Hvordan kan nogen tale med sikkerhed om uendelighed? Hvad kan vi egentlig vide om de mystiske primtal uden at kende dem alle? Ligesom videnskabsmænd har brug for data for at vurdere deres hypoteser, har matematikere brug for beviser for at bevise eller modbevise formodninger. Men hvad tæller som bevis i talteoriens immaterielle område? I denne episode taler Steven Strogatz med Melanie Matchett Wood, professor i matematik ved Harvard University, for at lære, hvordan sandsynlighed og tilfældighed kan hjælpe med at etablere beviser for de lufttætte argumenter, der kræves af matematikere.
Lyt til Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, TuneIn eller din foretrukne podcasting-app, eller du kan stream det fra Quanta.
Transcript
Steven Strogatz (00:02): Jeg er Steve Strogatz, og det er det Glæden ved hvorfor, en podcast fra Quanta Magazine som tager dig ind i nogle af de største ubesvarede spørgsmål inden for matematik og naturvidenskab i dag. I denne episode skal vi tale om beviser i matematik. Hvilken slags beviser bruger matematikere? Hvad får dem til at mistænke, at noget kan være sandt, før de har et vandtæt bevis?
(00:26) Det lyder måske som et paradoks, men det viser sig, at ræsonnement baseret på sandsynlighedsteori, studiet af tilfældigheder og tilfældigheder, nogle gange kan føre til, hvad matematikere virkelig er ude efter, hvilket er sikkerhed, ikke kun sandsynlighed. For eksempel, i den gren af matematik, kendt som talteori, er der en lang historie med at bruge tilfældighed til at hjælpe matematikere med at gætte, hvad der er sandt. Nu bliver sandsynlighed brugt til at hjælpe dem med at bevise, hvad der er sandt.
(00:53) Vi vil her fokusere på primtal. Du husker sikkert primtal, ikke? Du lærte om dem i skolen. Et primtal er et helt tal større end 1, der kun kan divideres med 1 og sig selv. For eksempel 7 eller 11. Det er primtal, men 15 er ikke fordi 15 kan divideres ligeligt med 3 eller 5. Du kunne tænke på primtal som en slags grundstoffer i kemiens periodiske system, i betydningen at de er de udelelige atomer, der udgør alle de andre tal.
(01:27) Primtal ser ud til at være enkle, men nogle af de største mysterier i matematik er spørgsmål om primtal. I nogle tilfælde spørgsmål, der har eksisteret i hundreder af år. Der er virkelig noget meget subtilt ved primtal. De lever tilsyneladende i et grænseland mellem orden og tilfældighed. Min gæst i dag vil hjælpe os med at forstå mere om karakteren af beviser i matematik, og især hvordan og hvorfor tilfældighed kan fortælle os så meget om primtal, og hvorfor modeller baseret på sandsynlighed kan være så nyttige på forkant med talteori. Sammen med mig nu for at diskutere alt dette er Melanie Matchett Wood, professor i matematik ved Harvard University. Velkommen, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hej, det er godt at tale med dig.
Strogatz (02:11): Det er meget godt at tale med dig, jeg er en stor fan. Lad os tale om matematik og naturvidenskab i forhold til hinanden, fordi ordene ofte bliver brugt sammen, og alligevel er de teknikker, vi bruger til at komme til bevis og sikkerhed i matematik, noget anderledes, end hvad vi forsøger at gøre i naturvidenskab. For eksempel, når vi taler om at indsamle beviser i matematik, hvordan er det så det samme, eller hvordan er det anderledes end at indsamle beviser ved hjælp af den videnskabelige metode i naturvidenskab?
Træ (02:38): Et matematisk bevis er et absolut lufttæt, fuldstændig logisk argument for, at en matematisk påstand skal være sådan og ikke kunne være på anden måde. Så i modsætning til en videnskabelig teori - som måske er den bedste, vi har baseret på de beviser, vi har i dag, men vi vil få mere bevis, du ved, i de næste 10 år, og måske vil der være en ny teori - et matematisk bevis siger, at et eller andet udsagn skal være sådan, kan vi umuligt opdage, at det vil være forkert om 10 år eller 20 år.
Strogatz (03:17): Nå, hvilke slags ting tæller som bevis i matematik?
