En matematiker om kreativitet, kunst, logik og sprog | Quanta Magasinet

Det tog lang tid for Claire Voisin at forelske sig i matematik.

Det betyder ikke, at hun nogensinde ikke kunne lide emnet. Da hun voksede op i Frankrig - den 10. af 12 børn - nød hun at bruge timer på at løse matematiske problemer sammen med sin far, en ingeniør. Da hun fyldte 12, var hun begyndt at læse en algebra-lærebog i gymnasiet på egen hånd, fascineret af definitionerne og beviserne på dens sider. "Der var hele denne struktur," sagde hun. "Algebra er virkelig en teori om strukturer."

Men hun så ikke matematik som et livslangt kald. Det var først i sine universitetsår, at hun indså, hvor dybt og smukt det kunne være - og at hun var i stand til at gøre nye opdagelser. Indtil da forfulgte hun for alvor flere interesser udover matematik: filosofi, maleri og poesi. ("Da jeg var 20, tror jeg, jeg kun lavede matematik og malede. Det var måske lidt overdrevet," grinede hun.) I hendes tidlige 20'ere havde matematik optaget alt andet. Men maleri og poesi fortsatte med at påvirke hende. Hun ser matematik som en kunst - og som en måde at skubbe på og lege med selve sprogets grænser.

Årtier senere, efter at være blevet førende inden for algebraisk geometri, har Voisin igen fundet tid til at male og lave lerskulpturer. Alligevel optager matematik fortsat det meste af hendes opmærksomhed; hun foretrækker at bruge sin tid på at udforske denne "anderledes verden", hvor "det er som om du drømmer."

Voisin er seniorforsker ved det franske nationale center for videnskabelig forskning i Paris. Der studerer hun algebraiske varianter, som kan opfattes som former defineret af sæt af polynomiale ligninger, sådan som en cirkel er defineret af polynomiet x² + y² = 1. Hun er en af ​​verdens førende eksperter i Hodge-teori, et værktøjssæt, som matematikere bruger til at studere nøgleegenskaber ved algebraiske varianter.

Voisin har vundet en lang række priser for sit arbejde, herunder Clay Research Award i 2008, Heinz Hopf-prisen i 2015 og Shaw-prisen for matematik i 2017. I januar blev hun den første kvinde, der blev tildelt Crafoord-prisen i Matematik.

Quanta talte med Voisin om matematikkens kreative natur. Interviewet er blevet komprimeret og redigeret for klarhedens skyld.

Du nød matematik som barn, men kunne ikke se dig selv forfølge det. Hvorfor ikke?

Der er magien ved et bevis - den følelse, du føler, når du forstår den, når du indser, hvor stærk den er, og hvor stærk den gør dig. Som barn kunne jeg allerede se dette. Og jeg nød den koncentration, som matematik kræver. Det er noget, som jeg, efterhånden som jeg bliver ældre, finder mere og mere centralt i matematikpraktikken. Resten af ​​verden forsvinder. Hele din hjerne er til for at studere et problem. Det er en ekstraordinær oplevelse, en oplevelse, der er meget vigtig for mig - at få dig selv til at forlade verden af ​​praktiske ting, for at bebo en anden verden. Måske er det derfor, min søn nyder at spille videospil så meget.

Men det, der i en eller anden forstand gjorde mig til en senkommer til matematik, er, at jeg absolut ikke interesserer mig for spil. Det er ikke for mig. Og i gymnasiet føltes matematik som en leg. Det var svært for mig at tage det seriøst. Jeg så ikke dybden af ​​matematik i starten. Selv da jeg begyndte at opdage meget interessante beviser og teoremer efter gymnasiet, tænkte jeg på intet tidspunkt, at jeg kunne finde på noget selv, at jeg kunne gøre det til mit.

Jeg havde et behov for noget dybere, mere seriøst, noget som jeg kunne gøre til mit.

Før du fandt det i matematik, hvor ledte du efter det?

Jeg nød filosofi og dens insisteren på idéen om et koncept. Indtil jeg var omkring 22, brugte jeg også meget tid på at male, især figurative stykker inspireret af geometri. Og jeg var meget glad for poesi - af Mallarmés, Baudelaires, René Chars værker. Jeg levede allerede i en slags anden verden. Men det er normalt, tror jeg, når man er yngre.

Men matematik blev vigtigere og vigtigere. Det tager virkelig hele din hjerne. Når du ikke sidder ved dit skrivebord og arbejder på et specifikt problem, er dit sind stadig travlt. Så jo mere jeg lavede matematik, jo mindre malede jeg. Jeg er først for nylig begyndt at male igen, nu hvor mine børn alle har forladt huset, og jeg har meget mere tid.

Hvad fik dig til at beslutte dig for at bruge det meste af din kreative energi på matematik i sidste ende?

