ড্যানিয়েল লারসেন যখন মিডল স্কুলে ছিলেন, তখন তিনি ক্রসওয়ার্ড পাজল ডিজাইন করা শুরু করেন। দাবা, প্রোগ্রামিং, পিয়ানো, বেহালা: তাকে তার অন্যান্য আগ্রহের উপরে শখটি স্তরে রাখতে হয়েছিল। তিনি তার আঞ্চলিক প্রতিযোগিতায় জয়ী হওয়ার পর ওয়াশিংটন, ডিসির কাছে স্ক্রিপস জাতীয় বানান মৌমাছির জন্য দুবার যোগ্যতা অর্জন করেছিলেন। লারসেনের মা, আয়েলেট লিন্ডেনস্ট্রাস বলেন, "তিনি কিছুতে মনোযোগী হন, এবং এটি কেবল ব্যাং, ব্যাং, ব্যাং, যতক্ষণ না তিনি সফল হন"। তাঁর প্রথম ক্রসওয়ার্ড পাজলগুলি প্রধান সংবাদপত্রগুলি প্রত্যাখ্যান করেছিল, কিন্তু তিনি এটি বজায় রেখেছিলেন এবং শেষ পর্যন্ত ভেঙে দিয়েছিলেন। আজ পর্যন্ত, তিনি রেকর্ড ধারণ করে একটি ক্রসওয়ার্ড প্রকাশ করার জন্য সবচেয়ে কম বয়সী ব্যক্তির জন্য নিউ ইয়র্ক টাইমস, 13 বছর বয়সে। "তিনি খুব অবিচল," লিন্ডেনস্ট্রাস বলেছিলেন।
তবুও, লারসেনের সাম্প্রতিক আবেশ অন্যরকম অনুভূত হয়েছে, "তার অন্যান্য প্রকল্পগুলির তুলনায় দীর্ঘ এবং আরও তীব্র," তিনি বলেছিলেন। দেড় বছরেরও বেশি সময় ধরে, লারসেন একটি নির্দিষ্ট গণিত সমস্যা সম্পর্কে চিন্তা করা বন্ধ করতে পারেনি।
এটি একটি বিস্তৃত প্রশ্নের শিকড় ছিল, যেটিকে গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন: কীভাবে একটি যৌগিক সংখ্যা থেকে একটি মৌলিক সংখ্যা (একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র 1 দ্বারা বিভাজ্য) আলাদা করা যায়। শত শত বছর ধরে, গণিতবিদরা এটি করার জন্য একটি কার্যকর উপায় অনুসন্ধান করেছেন। সমস্যাটি আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির প্রেক্ষাপটেও প্রাসঙ্গিক হয়ে উঠেছে, কারণ আজকের কিছু বহুল ব্যবহৃত ক্রিপ্টোসিস্টেমে প্রচুর প্রাইম সহ পাটিগণিত করা জড়িত।
এক শতাব্দী আগে, একটি দ্রুত, শক্তিশালী আদিমতার পরীক্ষার সেই অনুসন্ধানে, গণিতবিদরা সমস্যা সৃষ্টিকারীদের একটি গোষ্ঠীর কাছে হোঁচট খেয়েছিলেন - এমন সংখ্যা যা তারা না হওয়া সত্ত্বেও তারা প্রাইম বলে মনে করে পরীক্ষা করে। কারমাইকেল সংখ্যা নামে পরিচিত এই সিউডোপ্রাইমগুলিকে বোঝা বিশেষভাবে কঠিন। এটি শুধুমাত্র 1990-এর দশকের মাঝামাঝি ছিল, উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদরা প্রমাণ করেছিলেন যে তাদের মধ্যে অসীম অনেকগুলি রয়েছে। সংখ্যারেখা বরাবর কীভাবে তারা বিতরণ করা হয় সে সম্পর্কে আরও কিছু বলতে সক্ষম হওয়া আরও বড় চ্যালেঞ্জ তৈরি করেছে।
এরপর লারসেনও সঙ্গে আসেন একটি নতুন প্রমাণ সংখ্যা তত্ত্বের একটি ভিন্ন ক্ষেত্রে সাম্প্রতিক যুগের কাজ দ্বারা অনুপ্রাণিত একজন। তখন তার বয়স ছিল মাত্র ১৭।
স্ফুলিঙ্গ