Træ (03:19): Så du kan måske se, at noget er sandt i mange eksempler. Og baseret på at det er sandt i en masse eksempler, som man måske kunne sige ville være bevis for det faktum, du kan komme med en formodning, hvad matematikere ville kalde en formodning, et gæt på, at noget er sandt. Men så, hvad matematikere ville ønske, ville være et bevis på, at den ting, du så udmøntet i så mange eksempler, altid ville fungere, som du hævdede.
Strogatz (03:49): Ja, meget anderledes end blot vægten af beviserne. Dette er en erklæring om, at der er en grund til, at noget vil være sandt for evigt, for altid, i alle tilfælde.
Træ (03:58): Og ikke bare "jamen, jeg har set på en million tilfælde, og det er sandt i hver eneste af dem." Hvilket er en grund til at gætte eller formode, at det altid er sandt. Men i matematik skelner vi mellem et sådant gæt, der kunne være baseret på mange sager eller beviser, og at have en sætning eller et bevis, et argument, der fortæller dig, at det vil fungere i alle tilfælde, også dem, du har ikke prøvet.
Strogatz (04:25): Er det bare, at matematikere er kræsne af natur, eller er der tilfælde, hvor noget, der så ud som om det var sandt, op til et meget stort antal muligheder, endte med ikke at være sandt ud over et andet stort tal ?
Træ (04:39): Åh, det er, det er et godt spørgsmål. Nå, her er et eksempel, jeg kan lide, fordi jeg kan lide primtallene. Så mens du går gennem primtallene - 2, 3, 5, 7 - en af de ting, du kan gøre, kan du måske se og sige, "hey, er de delelige med 2?" Og det viser sig ikke at være særlig interessant. Efter 2 er ingen af dem delelige med 2. De er alle, de er alle ulige.
(05:10) Og så tænker du måske, "nå, er de delelige med 3?" Og selvfølgelig, efter 3, kan de heller ikke være delelige med 3, da de er primtal. Du kan dog bemærke, at nogle af dem, når du dividerer dem med 3, får en rest på 1, at de er 1 mere end et multiplum af 3. Så ting som 7, hvilket er 1 mere end 6, eller 13 , hvilket er 1 mere end 12. Og nogle af disse primtal, som 11 eller 17, hvilket er 2 mere end 15, vil de have en rest på 2, når du dividerer dem med 3, fordi de er 2 mere end en multiplum af 3.
(05:47) Så man kunne tænke på disse primtal i hold. Hold 1 er alle dem, der er 1 mere end et multiplum af 3, og hold 2 er alle dem, der er 2 mere end et multiplum af 3. Og når du går gennem primtallene, og du oplister primtallene, kan du liste alle de primtal primtal, og du kunne tælle op og se, hvor mange der er på hold 1, og hvor mange der er på hold 2. Og hvis du gjorde det op til 600 milliarder, på hvert punkt, hvert tal op til 600 milliarder, ville du opdage, at der er flere hold 2-primtal end hold 1-primtal. Så du kan naturligvis formode, baseret på disse beviser, at der altid vil være flere hold 2-primtal end hold 1-primtal.
Strogatz (06:33): Selvfølgelig. Det lyder fuldstændig som det.
Træ: Det viser sig, at ved et tal omkring 608 milliarder-noget glemmer jeg det nøjagtige tal, det ændrer sig.
Strogatz (06:46): Åh, kom så.
Træ: Ja, det ændrer sig virkelig. Og nu er det pludselig hold 1, der er i spidsen. Så det er en -
Strogatz (06:53): Vent et øjeblik. Vent, men det er fantastisk. Hvad - nu, bliver de ved med at ændre sig? Ved vi, hvad der sker, mens du fortsætter? Bliver de ved med at ændre sig?
Træ (07:01): Ja, godt spørgsmål. Så det er faktisk en teorem, at de vil skifte leads uendeligt ofte.
Strogatz (07:07): Virkelig?
Træ: Så de vil fortsætte med at handle med leads. Men det er et rigtig godt eksempel at have i baghovedet, når du studerer primtal, at bare fordi noget var sandt for de første 600 milliarder tilfælde, betyder det ikke, at det altid vil være sandt.
Strogatz (07:25): Åh, wow. Pæn. Okay. Så, ligesom generelt, hvordan kommer man fra en formodning til et bevis?
