Einleitung
Wie viele Menschen, die später Mathematiker werden würden, Wei Ho wuchs in Mathe-Wettbewerben auf. In der achten Klasse gewann sie den staatlichen Mathcounts-Wettbewerb in Wisconsin, und ihr Team belegte bei den Nationals den dritten Platz.
Im Gegensatz zu vielen angehenden Mathematikern war sie sich nicht sicher, ob sie jemals einer werden wollte.
„Ich wollte immer alles machen“, sagte Ho. „Bis zur High School habe ich Ballett sehr ernst genommen. Ich redigierte die Literaturzeitschrift. Ich habe Debatten und Forensik durchgeführt. Ich spielte Tennis und Fußball und Klavier und Geige.“ Im Gegensatz dazu schienen viele erfolgreiche Mathematiker von Mathematik bis zum Ausschluss von allem anderen besessen zu sein. Wie konnte sie, eine Person mit zahlreichen Leidenschaften, mit dieser Fokussierung mithalten?
Letztendlich fühlte sich Ho von der Strenge der Mathematik angezogen. Sie genießt immer noch Ballett, liest Romane und löst kryptische Kreuzworträtsel, auch wenn sie dabei hilft, die mathematische Maschinerie neu zu erfinden, die grundlegenden mathematischen Objekten zugrunde liegt, wie Polynomgleichungen, mit denen seit langem bestehende und verwirrende offene Fragen verbunden sind.
Ho studiert vertraute geometrische Objekte, aber sie formuliert die Fragen neu, um sie in den Bereich der rationalen Zahlen einzuordnen – Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können. „Dann beginnt sich die Zahlentheorie in all das einzumischen“, sagte sie.
Sie interessiert sich besonders für elliptische Kurven, die durch eine bestimmte Art von Polynomgleichungen definiert sind, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik Anwendung finden. Elliptische Kurven kommen in der Analyse vor – grob gesagt, der Untersuchung kontinuierlicher Dinge wie der reellen Zahlen – und in der Algebra, bei der es darum geht, präzise mathematische Strukturen zu finden und zu definieren. (Obwohl ihr Fokus unterschiedlich ist, werden Analysis und Algebra mehr durch Sensibilität als durch eine strenge Grenze getrennt, da es viele Überschneidungen zwischen ihnen gibt.)
Einleitung
In einem bahnbrechenden Preprint, der 2018 veröffentlicht wurde, zeigen Ho und ihr Mitarbeiter Levent Alpöge der Harvard-Universität entdeckte eine neue Obergrenze für die Anzahl ganzzahliger Lösungen von Polynomen, die elliptische Kurven definieren. Ihre Technik stützt sich auf die jahrzehntealte Arbeit von Louis Mordell, einem amerikanischen Mathematiker, der 1906 nach Großbritannien auswanderte. In ihrer Veröffentlichung konnten Ho und Alpöge neue Informationen über die Verteilung dieser ganzzahligen Lösungen sammeln, die anderen Teams, die ähnliche Untersuchungen durchgeführt hatten, entgangen waren Probleme.
Ho verbringt das Jahr (beurlaubt von ihrer Lehrtätigkeit an der University of Michigan) als Gastprofessorin am Institute for Advanced Study, wo sie kürzlich zur ersten Direktorin des IAS-Programms für Frauen und Mathematik ernannt wurde. Sie ist außerdem 2023 Fellow der American Mathematical Society und Forschungswissenschaftlerin an der Princeton University.
Sie hofft, dass die Leitung des Programms „Frauen und Mathematik“ „zumindest der Gemeinschaft mehr helfen und mehr Menschen helfen wird, anstatt dass ich allein oder mit Mitarbeitern in meinem Büro mathematische Forschung mache“, sagte sie. „Ich kann Theoreme beweisen, und vielleicht kann ich eines Tages ein Theorem beweisen, das in 100 Jahren von Bedeutung sein wird. Vielleicht, vielleicht nicht. Aber ich hatte das Gefühl, dass ich nicht genug Einfluss auf die Welt oder die Menschen um mich herum hatte.“
Wie viel sprach mit Ho in einer Reihe von Videokonferenzen. Die Interviews wurden aus Gründen der Übersichtlichkeit komprimiert und bearbeitet.
Wie würden Sie Ihre Arbeitsweise in Mathematik beschreiben?
Manchmal unterteilen sich Mathematiker in algebraische und analytische Menschen. Die Mathematik, die ich mache, berührt beide Seiten, aber im Herzen bin ich Algebraist, obwohl ich in meiner Denkweise geometrisch bin. Ich neige oft dazu, Algebra und Geometrie als im Wesentlichen gleich anzusehen.
