Et tårn af formodninger, der hviler på en nål | Quanta Magasinet

I matematik er et simpelt problem ofte ikke, hvad det ser ud til. Tidligere på sommeren Quanta rapporteret om et sådant problem: Hvad er det mindste område, du kan feje ud, mens du roterer en uendelig tynd nål i alle mulige retninger? Drej den rundt om midten som en skive, og du får en cirkel. Men roter det mere smart, og du kan dække en vilkårligt lille brøkdel af rummet. Hvis du ikke kræver, at nålen bevæger sig i én kontinuerlig bevægelse, og i stedet blot lægger en nål ned i alle retninger, kan du konstruere et arrangement af nåle, der slet ikke dækker noget område.

Matematikere kalder disse arrangementer for Kakeya-sæt. Selvom de ved, at sådanne sæt kan være små med hensyn til areal (eller volumen, hvis du arrangerer dine nåle i tre eller flere dimensioner), mener de, at sættene altid skal være store, hvis deres størrelse måles med en metrik kaldet Hausdorff dimension.

Matematikere har endnu ikke bevist denne erklæring, kendt som Kakeya-formodningen. Men selvom det tilsyneladende er et simpelt spørgsmål om nåle, "understøtter geometrien af ​​disse Kakeya-sæt et væld af spørgsmål i partielle differentialligninger, harmonisk analyse og andre områder," sagde jonathan hickman fra University of Edinburgh.

Kakeya-formodningen ligger i bunden af ​​et hierarki af tre centrale problemer i harmonisk analyse - en gren af ​​matematikken, der studerer, hvordan funktioner kan repræsenteres som summer af periodiske funktioner som regelmæssigt oscillerende sinusbølger.

Det næste trin op i det hierarki er "begrænsning"-formodningen. Hvis det er sandt, så er Kakeya-formodningen det også. (Dette betyder også, at hvis Kakeya-formodningen viser sig at være falsk, kan restriktionsformodningen ikke være sand.) Restriktionsformodningen er til gengæld underforstået af den såkaldte Bochner-Riesz-formodning. Og helt i top sidder den lokale udjævnende formodning.

De første to formodninger omhandler adfærden af ​​Fourier-transformationen, en teknik i harmonisk analyse til i virkeligheden at beregne, hvordan man udtrykker næsten enhver funktion som summen af ​​sinusbølger. Det er et af de mest kraftfulde matematiske værktøjer til rådighed for fysikere og ingeniører. Fourier-transformationen har spillet en grundlæggende rolle i løsning af differentialligninger, udtryk for kvantemekaniske ideer som Heisenberg-usikkerhedsprincippet og analyse og behandling af signaler - hvilket gør ting som moderne mobiltelefoner mulige.

Da hvert udsagn i hierarkiet indebærer det under det, hvis Kakeya-formodningen er falsk, er ingen af ​​de andre formodninger sande. Hele tårnet vil styrte sammen. "Du kan skabe et supermonster modeksempel, der ville bryde en masse formodninger," sagde Hickman.

På den anden side vil det at bevise, at Kakeya-formodningen er sand, ikke automatisk indebære sandheden af ​​disse andre formodninger - men det ville give matematikere vigtig indsigt i, hvordan de skal fortsætte.

Og så, "næsten halvdelen af ​​samfundet af harmonisk analyse, som jeg kender til, arbejder på dette og relaterede problemer, eller har arbejdet på dem på et tidspunkt," sagde Shaoming Guo fra University of Wisconsin, Madison.

For nylig har matematikere til deres overraskelse opdaget, at de teknikker, de har udviklet til at tackle disse problemer, også kan bruges til at bevise store resultater inden for det tilsyneladende ikke-relaterede felt inden for talteori. "Det er et meget mere generelt fænomen, end folk troede," sagde Guo.

Layer Cake

Historien starter med Fourier-transformationen. "Du ønsker at dekomponere [funktioner] i små stykker, analysere deres interaktioner og tilføje dem sammen igen," sagde Yumeng Ou fra University of Pennsylvania. For endimensionelle funktioner - kurver, som du kan plotte på et stykke papir - har matematikere en god forståelse af, hvordan man gør dette, selv når de skal vende Fourier-transformationen ved kun at bruge nogle af stykkerne.

Men i to eller flere dimensioner kan tingene blive rodet.

