Eine kurze Geschichte der kniffligen mathematischen Kachelung | Quanta-Magazin

Jeden Tag sehen wir Beispiele für sich wiederholende Motive. Diese Symmetrie und Regelmäßigkeit kann banal und fast unsichtbar wirken, wie bei Mauerwerk an Gebäudewänden oder dem sechseckigen Muster in einer Wabe. Oder wenn wir das Glück haben, auf etwas wie die eleganten Fliesenarbeiten in der spanischen Alhambra oder die kreativen Zeichnungen von MC Escher zu stoßen, können die Muster uns inspirieren und in Erstaunen versetzen.

Seit Jahrhunderten spielen Mathematiker mit diesen sich wiederholenden Formen und entlocken ihnen faszinierende Erkenntnisse und neuartige Möglichkeiten. Die Schönheit der Mathematik konkurriert mit der Schönheit der Designs selbst.

Die einfachsten Kacheln bestehen aus identischen Polygonen mit gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln, die über die gesamte Kante miteinander verbunden sind. Aber obwohl es unendlich viele dieser „regelmäßigen“ Polygone gibt – eines für jede Anzahl von Seiten –, gibt es nur drei regelmäßige Kacheln, die aus Formen mit drei, vier oder sechs Seiten gebildet werden – also Dreiecken, Quadraten und Sechsecken.

Die anderen Formen sind einfach nicht dafür gemacht. Ein regelmäßiges Fünfeck (mit fünf Seiten) hat einen Innenwinkel von 108 Grad. Dies lässt sich nicht gleichmäßig in 360 Grad aufteilen, daher führt jeder Versuch, regelmäßige Fünfecke zu einer Kachelung zusammenzusetzen, zwangsläufig zu Lücken, die nicht gefüllt werden können. Wir sagen, dass das regelmäßige Fünfeck die Ebene nicht kacheln kann. Und regelmäßige Polygone mit mehr als sechs Seiten haben Innenwinkel, die zu groß sind, als dass sich drei in einem einzigen Punkt treffen könnten, und können daher auch nicht.

Eine weitere Interpretation der Kachelung mit regelmäßigen Polygonen stammt von Johannes Kepler, der heute vor allem für seine Entdeckungen über die Planetenbewegung bekannt ist. Im Jahr 1619 zeigte er, dass man, selbst wenn man mehr als ein regelmäßiges Polygon verwendet, nur acht neue Kachelmuster erstellen kann, bei denen die Konfiguration um jeden Scheitelpunkt identisch ist. (Wenn wir von dieser Einschränkung abweichen dürfen, gibt es mehr Möglichkeiten.)

Wenn wir unregelmäßige Polygone zulassen, wird es interessanter. Überraschenderweise kann jedes Dreieck die Ebene kacheln, und noch überraschender, dass dies auch jedes Viereck kann.

Andererseits ist es unmöglich, die Ebene mit einem konvexen Polygon mit mehr als sechs Seiten zu kacheln; Die Summe der Innenwinkel ist einfach zu groß. Als verbleibende Möglichkeiten bleiben also nur Fünfecke und Sechsecke übrig.

In seiner Doktorarbeit von 1918 bewies Karl Reinhardt, dass es möglich ist, die Ebene mit unendlich vielen konvexen Sechsecken – solchen ohne Vertiefungen – zu kacheln, die er in drei Familien einteilte.

Konvexe Fünfecke, die die Ebene kacheln, waren schwieriger zu klassifizieren. Reinhardt entdeckte fünf Familien solcher Fünfecke; 50 Jahre später fand Richard Kershner drei weitere. Dann schrieb Martin Gardner 1975 über das Problem Scientific Americanund machte sowohl professionelle als auch Amateur-Mathematiker darauf aufmerksam. Einer dieser Amateure, ein Computerprogrammierer namens Richard James III., schickte Gardner ein Beispiel einer neunten Familie und fragte: „Sind Sie der Meinung, dass Kershner diese verpasst hat?“ Er hatte.

Auch Marjorie Rice, eine Hausfrau, las Gardners Kolumne und begann, an ihrem Küchentisch an dem Problem zu rätseln. Sie tüftelte über zwei Jahre lang und entdeckte es vier weitere Familien der Kachelung von Fünfecken.

Forscher fanden 14 eine 1985. Familie gekachelter Fünfecke, und drei Jahrzehnte später fand ein anderes Team mithilfe einer Computersuche eine 15. Familie. Niemand wusste, ob diese Entdeckung die Liste vervollständigte oder ob sich noch weitere Familien versteckten. Diese Frage wurde 2017 von Michael Rao beantwortet erwies sich dass alle konvex gekachelten Fünfecke – und mit ihnen alle konvex gekachelten Polygone – gefunden wurden.

Alle diese Kacheln wiederholen sich. Das heißt, sie haben eine periodische Symmetrie, was im Grunde bedeutet, dass, wenn wir die Kachelung auf einem Blatt Papier nachzeichnen und das Papier in bestimmte Richtungen verschieben würden, es wieder genau mit der Kachelung ausgerichtet wäre.

Auch andere Arten von Symmetrien sind möglich. Eine Spiegelsymmetrie bedeutet beispielsweise, dass unsere Muster ausgerichtet werden, wenn wir unser Transparentpapier um eine feste Linie drehen. Rotationssymmetrie bedeutet, dass sie sich ausrichten, wenn wir unser Papier drehen. Und wir können Aktionen kombinieren, um eine Gleitreflexionssymmetrie zu erhalten, die so ist, als würde man das Papier verschieben und es dann umdrehen.