Das ist nicht ganz richtig, aber im Grunde sind sich die beiden Themen seit den Arbeiten von Descartes und besonders im letzten Jahrhundert sehr nahe gekommen. Es gibt ein ziemlich genaues Wörterbuch, das in manchen Situationen helfen kann, ein geometrisches Bild in algebraische Konsequenzen zu übersetzen.
In meinem eigenen Fall hilft das geometrische Bild oft, Aussagen und Vermutungen zu formulieren und Intuition zu geben, aber wir übersetzen sie dann beim Schreiben in Algebra. Es ist einfacher, Fehler zu erkennen, da Algebra normalerweise strenger ist. Es kann auch einfacher sein, Algebra zu verwenden, wenn Geometrie zu schwer zu visualisieren ist.
Auf welche Ideen haben Sie sich in Ihrer jüngsten Arbeit konzentriert?
Ein großer Teil meiner Arbeit hat mit elliptischen Kurven zu tun, die sehr natürliche Objekte in der Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie sind.
Es sollte schwierig sein, ganzzahlige Lösungen von Gleichungen wie diesen zu haben. Wir erwarten grundsätzlich, dass fast alle Kurven keine ganzzahligen Lösungen haben sollten. Aber es ist sehr schwer, das zu beweisen.
Levent und ich untersuchten diese Verteilung der Anzahl ganzzahliger Punkte. Wir verwenden eine klassische Konstruktion aus Mordells Buch von 1969 Diophantine Gleichungen. Wir können eine Obergrenze für die Anzahl ganzzahliger Punkte auf einer elliptischen Kurve angeben. Andere Leute haben Obergrenzen angegeben. Wir haben eine andere Schranke gefunden, die einfach anzugeben ist.
Welche Rolle spielte Mordells frühere Arbeit in Ihrem jüngsten Ergebnis?
Unsere Frage betrifft ganzzahlige Punkte auf elliptischen Kurven. Mordell hat eine Möglichkeit, es mit etwas anderem in Verbindung zu bringen, das wir studieren können.
Das machen wir in der Mathematik ständig: Wir wollen ein Objekt verstehen, aber wir müssen einen Stellvertreter finden, um es zu verstehen. Manchmal ist dieser Proxy sehr genau. Manchmal gehen Informationen verloren. Aber es ist tatsächlich etwas, auf das wir zugreifen können.
Wann haben Sie sich entschieden, sich auf Mathematik zu konzentrieren?
Ich glaube nicht, dass es für mich einen Wendepunkt gab. Ich bin jetzt mit meinem Leben und meiner Karriere zufrieden, aber ich habe das Gefühl, dass ich in vielen Berufen oder anderen Bereichen glücklich gewesen wäre, wenn die Dinge etwas anders gewesen wären. Vielleicht ist das etwas, was die meisten Mathematiker nicht sagen würden, weil sie gerne darüber sprechen, wie leidenschaftlich sie sich für Mathematik interessieren und dass sie nie an etwas anderes denken könnten. Für mich stimmt das glaube ich nicht.
Ich bin neugierig auf viele verschiedene Dinge. Vielleicht bin ich Mathematiker geworden, weil ich über den Mangel an Strenge in anderen Bereichen frustriert war. Als Kind wurde mir beigebracht, in gewisser Weise wie ein Mathematiker zu denken, denn so haben wir es zu Hause gemacht. Mein Vater spielte Mathespiele mit mir, was bedeutete, dass ich schon in jungen Jahren logisches Denken lernte. Ich wollte, dass Dinge bewiesen werden.
Aber ich war mir nicht sicher, ob ich ein guter Mathematiker sein würde.
Warum?
Als ich jünger war, kannte ich nicht viele Mathematiker, die mir auf unterschiedliche Weise ähnlich waren. Wir werfen diese Worte über Vorbilder herum. Es ist nicht nur so, dass ich nicht genug Frauen oder asiatisch-amerikanische Frauen gesehen habe.
Was ich meine ist, dass ich nicht viele Leute gesehen habe, die sich für andere Dinge als Mathematik begeisterten. Das hat mich sehr an mir zweifeln lassen. Wie kann ich in Mathematik erfolgreich sein, wenn ich nicht 100 % meiner Zeit mit Mathematik verbringe? Das habe ich um mich herum gesehen. Ich hatte den Eindruck, dass andere Leute anders an Mathematik herangehen als ich, meine Altersgenossen und Leute, die älter sind als ich. Ich dachte, es sei schwierig, eine Karriere zu verfolgen, in der ich nicht so sein würde. Ich hätte andere Interessen.
