Ein Jahrhundert später glättet neue Mathematik die Allgemeine Relativitätstheorie | Quanta-Magazin

Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie war äußerst erfolgreich bei der Beschreibung, wie die Schwerkraft funktioniert und wie sie die großräumige Struktur des Universums formt. Der Physiker John Wheeler bringt es auf den Punkt: „Die Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll; Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll.“ Doch die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie ist auch zutiefst kontraintuitiv.

Da die Grundgleichungen so kompliziert sind, sind selbst die einfachsten Aussagen schwer zu beweisen. Beispielsweise bewiesen Mathematiker erst um 1980 im Rahmen eines wichtigen Theorems der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass ein isoliertes physikalisches System oder ein isolierter Raum ohne Masse flach sein muss.

Damit blieb die Frage offen, wie ein Raum aussieht, wenn er fast ein Vakuum ist und nur eine winzige Menge Masse hat. Ist es unbedingt fast flach?

Während es offensichtlich erscheinen mag, dass eine geringere Masse zu einer geringeren Krümmung führen würde, sind die Dinge in Bezug auf die allgemeine Relativitätstheorie nicht ganz so eindeutig. Der Theorie zufolge können dichte Materiekonzentrationen einen Teil des Raums „krümmen“, sodass er stark gekrümmt wird. In einigen Fällen kann diese Krümmung extrem sein und möglicherweise zur Bildung von Schwarzen Löchern führen. Dies könnte sogar in einem Raum mit kleinen Mengen an Materie auftreten, wenn diese stark genug konzentriert ist.

In einer kürzlich herausgebrachten Krepppapier, Conghan Dong, ein Doktorand an der Stony Brook University, und Antoine Lied, Assistenzprofessor am California Institute of Technology, bewies, dass eine Folge gekrümmter Räume mit immer geringeren Massenmengen schließlich zu einem flachen Raum ohne Krümmung konvergiert.

Dieses Ergebnis stellt einen bemerkenswerten Fortschritt in der mathematischen Erforschung der Allgemeinen Relativitätstheorie dar – ein Unterfangen, das sich mehr als ein Jahrhundert nach der Entwicklung seiner Theorie durch Einstein weiterhin auszahlt. Dan Lee, ein Mathematiker am Queens College, der die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie studiert, aber nicht an dieser Forschung beteiligt war, sagte, dass der Beweis von Dong und Song ein tiefes Verständnis darüber widerspiegele, wie Krümmung und Masse interagieren.

Was sie bewiesen haben

Der Beweis von Dong und Song betrifft dreidimensionale Räume, aber zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst ein zweidimensionales Beispiel. Stellen Sie sich einen flachen Raum ohne Masse wie ein gewöhnliches, glattes Blatt Papier vor. Ein Raum mit geringer Masse könnte in diesem Fall aus der Ferne ähnlich aussehen – also größtenteils flach. Bei näherer Betrachtung könnten jedoch hier und da einige scharfe Spitzen oder Blasen auftauchen – Folgen der Ansammlung von Materie. Durch diese zufälligen Vorsprünge würde das Papier einem gepflegten Rasen ähneln, aus dessen Oberfläche gelegentlich Pilze oder Stängel herausragen.

Dong und Song erwiesen sich als a Vermutung das wurde 2001 von den Mathematikern formuliert Gerhard Huisken und Tom Ilmanen. Die Vermutung besagt, dass mit der Annäherung der Masse eines Raums an Null auch seine Krümmung zunimmt. Huisken und Ilmanen erkannten jedoch, dass dieses Szenario durch das Vorhandensein von Blasen und Spitzen (die sich mathematisch voneinander unterscheiden) erschwert wird. Sie stellten die Hypothese auf, dass die Blasen und Spitzen so abgeschnitten werden könnten, dass die Grenzfläche, die bei jedem Herausschneiden auf der Oberfläche des Raums zurückbleibe, klein sei. Sie schlugen vor, konnten aber nicht beweisen, dass der Raum, der nach der Entfernung dieser störenden Anhängsel übrig blieb, nahezu flach sein würde. Sie waren sich auch nicht sicher, wie solche Kürzungen vorgenommen werden sollten.

„Diese Fragen waren schwierig und ich hatte nicht erwartet, eine Lösung für die Huisken-Ilmanen-Vermutung zu finden“, sagte Lee.