ইন্ডিয়ানার ব্লুমিংটনে বেড়ে ওঠা লারসেন সবসময়ই গণিতের প্রতি আকৃষ্ট ছিলেন। তার বাবা-মা, উভয় গণিতবিদ, তাকে এবং তার বড় বোনকে এই বিষয়ে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিলেন যখন তারা ছোট ছিলেন। (তিনি এখন গণিতে ডক্টরেট করছেন।) লারসেনের বয়স যখন 3 বছর, লিন্ডেনস্ট্রাস স্মরণ করেন, তিনি তাকে অসীমের প্রকৃতি সম্পর্কে দার্শনিক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে শুরু করেছিলেন। "আমি ভেবেছিলাম, এই বাচ্চাটির গাণিতিক মন আছে," বলল লিন্ডেনস্ট্রাস, ইন্ডিয়ানা বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন অধ্যাপক।
তারপর কয়েক বছর আগে - প্রায় সময় যখন তিনি তার বানান এবং ক্রসওয়ার্ড প্রকল্পে নিমগ্ন ছিলেন - তিনি একটি তথ্যচিত্র সম্বন্ধে ইতাং ঝাং, একজন অজানা গণিতবিদ যিনি 2013 সালে অস্পষ্টতা থেকে উঠে আসেন একটি যুগান্তকারী ফলাফল প্রমাণ যা পরপর মৌলিক সংখ্যার মধ্যে ফাঁকের উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা রাখে। লারসেনে কিছু ক্লিক করা হয়েছে। তিনি সংখ্যা তত্ত্ব সম্পর্কে চিন্তা করা বন্ধ করতে পারেননি, এবং সেই সম্পর্কিত সমস্যা সম্পর্কে যা ঝাং এবং অন্যান্য গণিতবিদরা এখনও সমাধান করার আশা করেছিলেন: যমজ প্রাইম অনুমান, যা বলে যে প্রাইমগুলির অসীম অনেক জোড়া আছে যেগুলি শুধুমাত্র 2 দ্বারা পৃথক।
ঝাং এর কাজের পরে, যা দেখিয়েছিল যে অসীমভাবে অনেক জোড়া প্রাইম রয়েছে যেগুলির মধ্যে 70 মিলিয়নেরও কম পার্থক্য রয়েছে, অন্যরা ঝাঁপিয়ে পড়ে এই সীমাকে আরও কমাতে। কয়েক মাসের মধ্যেই গণিতবিদরা জেমস মেইনার্ড এবং টেরেন্স টাও স্বাধীনভাবে প্রাইমগুলির মধ্যে ফাঁক সম্পর্কে আরও শক্তিশালী বিবৃতি প্রমাণিত হয়েছে। সেই ব্যবধান তখন থেকে 246-এ সঙ্কুচিত হয়েছে।
লারসেন মেনার্ড এবং টাও-এর কাজের অন্তর্নিহিত কিছু গণিত বুঝতে চেয়েছিলেন, "কিন্তু এটা আমার পক্ষে অসম্ভব ছিল," তিনি বলেছিলেন। তাদের কাগজপত্র অনেক জটিল ছিল. লার্সেন সম্পর্কিত কাজ পড়ার চেষ্টা করেছিলেন, শুধুমাত্র এটিকে দুর্ভেদ্য খুঁজে পেতে। তিনি এটি বজায় রেখেছিলেন, এক ফলাফল থেকে অন্য ফলাফলে ঝাঁপিয়ে পড়েন, শেষ পর্যন্ত, 2021 সালের ফেব্রুয়ারিতে, তিনি একটি কাগজ দেখতে পান যা তিনি দেখতে সুন্দর এবং বোধগম্য উভয়ই পেয়েছেন। এর বিষয়: কারমাইকেল সংখ্যা, সেই অদ্ভুত যৌগিক সংখ্যা যা কখনও কখনও মৌলিক হিসাবে নিজেকে ছেড়ে দিতে পারে।
প্রাইম ছাড়া সব
17 শতকের মাঝামাঝি, ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ডি ফার্মাট তার বন্ধু এবং আস্থাভাজন ফ্রেনিকেল ডি বেসিকে একটি চিঠি লিখেছিলেন, যেখানে তিনি বলেছিলেন যেটি পরে তার "ছোট উপপাদ্য" হিসাবে পরিচিত হবে। যদি N তাহলে একটি মৌলিক সংখ্যা bN - b সর্বদা একটি একাধিক হয় N, যেভাই হোকনা কেন b হয় উদাহরণস্বরূপ, 7 একটি মৌলিক সংখ্যা, এবং ফলস্বরূপ, 27 – 2 (যা 126 এর সমান) হল 7 এর গুণিতক। একইভাবে, 37 – 3 হল 7 এর গুণিতক, এবং তাই।
গণিতবিদরা একটি প্রদত্ত সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক কিনা তা নিখুঁত পরীক্ষার সম্ভাবনা দেখেছিলেন। তারা জানত যে যদি N প্রধান, bN - b সর্বদা একটি একাধিক হয় N. যদি উল্টোটাও সত্যি হতো? অর্থাৎ, যদি bN - b এর একাধিক N সব মান জন্য b, অবশ্যই N প্রধান হতে?
