Et par minutter inde i en foredrag i 2018 på University of Michigan, Ian Tobasco tog et stort stykke papir op og krøllede det sammen til en tilsyneladende uordnet kugle af kaos. Han holdt den op, så publikum kunne se den, klemte den for godt og bredte den så ud igen.
"Jeg får en vild masse folder, der dukker op, og det er gåden," sagde han. "Hvad vælger dette mønster fra et andet, mere velordnet mønster?"
Derefter holdt han et andet stort stykke papir op - dette på forhånd foldet til et berømt origamimønster af parallelogrammer kendt som Miura-ori - og pressede det fladt. Den kraft, han brugte på hvert ark papir, var omtrent den samme, sagde han, men resultaterne kunne ikke have været mere forskellige. Miura-ori var opdelt pænt i geometriske områder; den krøllede kugle var et rod af takkede linjer.
"Du får en fornemmelse af, at dette," sagde han og pegede på det spredte arrangement af folder på det krøllede ark, "bare er en tilfældig uordnet version af dette." Han angav den pæne, velordnede Miura-ori. "Men vi har ikke sat fingeren på, om det er sandt eller ej."
At skabe den forbindelse ville kræve intet mindre end at etablere universelle matematiske regler for elastiske mønstre. Tobasco har arbejdet på dette i årevis og studeret ligninger, der beskriver tynde elastiske materialer - ting, der reagerer på en deformation ved at forsøge at springe tilbage til sin oprindelige form. Stik en ballon hårdt nok, og der vil dannes et stjerneskudsmønster af radiale rynker; fjern din finger, og de vil glatte ud igen. Klem en sammenkrøllet kugle papir, og den vil udvide sig, når du slipper den (selvom den ikke krølles helt). Ingeniører og fysikere har undersøgt, hvordan disse mønstre opstår under visse omstændigheder, men for en matematiker antyder disse praktiske resultater et mere grundlæggende spørgsmål: Er det muligt generelt at forstå, hvad der vælger ét mønster frem for et andet?
I januar 2021 udgav Tobasco et papir der besvarede dette spørgsmål bekræftende - i det mindste i tilfælde af et glat, buet, elastisk lag presset til fladhed (en situation, der giver en klar måde at udforske spørgsmålet på). Hans ligninger forudsiger, hvordan tilsyneladende tilfældige rynker indeholder "ordnede" domæner, som har et gentaget, identificerbart mønster. Og han var med til at skrive et papir, udgivet i sidste måned, der viser en ny fysisk teori, baseret på streng matematik, der kunne forudsige mønstre i realistiske scenarier.
Tobascos arbejde tyder især på, at rynker i dens mange afskygninger kan ses som løsningen på et geometrisk problem. "Det er et smukt stykke matematisk analyse," sagde Stefan Mueller fra University of Bonn's Hausdorff Center for Mathematics i Tyskland.
Den opstiller elegant, for første gang, de matematiske regler - og en ny forståelse - bag dette almindelige fænomen. "Matematikkens rolle her var ikke at bevise en formodning, som fysikere allerede havde fremsat," sagde Robert Kohn, en matematiker ved New York University's Courant Institute, og Tobascos rådgiver for kandidatskolen, "men snarere for at give en teori, hvor der tidligere ikke var nogen systematisk forståelse."
Stræk ud
Målet med at udvikle en teori om rynker og elastiske mønstre er et gammelt. I 1894, i en anmeldelse i Natur, påpegede matematikeren George Greenhill forskellen mellem teoretikere ("Hvad skal vi tænke?") og de nyttige anvendelser, de kunne finde ud af ("Hvad skal vi gøre?").
I det 19. og 20. århundrede gjorde videnskabsmænd stort set fremskridt med sidstnævnte, idet de studerede problemer, der involverede rynker i specifikke genstande, der er ved at blive deformeret. Tidlige eksempler inkluderer problemet med at smede glatte, buede metalplader til søfarende skibe og forsøge at forbinde dannelsen af bjerge med opvarmningen af jordskorpen.