Matematik blev mere og mere interessant for mig. Som kandidat og ph.d. studerende, opdagede jeg, at matematikken i det 20. århundrede var noget meget dybt og ekstraordinært. Det var en verden af ​​ideer og koncepter. I algebraisk geometri var der den berømte revolution ledet af Alexander Grothendieck. Allerede før Grothendieck var der utrolige resultater. Så det er et nyere felt, med ideer, der er smukke, men også ekstremt kraftfulde. Hodge-teori, som jeg studerer, var en del af det.

Det blev mere og mere tydeligt, at mit liv var der. Selvfølgelig havde jeg et familieliv - en mand og fem børn - og andre pligter og aktiviteter. Men jeg indså, at med matematik kunne jeg skabe noget. Jeg kunne vie mit liv til det, fordi det var så smukt, så spektakulært, så interessant.

Du har tidligere skrevet om, hvordan matematik er en kreativ bestræbelse.

Jeg er professionel matematiker, så min arbejdsdag er officielt organiseret omkring matematik. Jeg sidder ved et skrivebord; Jeg arbejder på en computer. Men det meste af min matematikaktivitet foregår ikke i det tidsrum. Du har brug for en ny idé, en god definition, et udsagn, som du tror, ​​du vil være i stand til at udnytte. Først derefter kan dit arbejde starte. Og det sker ikke, når jeg sidder ved mit skrivebord. Jeg er nødt til at følge mit sind, for at holde mig selv til at tænke.

Det lyder som om matematik er dybt personligt for dig. Har du opdaget noget om dig selv i processen?

Når jeg laver matematik, er jeg det meste af tiden nødt til at kæmpe mod mig selv, fordi jeg er meget uordnet, jeg er ikke særlig disciplineret, og jeg har også en tendens til at blive deprimeret. Jeg synes ikke, det er nemt. Men det, jeg opdagede, er, at i nogle øjeblikke – som om morgenen over morgenmaden, eller når jeg går gennem Paris' gader eller laver noget tankeløst som at gøre rent – ​​begynder min hjerne at arbejde af sig selv. Jeg indser, at jeg tænker på matematik, uden at have tænkt mig det. Det er som om du drømmer. Jeg er 62, og jeg har ingen rigtig metode til at lave god matematik: Jeg venter stadig mere eller mindre på det øjeblik, hvor jeg får lidt inspiration.

Du arbejder med meget abstrakte objekter - med højdimensionelle rum, med strukturer, der tilfredsstiller komplicerede ligninger. Hvordan tænker du om sådan en abstrakt verden?

Det er faktisk ikke så svært. Den mest abstrakte definition, når du først er bekendt med den, er ikke abstrakt længere. Det er som et smukt bjerg, man ser rigtig godt, for luften er meget klar, og der er lys, der lader dig se alle detaljerne. For os ser de matematiske objekter, vi studerer, konkrete ud, fordi vi kender dem meget bedre end noget andet.

Selvfølgelig er der masser af ting at bevise, og når du begynder at lære noget, kan du lide på grund af abstraktionen. Men når man bruger en teori – fordi man forstår sætningerne – føler man sig faktisk meget tæt på de pågældende objekter, selvom de er abstrakte. Ved at lære om objekterne, ved at manipulere dem og bruge dem i matematiske argumenter, bliver de i sidste ende din ven.

Og det kræver også, at man ser dem fra forskellige synsvinkler?

Jeg studerede ikke algebraisk geometri oprindeligt. Jeg arbejdede med kompleks analytisk og differentiel geometri. I analytisk geometri studerer du en meget større klasse af funktioner og de former, der er lokalt defineret af disse funktioner. De har normalt ikke en global ligning, i modsætning til i algebraisk geometri.

Jeg var ikke for meget opmærksom på det algebraiske synspunkt i starten. Men jo ældre jeg bliver, og jo mere jeg arbejder med dette område, jo mere ser jeg nødvendigheden af ​​at have disse to forskellige sprog.

Der er en utrolig teorem, kaldet GAGA, som er lidt af en joke; det betyder "senil" på fransk, men det står også for géometrie algébrique og géométrie analytique. Den siger, at man kan gå fra det ene sprog til det andet. Du kan lave en beregning i kompleks analytisk geometri, hvis det er nemmere, og så vende tilbage til algebraisk geometri.

Andre gange giver algebraisk geometri dig mulighed for at studere en anden version af et problem, der kan give ekstraordinære resultater. Jeg har arbejdet hen imod at forstå algebraisk geometri som en helhed, snarere end blot at fokusere på den kompleks-geometriske side af det.

Det er interessant, at du tænker på disse som forskellige matematiske sprog.

Sproget er essentielt. Før matematik er der sprog. En masse logik er allerede inde i sproget. Vi har alle disse logiske regler i matematik: kvantificerere, negationer, parenteser for at angive den rigtige rækkefølge af operationer. Men det er vigtigt at indse, at alle disse regler, der er livsvigtige for matematikere, allerede findes i vores daglige sprog.