Im Jahr 1891 bewies der russische Kristallograph Evgraf Fedorov, dass es nur 17 Möglichkeiten gibt, diese Symmetrien zu kombinieren. Da diese Einschränkung für alle periodischen Dekorationen des Flugzeugs gilt, werden diese allgemein als die 17 „Tapetengruppen“ bezeichnet.

Sobald man mit dieser Klassifizierung von Symmetriemustern vertraut ist, ist es fast unmöglich, ein periodisches Muster, wie kompliziert es auch sein mag, zu erkennen und es nicht als ein Rätsel zu betrachten, das es zu entschlüsseln gilt: Wo und wie genau wiederholt es sich? Wo sind diese Symmetrien?

Natürlich ist nicht jedes Fliesenmuster periodisch. Es ist möglich und oft einfach, Fliesen so in der Ebene zu platzieren, dass sich das resultierende Design nie wiederholt. In unserem Beispiel mit Sechsecken, Quadraten und Dreiecken können Sie dies erreichen, indem Sie einfach ein einzelnes Sechseck und die es umgebenden Polygone um 30 Grad drehen. Die resultierende Kachelung weist keine Translationssymmetrien mehr auf.

Im Jahr 1961 vermutete der Logiker Hao Wang, dass, wenn eine Reihe von Formen die Ebene kacheln, die Formen in der Lage sein müssen, die Ebene periodisch zu kacheln. Nur ein paar Jahre später bewies sein Doktorand Robert Berger, dass er falsch lag, indem er einen riesigen Satz von über 20,000 Kacheln entdeckte, die das Flugzeug verfliesen, allerdings nur in unregelmäßigen Abständen. Solche Kachelsätze werden als aperiodisch bezeichnet.

Obwohl es Berger und anderen gelang, die Größe dieser aperiodischen Kacheln deutlich zu reduzieren, erregte Roger Penrose Mitte der 1970er Jahre die Aufmerksamkeit der Welt, als er sehr kleine Sätze seiner eigenen aperiodischen Kacheln entdeckte. Für die kleinsten Sets sind lediglich zwei Kacheln erforderlich.

Diese Formen und Muster begeisterten Mathematiker, Wissenschaftler und die breite Öffentlichkeit. Aber sie stellten eine offensichtliche nächste Frage: Gibt es eine einzelne aperiodische Kachel? Die ultimative Suche der Kacheltheorie bestand nun darin, eine solche „Einstein“-Kachel zu finden – benannt nicht nach dem Physiker, sondern nach dem deutschen Ausdruck „ein Stein“.

Im Jahr 2010 waren Joshua Socolar und Joan Taylor der Entdeckung eines Einsteins sehr nahe. Das Problem mit ihrem Ansatz war das Ihre Fliese musste getrennt werden; Dies wäre so, als würde man die Ebene mit Formen wie dem Bundesstaat Hawaii kacheln, einem einzigen Gebilde, das aus separaten Regionen besteht, und nicht mit verbundenen Formen wie Kalifornien. Mathematiker vermuteten zunehmend, dass es sich bei der Existenz eines Einsteins um etwas geometrisch sehr Kompliziertes handeln müsste.

Im März 2023 schockierte ein Amateur die Welt erneut. Ein pensionierter Drucktechniker und Mathematik-Hobbyist namens David Smith hatte nicht nur ein aperiodisches Monotil entdeckt, sondern eine unendliche Familie dieser schwer fassbaren Einsteins. Er schaltete Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss und Joseph Samuel Myers ein – Experten für Informatik, Mathematik und die Theorie der Kacheln – und gemeinsam präsentierten sie einen geometrisch einfachen Einstein namens „Hutkachel“ (von dem das Internet dachte, er sehe aus wie ein T-Shirt). ).

Die Reaktion war schnell und positiv. Die Entdecker sprachen auf Konferenzen und hielten Online-Vorträge. Mathematikkünstler nutzten die Chance, kreative Wege zu finden, um auf der Grundlage dieser neuen geometrisch interessanten Fliesen Escher-ähnliche Designs zu erstellen. Die Hutkachel erschien sogar im Monolog einer Late-Night-Fernsehsendung.

Dennoch gab es noch Raum für Verbesserungen. Um das Flugzeug mit dem Hut zu kacheln, müssen Sie etwa ein Siebtel der Kacheln auf den Kopf stellen. Ein Hausbesitzer, der sein Badezimmer mit Hutfliesen verfliesen möchte, müsste zwei Arten von Fliesen kaufen: eine Standardfliese und eine Spiegelfliese. War das wirklich notwendig?

Noch bevor die Aufregung um die Hutkachel nachgelassen hatte, machte das Team eine weitere Ankündigung. Smith hatte in dieser unendlichen Familie aperiodischer Monotilen eines gefunden, das er „Gespenst“ nannte und das die Ebene kacheln konnte, ohne dass reflektierte Kopien erforderlich waren. Endlich war ein wahrer Einstein aufgetaucht.

Wir befinden uns derzeit mitten in einem Wiederaufleben der mathematischen Erforschung von Kacheln und Tessellationen. Es stützte sich auf wichtige Beiträge von Amateuren, inspirierte die Kreativität mathematischer Künstler und nutzte die Leistungsfähigkeit von Computern, um die Grenzen des Wissens voranzutreiben. Und daraus haben wir neue Erkenntnisse über die Natur von Symmetrie, Geometrie und Design gewonnen.

Korrektur: 30. Oktober 2023
In der Originalversion dieses Artikels hieß es, dass es unmöglich sei, die Ebene mit einem Polygon mit mehr als sechs Seiten zu kacheln. Dies gilt nur, wenn das Polygon konvex ist.

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