I 1971, blev Charlie Fefferman, en matematiker ved Princeton University, fandt ud af, hvordan man bruger Kakeya-sæt til at demonstrere, at vending af Fourier-transformationen kan føre til mærkelige og overraskende resultater i flere dimensioner.

Matematikere fandt en løsning i form af Bochner-Riesz-formodningen, som i det væsentlige siger, at der er mere sofistikerede måder at genoprette den oprindelige funktion på, som ikke går i stykker som Feffermans eksempel. Men den løsning afhang af sandheden i Kakeya-formodningen.

Hvis det er sandt, vil "trunkerende frekvenser kun føre til små fejl," sagde Betsy Stovall fra University of Wisconsin, Madison. "Det betyder, at de små fejl ikke blæser op."

Så begyndte hierarkiet. Senere opdagede matematikere en anden vigtig forbindelse: Hvis det er sandt, indebar Bochner-Riesz-formodningen også et udsagn kaldet restriktionsformodningen. Denne formodning siger, at hvis du starter med en begrænset version af Fourier-transformationen - "begrænser" de værdier, du ser på, til kun dem, der lever på bestemte overflader - kan dette stadig give dig vigtig information om den oprindelige funktion. Og det viste sig, at hvis begrænsningsformodningen var sand, så var Kakeya-formodningen det også. (Dette placerede begrænsningsformodningen mellem Kakeya og Bochner-Riesz i tårnet.)

Kronen på værket i hierarkiet, kaldet den lokale udjævningsformodning, beskæftiger sig ikke direkte med Fourier-transformationen, men sætter snarere grænser for størrelsen af ​​løsninger til ligninger, der beskriver bølgernes adfærd.

Du kan også tænke på dette i form af geometrien af ​​linjer i et Kakeya-sæt. Du kan dele en generel løsning af bølgeligningen op i en masse stykker, der bevæger sig i forskellige retninger og interagerer med hinanden på forskellige måder over tid. Hver af disse stykker ligner matematisk en nål i et Kakeya-sæt. Kakeya-formodningen hævder, at en sådan konfiguration ikke kan have for meget overlap. I denne fysiske kontekst ville overlapninger svare til vedvarende uregelmæssig og uventet adfærd i løsningen. For eksempel kan en lydbølge forstærkes i mange områder på mange forskellige tidspunkter.

Den lokale udjævningsformodning siger, at sådanne uregelmæssigheder bør udligne. "Det er som at tage gennemsnittet af det finansielle marked," sagde Ciprian Demeter fra Indiana University Bloomington. "Der kan være nedbrud her og der, men hvis du investerer dine penge og går på pension om 40 år, er der en god chance for, at du får nogle gode investeringer."

Men som med alle formodningerne i hierarkiet, afhænger det af sandheden i Kakeya-formodningen. "Ideen er, at hvis du udelukker en masse kryds i Kakeya-sæt, betyder det, at du kan udelukke disse situationer, hvor dele af din løsning konspirerer sammen for at skabe en form for blowup," sagde Stovall.

Denne formodning er den sværeste af flokken: Mens de todimensionelle tilfælde af Kakeya-, restriktions- og Bochner-Riesz-problemerne blev løst for årtier siden, blev den todimensionelle lokale udjævningsformodning først bevist for et par år siden. (I højere dimensioner forbliver alle disse problemer åbne.)

Men på trods af de langsomme fremskridt med at bevise den lokale udjævningsformodning, har arbejdet med den ført til enorme fremskridt andre steder. I 1999, mens han forsøgte at tackle formodningen, introducerede matematikeren Thomas Wolff en metode kendt som afkobling. Siden da har den teknik fået sit eget liv: Den er blevet brugt til at skabe store gennembrud ikke kun inden for harmonisk analyse, men inden for talteori, geometri og andre områder. "Ved at bruge afkoblingsresultater har du nu verdensrekorder i meget berømte, vigtige problemer," sagde Christopher Sogge fra Johns Hopkins University, som først formulerede den lokale udjævningsformodning i 1990'erne. For eksempel er afkobling blevet brugt til at hjælpe med at tælle, hvor mange måder et heltal kan repræsenteres som summen af ​​kvadrater, terninger eller en anden potens.

Som Demeter udtrykte det, er disse resultater mulige, fordi "vi kan se på tal som bølger." At alle disse problemer knytter sig tilbage til Kakeya nålesæt "er fascinerende," tilføjede han. "Du tror ikke, at så meget skønhed, sværhedsgrad og betydning kan skjules i noget, der kan formuleres ved hjælp af linjestykker."