Træ (07:31): Det afhænger meget af sagen. Jeg mener, der er mange tilfælde af matematik, hvor vi har formodninger, og vi har ingen beviser. Så der er ikke en simpel opskrift til at komme fra en formodning til et bevis, ellers ville vi ikke have så mange berømte åbne problemer, hvor du ved, der er nogle - nogle formodninger om, at folk tror, at noget fungerer på en bestemt måde, men det gør vi' ved det ikke med sikkerhed. Men du ved, nogle gange kan formodningen antyde årsager til, at noget er sandt. Nogle gange er det bare matematisk teori, der er bygget på mere og mere matematisk teori, som folk har udviklet i hundreder af år, giver os nok værktøjer og struktur til at arbejde med til at forstå ting, som vi kommer med et bevis. Men det er ikke sådan, at formodningen nødvendigvis fører til beviset. Formodningen kan måske inspirere folk til at forsøge at finde beviset, men måden beviset opstår på, kan være helt adskilt fra selve formodningen.
Strogatz (08:31): Ja, jeg er interesseret i at opregne eller opremse den slags beviser, der mangler et bevis, som får folk til at have tillid til, at det er værd at prøve at gå efter et bevis.
Træ (08:41): Ja, en anden ting, vi kan kalde som bevis, der ikke kun er eksempler, ville være en heuristik. En heuristik kan være noget som et argument, undtagen ved en meget lavere standard for strenghed. Det er ligesom, virker det okay? Ikke "har jeg helt sikkert fastslået denne kendsgerning ud over enhver skygge af tvivl?" men "gør det - ja, det virker ret plausibelt." Så en heuristik kan være en tankegang, der virker ret plausibel, du ved, men som faktisk ikke er et strengt argument. Så det er en slags beviser.
(09:12) Nogle gange kan man have en model, som vi tror fanger de væsentlige elementer i det matematiske system, vi forsøger at forstå, og så ville du formode, at dit system har den samme adfærd som din model.
Strogatz (09:30): Okay. På et tidspunkt vil jeg gerne høre nogle eksempler på modeller og formodninger, og du ved, i hvilken udstrækning de virker eller ikke virker på nogle spørgsmål eller ikke andre, men hvis du ikke har noget imod det, ville jeg kan lide at gå tilbage til et par små personlige ting, på en måde, fordi vi taler her om tal, og du er en talteoretiker. Folk kender måske ikke mange talteoretikere i deres hverdag. Så mon ikke du kunne fortælle os det hvad er talteori, og også, hvorfor finder du det interessant? Hvorfor kom du for at studere det?
Træ (10:02) Tja, talteori er den matematiske undersøgelse af de hele tal. Så tænk 1, 2, 3, 4, 5. Og især en af de vigtige ting i de hele tal er primtallene. Som du forklarede, lige i begyndelsen, er de byggestenene, hvorfra vi gennem multiplikation kan bygge alle de andre tal op. Så fordi talteorien er optaget af alle disse hele tal, handler den også om deres byggesten, primtallene og hvordan andre tal indgår i primtal og hvordan de er bygget ud - op af primtal.
Strogatz (10:37): Så talteori, til vores formål i dag, gætter jeg på, vil være studiet af de hele tal, med en særlig interesse i primtal. Det virker som en ret god start. Jeg formoder, det er mere end det. Men det er måske en god definition for os nu. Synes du det?
Træ (10:50): Det er en god, det er en god start. Jeg mener, derfra udforsker man yderligere ting som, ja, hvad nu, hvis du begynder at overveje talsystemer, der er mere komplicerede end blot de hele tal? Ligesom du begynder at indsætte andre tal, som kvadratroden af 2, hvad sker der så med primtal og faktorisering? Du bliver ledt til yderligere spørgsmål. Men helt ærligt, der er en masse rig og smuk matematik bare i hele tallene og primtallene.
Strogatz (11:16): Så med det i tankerne, hvorfor finder du det overbevisende? Hvorfor kan du lide studiet af talteori? Hvad trak dig til det?
Træ (11:22): Jeg tror, jeg godt kan lide, at spørgsmålene kan være så konkrete. Du ved, jeg går og snakker med folkeskolebørn. Og jeg kan fortælle dem om nogle af de ting, som jeg tænker på. Så det er sjovt for mig at arbejde med noget, som på den ene side kan være så konkrete spørgsmål, men på den anden side kan puslespillet med at prøve at løse det være så svært. Jeg mener, folk har forsøgt at besvare spørgsmål om hele tal, om primtal i bogstaveligt talt tusinder af år.