For nylig har matematikere og fysikere udvidet indsatsen for at forbinde teori og observation til en bred vifte af rynkesituationer, geometrier og materialer. "Dette har stået på i omkring de sidste 10 år, hvor vi først laver eksperimenter og derefter forsøger at finde teorien til at forstå dem," sagde matematikeren Dominic Vella fra University of Oxford. "Det er først for nylig, at vi er begyndt at få en ordentlig forståelse."
Der har været spændende milepæle. I 2015, Pedro Reis, en maskiningeniør ved Massachusetts Institute of Technology, beskrev fysiske love for de geometriske mønstre, der dannes på tømte siliciumkugler. Hans arbejde forbandt disse rynker med tykkelsen af de indre og ydre lag af det elastiske materiale. Reis bemærkede også, at rynker, i stedet for at blive betragtet som defekter, kan tilbyde muligheder for at designe ny mekanisk adfærd. Så i 2017, Vella ledet analysen af de rynkede ustabiliteter af en tynd elastisk film under tryk, der karakteriserer, hvordan antallet af rynker ændrede sig i henhold til dybden af det indledende stik og andre specifikke detaljer.
Men denne udvikling løste stadig kun dele af problemet. For en mere generel matematisk forståelse af, hvordan rynker dannes, var en anden tilgang nødvendig. Tobasco ville være den, der flyttede det fremad.
Efter Curiosity
Da han var yngre, troede Tobasco, at han ville gå ind i rumfartsteknik. Han dimitterede fra University of Michigan i 2011 med en bachelorgrad inden for området, men på det tidspunkt var han allerede blevet tiltrukket af at tænke dybt over matematisk ræsonnement og fysiske systemer. Han fik en doktorgrad i matematik, men han bebrejder Joey Paulsen, en fysiker nu ved Syracuse University, for at sætte ham på rynkernes specifikke vej.
Tidligere i Paulsens karriere, da han studerede usædvanlige materialers egenskaber, lærte han at fremstille og analysere ultratynde polymerfilm ved hjælp af en teknik kaldet spincoating. Først ville han skabe et specielt flydende materiale indeholdende spormængder af opløst polymer; så ville han placere materialet på en spindeplade. Det meste af væsken ville fordampe, mens polymeren spredte sig til en jævn tykkelse, før den størknede. Da han havde sit eget laboratorium i Syracuse, lærte Paulsen at tilpasse spincoating til at skabe buede film - som ultratynde skildpaddeskaller.
En dag placerede han nogle af disse buede film oven på stillestående vand og fotograferede, hvordan de satte sig på overfladen. "Det var rent nysgerrighedsdrevet," sagde han. Billederne fangede Tobascos blik ved et uformelt møde med Paulsen i 2017.
"De viste, at du kunne få disse tilfældige uordnede rynkemønstre - når du gjorde eksperimentet to gange, fik du to forskellige mønstre," sagde Tobasco, som nu er assisterende professor ved University of Illinois, Chicago. "Jeg ville se, om jeg kunne finde på en måde, der kan udledes [til at forudsige disse mønstre] ud fra elasticitet, der inkorporerede skallens form. Og at modellen ikke ville ændre sig fra skal til skal.”
Rynkemønstre er konfigurationer med mindst mulig energi. Det vil sige, at efterhånden som den tynde film sætter sig på en flad overflade, forvandles den, indtil den finder det arrangement af rynker, uordnede eller ej, som kræver den mindste mængde energi at vedligeholde. "Du kan organisere mønstre efter mængden af energi, der er lagret, når [mønsteret] manifesterer sig," sagde Tobasco.
Ledet af det ledende princip isolerede han nogle få karakteristika ved filmen, der viste sig at være dem, der vælger dens mønster, herunder et mål for dens form kaldet dens Gaussiske krumning. En overflade med positiv Gaussisk krumning bøjer væk fra sig selv, som ydersiden af en bold. Negativt buede overflader er derimod sadelformede, som en Pringles-chip: Hvis du går i én retning, rejser du op, men hvis du går i en anden retning, går du ned.
Tobasco fandt ud af, at områder med positiv Gaussisk krumning producerer én slags arrangement af ordnede og uordnede domæner, og områder med negativ krumning producerer andre slags. "Den detaljerede geometri er ikke så vigtig," sagde Vella. "Det afhænger egentlig bare af tegnet på den Gaussiske krumning."
