Isaac Newton var ikke kendt for sin generøsitet i ånden, og hans foragt for sine rivaler var legendarisk. Men i et brev til sin konkurrent Gottfried Leibniz, nu kendt som Epistola posterior, Newton fremstår som nostalgisk og næsten venlig. Heri fortæller han en historie fra sin studietid, hvor han lige var begyndt at lære matematik. Han fortæller, hvordan han gjorde en stor opdagelse, der sidestillede områder under kurver med uendelige summer ved at gætte og tjekke. Hans ræsonnement i brevet er så charmerende og tilgængeligt, at det minder mig om de mønstergættende spil, små børn kan lide at lege.
Det hele begyndte, da unge Newton læste John Wallis' Arithmetica Infinitorum, et skelsættende værk af det 17. århundredes matematik. Wallis inkluderede en ny og induktiv metode til at bestemme værdien af pi, og Newton ønskede at udtænke noget lignende. Han startede med problemet med at finde arealet af et "cirkulært segment" med justerbar bredde $latex x$. Dette er området under enhedscirklen, defineret af $latex y=sqrt{1-x^2}$, der ligger over delen af den vandrette akse fra 0 til $latex x$. Her $latex x$ kunne være et hvilket som helst tal fra 0 til 1, og 1 er radius af cirklen. Arealet af en enhedscirkel er pi, som Newton godt vidste, så hvornår $latex x=1$, arealet under kurven er en fjerdedel af enhedscirklen, $latexfrac{π}{4}$. Men for andre værdier af $latex x$, intet var kendt.
Hvis Newton kunne finde en måde at bestemme arealet under kurven for hver mulig værdi af $latex x$, det kunne give ham et hidtil uset middel til at tilnærme pi. Det var oprindeligt hans store plan. Men undervejs fandt han noget endnu bedre: en metode til at erstatte komplicerede kurver med uendelige summer af enklere byggeklodser lavet af potenser af $latex x$.
Newtons første skridt var at ræsonnere ved analogi. I stedet for at sigte direkte efter arealet af det cirkulære segment, undersøgte han områderne af analoge segmenter afgrænset af følgende kurver:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton vidste, at arealerne under kurverne på listen med hele talpotenser (som $latexfrac{0}{2}=0$ og $latexfrac{2}{2} = 1$) ville være nemme at beregne, fordi de forenkler algebraisk. For eksempel,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Tilsvarende
Men en sådan forenkling er ikke tilgængelig for cirklens ligning — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— eller de andre kurver med de halve potenser. På det tidspunkt vidste ingen, hvordan man fandt området under nogen af dem.
Heldigvis var områderne under kurverne med hele talpotenser ligetil. Tag kurven $latex y_4=1-2x^2+x^4$. En velkendt regel på det tidspunkt for sådanne funktioner tillod Newton (og enhver anden) at finde arealet hurtigt: For enhver heltalspotens $latex nge 0$, arealet under kurven $latex y=x^n$ over intervallet fra $latex 0$ til $latex x$ er givet af $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis havde gættet denne regel med sin induktive metode, og Pierre de Fermat beviste det endegyldigt.) Bevæbnet med denne regel vidste Newton, at arealet under kurven $latex y_4$ var $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Den samme regel tillod ham at finde arealet under de andre kurver med hele talpotenser i listen ovenfor. Lad os skrive $latex A_n$ for arealet under kurven $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, hvor $latex n= 0, 1, 2, …$ . Anvendelse af reglen giver udbytte
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
og så videre. Newtons snedige idé var at udfylde hullerne i håb om at gætte $latexA_1$ (serien for det ukendte område af det cirkulære segment) baseret på, hvad han kunne se i den anden serie. En ting stod straks klart: Hver $latexA_n$ begyndte simpelthen med $latex x$ . Det foreslog at ændre formlerne således:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Derefter, for at erstatte det næste parti spørgsmålstegn, kiggede Newton på $latex x^3$ vilkårene. Med en lille licens kan vi se, at selv $latexA_0$ havde et af disse kubiske udtryk, da vi kan omskrive det som $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Som Newton forklarede Leibniz, observerede han, "at det andet udtryk $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ osv., var i aritmetisk progression” (han henviste til 0, 1, 2, 3 i tællere). I mistanke om, at denne aritmetiske progression også kunne strække sig ind i hullerne, gættede Newton på, at hele sekvensen af tællere, kendte og ukendte, burde være tal adskilt af $latexfrac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "og dermed de første to termer i serien" var han interesseret i - den stadig ukendte $latex A_1$ , $latex A_3$ og $latex A_5$ — "burde være $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ osv."
På dette stadium foreslog mønstrene således for Newton, at $latex A_1$ skulle begynde som
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Det var en god start, men han havde brug for mere. Mens han jagtede efter andre mønstre, lagde Newton mærke til, at nævnerne i ligningerne altid indeholdt ulige tal i stigende rækkefølge. Se for eksempel på $latex A_6$, som har 1, 3, 5 og 7 i sine nævnere. Det samme mønster fungerede for $latex A_4$ og $latex A_2$. Simpelt nok. Det mønster fortsatte tilsyneladende i alle nævnerne i alle ligningerne.