(11:54) Og der er mange grene af matematikken. En af de vigtige dele af moderne talteori er, at for at gøre fremskridt med disse stædige gamle spørgsmål, som folk har arbejdet med i så lang tid, er man nødt til at bringe nye ideer ind og være nødt til at skabe forbindelser med andre dele af matematikken. Så selvom jeg vil kalde mig selv talteoretiker, bruger jeg matematik fra alle mulige slags felter. Fra at studere, du ved, geometri og topologi og rums former til sandsynlighed og studier af tilfældighed. Jeg bruger al slags matematik, men for at forsøge at sige noget om ting som de hele tal og primtal og faktorisering.
Strogatz (12:36): Ja, jeg elsker den vision om matematik som dette gigantiske indbyrdes forbundne web af ideer, og du kan ønske at leve i en bestemt del af den, som er din favorit. Men du har nævnt primtal som værende et særligt interesseområde inden for talteori, egentlig den mest fundamentale del af det. Hvad er svært ved dem? Det er endnu ikke klart, i vores diskussion, hvad der er så mystisk der? Som vi har defineret dem, kunne vi nok blive ved med at liste dem, formoder jeg. Hvad er nogle af de problemer, du henviser til, som er hundreder af år gamle?
Træ (13:05): Nå, et af de største og vigtigste spørgsmål, som måske er omkring 120 år eller deromkring, er, sagde du, "åh, du kunne nævne dem. Hvis du gjorde det, hvor mange ville du så finde?” Så lad os sige, at du listede primtallene op til hundrede eller tusinde, eller hundrede tusinde eller en million, en milliard. Når du lister primtal op til større og større tal, hvor mange af de tal, du går igennem, vil så være primtal? Så at forstå den mængde er virkelig hjertet af Riemann-hypotesen, som er en af Clay Math Institute Millennium Prisproblemer, der er en million-dollar præmie for et svar. Det er et af de mest berømte spørgsmål, og vi har ingen idé om, hvordan man gør det, og det handler i virkeligheden kun om spørgsmålet om, hvor mange vil du finde, når du lister disse primtal?
Strogatz (13:58): Okay. Det er sjovt, ikke? Fordi når du begynder at lave listen, selv hvis nogen bare tilfældigt begyndte at liste de tal, der er prime op til 100 - du bemærker nogle sjove ting. Som først 11 og 13 er de 2 fra hinanden. Femten, tja, det virker ikke, for det er deleligt med 5 og 3. Derefter 17, så der er et hul på 4 nu, mellem 13 og 17. Men så er 19 tæt igen. Jeg ved det ikke, jeg mener, så afstanden mellem primtallene kan være lidt skæv. Som nogle gange er der et ret stort hul derinde, og nogle gange er de lige ved siden af hinanden, kun 2 fra hinanden.
Træ (14:31): Ja, så forståelse for, at mellemrum og de huller også har været et stort spørgsmål om interesse. Der er sket bemærkelsesværdige fremskridt i det sidste årti med at forstå afstanden mellem primtallene. Men der er stadig et virkelig fristende, grundlæggende spørgsmål, som vi ikke kender svaret på. Så du nævnte, at disse primtal, 11 og 13, kun er 2 fra hinanden. Så sådanne primtal kaldes tvillingeprimtal. Vi kunne ikke forvente, at primtal ville komme tættere på end 2 fra hinanden, da de efter 2 skal være ulige. Her er et åbent spørgsmål i matematik, hvilket betyder, at vi ikke kender svaret, og det er: Er der uendeligt mange par af tvillingeprimtal? Og så her er der en formodning, formodningen ville være, ja. Jeg mener, der er ikke kun en formodning om, at "ja, de skal fortsætte for evigt, og der skal altid være flere af dem," men der er endda en formodning om, hvor mange du vil finde, mens du går. Men det er helt åbent. Så vidt vi ved, kan det være, at når du først kommer til et rigtig stort tal, så stopper de bare, og du finder slet ikke flere par af tvillingeprimtal.
Strogatz (15:40): Der er noget meget poetisk over det, gribende, den tanke, som at det kunne være enden på linjen på et tidspunkt. Jeg mener, ingen af os tror nok på det. Men det er muligt, tror jeg, det er tænkeligt, at der er et sidste ensomme tvillingepar, der putter sig i mørket, langt derude, du ved, på tallinjen.