Der menschliche Aspekt ist etwas, was mir bei anderen Leuten nicht so wichtig war. Ich hatte Angst, dass ein Teil von mir mich dazu bringen würde, Mathematiker zu werden.
Einleitung
Sie wurden gerade zur Direktorin des IAS-Programms „Women and Mathematics“ ernannt. Was bietet dieses Programm Mathematikerinnen?
Es ist ein einwöchiger Workshop für Frauen in verschiedenen Karrierephasen, darunter Studentinnen im Grundstudium, Doktoranden, Postdoktoranden und einige Junior- und Senior-Fakultäten. Es ist das Lernen von Mathematik in einer unterstützenden Umgebung.
Studenten, die vielleicht noch nicht gewusst haben, dass sie Mathematik studieren wollen, treffen auf sehr erfahrene Mathematiker und werden auf ihrem Weg nach oben betreut. Sie können viele verschiedene Menschen in verschiedenen Karrierestufen sehen und mit Menschen über ihre Erfahrungen sprechen. Ich glaube nicht, dass es viele andere Programme gibt, die diese gesamte Bandbreite haben und sich auf ein bestimmtes Teilgebiet konzentrieren.
Das Programm für 2023 heißt „Patterns in Integers“. Es wird viele Leute in der additiven Kombinatorik und der analytischen Zahlentheorie haben. Wir bringen Menschen aus unterschiedlichen Karrierewegen zusammen, damit sie sich treffen können.
Für die älteren Doktoranden, die bereits in diesem Bereich arbeiten, treffen sie Postdocs, Junior- und Senior-Fakultäten auf ihrem Gebiet und erhalten die Chance, eine Woche lang mit ihnen zusammenzuarbeiten.
Sie sind auch involviert Stacks-Projekt, die eine umfangreiche Online-Ressource ist. Was ist daran einzigartig?
Das schiere Volumen und die Zugänglichkeit. Es ist dieses riesige – mehr als 7,500 Seiten, wenn Sie es ausdrucken – Online-Kooperationsprojekt. Aber realistisch gesehen, [der Mathematiker der Columbia University] Aise Johan de Jong schreibt fast alles. Es ist eine rigorose, sorgfältig geschriebene Ressource für algebraische Geometer. Es ist eine erstaunliche Sache, die er für die Gemeinschaft getan hat.
Alle ein bis zwei Wochen wächst es. Es ist eine vertrauenswürdige Referenz für fast alles. Es deckt eine riesige Menge an algebraischer Geometrie ab, für die Sie etwa 20 Lehrbücher durchsuchen müssten.
Es ist Leben in dem Sinne, dass Dinge hinzugefügt und bearbeitet werden können. Wenn es Fehler gibt, werden sie abgefangen.
Das andere, was daran interessant ist, ist das Tag-System. Obwohl dieses Dokument ständig wächst, können Sie immer noch auf ein bestimmtes Tag verweisen. Es gibt über 21,000 permanente Tags für bestimmte Ergebnisse, die Sie vielleicht zitieren möchten. Pieter Belmans baute das gesamte Backend, das auch in anderen Projekten zum Einsatz kam. Andere Leute haben die Technologie davon angepasst.
Das Problem ist – und Johan weiß das – er wird irgendwann nicht mehr in der Lage sein, dies weiterzuschreiben. Wenn wir wollen, dass dies eines Tages so weitergeht, müssen sich andere Menschen mehr einbringen.
Welche Rolle spielen Ihre Workshops im Stacks-Projekt?
Es geht darum, junge Menschen einzubeziehen. Wir lassen sie Bits und Stücke schreiben, die eventuell darin integriert werden. Hier gibt es einige Spannungen, denn damit die Website als Ressource korrekt und hochwertig bleibt, muss sie sorgfältig moderiert werden. Johan muss also noch viel Arbeit leisten, um Dinge hineinzustecken. Es kann nicht wie Wikipedia sein, wo jeder es anfassen kann. Das ist ein wenig unglücklich, aber muss passieren, wenn Sie möchten, dass dies funktioniert.
Wir versuchen, Wege zu finden, um langsam mehr Leute in das Stacks-Projekt einzubeziehen. Wir binden Mentoren ein, um an Projekten mit Doktoranden und Postdocs zu arbeiten. Sie lernen etwas algebraische Geometrie. Dann schreiben sie etwas auf.
We gerade veröffentlicht ein Band mit einer Reihe von erklärenden Artikeln, von denen wir hoffen, dass sie irgendwann in das Stacks-Projekt aufgenommen werden.
Das Stacks-Projekt könnte noch Hunderte von Jahren lang äußerst wirkungsvoll sein, wenn sich genügend Menschen engagieren und es am Laufen halten.
