দুই ছাত্র একটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাসযোগ্য গণিত অনুমান উন্মোচন করে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

সামার হাগ এবং ক্লাইড কার্টজার তাদের গ্রীষ্মকালীন গবেষণা প্রকল্পের জন্য উচ্চ আশা করেছিলেন। গণিতের একটি সম্পূর্ণ উপক্ষেত্রকে অন্ধ করা তাদের মধ্যে একটি ছিল না।

মে মাসে, হাগ কলোরাডো ইউনিভার্সিটি, বোল্ডারে তার স্নাতক স্কুলের প্রথম বছর শেষ করছিলেন, যেখানে কার্টজার ছিলেন একজন স্নাতক। দুজনেই ক্লাস থেকে বিরতির অপেক্ষায় ছিলেন। হাগ নতুন হাইক এবং আরোহণের রুট অন্বেষণ করার পরিকল্পনা করেছিল। Kertzer, একজন বোল্ডার নেটিভ, সকার খেলতে এবং তার গ্র্যাড স্কুলের আবেদন প্রস্তুত করতে চেয়েছিলেন। কিন্তু উচ্চাকাঙ্ক্ষী গবেষণা গণিতবিদ হিসাবে, তারা গণিতবিদদের গ্রুপে একটি অর্ধ-সময়ের গ্রীষ্মকালীন গবেষণা প্রোগ্রামের জন্যও আবেদন করেছিলেন। ক্যাথরিন স্ট্যাঞ্জ.

স্টাঞ্জ একজন সংখ্যা তত্ত্ববিদ যিনি নিজেকে গাণিতিক হিসাবে বর্ণনা করেন "বেঙ” — এমন একজন যিনি অন্য সমস্যার দিকে যাওয়ার আগে একটি সমস্যার জটিলতার গভীরে অনুসন্ধান করেন। তিনি "সহজ-আদর্শ প্রশ্নে যা গঠনের সমৃদ্ধির দিকে নিয়ে যায়" এ আগ্রহী। তার প্রকল্পগুলি প্রায়ই বৃহৎ ডেটা সেট তৈরি করতে কম্পিউটার ব্যবহার করে সংখ্যা তত্ত্বের অধরা উন্মুক্ত সমস্যার দিকে ঠেলে দেয়।

Haag এবং Kertzer Haag এর 23 তম জন্মদিনে অ্যাপোলোনিয়ান সার্কেল প্যাকিংগুলিতে একটি সপ্তাহব্যাপী প্রাইমার দিয়ে প্রোগ্রামটি শুরু করেছিলেন - কীভাবে চেনাশোনাগুলি সুরেলাভাবে একটি বৃহত্তর বৃত্তে চাপ দিতে পারে তার প্রাচীন অধ্যয়ন৷

তিনটি মুদ্রা সাজিয়ে কল্পনা করুন যাতে প্রত্যেকটি অন্যকে স্পর্শ করে। আপনি সর্বদা তাদের চারপাশে একটি বৃত্ত আঁকতে পারেন যা বাইরে থেকে তিনটিকে স্পর্শ করে। তারপরে আপনি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে শুরু করতে পারেন: কীভাবে সেই বড় বৃত্তের আকার তিনটি মুদ্রার সাথে সম্পর্কিত? তিনটি মুদ্রার ফাঁকে কোন আকারের বৃত্ত ফিট হবে? এবং আপনি যদি চেনাশোনাগুলি আঁকতে শুরু করেন যা বৃত্তগুলির মধ্যে ক্রমান্বয়ে ছোট এবং ছোট ফাঁকগুলি পূরণ করে - একটি প্যাকিং হিসাবে পরিচিত একটি ফ্র্যাক্টাল প্যাটার্ন তৈরি করে - কীভাবে সেই বৃত্তগুলির আকার একে অপরের সাথে সম্পর্কিত?

