I begyndelsen af 1950'erne gik en gruppe forskere ved Institute for Advanced Study i gang med et højteknologisk projekt. Ved foranledning af John von Neumann og Herman Goldstine programmerede fysikeren Hedvig Selberg IAS's 1,700-vakuum-rør-computer til at beregne mærkelige matematiske summer, hvis oprindelse strakte sig tilbage til det 18. århundrede.
Beløbene var relateret til kvadratiske Gauss-summer, opkaldt efter den berømte matematiker Carl Friedrich Gauss. Gauss ville vælge et eller andet primtal p, opsummer derefter tal på formen $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Siden deres begyndelse har kvadratiske Gauss-summer vist sig at være uvurderlige til opgaver som at tælle løsninger til visse typer ligninger. "Det viser sig, at Gauss summer er magiske, at de bare gør vidunderlige ting, for Gud ved hvilken grund," sagde Jeffrey Hoffstein, matematiker ved Brown University.
I midten af 19-tallet legede den tyske matematiker Ernst Eduard Kummer med en nær slægtning til disse kvadratiske Gauss-summer, hvor n2 i eksponenten erstattes af en n3. Kummer bemærkede, at de havde en tendens til at indsamle nær bestemte værdier i en overraskende grad - en skarp observation, der ville føre til århundreders undersøgelser i talteori.
Hvis kubiske Gauss-summer ikke omarbejdes til en enklere formel, er deres værdier svære at udlede. I mangel af en sådan formel gik Kummer i gang med at beregne kubiske Gauss-summer - og beregne og beregne. "Det var meget almindeligt for dem at lave den slags heroiske beregninger i hånden dengang," sagde Matthew Young, matematiker ved Texas A&M University. Efter at have pløjet igennem 45 summer, svarende til de første 45 ikke-trivielle primtal, gav Kummer endelig op.
Da han undersøgte sine resultater, bemærkede Kummer noget interessant. I teorien kunne summerne være alt mellem -1 og 1 (efter at være "normaliseret" - divideret med en passende konstant). Men da han lavede beregningerne, opdagede han, at de var fordelt på en mærkelig måde. Halvdelen af resultaterne var mellem ½ og 1, og kun en sjettedel af dem var mellem −1 og −½. De så ud til at klynge sig omkring 1.
Kummer fremlagde sine observationer sammen med en formodning: Hvis det på en eller anden måde lykkedes dig at plotte alle de uendeligt mange kubiske Gauss-summer, ville du se de fleste af dem mellem ½ og 1; færre mellem −½ og ½; og stadig færre mellem −1 og −½.
Selberg, von Neumann og Goldstine satte sig for at teste dette på deres tidlige computer. Selberg programmerede det til at beregne de kubiske Gauss-summer for alle de ikke-trivielle primtal mindre end 10,000 - omkring 600 summer i alt. (Goldstine og von Neumann fortsatte med at skrive avisen; hendes bidrag ville ende med at blive henvist til en anerkendelseslinje til sidst.) De opdagede, at efterhånden som primtallene blev større, blev de normaliserede summer mindre tilbøjelige til at klynge sig tæt på 1. Med Et overbevisende bevis på, at Kummers formodning var forkert, begyndte matematikere at forsøge at forstå kubiske Gauss-summer på en dybere måde, der gik ud over blot beregning.
Den proces er nu afsluttet. I 1978, matematikeren Samuel Patterson vovede en løsning på Kummers matematiske mysterium, men kunne ikke bevise det. Så sidste efterår beviste to matematikere fra California Institute of Technology Pattersons formodning, og endelig lukkede Kummers grublerier fra 1846.
Patterson blev først hooked på problemet som kandidatstuderende ved University of Cambridge i 1970'erne. Hans formodning var motiveret af, hvad der sker, når tal placeres tilfældigt hvor som helst mellem −1 og 1. Hvis du lægger op N af disse tilfældige tal vil den typiske størrelse af summen være $latexsqrt{N}$ (den kan være positiv eller negativ). Ligeledes, hvis kubiske Gauss-summer var spredt jævnt fra -1 til 1, ville du forvente N af dem for at lægge op til ca. $latexsqrt{N}$.
Med dette i tankerne tilføjede Patterson N kubiske Gauss-summer, ignorerer (i øjeblikket) kravet om at holde sig til primtallene. Han fandt ud af, at summen var omkring N5/6 — større end $latexsqrt{N}$ (som kan skrives som N1/2), men mindre end N. Denne værdi antydede, at summerne opførte sig som tilfældige tal, men med en svag kraft, der pressede dem mod positive værdier, kaldet en bias. Som N blev større og større, ville tilfældigheden begynde at overvælde skævheden, og så hvis man på en eller anden måde kiggede på alle de uendeligt mange kubiske Gauss-summer på én gang, ville de virke jævnt fordelt.
Dette forklarede tilsyneladende alt: Kummers beregninger, der viser en bias, såvel som IAS-beregningerne, der modbeviser en.