Tilbage var at finde et mønster i tællere. Newton undersøgte $latex A_2$, $latex A_4$ og $latex A_6$ igen og opdagede noget. I $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ så han en 1 gange $latex x$ og en anden 1 i udtrykket $latexfrac {1}{3}x^3$ (han ignorerede dens negativt fortegn for tiden). I $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ så han tællere på 1, 2, 1. Og i $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , han så tællere 1, 3, 3, 1. Disse tal burde være bekendt for enhver hvem har nogensinde studeret Pascals trekant, et trekantet arrangement af tal, der på sit enkleste grundlag er skabt ved at lægge tallene over den sammen, begyndende med 1 øverst.
I stedet for at påberåbe sig Pascal, omtalte Newton disse tællere som "kræfter af tallet 11." For eksempel 112 = 121, som er den anden række i trekanten, og 113 = 1331, hvilket er den tredje. I dag kaldes disse tal også for binomiale koefficienter. De opstår, når du udvider potenserne af et binomial som ($latex a +b$), som i $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Med dette mønster i hånden havde Newton nu en nem måde at skrive $latex A_2, A_4, A_6$ og alle de andre lige numre ud A'S.
Dernæst, for at ekstrapolere sine resultater til halve potenser og ulige numre (og endelig komme til den serie, han ønskede, $latex A_1$), var Newton nødt til at udvide Pascals trekant til et fantastisk nyt regime: halvvejs mellem rækkerne. For at udføre ekstrapolationen udledte han en generel formel for de binomiale koefficienter i en given række i Pascals trekant — række $latex m$ — og indsatte derefter dristig $latex m= frac{1}{2}$. Og utroligt nok virkede det. Det gav ham tællere i den serie, han søgte til en enhedscirkel, $latexA_1$.
Her, med Newtons egne ord, er hans opsummering til Leibniz af de mønstre, han bemærkede induktivt op til dette stadie i argumentationen:
Jeg begyndte at reflektere over, at nævnerne 1, 3, 5, 7 osv. var i aritmetisk progression, så kun de numeriske koefficienter for tællere stadig trængte til undersøgelse. Men i de skiftevis givne områder var disse potenstal af tallet 11 … dvs. først '1'; derefter '1, 1'; for det tredje, '1, 2, 1'; for det fjerde '1, 3, 3, 1'; for det femte '1, 4, 6, 4, 1' osv., og så begyndte jeg at spørge, hvordan de resterende tal i serien kunne udledes af de to første givne figurer, og det fandt jeg ud af ved at sætte $latex m$ for den anden figur, ville resten blive fremstillet ved kontinuerlig multiplikation af vilkårene i denne serie,
$latex frac{m-0}{1} gange frac{m-1}{2} gange frac {m-2}{3} gange frac{m-3}{4} gange frac {m-4}{5 }$ osv.
… I overensstemmelse hermed anvendte jeg denne regel til at indskyde rækker mellem serier, og da det andet led for cirklen var $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, satte jeg $latex m=frac{1}{2}$, og de opståede vilkår var
$latex frac {1}{2} gange frac{frac{1}{2}-1}{2}$ eller $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} gange frac{frac{1}{2}-2}{3}$ eller $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} gange frac{frac{1}{2}-3}{4}$ eller $latex – frac {5}{128}$,så til det uendelige. Hvorfra kom jeg til at forstå, at det område af det cirkulære segment, som jeg ønskede, var
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Endelig, ved at tilslutte $latex x=1$, kunne Newton opnå en uendelig sum for $latexfrac{π}{4}$. Det var en vigtig opdagelse, men det viser sig, at der er bedre måder at tilnærme pi ved hjælp af en uendelig sum, som Newton selv hurtigt opdagede efter dette indledende indtog i denne slags uendelige summer, nu kaldet potensrækker. Til sidst beregnede han de første 15 cifre i pi.
For at vende tilbage til problemet med det cirkulære segment, indså Newton, at ligningen for selve cirklen (ikke kun området under den) også kunne repræsenteres af en potensrække. Alt han skulle gøre var at udelade nævnerne og reducere potenserne af $latex x$ med 1 i potensrækken vist ovenfor. Derfor blev han ført til at gætte det
For at teste, om dette resultat gav mening, multiplicerede Newton det med sig selv: "Det blev $latex 1-x^2$, de resterende led forsvandt ved fortsættelsen af serien til det uendelige."
Går vi lidt tilbage fra detaljerne, ser vi flere lektioner her om problemløsning. Hvis et problem er for svært, skal du ændre det. Hvis det virker for specifikt, så generaliser det. Newton gjorde begge dele og fik resultater vigtigere og mere kraftfulde end hvad han oprindeligt søgte.
Newton fikserede ikke stædigt på en kvart cirkel. Han så på en meget mere generel form, ethvert cirkulært segment med bredde $latex x$. I stedet for at holde sig til $latex x=1$, lod han $latex x$ løbe frit fra 0 til 1. Det afslørede koefficienternes binomiale karakter i hans serie - den uventede optræden af tal i Pascals trekant og deres generaliseringer - som lad Newton se mønstre, som Wallis og andre havde savnet. At se disse mønstre gav derefter Newton den indsigt, han havde brug for for at udvikle teorien om magtrækker meget mere bredt og generelt.
I hans senere arbejde gav Newtons magtserie ham en schweizisk hærkniv til calculus. Med dem kunne han lave integraler, finde rødder til algebraiske ligninger og beregne værdierne af sinus, cosinus og logaritmer. Som han udtrykte det: "Ved deres hjælp når analysen, kan jeg næsten sige, alle problemer."
Moralen: At ændre et problem er ikke snyd. Det er kreativt. Og det kan være nøglen til noget større.