এই বৃত্তগুলির ব্যাস সম্পর্কে চিন্তা করার পরিবর্তে, গণিতবিদরা বক্রতা নামক একটি পরিমাপ ব্যবহার করেন - ব্যাসার্ধের বিপরীত। সুতরাং ব্যাসার্ধ 2 সহ একটি বৃত্তের বক্রতা 1/2, এবং 1/3 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের বক্রতা 3। বৃত্ত যত ছোট, বক্রতা তত বড়।

রেনেসাঁর গণিতবিদরা প্রমাণ করেছেন যে যদি প্রথম চারটি বৃত্তের একটি বক্রতা থাকে যা একটি পূর্ণসংখ্যা, তাহলে প্যাকিং-এর সমস্ত পরবর্তী বৃত্তের বক্রতা পূর্ণ সংখ্যা হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। যে তার নিজের উপর উল্লেখযোগ্য. কিন্তু গণিতবিদরা সমস্যাটিকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে গেছেন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে যে কোন পূর্ণসংখ্যাগুলি বৃত্তগুলি ছোট থেকে ছোট হওয়ার সাথে সাথে দেখা যাচ্ছে এবং বক্রতাগুলি বড় থেকে বড় হচ্ছে।

2010 সালে এলেনা ফুচস, এখন ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন সংখ্যা তাত্ত্বিক, ডেভিস, প্রতিপন্ন যে বক্রতা একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক অনুসরণ করে যা তাদের নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক বালতিতে বাধ্য করে। কিছুক্ষণ পরে, গণিতবিদরা নিশ্চিত হন যে বক্রতাগুলিকে কেবল একটি বা অন্য বালতিতে পড়তে হবে না, তবে প্রতিটি বালতিতে প্রতিটি সম্ভাব্য সংখ্যা ব্যবহার করতে হবে। ধারণাটি স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমান হিসাবে পরিচিত হয়েছিল।

"প্রচুর কাজ এটিকে উল্লেখ করেছে যেন এটি ইতিমধ্যেই সত্য," কার্টজার বলেছিলেন। "আমরা এটি নিয়ে আলোচনা করেছি যেন এটি অদূর ভবিষ্যতে কোনও সময়ে প্রমাণিত হতে চলেছে।"

জেমস রিকার্ডস, বোল্ডারের একজন গণিতবিদ যিনি স্ট্যাঞ্জ এবং ছাত্রদের সাথে কাজ করেন, সার্কেল প্যাকিংয়ের যে কোনও পছন্দসই ব্যবস্থা পরীক্ষা করার জন্য কোড লিখেছিলেন। তাই যখন Haag এবং Kertzer 15 মে এই গোষ্ঠীতে যোগদান করেন, তারা ভেবেছিলেন যে তারা বিশ্বস্ত স্থানীয়-থেকে-বৈশ্বিক নিয়মের দুর্দান্ত প্লট তৈরি করবেন।

স্টাঞ্জ জুনের শুরুতে একটি সম্মেলনের জন্য ফ্রান্সে যান। যখন তিনি 12 জুন ফিরে আসেন, তখন দলটি চার্টের চারপাশে আটকে থাকে যা প্রদর্শন করে যে কীভাবে কয়েকটি বালতি নির্দিষ্ট সংখ্যা অনুপস্থিত বলে মনে হচ্ছে।

"আমরা এই ঘটনাটি তদন্ত করছি না," রিকার্ডস বলেছিলেন। “আমি পরীক্ষা করার চেষ্টা করছিলাম না যে এটি সত্য। আমি জানতাম এটা সত্য — আমি শুধু ধরে নিয়েছিলাম এটা সত্য। এবং তারপরে হঠাৎ, আমরা এমন ডেটার মুখোমুখি হয়েছি যা বলে যে এটি নয়।"

সপ্তাহের শেষের দিকে, দলটি আত্মবিশ্বাসী ছিল যে অনুমানটি মিথ্যা ছিল। তারা যে সংখ্যাগুলি দেখাতে আশা করেছিল তা কখনই হয়নি। তারা একটি প্রমাণ আউট কাজ, এবং জুলাই 6 তারা তাদের কাজ পোস্ট বৈজ্ঞানিক প্রিপ্রিন্ট সাইট arxiv.org-এ।