Du kan sammenligne en matematisk sætning med et digt. Det er skrevet med ord. Det er et produkt af sproget. Vi har kun vores matematiske objekter, fordi vi bruger sprog, fordi vi bruger hverdagsord og giver dem en bestemt betydning. Man kan altså sammenligne poesi og matematik, idet de begge er helt afhængige af sproget, men stadig skaber noget nyt.

Du blev tiltrukket af matematik på grund af Grothendiecks revolution inden for algebraisk geometri. Han skabte i det væsentlige et nyt sprog til at lave denne form for matematik.

Højre.

Er der måder, hvorpå det matematiske sprog, du bruger nu, muligvis stadig skal ændres?

Matematikere omarbejder konstant deres sprog. Det er ærgerligt, for det gør ældre aviser ret svære at læse. Men vi omarbejder tidligere matematik, fordi vi forstår det bedre. Det giver os en bedre måde at skrive og bevise teoremer på. Dette var tilfældet med Grothendieck, med hans anvendelse af sheaf cohomology til geometri. Det er virkelig spektakulært.

Det er vigtigt at blive fortrolig med det objekt, du studerer, til det punkt, at det for dig er som et modersmål. Når en teori begynder at danne sig, tager det tid at finde ud af de rigtige definitioner og forenkle alting. Eller måske er det stadig meget kompliceret, men vi bliver meget mere fortrolige med definitionerne og objekterne; det bliver mere naturligt at bruge dem.

Det er en kontinuerlig udvikling. Vi skal hele tiden omskrive og forenkle, for at teoretisere om, hvad der er vigtigt, om hvilke værktøjer, der skal stilles til rådighed.

Har du været nødt til at indføre nye definitioner i dit arbejde?

Sommetider. I arbejde jeg lavede med János Kollár, var der et vendepunkt, hvor vi endelig var i stand til at finde det rigtige syn på problemet - gennem en bestemt definition. Dette var et meget klassisk problem, og vi arbejdede med klassiske værktøjer, men vores bevis var virkelig baseret på denne definition, som vi satte op.

I et andet tilfælde Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì og jeg viste mig en pæn klassificeringsresultat om genstande kaldet hyper-Kähler-manifolder. Og udgangspunktet for det bevis var introduktionen af ​​en invariant, som vi meget oprindeligt kaldte "a.”[Griner.]

Du kan måske undervurdere betydningen af ​​definitioner i matematik, men du burde ikke.

Definitioner og sprog er ikke de eneste styrende kræfter i matematik. Det samme er formodninger, som måske eller måske ikke er sande. For eksempel har du arbejdet meget på Hodge-formodningen, et Clay-årtusindproblem, hvis løsning kommer med en 1 millioner dollars belønning.

Lad os sige, at du har en algebraisk variant, du gerne vil forstå. Så du går til den kompleks-analytiske geometriside og betragter det i stedet som det, der er kendt som en kompleks manifold. Du kan tænke på en kompleks mangfoldighed i form af dens globale form eller topologi. Der er et objekt, kaldet en homologi, som giver dig en masse topologisk information om manifolden. Men det er ikke så nemt at definere.

Overvej nu algebraiske undervarianter i din originale sort. Hver vil have en topologisk invariant, bestemt topologisk information knyttet til sig. Hvilken del af den komplekse manifolds homologi kan opnås ved at se på disse topologiske invarianter?

Hodge-formodningen giver et specifikt svar. Og svaret er meget subtilt.

Så matematikere er ikke sikre på, om Hodge-formodningen ender med at være sand eller falsk?

Du vil gerne tro på Hodge-formodningen, fordi den er sådan en guide i store teorier inden for algebraisk geometri.

Du vil virkelig gerne forstå hovedegenskaberne ved en algebraisk variant. Og hvis Hodge-formodningen er sand, ville det give dig en utrolig kontrol over din sorts geometri. Du vil få meget vigtig information om strukturen af ​​sorter.

Der er nogle stærke grunde til at tro på det. Særlige tilfælde af Hodge-formodningen er kendt. Og der er mange dybe udsagn om algebraiske varianter, der antyder, at Hodge-formodningen er sand.

Men der har næsten været en fuldstændig mangel på fremskridt i retning af at bevise det. Jeg beviste også, at der ikke er nogen måde at udvide Hodge-formodningen til en anden indstilling, hvor det ville virke naturligt. Så det var lidt af et chok.

Efter årtiers arbejde som matematiker, føler du, at du laver matematik endnu dybere nu?

Nu hvor jeg er blevet ældre, har jeg meget mere tid til at bruge min energi på matematik, til virkelig at være til stede i det. Jeg har også en bedre evne til at gå her og der. Tidligere, måske fordi jeg havde mindre tid, havde jeg mindre mobilitet - selvom det heller ikke er godt at være for mobil, bare røre ved problemer uden at holde fast i dem. Nu er jeg mere erfaren, og jeg kan bygge mit eget billede.

Du har et meget bedre billede af, hvad du ikke ved, af åbne problemer. Du har et detaljeret overblik over dit felt og dets grænser. Der skal være nogle gode aspekter ved at blive ældre. Og der er stadig så meget at lave.