বিন্দু
- পয়েন্ট
- যাকে জাহির
- অবস্থান
- সম্ভব
- পোস্ট
- ব্যবহারিক
- পূর্ববর্তী
- পূর্বাভাস
- ভবিষ্যদ্বাণী
- ভবিষ্যতবাণী
- প্রিন্সটন
- সম্ভবত
- সমস্যা
- অধ্যাপক
- লাভজনক
- উন্নতি
- প্রকল্প
- প্রমাণ
- বৈশিষ্ট্য
- সম্পত্তি
- গর্বিত
- প্রতিপন্ন
- কোয়ান্টাম্যাগাজিন
- পরিমাণ
- পরিমাণ
- প্রশ্ন
- প্রশ্ন
- দ্রুত
- পুরোপুরি
- এলোমেলো
- এলোমেলোভাবে উত্পন্ন
- বরং
- ছুঁয়েছে
- সত্যিই
- পুনরায় সংজ্ঞায়িত
- উল্লেখ করা
- বিশোধক
- সংশ্লিষ্ট
- প্রাসঙ্গিক
- প্রয়োজন
- গবেষণা
- গবেষকরা
- সীমাবদ্ধতা
- ফল
- প্রকাশিত
- শিলা
- শিকড়
- বৃত্তাকার
- বলেছেন
- একই
- বলা
- দৃশ্যকল্প
- বৈজ্ঞানিক
- অনুসন্ধানের
- দেখ
- মনে হয়
- প্রেরিত
- আলাদা
- বিভিন্ন
- আকৃতি
- আকার
- সে
- সংক্ষিপ্ত
- দেখিয়েছেন
- পাশ
- সহজ
- সরলীকৃত
- সিমিউলেশন
- বসা
- সাইট
- আয়তন
- সন্দেহপ্রবণ
- ছোট
- ক্ষুদ্রতর
- So
- কঠিন
- সমাধান
- কিছু
- কিছু
- কখনও কখনও
- শীঘ্রই
- চাওয়া
- স্থান
- প্রশিক্ষণ
- খরচ
- অতিবাহিত
- বিস্তৃত
- বিস্তার
- বর্গক্ষেত্র
- শুরু হচ্ছে
- রাষ্ট্র
- পরিসংখ্যানসংক্রান্ত
- ধাপ
- এখনো
- থামুন
- বন্ধ
- কৌশল
- প্রবাহ
- গঠন
- ছাত্র
- চর্চিত
- গবেষণায়
- অধ্যয়ন
- অধ্যয়নরত
- যথেষ্ট
- সফল
- এমন
- আকস্মিক
- গ্রীষ্ম
- সূর্য
- নিশ্চিত
- পৃষ্ঠতল
- বিস্ময়কর
- পার্শ্ববর্তী
- সন্দেহজনকভাবে
- গ্রহণ করা
- কারিগরী
- প্রযুক্তি
- প্রযুক্তি
- প্রযুক্তিঃ
- চেয়ে
- যে
- সার্জারির
- গ্রাফ
- রাষ্ট্র
- তাদের
- তাহাদিগকে
- তারপর
- সেখানে।
- এইগুলো
- তারা
- পাতলা
- কিছু
- মনে
- মনে করে
- এই
- সেগুলো
- যদিও?
- চিন্তা
- দ্বারা
- সময়
- থেকে
- একসঙ্গে
- অত্যধিক
- গ্রহণ
- সমাজের সারাংশ
- চিহ্ন
- রূপান্তর
- অনুবাদ
- ভ্রমণ
- ভীষণভাবে
- চেষ্টা
- সত্য
- চেষ্টা
- পরিণত
- দুই
- আদর্শ
- নিম্নদেশে
- অনন্য
- বিশ্ব
- বিশ্ববিদ্যালয়
- কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়
- আনলক
- পর্যন্ত
- ব্যবহার
- ব্যবহৃত
- দরকারী
- ব্যবহার
- মূল্য
- খুব
- ভিনসেন্ট
- দেখুন
- চেয়েছিলেন
- ছিল
- ওয়াশিংটন
- পানি
- উপায়..
- উপায়
- we
- ওয়েব
- webp
- ওয়েবসাইট
- আমরা একটি
- ছিল
- কি
- কখন
- কিনা
- যে
- যখন
- হু
- যাহার
- ইচ্ছা
- সঙ্গে
- মধ্যে
- ছাড়া
- হয়া যাই ?
- কাজ
- would
- দিতে হবে
- লিখিত
- লিখেছেন
- বছর
- বছর
- ইয়র্ক
- আপনি
- আপনার
- zephyrnet
- শূন্য
- জুকারবার্গ