প্রমাণটি ক্লিক করার পরেই স্ট্যানজের সাথে কথা বলার কথা মনে পড়ে। "আপনি স্থানীয় থেকে বিশ্বব্যাপী অনুমানকে কতটা বিশ্বাস করেন?" স্ট্যাঞ্জ জিজ্ঞেস করল। Fuchs প্রতিক্রিয়া যে তিনি অবশ্যই এটা বিশ্বাস করেন. "তারপর সে আমাকে এই সমস্ত ডেটা দেখাল এবং আমি বললাম, 'ওহ আমার সৌভাগ্য, এটা আশ্চর্যজনক,'" ফুচস বলেছিলেন। "আমি বলতে চাচ্ছি, আমি সত্যিই বিশ্বাস করতাম যে স্থানীয় থেকে বিশ্বব্যাপী অনুমান সত্য।"

"একবার আপনি এটি দেখলে, আপনি শুধু বলবেন 'আহা! অবশ্যই!'" বলল পিটার সারনাক, ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডি এবং প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ যার প্রাথমিক পর্যবেক্ষণ স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমানকে জ্বালানিতে সাহায্য করেছে।

"এটি একটি চমত্কার অন্তর্দৃষ্টি," যোগ করা হয়েছে অ্যালেক্স কনটোরোভিচ রাটগার্স বিশ্ববিদ্যালয়ের। "আমরা সবাই নিজেদেরকে লাথি দিচ্ছি যে আমরা 20 বছর আগে এটি খুঁজে পাইনি, যখন লোকেরা প্রথম এটি নিয়ে খেলতে শুরু করেছিল।"

ফলাফল দ্বারা অবশিষ্ট ধ্বংসস্তূপের মধ্যে, কাজটি সংখ্যা তত্ত্বের অন্যান্য অনুমানগুলির ভিত্তিতে একটি ফাটল উন্মোচিত করেছে। গণিতবিদদের বিস্মিত করা হয়েছে যে ব্যাপকভাবে প্রচলিত বিশ্বাসের পতনের পরবর্তী কী হতে পারে।

গোলাকার ইতিহাস

অ্যাপোলোনিয়ান সার্কেল প্যাকিংগুলি তাদের সম্ভাব্য জন্মদাতা, পারগার অ্যাপোলোনিয়াস থেকে তাদের নাম পেয়েছে। প্রায় 2,200 বছর আগে, গ্রীক জিওমিটার নামে একটি বই লিখেছিল স্পর্শকাতরতা কিভাবে একটি বৃত্ত তৈরি করতে হয় যেটি অন্য তিনটির স্পর্শক। বইটি সময়ের কাছে হারিয়ে গেছে। কিন্তু প্রায় 500 বছর পরে, আলেকজান্দ্রিয়ার গ্রীক গণিতবিদ পাপ্পাস একটি সংকলন তৈরি করেছিলেন যা বাইজেন্টাইন সাম্রাজ্যের পতন থেকে বাঁচতে পারে।

শুধুমাত্র Pappus এর বর্ণনা ব্যবহার করে স্পর্শকাতরতা, রেনেসাঁর গণিতবিদরা মূল কাজটি পুনরুদ্ধার করার চেষ্টা করেছিলেন। 1643 সাল নাগাদ, রেনে দেকার্ত একে অপরের স্পর্শক যেকোন চারটি বৃত্তের বক্রতার মধ্যে একটি সরল সম্পর্ক আবিষ্কার করেছিলেন। দেকার্ত জোর দিয়েছিলেন যে সমস্ত বর্গক্ষেত্র বক্রতার যোগফল বক্রতার যোগফলের অর্ধেক বর্গক্ষেত্রের সমান। এর মানে হল, তিনটি বৃত্ত দেওয়া হলে, চতুর্থ স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধ গণনা করা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার কাছে 11, 14 এবং 15 এর বক্রতা সহ তিনটি বৃত্ত থাকে, আপনি সেই সংখ্যাগুলিকে ডেসকার্টের সমীকরণে প্লাগ করতে পারেন এবং বৃত্তের বক্রতা গণনা করতে পারেন যা তাদের ভিতরে ফিট হবে: 86।

