1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, The Barcelona Institute of Science and Technology, 08860 Castelldefels, Spain
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 বার্সেলোনা, স্পেন
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, France
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 বার্সেলোনা, স্পেন
এই কাগজ আকর্ষণীয় খুঁজুন বা আলোচনা করতে চান? স্কাইটে বা স্কাইরেটে একটি মন্তব্য দিন.
বিমূর্ত
পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তিগুলি কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বের পরিমাপের অত্যন্ত দরকারী জোড়ার সাথে মিলে যায়। ক্ষুদ্রতম যৌগিক মাত্রা, ছয়টিতে, এটি জানা যায় যে তিন থেকে সাতটির মধ্যে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি বিদ্যমান, একটি দশক-পুরানো অনুমান, যা জাউনার অনুমান নামে পরিচিত, উল্লেখ করে যে সেখানে সর্বাধিক তিনটি বিদ্যমান। এখানে আমরা $n,d ge 2$ পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি জোড়ার জন্য বেল অসমতা নির্মাণের মাধ্যমে সংখ্যাগতভাবে জাউনারের অনুমানকে মোকাবেলা করি যা $d$ মাত্রায় সর্বাধিক লঙ্ঘন করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি $n$ MUB সেই মাত্রায় বিদ্যমান থাকে। তাই আমরা জাউনারের অনুমানকে একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যায় পরিণত করি, যা আমরা তিনটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মাধ্যমে সমাধান করি: সি-স অপ্টিমাইজেশন, নন-লিনিয়ার সেমিডেফিনিট প্রোগ্রামিং এবং মন্টে কার্লো কৌশল। তিনটি পদ্ধতিই সঠিকভাবে কম মাত্রায় পরিচিত কেসগুলিকে চিহ্নিত করে এবং সবগুলিই সুপারিশ করে যে ছয় মাত্রায় চারটি পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি নেই, সমস্ত একই বেস খুঁজে পাওয়া যায় যা সংখ্যাগতভাবে সংশ্লিষ্ট বেল অসমতাকে অনুকূল করে। তদুপরি, এই সংখ্যাসূচক অপ্টিমাইজারগুলি ছয় মাত্রার "চারটি সবচেয়ে দূরবর্তী ঘাঁটির" সাথে মিলে যায়, যা [P. রায়নাল, X. Lü, B.-G. Englert, {শারীরিক. Rev. A}, {83} 062303 (2011)]। অবশেষে, মন্টে কার্লো ফলাফলগুলি সুপারিশ করে যে সর্বাধিক তিনটি MUBs দশ মাত্রায় বিদ্যমান।
বৈশিষ্ট্যযুক্ত চিত্র: আমাদের বেল অসাম্যের মানের মধ্যে আপেক্ষিক পার্থক্য অনুমান করে যে n MUBs d মাত্রায় বিদ্যমান এবং আমাদের সংখ্যাগত পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া মান। শূন্য মান মানে হল যে পদ্ধতিগুলি n MUBs d মাত্রায় পাওয়া গেছে, যখন অ-শূন্য মানের মানে হল যে পদ্ধতিগুলি n MUBs d মাত্রায় খুঁজে পায়নি। সমস্ত পরিচিত কেস (মাত্রা দুই থেকে পাঁচ এবং দুই এবং তিনটি MUB সহ মাত্রা ছয়) সংখ্যার দ্বারা সঠিকভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। ছয় মাত্রায়, কোনো পদ্ধতিই চারটি MUB খুঁজে পায় না এবং সমস্ত পদ্ধতি চারটি ভিত্তির একই সেটে একত্রিত হয়।
জনপ্রিয় সংক্ষিপ্তসার