Træ (15:57): Ja, det kunne der være. Og du ved, som matematikere ville vi sige, du ved, vi ved det ikke. Selvom du kunne lave en graf, mens du går langs, af hvor mange du fandt, hvis du plotter den graf, ser det ud til, at den helt sikkert går op og op i en hastighed, der aldrig ville vende - aldrig. Men jeg gætter på, at det er en del af forskellen mellem matematik og naturvidenskab er, at vi bevarer den skepsis og siger, ja, vi ved det ikke. Jeg mener, måske på et tidspunkt vender grafen bare rundt, og der er ikke flere.
Strogatz (16:29): Så det - jeg kan godt lide dit billede der af en graf, fordi jeg tror, at alle kan relatere til denne idé, at lave et diagram, lave en form for graf. Du ved, at tænke på primtallene som en slags data. Og så tror jeg, at det måske er et godt tidspunkt for os at vende os om og begynde at tale om sandsynlighedsteori. Og det virker lidt underligt at tale om sandsynlighed og statistik i forbindelse med primtallene, for der er ingen chance involveret her. Primtallene bestemmes af den definition, vi gav, at de ikke er delelige. Men alligevel har matematikere og talteoretikere, ligesom dig, brugt statistiske eller sandsynlighedsargumenter til at tænke på primtallene. Jeg spekulerer på, om du kunne skitsere sådan noget for mig ved hjælp af møntvending, og tilbage til - hvad vi talte om i begyndelsen, ulige tal og lige tal.
Træ (17:14): Okay. Så i modsætning til primtal forstår vi faktisk meget godt mønstret af ulige og lige tal. De går ulige, lige, ulige, lige, selvfølgelig. Men antag, at vi ikke forstod det mønster. Og vi bruger dette til at forstå, hvor mange ulige tal du kan finde, hvis du kiggede på alle tallene op til en million. Du kunne forestille dig, da der er to muligheder, et tal kunne være ulige eller et tal kunne være lige, at der måske var nogen, der gik med og vendte en mønt for hvert tal, og hvis mønten kom op i hovedet, var tallet ulige. Og hvis mønten kom op i haler, var tallet lige. Og så du kunne få din mønt-vendende person til at gå langs tallinjen, vende en mønt ved hvert tal, og det kommer op, for eksempel, enten at erklære det tal ulige eller lige.
(18:03) Nu er det på den ene side noget sludder. På den anden side vil den mønt-flipping-model få nogle ting rigtigt. For eksempel, hvis du siger, du ved, nogenlunde, hvor mange af tallene op til en million er lige? Vi ved, at det omtrentlige antal af møntvendinger, der f.eks. vil komme op, hvis du laver et stort antal møntvendinger, f.eks. en million, er omkring halvdelen af dem. Og så kan den model, hvor fjollet den end er, stadig lave nogle forudsigelser korrekt. Og jeg må sige, det lyder måske dumt, for vi kender allerede svaret på det spørgsmål. Tanken er, at vi bygger modeller for mere komplicerede mønstre, som hvor primtallene optræder blandt tallene, i stedet for kun hvor oddsene optræder.
Strogatz (18:55): Ja. Jeg mener, jeg tror, vi skal understrege det - hvor dybt mystiske primtallene er. Der er ingen formel for primtallene, sådan som der er en formel for ulige tal. Ligesom hvis du tænker, åh, kom nu, det er - vi taler virkelig om absurde ting her, det er faktisk meget værdifuldt at have disse statistiske modeller, der kan forudsige egenskaber, der er gennemsnitlige egenskaber. Ligesom analogen til, vil halvdelen af tallene mindre end et stort tal være ulige. Dette er noget, der i tilfælde af primtal er et meget seriøst, interessant spørgsmål. Hvilken brøkdel af tal mindre end et stort tal er primtal? Og, som du siger, kan du lave en statistisk model, der får det rigtige. Og hvad så, den samme model kan bruges til at forudsige, hvor mange tvillingeprimtal der ville være mindre end et stort tal? Gør den samme model et godt stykke arbejde i så fald?