1936 সালে, নোবেল পুরস্কার বিজয়ী রেডিওকেমিস্ট ফ্রেডরিক সডি তিনি ডেসকার্টসের সম্পর্কের সাথে প্যাকিং তৈরি করার সময় অদ্ভুত কিছু লক্ষ্য করেছিলেন। বৃত্তগুলি ছোট এবং বক্রতা বড় হওয়ার সাথে সাথে তিনি বর্গমূল বা অসীম দশমিক সহ আঠালো সংখ্যা পাওয়ার আশা করেছিলেন। পরিবর্তে, সমস্ত বক্রতা পূর্ণসংখ্যা ছিল। এটি ছিল দেকার্তের সমীকরণের একটি মোটামুটি সরল পরিণতি, কিন্তু কেউ শত বছর ধরে লক্ষ্য করেনি। এটা Soddy অনুপ্রাণিত একটি কবিতা প্রকাশ করুন বৈজ্ঞানিক জার্নালে প্রকৃতি, যা শুরু হয়েছিল:

ঠোঁট জোড়া চুমুর জন্য হয়তো
কোন ত্রিকোণমিতি জড়িত.
চারটি চেনাশোনা চুম্বন করলে তা হয় না
প্রতিটি একটি অন্য তিনটি.

সম্ভাব্য এবং অনিবার্য

পূর্ণসংখ্যায় পূর্ণ প্যাকিং রয়েছে বলে প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে, গণিতবিদরা সেই পূর্ণসংখ্যাগুলির মধ্যে নিদর্শনগুলি খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছিলেন।

2010 সালে, Fuchs এবং ক্যাথরিন স্যান্ডেন একটি উপর নির্মাণ সেট আউট 2003 থেকে কাগজ. দু'টি লক্ষ্য করেছে যে আপনি যদি একটি প্রদত্ত প্যাকিংয়ের প্রতিটি বক্রতাকে 24 দ্বারা ভাগ করেন, একটি নিয়ম আবির্ভূত হয়। কিছু প্যাকিংয়ে শুধুমাত্র 0, 1, 4, 9, 12 বা 16 এর অবশিষ্টাংশের সাথে বক্রতা থাকে, উদাহরণস্বরূপ। অন্যরা শুধুমাত্র 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 বা 22 এর অবশিষ্টাংশ রেখে যায়। ছয়টি ভিন্ন সম্ভাব্য গ্রুপ ছিল।

গণিতবিদরা প্যাকিংগুলির বিভিন্ন বিভাগ পরীক্ষা করার সাথে সাথে, তারা লক্ষ্য করতে শুরু করেছিলেন যে যথেষ্ট ছোট বৃত্তের জন্য - যাদের বড় বক্রতা রয়েছে - মনে হয়েছিল যে প্রতিটি বিভাগের মধ্যে প্রতিটি সম্ভাব্য সংখ্যা সেই ধরণের প্যাকিংয়ের জন্য উপস্থিত হয়েছে। এই ধারণাটিকে স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমান বলা হয়। এটা প্রমাণ করা "আমার এই ছোট গণিতবিদদের স্বপ্নগুলির মধ্যে একটি হয়ে উঠেছে," ফুচস বলেছিলেন। "যেমন, হয়তো এখন থেকে অনেক বছর পর আমি এটি সমাধান করতে সক্ষম হব।"

2012 সালে, কন্টোরোভিচ এবং জিন বোরগেইন (কে 2018 সালে মারা গেলেন) তা প্রমাণ করেছে কার্যত প্রতিটি সংখ্যা অনুমান দ্বারা পূর্বাভাস ঘটবে. কিন্তু "কার্যত সব" মানে "সব" নয়। উদাহরণস্বরূপ, নিখুঁত বর্গগুলি যথেষ্ট বিরল যে, গাণিতিকভাবে, "কার্যত সমস্ত" পূর্ণসংখ্যা নিখুঁত বর্গ নয়, যদিও, উদাহরণস্বরূপ, 25 এবং 49। গণিতবিদরা ভেবেছিলেন যে কন্টোরোভিচ এবং বোরগেইনের কাগজের পরে যে বিরল পাল্টা উদাহরণগুলি সম্ভব ছিল তা আসলে বিদ্যমান ছিল না, বেশিরভাগই কারণ দুটি বা তিনটি সবচেয়ে ভালভাবে অধ্যয়ন করা সার্কেল প্যাকিংগুলি স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমানকে খুব ভালভাবে অনুসরণ করে বলে মনে হয়েছিল, কন্টোরোভিচ বলেছিলেন।