তাদের ব্যাপক ব্যবহার সত্ত্বেও, MUB-এর কাঠামোর বিষয়ে এখনও খোলা প্রশ্ন রয়েছে। সবচেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে, কোয়ান্টাম সিস্টেমের মাত্রা যদি একটি যৌগিক সংখ্যা হয় তবে সর্বাধিক সংখ্যার পরিমাপ যা জোড়া নিরপেক্ষ ("MUB এর সংখ্যা") অজানা। বিশেষ করে, ছয় মাত্রায় আমরা শুধু জানি যে MUB-এর সংখ্যা তিন থেকে সাতের মধ্যে। একটি দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত অনুমান হল Zauner এর, যেখানে বলা হয়েছে যে ছয় মাত্রায় তিনটি MUB এর বেশি নেই। এই কয়েক দশক-দীর্ঘ অনুমান কিছু সংখ্যাগত প্রমাণ দ্বারা সমর্থিত, কিন্তু আজ পর্যন্ত কোন প্রমাণ নেই।
এই কাজে আমরা বেল অ-স্থানীয়তার মাধ্যমে জাউনারের অনুমানকে মোকাবেলা করি। বেল নন-লোক্যালিটি দু'জন পরীক্ষককে উদ্বিগ্ন করে যাদের যোগাযোগ করার অনুমতি নেই, তবে ক্লাসিক্যাল এলোমেলোতা বা ভাগ করা কোয়ান্টাম অবস্থার আকারে কিছু পারস্পরিক সম্পর্ক ভাগ করতে পারে। এটি দেখানো হয়েছে যে কোয়ান্টাম সম্পদ ভাগ করে নেওয়ার ফলে পরীক্ষামূলক ডেটা হতে পারে যা ক্লাসিক্যাল পদার্থবিদ্যা দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায় না (আরো সঠিকভাবে, তথাকথিত স্থানীয় লুকানো পরিবর্তনশীল মডেল দ্বারা)। এটি বেলের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত, এবং এটি গত দশকে পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা হয়েছে। পরীক্ষামূলক ডেটার অ-শাস্ত্রীয়তার সাক্ষ্য সাধারণত তথাকথিত বেল অসমতার মাধ্যমে করা হয়, যা পরীক্ষার ফলাফলের সম্ভাব্যতা পরিমাপের কাজ। ক্লাসিক্যাল ডেটা অবশ্যই বেলের অসমতা পূরণ করবে, যখন কোয়ান্টাম ডেটা তাদের লঙ্ঘন করতে পারে।
সম্প্রতি, বেলের বৈষম্যগুলি পাওয়া গেছে যা সর্বাধিক লঙ্ঘন করা হয় যদি পক্ষগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার একজোড়া MUB পরিমাপ নিয়োগ করে। এই কাজটিতে, আমরা এই অসমতাগুলিকে নতুনের মধ্যে প্রসারিত করি, একটি নির্দিষ্ট মাত্রায় নির্বাচিত সংখ্যক MUB পরিমাপের দ্বারা সর্বাধিক লঙ্ঘন করা হয়। অধিকন্তু, যদি পরীক্ষায় মাত্রা স্থির করা হয়, সর্বোচ্চ লঙ্ঘন প্রাপ্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি নিযুক্ত পরিমাপ প্রদত্ত মাত্রায় নির্বাচিত MUB-এর সংখ্যার সাথে মিলে যায়। অতএব, একটি নির্দিষ্ট মাত্রায় MUB-এর একটি নির্বাচিত সংখ্যা বিদ্যমান কিনা তা নির্ধারণ করা এই নির্দিষ্ট মাত্রায় সংশ্লিষ্ট বেলের অসমতার সর্বাধিক লঙ্ঘন খুঁজে পাওয়ার সমতুল্য।
যদিও এই সর্বাধিক লঙ্ঘনটি খুঁজে পাওয়া সাধারণভাবে একটি কঠিন সমস্যা, আমরা একটি নির্দিষ্ট মাত্রায় আমাদের বেলের অসাম্যের সর্বাধিক লঙ্ঘন খুঁজে বের করার প্রচেষ্টা হিসাবে তিনটি ভিন্ন সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করি। এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে দুটি হল আধা-নির্দিষ্ট প্রোগ্রামিং কৌশলগুলির রূপ, যখন তৃতীয়টি পরিসংখ্যানগত পদার্থবিদ্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত এবং সিমুলেটেড অ্যানিলিং বলা হয়। যদিও এই সমস্ত পদ্ধতিই হিউরিস্টিক—অর্থাৎ, তারা যে সমস্যার প্রকৃত সর্বোত্তম খুঁজে পাবে তার কোনো গ্যারান্টি নেই—অপ্টিমাইজেশান সমস্যায় প্রয়োগ করে তাদের কর্মক্ষমতা পরিমাপ করতে পারে যার সর্বোত্তম পরিচিত। বিশেষ করে, আমরা দেখতে পাই যে তিনটি পদ্ধতির সবকটিই