Træ (19:41): Så i tilfælde af primtal, hvis vi byggede en model - du ved, og der er en model, matematikere bruger kaldet Cramér-modellen af primtallene - hvis vi byggede en mønt-vendende model af primtal, hvor vi forestiller os en, der går langs tallinjen, og ved hvert tal, du ved, vende en mønt, for eksempel, for at afgøre, om det tal var primtal eller ikke primtal, ville vi indarbejde så meget, som vi ved om primtallene, i den model. Så først og fremmest ved vi, at store tal er mindre tilbøjelige til at være primtal end mindre tal. Så disse mønter skulle vægtes. Og vi ville - vi skulle forsøge at indsætte præcis de vægtninger, vi forventer. Og vi ved ting som, at du ikke kan have to primtal ved siden af hinanden, fordi en af dem skulle være ulige og en af dem skulle være lige. Så det sætter vi ind i modellen. Og så er der flere ting, vi ved om primtallene.
(20:37) Så modellen er noget, der starter med denne mønt-flipping model, men så er den modificeret af alle disse andre regler, og alle de andre ting, vi ved om primtallene. Og når du først har lagt alle de ting, vi kender ind i modellen, spørger du så denne mønt-flipping, du ved, model, ja, ser du, uendeligt ofte, mønter kommer op med kun 2 mellemrum? Og modellen fortæller dig, åh, ja, det ser vi. Faktisk ser vi det i denne helt særlige hastighed, vi kan give dig en formel for. Og så, hvis du grafer antallet af faktiske tvillingeprimtal, i de faktiske tal, hvor der ikke er vendt nogen mønter, mod hvad modellen forudsiger, ser du, at modellen giver dig en meget nøjagtig forudsigelse for antallet af par af tvillingeprimtal. du finder efterhånden. Og så tænker du, du ved, måske ved denne model, hvad den taler om.
Strogatz (21:31): Det er fantastisk. Jeg mener, det er lidt vigtigt, hvad vi lige er nået til der, at - du har ikke brugt ordet computere endnu. Men jeg går ud fra, at du ikke gør dette i hånden. De mennesker, der opregner tvillingeprimtal ud til, jeg ved det ikke, hvad taler vi om? Trillioner billioner billioner? Jeg mener, det er store tal, vi taler om, ikke?
Træ (21:49): Tja, for opremsningen af de to primtal, det vil sige - ville blive udført af computer, absolut. Men for at bygge denne model og komme med den formel, som modellen giver. Du ved, det er gjort i hånden, i det væsentlige, ved at matematikere tænker på modellen og finder ud af den.
Strogatz (22:07): Det er så fedt. Så det er her, modellen viser sine ting, at modellen faktisk kan forudsige, hvad computeren ser. Og det kræver ikke en computer at lave den forudsigelse. Det kan gøres i hånden, af mennesker og kan faktisk føre til beviser. Bortset fra, at det er beviser for modellens egenskaber, ikke nødvendigvis endnu beviser for den ting, du er interesseret i.
Træ (22:28): Ja. Og på et tidspunkt stopper computeren. Du ved, der er kun så meget computerkraft. Men den formel, som du ville få, som modellen ville give dig, som du kunne bevise, er sand, igen, om denne model med mønt-flipping, den formel vil fortsætte. Du kan sætte større og større tal ind i den formel, meget større end din computer nogensinde kunne beregne med.
Strogatz (22:53): Så du har fortalt os lidt om, hvordan tilfældighed kan være med til at give modeller af interessante fænomener i talteorien, og jeg er sikker på, at det også er sandt i andre dele af matematikken. Er der nogle tilfælde, hvor du kan bruge tilfældighed til at give faktiske beviser, ikke kun modeller?
Træ (23:10): Absolut. En anden gren af matematikken kaldes sandsynlighedsteori. Og i sandsynlighedsteori beviser de sætninger om tilfældige systemer, og hvordan de opfører sig. Og du tror måske, at hvis du starter med noget tilfældigt, og du gør noget med det, vil du altid have noget tilfældigt. Men en af de bemærkelsesværdigt smukke ting, man finder i sandsynlighedsteorien, er, at man nogle gange kan få noget deterministisk ud af noget tilfældigt.
Strogatz (23:45): Nå, hvordan virker det? Som hvad?