ক্র্যাঙ্কিং আপ দ্যাট ডায়াল

যখন হাগ এবং কার্টজার এই গ্রীষ্মে বোল্ডারে শুরু করেছিলেন, তখন রিকার্ডস স্ট্যাঞ্জের অফিসে একটি ব্ল্যাকবোর্ডে ধারণাগুলি লিখেছিলেন। "আমাদের একটি সম্পূর্ণ তালিকা ছিল," রিকার্ডস বলেছিলেন। তাদের পরীক্ষা করার জন্য চার বা পাঁচটি শুরুর পয়েন্ট ছিল। "আপনি যে জিনিসগুলি নিয়ে খেলতে পারেন এবং দেখুন কী হয়।"

একটি ধারণা ছিল সমস্ত সম্ভাব্য সার্কেল প্যাকিংগুলি গণনা করা যাতে দুটি নির্বিচারে বক্রতা A এবং B রয়েছে। রিকার্ডস একটি প্রোগ্রাম লিখেছিলেন যা এক ধরণের লেজার আউটপুট করে যা রিপোর্ট করে যে A হোস্টিং করার সময় কোন পূর্ণসংখ্যাগুলি পার্টিকে দেখায়।

এই প্রোগ্রামের উপর ভিত্তি করে, Haag একটি পাইথন স্ক্রিপ্টকে একত্রিত করেছে যা একসাথে অনেকগুলি সিমুলেশন প্লট করেছে। এটি একটি গুণের টেবিলের মতো ছিল: Haag বেছে নিয়েছিল যে সারি এবং কলামগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে তাদের অবশিষ্টাংশের উপর ভিত্তি করে যখন তারা 24 দ্বারা বিভক্ত হয়। একটি অ্যাপোলোনিয়ান প্যাকিংয়ে প্রদর্শিত সংখ্যার জোড়া সাদা পিক্সেল পেয়েছে; যাদের কালো পিক্সেল নেই।

হাগ কয়েক ডজন প্লটের মধ্য দিয়ে চষেছে — ছয়টি দলের প্রতিটিতে প্রতিটি জোড়া অবশিষ্টাংশের জন্য একটি।

তারা প্রত্যাশিত হিসাবে দেখতে ঠিক ছিল: সাদা একটি প্রাচীর, ছোট পূর্ণসংখ্যার জন্য কালো দাগ দিয়ে মরিচযুক্ত। "আমরা আশা করছিলাম কালো বিন্দুগুলো বের হয়ে যাবে," স্ট্যাঞ্জ বলেছেন। রিকার্ডস যোগ করেছেন, "আমি ভেবেছিলাম যে তারা পিটার আউট প্রমাণ করাও সম্ভব হবে।" তিনি অনুমান করেছিলেন যে চার্টগুলি দেখে যা একসাথে অনেকগুলি প্যাকিং সংশ্লেষিত করে, দলটি এমন ফলাফল প্রমাণ করতে সক্ষম হবে যা সম্ভব ছিল না যখন তারা নিজেরাই প্যাকিংয়ের দিকে তাকায়।

স্টাঞ্জ দূরে থাকাকালীন, হাগ বাকিদের প্রতিটি জোড়া প্লট করেছিল — প্রায় 120। সেখানে কোনও আশ্চর্যের কিছু নেই। তারপর সে বড় হয়ে গেল।

হাগ 1,000টি পূর্ণসংখ্যা কীভাবে ইন্টারঅ্যাক্ট করে তার পরিকল্পনা করছিলেন। (গ্রাফটি শোনার চেয়ে বড়, কারণ এতে 1 মিলিয়ন সম্ভাব্য জোড়া রয়েছে।) তারপর তিনি 10,000 বার 10,000 পর্যন্ত ডায়ালটি ক্র্যাঙ্ক করলেন। একটি গ্রাফে, কালো দাগের নিয়মিত সারি এবং কলামগুলি দ্রবীভূত হতে অস্বীকার করেছে। স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমান কী ভবিষ্যদ্বাণী করবে তার মতো কিছুই দেখাচ্ছিল না।