সঠিকভাবে এমইউবি পরিমাপ সনাক্ত করতে সক্ষম যেখানে সেগুলি বিদ্যমান বলে পরিচিত। তদ্ব্যতীত, যে সমস্ত ক্ষেত্রে তাদের অস্তিত্ব নেই বলে জানা যায়, তিনটি পদ্ধতিই সংখ্যাগত নির্ভুলতা পর্যন্ত পরিমাপের একই সেটে একত্রিত হয়। তারপরে আমরা আমাদের পদ্ধতিগুলি প্রথম অজানা ক্ষেত্রে প্রয়োগ করি, অর্থাৎ, ছয় মাত্রায় চারটি এমইউবি। কোন পদ্ধতিই ছয় মাত্রায় চারটি MUB সনাক্ত করতে সক্ষম নয়, তবে আবার তারা সবগুলোই সংখ্যাগত নির্ভুলতা পর্যন্ত চারটি পরিমাপের একই সেটে একত্রিত হয়। অধিকন্তু, সিমুলেটেড অ্যানিলিং কৌশলটি পরবর্তী যৌগিক মাত্রা, মাত্রা দশে চারটি MUB খুঁজে পায় না। তাই, যদিও আমাদের কৌশলগুলির হিউরিস্টিক প্রকৃতির কারণে কঠোর দাবি করা যায় না, আমাদের ফলাফল বেল-অ-স্থানীয়তার নতুন দৃষ্টিকোণ থেকে জাউনারের অনুমানকে সমর্থন করে।
► বিবিটেক্স ডেটা
। তথ্যসূত্র
[1] আইডি ইভানোভিচ। কোয়ান্টাল অবস্থা নির্ধারণের জ্যামিতিক বর্ণনা। পদার্থবিজ্ঞানের জার্নাল A: গাণিতিক এবং সাধারণ, 14(12):3241–3245, 1981. doi:10.1088/0305-4470/14/12/019।
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] জি ব্রাসার্ড সিএইচ বেনেট। কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি: পাবলিক কী ডিস্ট্রিবিউশন এবং কয়েন টসিং। কম্পিউটার, সিস্টেম এবং সিগন্যাল প্রসেসিং (IEEE, 1984), 175:8, 1984. doi:10.1016/j.tcs.2011.08.039 সংক্রান্ত IEEE ইন্টারন্যাশনাল কনফারেন্সের কার্যক্রম।
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.tcs.2011.08.039
[3] আর্তুর কে. একার্ট। বেলের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি। ফিজ। Rev. Lett., 67:661–663, 1991. doi:10.1103/physRevLett.67.661.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজিরভাইলেট .67.661
[4] ডাগমার ব্রুস। ছয়টি রাজ্যের সাথে কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফিতে সর্বোত্তম eavesdropping. ফিজ। Rev. Lett., 81:3018–3021, 1998. doi:10.1103/physRevLett.81.3018.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজিরভাইলেট .81.3018
[5] আরমিন তাভাকোলি, অ্যালি হামিদি, ব্রেনো মার্কেস এবং মোহাম্মদ বোরেনানে। একক $d$-স্তরের সিস্টেম ব্যবহার করে কোয়ান্টাম র্যান্ডম অ্যাক্সেস কোড। ফিজ। Rev. Lett., 114:170502, 2015. doi:10.1103/PhysRevLett.114.170502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজিরভাইলেট .114.170502
[6] Máté Farkas এবং Jędrzej Kaniewski। প্রস্তুতি এবং পরিমাপের পরিস্থিতিতে পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তির স্ব-পরীক্ষা। ফিজ। Rev. A, 99:032316, 2019. doi:10.1103/ PhysRevA.99.032316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজারিভা 99.032316
[7] H. Bechmann-Pasquinucci এবং N. Gisin. বাইনারি পরিমাপের সাথে কুনিটের জন্য বেল অসমতা। কোয়ান্টাম তথ্য। কম্পিউট।, 3(2):157–164, 2003। doi:10.26421/QIC3.2-6।
https://doi.org/10.26421/QIC3.2-6