হায়রে, এটা দেখা গেল যে খুব বিরল ক্ষেত্রে, N এই শর্তটি সন্তুষ্ট করতে পারে এবং এখনও যৌগিক হতে পারে। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হল 561: যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য b, b561 - b সর্বদা 561 এর একটি গুণিতক, যদিও 561 প্রাইম নয়। এই জাতীয় সংখ্যাগুলির নামকরণ করা হয়েছিল গণিতবিদ রবার্ট কারমাইকেলের নামে, যিনি প্রায়শই 1910 সালে প্রথম উদাহরণ প্রকাশের জন্য কৃতিত্ব পান (যদিও চেক গণিতবিদ ভ্যাক্লাভ সিমেরকা 1885 সালে স্বাধীনভাবে উদাহরণ আবিষ্কার করেছিলেন)।
গণিতবিদরা এই সংখ্যাগুলিকে আরও ভালভাবে বুঝতে চেয়েছিলেন যেগুলি সংখ্যা তত্ত্বের সবচেয়ে মৌলিক বস্তুগুলির সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ। দেখা গেল যে 1899 সালে - কারমাইকেলের ফলাফলের এক দশক আগে - অন্য একজন গণিতবিদ, অ্যালউইন কর্সেল্ট, একটি সমতুল্য সংজ্ঞা নিয়ে এসেছিলেন। বিলের সাথে মানানসই কোনো নম্বর আছে কিনা তা তিনি জানতেন না।
কর্সেল্টের মানদণ্ড অনুসারে, একটি সংখ্যা N একটি কারমাইকেল সংখ্যা যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি তিনটি বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট করে। প্রথমত, এটির একাধিক প্রাইম ফ্যাক্টর থাকতে হবে। দ্বিতীয়ত, কোনো প্রাইম ফ্যাক্টর পুনরাবৃত্তি করতে পারে না। এবং তৃতীয়, প্রতিটি প্রাইমের জন্য p যে বিভক্ত N, p - 1 এছাড়াও বিভাজন N – 1. আবার 561 নম্বরটি বিবেচনা করুন। এটি 3 × 11 × 17 এর সমান, তাই এটি কর্সেল্টের তালিকার প্রথম দুটি বৈশিষ্ট্যকে স্পষ্টভাবে সন্তুষ্ট করে। শেষ সম্পত্তি দেখাতে, প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়ক থেকে 1 বিয়োগ করুন 2, 10 এবং 16 পেতে। উপরন্তু, 1 থেকে 561 বিয়োগ করুন। তিনটি ছোট সংখ্যাই 560 এর ভাজক। তাই 561 সংখ্যাটি একটি কারমাইকেল সংখ্যা।
যদিও গণিতবিদরা সন্দেহ করেছিলেন যে অসীমভাবে অনেকগুলি কারমাইকেল সংখ্যা রয়েছে, তবে প্রাইমগুলির তুলনায় তুলনামূলকভাবে কম রয়েছে, যা তাদের পিন করা কঠিন করে তুলেছিল। তারপর 1994 সালে, রেড আলফোর্ড, অ্যান্ড্রু গ্র্যানভিল এবং কার্ল পোমেরেন্স একটি যুগান্তকারী প্রকাশ কাগজ যেটিতে তারা অবশেষে প্রমাণ করেছে যে প্রকৃতপক্ষে এই সিউডোপ্রাইমগুলির অনেকগুলি অসীম রয়েছে।
দুর্ভাগ্যবশত, তারা যে কৌশলগুলি তৈরি করেছিল তা তাদের কারমাইকেল সংখ্যাগুলি কেমন ছিল সে সম্পর্কে কিছু বলতে দেয়নি। তারা কি সংখ্যারেখা বরাবর ক্লাস্টারে উপস্থিত হয়েছিল, যার মধ্যে বড় ফাঁক রয়েছে? অথবা আপনি কি সর্বদা একটি ছোট ব্যবধানে একটি কারমাইকেল নম্বর খুঁজে পেতে পারেন? "আপনি মনে করবেন যদি আপনি প্রমাণ করতে পারেন যে তাদের মধ্যে অনেকগুলি অসীম আছে," গ্র্যানভিল বলেছিলেন, "অবশ্যই আপনি প্রমাণ করতে সক্ষম হবেন যে তাদের মধ্যে কোনও বড় ফাঁক নেই, তাদের তুলনামূলকভাবে ভালভাবে ফাঁক করা উচিত।"