স্টেঞ্জ ফিরে আসার পর দলটি সোমবার দেখা করেছিল। হাগ তার গ্রাফ উপস্থাপন করেছে, এবং তারা সবাই অদ্ভুত বিন্দু সহ একটিতে ফোকাস করেছে। "এটি কেবল একটি ক্রমাগত প্যাটার্ন ছিল," হাগ বলেছিলেন। "এবং কেট যখন বলেছিলেন, 'স্থানীয়-বিশ্বব্যাপী অনুমান সত্য না হলে কী হবে?'"

"এটি একটি প্যাটার্ন মত দেখায়. এটা চালিয়ে যেতে হবে। তাই স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমান অবশ্যই মিথ্যা হতে হবে,” স্টাঞ্জ চিন্তাভাবনা স্মরণ করে। "জেমস আরো সন্দিহান ছিল।"

"আমার প্রথম চিন্তা ছিল আমার কোডে একটি বাগ থাকতে হবে," রিকার্ডস বলেছিলেন। "আমি বলতে চাচ্ছি, এটিই একমাত্র যুক্তিসঙ্গত জিনিস যা আমি ভাবতে পারি।"

অর্ধেক দিনের মধ্যে, রিকার্ডস ঘুরে এলো। প্যাটার্নটি সমস্ত জোড়াকে বাতিল করে যেখানে প্রথম সংখ্যাটি 8 × (3n ± 1)² এবং দ্বিতীয়টি যেকোনো বর্গক্ষেত্রের 24 গুণ। এর মানে 24 এবং 8 একই প্যাকিংয়ে দেখা যায় না। সংখ্যা আপনি ঘটতে আশা চাই না.

“আমি একধরনের ঘোলাটে ছিলাম। এটি প্রায়শই নয় যে কিছু সত্যিই আপনাকে অবাক করে, "স্ট্যাঞ্জ বলেছিলেন। "তবে এটি ডেটা নিয়ে খেলার জাদু।"

সার্জারির জুলাইয়ের কাগজ একটি কঠোর প্রমাণের রূপরেখা দেয় যে তারা যে প্যাটার্নটি পর্যবেক্ষণ করেছে তা অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকে, অনুমানকে অস্বীকার করে। প্রমাণটি একটি শতাব্দী প্রাচীন নীতির উপর নির্ভর করে যাকে বলা হয় চতুর্মুখী পারস্পরিকতা যা দুটি মৌলিক সংখ্যার বর্গকে জড়িত করে। Stange এর দল আবিষ্কার করেছে কিভাবে পারস্পরিকতা সার্কেল প্যাকিংগুলিতে প্রযোজ্য। এটি ব্যাখ্যা করে কেন নির্দিষ্ট বক্রতা একে অপরের স্পর্শক হতে পারে না। নিয়ম, একটি বাধা বলা হয়, পুরো প্যাকিং জুড়ে প্রচার করে। "এটি শুধুমাত্র একটি সম্পূর্ণ নতুন জিনিস," বলেন জেফরি লাগরিয়াস, মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ যিনি 2003 সার্কেল-প্যাকিং পেপারের সহ-লেখক ছিলেন। "তারা বুদ্ধিমত্তার সাথে এটি খুঁজে পেয়েছে," সারনাক বলেছেন। "যদি এই সংখ্যাগুলি উপস্থিত হয় তবে তারা পারস্পরিকতা লঙ্ঘন করবে।"

বিপযর্য়

সংখ্যা তত্ত্বের আরও কিছু অনুমান এখন সন্দেহের মধ্যে থাকতে পারে। স্থানীয়-বৈশ্বিক অনুমানের মতো, এগুলি প্রমাণ করা কঠিন কিন্তু ইতিমধ্যেই কার্যত সমস্ত ক্ষেত্রে ধরে রাখা হয়েছে এবং সাধারণত সত্য বলে ধরে নেওয়া হয়েছে৷