[8] Jędrzej Kaniewski, Ivan Šupić, Jordi Tura, Flavio Baccari, Alexia Salavrakos, এবং Remigiusz Augusiak. সর্বাধিক এনট্যাঙ্গলমেন্ট এবং পারস্পরিক নিরপেক্ষ বেস থেকে সর্বাধিক অ-স্থানীয়তা, এবং দ্বি-কুট্রিট কোয়ান্টাম সিস্টেমের স্ব-পরীক্ষা। কোয়ান্টাম, 3:198, 2019। doi:10.22331/q-2019-10-24-198।
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] আরমিন তাভাকোলি, মাটে ফার্কাস, ডেনিস রোসেট, জিন-ড্যানিয়েল ব্যাঙ্কাল এবং জেডরজেজ কানিউস্কি। বেল পরীক্ষায় পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি এবং প্রতিসম তথ্যগতভাবে সম্পূর্ণ পরিমাপ। সায়েন্স অ্যাডভান্সেস, 7(7):eabc3847, 2021. doi:10.1126/sciadv.abc3847।
https:///doi.org/10.1126/sciadv.abc3847
[10] থমাস ডার্ট, বার্থহোল্ড-জর্জ এঙ্গলার্ট, ইঙ্গেমার বেংটসন এবং ক্যারোল উজকোস্কি। পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তিতে। কোয়ান্টাম তথ্যের আন্তর্জাতিক জার্নাল, 08(04):535–640, 2010. doi:10.1142/S0219749910006502।
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749910006502
[11] উইলিয়াম কে ওয়াটার্স এবং ব্রায়ান ডি ফিল্ডস। পারস্পরিক নিরপেক্ষ পরিমাপের দ্বারা সর্বোত্তম রাষ্ট্র-সংকল্প। অ্যানালস অফ ফিজিক্স, 191(2):363–381, 1989. doi:10.1016/0003-4916(89)90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] পাওয়েল ওয়াকজান এবং টমাস বেথ। বর্গাকার মাত্রায় পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির নতুন নির্মাণ। কোয়ান্টাম তথ্য। কম্পিউট।, 5(2):93–101, 2005। doi:10.26421/QIC5.2-1।
https://doi.org/10.26421/QIC5.2-1
[13] মিহালি ওয়েইনার। সর্বাধিক সংখ্যক পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটির জন্য একটি ফাঁক। Proc. আমের। গণিত Soc., 141:1963–1969, 2013. doi:10.1090/S0002-9939-2013-11487-5।
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] গেরহার্ড জাউনার। কোয়ান্টেনডিজাইন: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. পিএইচডি থিসিস, 1999।
[15] পি. অস্কার বয়কিন, মীরা সীতারাম, ফাম হুউ টিপ, এবং পাওয়েল ওয়াকজান। Lie বীজগণিতের পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি এবং অর্থোগোনাল পচন। কোয়ান্টাম তথ্য। কম্পিউট।, 7(4):371–382, 2007। doi:10.26421/QIC7.4-6।
https://doi.org/10.26421/QIC7.4-6
[16] স্টিফেন ব্রিয়ারলি এবং স্টেফান ওয়েগার্ট। ছয় মাত্রায় পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি নির্মাণ। ফিজ। Rev. A, 79:052316, 2009. doi:10.1103/physRevA.79.052316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজারিভা 79.052316
[17] ফিলিপ জ্যামিং, মাতা মাটোলকসি, পিটার মোরা, ফেরেঙ্ক সজোল্লোসি এবং মিহালি ওয়েইনার। একটি সাধারণীকৃত পাওলি সমস্যা এবং মাত্রায় MUB-ট্রিপলেটের একটি অসীম পরিবার 6. পদার্থবিদ্যার জার্নাল A: গাণিতিক এবং তাত্ত্বিক, 42(24):245305, মে 2009. doi:10.1088/1751-8113/42/24/ 245305।
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] গ্যারি ম্যাককনেল, হ্যারি স্পেনসার এবং আফাক তাহির। $mathbb{C}^6$ এ জাউনারের MUB অনুমানের পক্ষে এবং বিপক্ষে প্রমাণ। 2021. doi:10.48550/arXiv.2103.08703.