বিশেষ করে, তিনি এবং তার সহ-লেখকরা এমন একটি বিবৃতি প্রমাণ করার আশা করেছিলেন যা এই ধারণাটিকে প্রতিফলিত করে - যা যথেষ্ট পরিমাণে সংখ্যক দিয়েছে X, এর মধ্যে সর্বদা একটি কারমাইকেল নম্বর থাকবে X এবং 2X. "এটি কতটা সর্বব্যাপী তা প্রকাশ করার আরেকটি উপায়," বলেছেন জন গ্রান্থাম, ইনস্টিটিউট ফর ডিফেন্স অ্যানালাইসিসের একজন গণিতবিদ যিনি সম্পর্কিত কাজ করেছেন।
কিন্তু কয়েক দশক ধরে কেউ তা প্রমাণ করতে পারেনি। আলফোর্ড, গ্র্যানভিল এবং পোমেরেন্স দ্বারা বিকশিত কৌশলগুলি "আমাদের দেখানোর অনুমতি দিয়েছে যে অনেকগুলি কারমাইকেল সংখ্যা হতে চলেছে," পোমেরেন্স বলেছেন, "কিন্তু তারা কোথায় থাকবে সে সম্পর্কে আমাদের সম্পূর্ণ নিয়ন্ত্রণ থাকতে দেয়নি৷ "
তারপরে, 2021 সালের নভেম্বরে, গ্র্যানভিল লারসেনের কাছ থেকে একটি ইমেল খোলেন, তখন 17 বছর বয়সী এবং তার উচ্চ বিদ্যালয়ের সিনিয়র বছরে। ক কাগজ সংযুক্ত ছিল - এবং গ্র্যানভিলের বিস্ময়ের সাথে, এটি সঠিক লাগছিল। "এটি কখনও পড়া সবচেয়ে সহজ ছিল না," তিনি বলেছিলেন। “কিন্তু যখন আমি এটা পড়লাম, তখন এটা বেশ পরিষ্কার যে সে এলোমেলো করছে না। তার দুর্দান্ত ধারণা ছিল।"
পোমেরেন্স, যিনি কাজের পরবর্তী সংস্করণটি পড়েছিলেন, তিনি সম্মত হন। "তার প্রমাণ সত্যিই বেশ উন্নত," তিনি বলেন. “এটি এমন একটি কাগজ হবে যা লিখতে পেরে যে কোনও গণিতবিদ সত্যিই গর্বিত হবেন। এবং এখানে একটি উচ্চ বিদ্যালয়ের বাচ্চা এটি লিখছে।"
লারসেনের প্রমাণের চাবিকাঠি ছিল সেই কাজ যা তাকে প্রথম স্থানে কারমাইকেল সংখ্যার দিকে আকৃষ্ট করেছিল: প্রধান ফাঁকে মেনার্ড এবং টাওর ফলাফল।
অসম্ভাব্য - অসম্ভব নয়
লারসেন যখন প্রথম দেখান যে আপনি সর্বদা একটি ছোট ব্যবধানে একটি কারমাইকেল নম্বর খুঁজে পেতে পারেন, "মনে হচ্ছিল যে এটি এত স্পষ্টতই সত্য, এটি প্রমাণ করা কতটা কঠিন হতে পারে?" সে বলেছিল. তিনি দ্রুত বুঝতে পেরেছিলেন যে এটি সত্যিই খুব কঠিন হতে পারে। "এটি একটি সমস্যা যা আমাদের সময়ের প্রযুক্তি পরীক্ষা করে," তিনি বলেছিলেন।
তাদের 1994 সালের গবেষণাপত্রে, আলফোর্ড, গ্র্যানভিল এবং পোমেরেন্স দেখিয়েছিলেন কিভাবে অসীমভাবে অনেকগুলি কারমাইকেল সংখ্যা তৈরি করা যায়। কিন্তু তারা তাদের নির্মাণের জন্য ব্যবহৃত প্রাইমগুলির আকার নিয়ন্ত্রণ করতে সক্ষম হয়নি। কারমাইকেল সংখ্যাগুলি তৈরি করতে লারসেনকে এটিই করতে হবে যা আকারে তুলনামূলকভাবে কাছাকাছি ছিল। সমস্যার অসুবিধা তার বাবা মাইকেল লারসেনকে চিন্তিত করেছিল। "আমি এটা অসম্ভব বলে মনে করিনি, কিন্তু আমি ভেবেছিলাম যে তার সফল হওয়ার সম্ভাবনা নেই," তিনি বলেছিলেন। "আমি দেখেছি যে সে এটিতে কতটা সময় ব্যয় করছে … এবং আমি অনুভব করেছি যে এটি তার জন্য নিজেকে এতটা দেওয়া এবং এটি না পাওয়া তার জন্য ধ্বংসাত্মক হবে।"