Im Mittelpunkt der Vermutung steht die Messung der Krümmung. Der Raum kann sich auf unterschiedliche Weise, in unterschiedlichem Ausmaß und in unterschiedliche Richtungen krümmen – wie ein Sattel (in zwei Dimensionen), der sich nach vorne und hinten nach oben, nach links und rechts jedoch nach unten krümmt. Dong und Song ignorieren diese Details. Sie verwenden ein Konzept namens Skalarkrümmung, das die Krümmung als eine einzelne Zahl darstellt, die die vollständige Krümmung in alle Richtungen zusammenfasst.

Das neue Werk von Dong und Song, sagte Daniel Stern von der Cornell University ist „eines der stärksten Ergebnisse, die wir bisher haben, das uns zeigt, wie die Skalarkrümmung [die] Geometrie“ des Raums als Ganzes steuert. Ihre Arbeit zeigt: „Wenn wir eine nichtnegative Skalarkrümmung und eine kleine Masse haben, verstehen wir die Struktur des Raums sehr gut.“

Der Beweis

Die Huisken-Ilmanen-Vermutung betrifft die Geometrie von Räumen mit stetig abnehmender Masse. Es schreibt eine bestimmte Methode vor, um zu sagen, wie nahe ein Raum mit kleiner Masse am flachen Raum liegt. Dieses Maß wird Gromov-Hausdorff-Distanz genannt, benannt nach den Mathematikern Michail Gromow und Felix Hausdorff. Die Berechnung des Gromov-Hausdorff-Abstands erfolgt in zwei Schritten.

Der erste Schritt besteht darin, die Hausdorff-Distanz zu ermitteln. Angenommen, Sie haben zwei Kreise, A und B. Beginnen Sie mit einem beliebigen Punkt auf A und ermitteln Sie, wie weit dieser vom nächstgelegenen Punkt auf B entfernt ist.

Wiederholen Sie dies für jeden Punkt auf A. Der größte Abstand, den Sie finden, ist der Hausdorff-Abstand zwischen den Kreisen.

Sobald Sie die Hausdorff-Distanz haben, können Sie die Gromov-Hausdorff-Distanz berechnen. Platzieren Sie dazu Ihre Objekte in einem größeren Raum, um den Hausdorff-Abstand zwischen ihnen zu minimieren. Im Fall zweier identischer Kreise ist der Gromov-Hausdorff-Abstand zwischen ihnen Null, da man sie buchstäblich übereinander legen könnte. Geometrisch identische Objekte wie diese werden als „isometrisch“ bezeichnet.

Die Entfernungsmessung ist natürlich schwieriger, wenn die verglichenen Objekte oder Räume zwar gleich, aber nicht gleich sind. Der Gromov-Hausdorff-Abstand liefert ein genaues Maß für die Ähnlichkeiten (oder Unterschiede) zwischen den Formen zweier Objekte, die ursprünglich in unterschiedlichen Räumen liegen. „Die Gromov-Hausdorff-Distanz ist eine der besten Möglichkeiten, um auszudrücken, dass zwei Räume nahezu isometrisch sind, und sie gibt diesem ‚fast‘ eine Zahl“, sagte Stern.

Bevor Dong und Song Vergleiche zwischen einem Raum mit geringer Masse und einem vollkommen flachen Raum ziehen konnten, mussten sie die lästigen Ausstülpungen abschneiden – die schmalen Zacken, in denen Materie dicht gepackt ist, und noch dichtere Blasen, die winzige Schwarze Löcher beherbergen könnten. „Wir haben sie so geschnitten, dass der Grenzbereich [wo der Schnitt gemacht wurde] klein ist“, sagte Song, „und wir haben gezeigt, dass der Bereich kleiner wird, wenn die Masse abnimmt.“

Obwohl diese Taktik wie ein Betrug klingen mag, sagte Stern, dass es zum Beweis der Vermutung zulässig sei, eine Art Vorverarbeitung durchzuführen, indem Blasen und Spitzen herausgeschnitten werden, deren Fläche mit abnehmender Masse auf Null schrumpft.