https://doi.org/10.48550/arXiv.2103.08703
[19] স্যান্ডার গ্রিবলিং এবং সোভেন পোলাক। পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি: বহুপদী অপ্টিমাইজেশন এবং প্রতিসাম্য। 2021. doi:10.48550/arXiv.2111.05698।
https://doi.org/10.48550/arXiv.2111.05698
[20] ইঙ্গেমার বেংটসন, ওয়াজসিচ ব্রুজদা, আসা এরিকসন, জ্যান-আকে লারসন, ওয়াজসিচ তাদেজ এবং ক্যারল উজকোস্কি। পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটি এবং অর্ডার ছয়ের হাদামার্ড ম্যাট্রিস। জার্নাল অফ ম্যাথমেটিকাল ফিজিক্স, 48(5):052106, 2007. doi:10.1063/1.2716990।
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2716990
[21] ফিলিপ রেনাল, জিন লু এবং বার্থহোল্ড-জর্জ এঙ্গলার্ট। ছয় মাত্রায় পারস্পরিক নিরপেক্ষ ভিত্তি: চারটি সবচেয়ে দূরবর্তী ঘাঁটি। ফিজ। Rev. A, 83:062303, 2011. doi:10.1103/ PhysRevA.83.062303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজারিভা 83.062303
[22] এডগার এ. আগুইলার, জ্যাকুব জে. বোরকালা, পিওর মিরোনোভিজ এবং মার্সিন পাওলোস্কি। পারস্পরিক নিরপেক্ষ ঘাঁটি এবং কোয়ান্টাম র্যান্ডম অ্যাক্সেস কোডের মধ্যে সংযোগ। ফিজ। Rev. Lett., 121:050501, 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.121.050501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজিরভাইলেট .121.050501
[23] নিকোলাস ব্রুনার, ড্যানিয়েল ক্যাভালকান্টি, স্টেফানো পিরোনিও, ভ্যালেরিও স্কারানি এবং স্টেফানি ওয়েহনার। বেল nonlocality. রেভ. মোড Phys., 86:419–478, 2014. doi:10.1103/RevModPhys.86.419.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[24] মোসেক এপিএস। C++ 9.2.49, 2021-এর জন্য MOSEK ফিউশন API। URL: https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html।
https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
[25] হিরোশি ইয়ামাশিতা, হিরোশি ইয়াবে এবং কোহেই হারাদা। ননলাইনার সেমিডেফিনিট প্রোগ্রামিংয়ের জন্য একটি প্রাথমিক-দ্বৈত অভ্যন্তরীণ বিন্দু পদ্ধতি। গাণিতিক প্রোগ্রামিং, 135(1):89–121, 2012. doi:10.1007/s10107-011-0449-z.
https://doi.org/10.1007/s10107-011-0449-z
[26] স্টিফেন বয়েড এবং লিভেন ভ্যানডেনবার্গ। উত্তল অপ্টিমাইজেশান। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2004. doi:10.1017/CBO9780511804441।
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441
[27] এস. কির্কপ্যাট্রিক, সিডি গেল্যাট এবং এমপি ভেচি। সিমুলেটেড অ্যানিলিং দ্বারা অপ্টিমাইজেশান। বিজ্ঞান, 220(4598):671–680, 1983. doi:10.1126/science.220.4598.671.
https: / / doi.org/ 10.1126 / বিজ্ঞান
[28] নিকোলাস মেট্রোপলিস, আরিয়ানা ডব্লিউ রোজেনব্লুথ, মার্শাল এন রোজেনব্লুথ, অগাস্টা এইচ. টেলার এবং এডওয়ার্ড টেলার। দ্রুত কম্পিউটিং মেশিন দ্বারা রাষ্ট্র গণনার সমীকরণ। দ্য জার্নাল অফ কেমিক্যাল ফিজিক্স, 21(6):1087–1092, 1953. doi:10.1063/1.1699114।
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1699114
[29] মিগুয়েল নাভাসকুয়েস, স্টেফানো পিরোনিও এবং আন্তোনিও অ্যাসিন। কোয়ান্টাম পারস্পরিক সম্পর্কের সেটকে আবদ্ধ করা। ফিজ। Rev. Lett., 98:010401, 2007. doi:10.1103/ PhysRevLett.98.010401.
https: / / doi.org/ 10.1103 / ফিজিরভাইলেট .98.010401
দ্বারা উদ্ধৃত
এই কাগজটি কোয়ান্টামের অধীনে প্রকাশিত হয়েছে ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন 4.0 আন্তর্জাতিক (সিসি বাই 4.0) লাইসেন্স. কপিরাইট মূল কপিরাইট ধারক যেমন লেখক বা তাদের প্রতিষ্ঠানের সাথে রয়ে গেছে।