Men Patterson var ikke i stand til at lave de samme beregninger for primtal, så i 1978 skrev han det officielt ned som en formodning: Hvis du lægger de kubiske Gauss-summer sammen for primtal, skulle du få det samme N5/6 adfærd.
Kort efter at have holdt en tale om sit arbejde med Kummer-problemet, blev Patterson kontaktet af en kandidatstuderende ved navn Roger Heath-Brown, som foreslog at inkorporere teknikker fra primtalsteori. De to slog sig sammen og snart offentliggjort et forskud på problemet, men de kunne stadig ikke vise, at Pattersons forudsagde det N5/6 bias var nøjagtig for primtal.
I løbet af de efterfølgende årtier var der kun få fremskridt. Endelig, ved årtusindskiftet lavede Heath-Brown endnu en gennembrud, hvor et værktøj, han havde udviklet kaldet den kubiske store si, spillede en væsentlig rolle.
For at bruge den kubiske store sigte brugte Heath-Brown en række beregninger til at relatere summen af kubiske Gauss-summer til en anden sum. Med dette værktøj var Heath-Brown i stand til at vise, at hvis man lægger de kubiske Gauss-summer sammen for primtal mindre end N, kan resultatet ikke blive meget større end N5/6. Men han mente, at han kunne gøre det bedre - at selve sigten kunne forbedres. Hvis det kunne, ville det sænke grænsen til N5/6 præcis, hvilket beviser Pattersons formodning. I en kort tekstlinje skitserede han, hvad han mente, den bedst mulige formel for sien ville være.
Selv med dette nye værktøj i hånden, var matematikere ikke i stand til at komme videre. Så to årtier senere, et heldigt møde mellem Caltech postdoc Alexander Dunn og hans vejleder Maksym Radziwiłł markerede begyndelsen på slutningen. Før Dunn begyndte sin stilling i september 2020, foreslog Radziwiłł, at de skulle arbejde på Pattersons formodninger sammen. Men med Covid-19-pandemien, der stadig raser, fortsatte forskning og undervisning eksternt. Endelig, i januar 2021, greb tilfældighederne - eller skæbnen - ind, da de to matematikere uventet stødte ind i hinanden på en parkeringsplads i Pasadena. "Vi snakkede hjerteligt, og vi blev enige om, at vi skulle begynde at mødes og tale matematik," skrev Dunn i en e-mail. I marts arbejdede de flittigt på et bevis på Pattersons formodning.
"Det var spændende at arbejde på, men ekstrem høj risiko," sagde Dunn. "Jeg mener, jeg kan huske, at jeg kom til mit kontor kl. 5 hver morgen lige i fire eller fem måneder."
Dunn og Radziwiłł fandt, ligesom Heath-Brown før dem, den kubiske store sigte uundværlig for deres bevis. Men da de brugte den formel, som Heath-Brown havde skrevet ned i sit papir fra 2000 - den, han mente var den bedst mulige si, en formodning om, at talteorisamfundet var kommet til at tro var sandt - indså de, at noget ikke var rigtigt . "Vi var i stand til at bevise, at 1 = 2 efter meget, meget kompliceret arbejde," sagde Radziwiłł.
På det tidspunkt var Radziwiłł sikker på, at fejlen var deres. "Jeg var lidt overbevist om, at vi dybest set har en fejl i vores bevis." Dunn overbeviste ham om andet. Den kubiske store sigte kunne mod forventning ikke forbedres.
Bevæbnet med rigtigheden af den kubiske store si, omkalibrerede Dunn og Radziwiłł deres tilgang til Pattersons formodning. Denne gang lykkedes det.
"Jeg tror, det var hovedårsagen til, at ingen gjorde dette, fordi denne [Heath-Brown] formodning vildlede alle," sagde Radziwiłł. "Jeg tror, at hvis jeg fortalte Heath-Brown, at hans formodning er forkert, så ville han sandsynligvis finde ud af, hvordan han skulle gøre det."
Dunn og Radziwiłł udsendte deres papir den 15. september 2021. I sidste ende var deres bevis baseret på den generaliserede Riemann-hypotese, en berømt ubevist formodning i matematik. Men andre matematikere ser dette kun som en mindre ulempe. »Vi vil gerne af med hypotesen. Men vi er glade for at have et resultat, der alligevel er betinget,” sagde Heath-Brown, som nu er professor emeritus ved University of Oxford.
For Heath-Brown er Dunn og Radziwiłłs arbejde mere end blot et bevis på Pattersons formodning. Med sit uventede indblik i den kubiske store si, bragte deres papir en overraskende afslutning på en historie, han har været en del af i årtier. "Jeg er glad for, at jeg faktisk ikke skrev i mit papir: 'Jeg er sikker på, at man kan slippe af med det her'," sagde han med henvisning til den bit af sigten, som Dunn og Radziwiłł opdagede var afgørende. "Jeg sagde bare," Det ville være rart, hvis man kan slippe af med det her. Det lader til, at du burde være i stand til det.' Og jeg tog fejl - ikke for første gang."