তবুও, তিনি তার ছেলেকে নিরুৎসাহিত করার চেষ্টা করার চেয়ে ভাল জানতেন। "যখন ড্যানিয়েল এমন কিছু করার প্রতিশ্রুতি দেয় যা তাকে সত্যিই আগ্রহী করে, তখন সে মোটা এবং পাতলা দিয়ে এটির সাথে লেগে থাকে," তিনি বলেছিলেন।
তাই লারসেন মেনার্ডের কাগজপত্রে ফিরে আসেন - বিশেষ করে, কাজ করার জন্য যে আপনি যদি পর্যাপ্ত সংখ্যার নির্দিষ্ট ক্রম গ্রহণ করেন তবে সেই সংখ্যাগুলির কিছু উপসেট অবশ্যই মৌলিক হতে হবে। লারসেন মেনার্ডের কৌশলগুলিকে আলফোর্ড, গ্র্যানভিল এবং পোমেরেন্সের ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির সাথে একত্রিত করার জন্য পরিবর্তন করেছিলেন। এটি তাকে নিশ্চিত করতে দেয় যে তিনি যে প্রাইমগুলির সাথে শেষ করেছেন সেগুলি আকারে পরিবর্তিত হবে - কারমাইকেল সংখ্যাগুলি তৈরি করার জন্য যথেষ্ট যা তিনি চেয়েছিলেন বিরতির মধ্যে পড়বে।
গ্র্যানভিল বলেন, "আমাদের তুলনায় তার অনেক বেশি নিয়ন্ত্রণ আছে।" এবং তিনি মেনার্ডের কাজের একটি বিশেষ চতুর ব্যবহারের মাধ্যমে এটি অর্জন করেছিলেন। "এটা সহজ নয় ... প্রাইমগুলির মধ্যে ছোট ফাঁকে এই অগ্রগতি ব্যবহার করা," বলেন কাইসা মাতোমাকি, ফিনল্যান্ডের তুর্কু বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "এটি বেশ সুন্দর যে তিনি কারমাইকেল সংখ্যা সম্পর্কে এই প্রশ্নের সাথে এটি একত্রিত করতে সক্ষম হয়েছেন।"
প্রকৃতপক্ষে, লারসেনের যুক্তি তাকে কেবল দেখাতে দেয়নি যে একটি কারমাইকেল নম্বর সর্বদা উপস্থিত হওয়া উচিত X এবং 2X. তার প্রমাণ অনেক ছোট ব্যবধানের জন্যও কাজ করে। গণিতবিদরা এখন আশা করছেন যে এটি এই অদ্ভুত সংখ্যার আচরণের অন্যান্য দিকগুলিও প্রকাশ করতে সাহায্য করবে। "এটি একটি ভিন্ন ধারণা," বলেন টমাস রাইট, দক্ষিণ ক্যারোলিনার ওফোর্ড কলেজের একজন গণিতবিদ যিনি সিউডোপ্রাইম নিয়ে কাজ করেন। "এটি কারমাইকেল সংখ্যা সম্পর্কে আমরা কীভাবে প্রমাণ করতে পারি সে সম্পর্কে অনেক কিছু পরিবর্তন করে।"
গ্রান্থাম সম্মত হন। "এখন আপনি এমন কিছু করতে পারবেন যা আপনি কখনও ভাবেননি," তিনি বলেছিলেন।
লারসেন, ইতিমধ্যে, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজিতে তার নতুন বছর শুরু করেছেন। তিনি নিশ্চিত নন যে তিনি পরবর্তীতে কোন সমস্যায় কাজ করতে পারেন, তবে তিনি সেখানে কী আছে তা শিখতে আগ্রহী। "আমি শুধু কোর্স নিচ্ছি ... এবং খোলা মনে হওয়ার চেষ্টা করছি," তিনি বলেছিলেন।
"তিনি স্নাতক শিক্ষা ছাড়াই এই সব করেছেন," গ্রান্থাম বলেছিলেন। "আমি কেবল কল্পনা করতে পারি যে তিনি স্নাতক স্কুলে কী নিয়ে আসছেন।"