Træ (23:48): Ja. Så du har set klokkekurven eller normalfordelingen, ville matematikere kalde det. Det dukker op overalt i naturen. Som det ser ud, hvis du ser på folks blodtryk, eller babys fødselsvægte eller noget. Og du tænker måske, åh, denne klokkekurve, at dette er en, det er en kendsgerning af naturen. Men faktisk er der en sætning, kaldet den centrale grænsesætning i sandsynlighedsteorien, der fortæller dig, at denne klokkekurve i en eller anden forstand ikke er en kendsgerning, men en kendsgerning i matematikken. Den centrale grænsesætning fortæller dig, at hvis du kombinerer en hel masse små tilfældige effekter uafhængigt, vil outputtet af det altid matche en bestemt fordeling. Denne form, denne klokkekurve. Matematik og sandsynlighedsteorien kan bevise, at hvis du har - hvis du kombinerer en masse små uafhængige tilfældige ting, vil resultatet af al den kombination give dig en fordeling, der ligner denne klokkekurve. Og så - selvom du ikke ved, hvordan inputs var. Og det er en virkelig kraftfuld teorem og et virkelig kraftfuldt værktøj i matematik.
Strogatz (25:05): Ja, det er det bestemt. Og jeg kunne godt lide din vægt på, at du ikke behøver at vide, hvad der sker med de små effekter. At det der på en eller anden måde bliver vasket ud. Den information er ikke nødvendig. Klokkekurven er forudsigelig, selvom du ikke ved, hvad karakteren af de små effekter er. Så længe der er mange af dem, og de er små. Og de påvirker ikke hinanden, vel, de er uafhængige i en eller anden forstand.
Træ (25:27): Ja, absolut. Og så det er en idé, du ved, nogle gange kaldes det universalitet i sandsynlighedsteori, at der er visse slags maskiner, som hvis du sætter en masse tilfældige input ind, kan du forudsige outputtet. Som for eksempel at du ville få denne klokkekurve, eller denne normalfordeling, selvom du ikke ved hvad du putter i maskinen. Og det er utroligt stærkt, når der er ting, som vi ikke forstår særlig godt, fordi -
Strogatz (25:56): Men så, fortæller du mig - åh, jeg er ked af at afskære dig - men fortæller du mig, at det også sker i talteori nu? At vi på en eller anden måde får ideen om universalitet til at dukke op i talteorien? Eller drømmer jeg?
Træ (26:09): Nå, til en vis grad vil jeg sige, at det er min drøm, der begynder. Du ved, vi er bare, vi tager de første skridt til at se det blive realiseret. Så det er ikke kun din drøm, det er også min drøm. Noget af det arbejde, jeg laver i dag, og som mine samarbejdspartnere og jeg arbejder på, er at forsøge at gøre den slags drøm til virkelighed, så nogle af disse gådefulde spørgsmål om tal, som vi ikke kender svaret på, måske kunne forstå, at der er mønstre, der kommer ud, som en klokkekurve, som en normalfordeling, som vi kan bevise, at de kom ud af maskinen, selvom vi ikke ved, hvilke mysterier der blev lagt i.
Strogatz (26:55): Nå, det er faktisk en meget inspirerende, spændende vision, og jeg håber, at det hele går i opfyldelse. Mange tak, fordi du snakkede med os i dag, Melanie.
Træ (27:03): Tak. Det her var meget sjovt.
Announcer (27:06): Hvis du vil Glæden ved hvorfor, tjek den Quanta Magazine Science Podcast, vært af mig, Susan Valot, en af producenterne af dette show. Fortæl også dine venner om denne podcast, og giv os et like eller følg, hvor du lytter. Det hjælper folk med at finde Glæden ved hvorfor podcast.
Strogatz (27: 26): Glæden ved hvorfor er en podcast fra Quanta Magazine, en redaktionelt uafhængig udgivelse støttet af Simons Fonden. Finansieringsbeslutninger fra Simons Fonden har ingen indflydelse på valget af emner, gæster eller andre redaktionelle beslutninger i denne podcast eller i Quanta Magazine. Glæden ved hvorfor er produceret af Susan Valot og Polly Stryker. Vores redaktører er John Rennie og Thomas Lin, med støtte fra Matt Carlstrom, Annie Melchor og Leila Sloman. Vores temamusik er komponeret af Richie Johnson. Vores logo er af Jackie King, og illustrationerne til episoderne er af Michael Driver og Samuel Velasco. Jeg er din vært, Steve Strogatz. Hvis du har spørgsmål eller kommentarer til os, bedes du kontakte os på quanta@simonsfoundation.org. Tak for at lytte.