উদাহরণস্বরূপ, ফুচস মার্কভ ট্রিপল অধ্যয়ন করে, সংখ্যার সেট যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে x² + y² + z² = 3Xyz. তিনি এবং অন্যরা দেখিয়েছেন যে 10-এর বেশি মৌলিক সংখ্যার জন্য নির্দিষ্ট ধরণের সমাধান সংযুক্ত রয়েছে³⁹². প্রত্যেকে বিশ্বাস করে যে প্যাটার্নটি অনন্ত অবিরত হওয়া উচিত। কিন্তু নতুন ফলাফলের আলোকে, ফুচস নিজেকে সন্দেহের দুল অনুভব করতে দিয়েছেন। "হয়তো আমি কিছু মিস করছি," সে বলল। "হয়তো সবাই কিছু মিস করছে।"

"এখন যেহেতু আমাদের কাছে একটি একক উদাহরণ আছে যেখানে এটি মিথ্যা, প্রশ্ন হল: এটি কি এই অন্যান্য উদাহরণগুলির জন্যও মিথ্যা?" রিকার্ডস বলেছেন।

জারেম্বার অনুমানও আছে। এটি বলে যে যেকোন হর সহ একটি ভগ্নাংশকে একটি অবিরত ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা শুধুমাত্র 1 এবং 5 এর মধ্যে সংখ্যাগুলি ব্যবহার করে৷ 2014 সালে, কন্টোরোভিচ এবং বোরগেইন দেখিয়েছিলেন যে জারেম্বার অনুমান প্রায় সমস্ত সংখ্যার জন্য ধারণ করে৷ কিন্তু সার্কেল প্যাকিং সম্পর্কে বিস্ময় জারেম্বার অনুমানে আস্থাকে ক্ষুন্ন করেছে।

যদি প্যাকিং সমস্যাটি আসন্ন জিনিসগুলির একটি আশ্রয়স্থল হয়, তাহলে গণনামূলক ডেটা এটি পূর্বাবস্থার হাতিয়ার হতে পারে।

"আমি সবসময় এটি আকর্ষণীয় মনে করি যখন নতুন গণিত শুধুমাত্র তথ্যের দিকে তাকানোর থেকে জন্ম নেয়," ফুচস বলেছিলেন। "এটি ছাড়া, এটা কল্পনা করা সত্যিই কঠিন যে [তারা] এতে হোঁচট খেয়েছে।"

স্ট্যাঞ্জ যোগ করেছেন যে কম-স্টেকের গ্রীষ্মকালীন প্রকল্প ছাড়া এর কিছুই ঘটত না। "সেরেন্ডিপিটি এবং কৌতুকপূর্ণ অন্বেষণের মনোভাব উভয়ই আবিষ্কারে এত বড় ভূমিকা রাখে," তিনি বলেছিলেন।

"এটি বিশুদ্ধ কাকতালীয় ছিল," হাগ বলেছিলেন। "যদি আমি যথেষ্ট বড় না হতাম, আমরা এটি লক্ষ্য করতাম না।" কাজটি সংখ্যা তত্ত্বের ভবিষ্যতের জন্য ভাল নির্দেশ করে। "আপনি আপনার অন্তর্দৃষ্টির মাধ্যমে, প্রমাণের মাধ্যমে গণিতের বোধগম্যতা অর্জন করতে পারেন," স্ট্যাঞ্জ বলেছিলেন। "এবং আপনি এটিকে অনেক বেশি বিশ্বাস করেন কারণ আপনি এটি নিয়ে চিন্তা করার জন্য অনেক সময় ব্যয় করেছেন। কিন্তু আপনি তথ্যের সাথে তর্ক করতে পারবেন না।"

সম্পাদকের মন্তব্য: অ্যালেক্স কনটোরোভিচ এর সদস্য Quanta ম্যাগাজিনএর বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা বোর্ড। এই গল্পের জন্য তার সাক্ষাৎকার নেওয়া হয়েছিল কিন্তু অন্যথায় এর প্রযোজনায় অবদান রাখেনি।