De havde mistanke om, at Gaussisk krumning var vigtig for rynker, men Vella sagde, at det var en overraskelse, at domænerne var så meget afhængige af tegnet. Desuden gælder Tobascos teori også for et bredt spektrum af elastiske materialer, ikke kun Paulsens former. "Det er en flot geometrisk konstruktion, der viser, hvor rynker vil opstå," sagde Vella. "Men det er virkelig dybt at forstå, hvor det kommer fra, og det er lidt overraskende."
Paulsen var enig. "Det, Ians teori meget smukt gør, er at give dig hele mønsteret på én gang."
Rynker i det virkelige liv
I begyndelsen af 2018 fik Tobasco sin teori for det meste afgjort - men selvom den virkede på papiret, kunne han ikke være sikker på, at den ville være nøjagtig i den virkelige verden. Tobasco kontaktede Paulsen og spurgte, om han ville være interesseret i at samarbejde. "Noget virkede bare lige med det samme," sagde Paulsen. "Med nogle af Ians forudsigelser, lagt oven på eksperimentelle billeder, kunne vi se med det samme, at de stod på linje."
På dette års Society for Industrial and Applied Mathematics-konference om matematiske aspekter af materialevidenskab blev Tobasco introduceret til Eleni Katifori, en fysiker ved University of Pennsylvania, der udforskede problemet med rynkemønstre i lukkede skaller og opbyggede en database med resultater. Det var et øjeblik med sindsro. "Vi kunne se domænerne [i simuleringerne], som Ians arbejde forklarede," sagde hun. Kampen var uhyggelig. Allerede under deres første diskussioner stod det klart, at Tobascos teori, Paulsens eksperimentelle billeder og Katiforis simuleringer alle beskrev de samme fænomener. "Selv i de tidlige stadier, hvor vi ikke havde noget konkret, kunne vi se sammenhængen."
Den tidlige begejstring gav hurtigt anledning til skepsis. Det virkede næsten for godt til at være sandt. "Han er en matematiker og gør alle disse ting ikke-dimensionelle," sagde Paulsen med henvisning til, hvordan Tobascos ideer om krumning kunne udvides langt ud over todimensionelle flade materialer. "Kigger vi virkelig på det samme system? Det stemmer, men burde det have stemt?”
I de næste to år hasherede de tre forskere detaljerne ud, hvilket viste, at Tobascos teori virkelig forudsagde - nøjagtigt - den opstilling af rynker, som Paulsen så i sine eksperimenter og Katifori fandt i sine computermodeller. Den 25. august udgav de et papir i Naturfysik viser hvordan de tre tilgange alle konvergerer på det samme, ligefremme geometriske arrangement af rynker. De fandt især ud af, at mønstrene falder ind i pæne familier af ligebenede trekanter, der afgrænsede domæner af orden og uorden. Derudover er resultaterne ikke begrænset til matematiske abstraktioner af umuligt tynde materialer, men adresserer flere størrelsesordener af tykkelse.
Deres arbejde foreslår også muligheder for at udvide teorien og dens anvendelser. Katifori sagde, at hun som fysiker er interesseret i at udnytte forudsigelserne til at designe nye materialer. "Jeg vil gerne forstå, hvordan du kan designe overflader, så de faktisk selv organiserer rynkemønstrene til noget, du ønsker."
Et andet åbent spørgsmål er, hvor generelt teorien kan anvendes på forskellige former for buede overflader. "Det er meget fokuseret på situationer, hvor [Gaussisk krumning] er enten positiv eller negativ, men der er mange situationer med nogle regioner, der er positive og nogle negative," sagde Vella.
Paulsen var enig i, at dette er en spændende mulighed, og Tobasco sagde, at han aktivt arbejder på dette område og overvejer andre former for skaller - såsom dem med huller.
Men Paulsen sagde, at teorien, selv som den er i øjeblikket, er smuk og overraskende. "Hvis jeg giver dig en skal og en grænseform og dette enkle sæt regler, som Ians teori forudsagde, så kan du tage et kompas og en lineal og dybest set tegne rynkerne," sagde han. ”Det ville ikke have behøvet at ske sådan. Det kunne have været helt forfærdeligt."