Als Stellvertreter für einen Raum mit geringer Masse, schlug er vor, könnten wir uns ein zerknittertes Blatt Papier vorstellen, das nach dem erneuten Glätten immer noch scharfe Falten und Knicke aufweist. Sie können die auffälligsten Unregelmäßigkeiten mit einem Locher entfernen, so dass ein leicht unebenes Stück Papier mit einigen Löchern zurückbleibt. Wenn die Größe dieser Löcher kleiner wird, nimmt auch die Unebenheit des Papiergeländes zu. Man könnte sagen, dass die Löcher an der Grenze auf Null schrumpfen, die Hügel und Grate verschwinden und Sie ein gleichmäßig glattes Stück Papier übrig haben – ein echter Ersatz für flache Flächen.

Das wollten Dong und Song beweisen. Der nächste Schritt bestand darin, zu sehen, wie sich diese entblößten Räume – ihrer rauen Merkmale beraubt – im Vergleich zum Standard der völligen Flachheit schlagen. Die von ihnen verfolgte Strategie nutzte eine spezielle Art von Karte, eine Möglichkeit, zwei Räume zu vergleichen, indem Punkte in einem Raum mit Punkten in einem anderen verknüpft werden. Die von ihnen verwendete Karte wurde in a entwickelt Krepppapier geschrieben von Stern und drei Kollegen – Hubert Bray, Demetre Kazaras und Marcus Khuri. Mit diesem Verfahren lässt sich genau ermitteln, wie nahe zwei Leerzeichen beieinander liegen.

Um ihre Aufgabe zu vereinfachen, übernahmen Dong und Song einen weiteren mathematischen Trick von Stern und seinen Co-Autoren, der zeigte, dass ein dreidimensionaler Raum in unendlich viele zweidimensionale Scheiben, sogenannte Ebenenmengen, unterteilt werden kann, ähnlich wie ein hartgekochtes Ei durch die gespannten Drähte eines Eierschneiders in schmale Blätter segmentiert werden.

Die Ebenensätze erben die Krümmung des dreidimensionalen Raums, den sie umfassen. Indem Dong und Song ihre Aufmerksamkeit auf Level-Sets statt auf den größeren dreidimensionalen Raum richteten, konnten sie die Dimensionalität des Problems von drei auf zwei reduzieren. Das sei sehr vorteilhaft, sagte Song, denn „wir wissen viel über zweidimensionale Objekte … und wir haben viele Werkzeuge, um sie zu untersuchen.“

Wenn sie erfolgreich nachweisen könnten, dass jeder Ebenensatz „irgendwie flach“ sei, so Song, könnten sie ihr Gesamtziel erreichen, nämlich zu zeigen, dass ein dreidimensionaler Raum mit geringer Masse nahezu flach sei. Glücklicherweise ging diese Strategie auf.

Nächste Schritte

Mit Blick auf die Zukunft sagte Song, dass eine der nächsten Herausforderungen auf diesem Gebiet darin besteht, den Beweis deutlicher zu machen, indem ein präzises Verfahren zur Beseitigung von Blasen und Spitzen und eine bessere Beschreibung der weggeschnittenen Regionen festgelegt wird. Aber im Moment, so gab er zu, „haben wir keine klare Strategie, um das zu erreichen.“

 Ein weiterer vielversprechender Weg, sagte Song, wäre die Erkundung eines separate Vermutung das wurde 2011 von Lee und formuliert Christina Sormani, ein Mathematiker an der City University of New York. Die Lee-Sormani-Vermutung stellt eine ähnliche Frage wie Huisken und Ilmanen, beruht jedoch auf einer anderen Methode zur Messung des Unterschieds zwischen Formen. Anstatt den maximalen Abstand zwischen zwei Formen zu berücksichtigen, wie es beim Gromov-Hausdorff-Abstand der Fall ist, fragt der Lee-Sormani-Ansatz nach dem Volumen des Raumes zwischen ihnen. Je kleiner das Volumen, desto näher liegen sie beieinander.

Song hofft unterdessen, grundlegende Fragen zur Skalarkrümmung untersuchen zu können, die nicht durch die Physik motiviert sind. „In der Allgemeinen Relativitätstheorie“, sagte er, „haben wir es mit ganz besonderen Räumen zu tun, die im Unendlichen fast flach sind, aber in der Geometrie kümmern wir uns um alle Arten von Räumen.“

„Es besteht die Hoffnung, dass diese Techniken auch in anderen Bereichen von Nutzen sein könnten“, sagte Stern, die nichts mit der Allgemeinen Relativitätstheorie zu tun haben. „Es gibt eine große Familie verwandter Probleme“, sagte er, die darauf warteten, erforscht zu werden.

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