Ein Turm von Vermutungen, der auf einer Nadel ruht | Quanta-Magazin

In der Mathematik ist ein einfaches Problem oft nicht das, was es scheint. Anfang dieses Sommers Wie viel über ein solches Problem berichtet: Was ist die kleinste Fläche, die Sie abstreichen können, während Sie eine unendlich dünne Nadel in alle möglichen Richtungen drehen? Drehen Sie es wie ein Zifferblatt um seine Mitte, und Sie erhalten einen Kreis. Wenn Sie es jedoch geschickter drehen, können Sie einen beliebig kleinen Teil des Raums abdecken. Wenn Sie nicht möchten, dass sich die Nadel in einer kontinuierlichen Bewegung bewegt, sondern einfach eine Nadel in jede Richtung legen, können Sie eine Nadelanordnung konstruieren, die überhaupt keinen Bereich abdeckt.

Mathematiker nennen diese Anordnungen Kakeya-Mengen. Sie wissen zwar, dass solche Sets hinsichtlich der Fläche (oder des Volumens, wenn Sie Ihre Nadeln in drei oder mehr Dimensionen anordnen) klein sein können, glauben jedoch, dass die Sets immer groß sein müssen, wenn ihre Größe anhand einer Metrik namens Hausdorff gemessen wird Abmessungen.

Mathematiker müssen diese als Kakeya-Vermutung bekannte Aussage noch beweisen. Aber während es sich scheinbar um eine einfache Frage zu Nadeln handelt, „untermauert die Geometrie dieser Kakeya-Mengen eine ganze Reihe von Fragen in partiellen Differentialgleichungen, harmonischer Analyse und anderen Bereichen“, sagte er Jonathan Hickmann der Universität Edinburgh.

Die Kakeya-Vermutung liegt einer Hierarchie von drei zentralen Problemen in der harmonischen Analyse zugrunde – einem Zweig der Mathematik, der untersucht, wie Funktionen als Summen periodischer Funktionen wie regelmäßig oszillierende Sinuswellen dargestellt werden können.

Der nächste Schritt in dieser Hierarchie ist die „Einschränkungs“-Vermutung. Wenn es wahr ist, dann stimmt es auch mit der Kakeya-Vermutung. (Dies bedeutet auch, dass die Restriktionsvermutung nicht wahr sein kann, wenn sich die Kakeya-Vermutung als falsch herausstellt.) Die Restriktionsvermutung wiederum wird durch die sogenannte Bochner-Riesz-Vermutung impliziert. Und ganz oben steht die lokale Glättungsvermutung.

Die ersten beiden Vermutungen befassen sich mit dem Verhalten der Fourier-Transformation, einer Technik in der harmonischen Analyse, mit der praktisch berechnet wird, wie nahezu jede Funktion als Summe von Sinuswellen ausgedrückt werden kann. Es ist eines der leistungsfähigsten mathematischen Werkzeuge, die Physikern und Ingenieuren zur Verfügung stehen. Die Fourier-Transformation hat eine grundlegende Rolle bei der Lösung von Differentialgleichungen, der Darstellung quantenmechanischer Ideen wie der Heisenbergschen Unschärferelation und der Analyse und Verarbeitung von Signalen gespielt – und so Dinge wie moderne Mobiltelefone ermöglicht.

Da jede Aussage in der Hierarchie die darunter liegende Aussage impliziert, ist keine der anderen Vermutungen wahr, wenn die Kakeya-Vermutung falsch ist. Der gesamte Turm wird einstürzen. „Man kann ein Super-Monster-Gegenbeispiel erstellen, das viele Vermutungen widerlegen würde“, sagte Hickman.

Andererseits würde der Beweis, dass die Kakeya-Vermutung wahr ist, nicht automatisch die Wahrheit dieser anderen Vermutungen implizieren – aber er würde den Mathematikern wichtige Einblicke in das weitere Vorgehen geben.

Und so „arbeitet fast die Hälfte der mir bekannten Gemeinschaft der harmonischen Analyse an diesem und verwandten Problemen oder hat irgendwann daran gearbeitet“, sagte er Shaoming Guo der University of Wisconsin, Madison.

In jüngerer Zeit haben Mathematiker zu ihrer Überraschung entdeckt, dass die Techniken, die sie zur Lösung dieser Probleme entwickelt haben, auch zum Nachweis wichtiger Ergebnisse auf dem scheinbar nicht verwandten Gebiet der Zahlentheorie eingesetzt werden können. „Es ist ein viel allgemeineres Phänomen, als die Leute dachten“, sagte Guo.

Layer Cake

Die Geschichte beginnt mit der Fourier-Transformation. „Sie möchten [Funktionen] in kleine Teile zerlegen, ihre Interaktionen analysieren und sie wieder zusammenfügen“, sagte er Yumeng Ou der University of Pennsylvania. Bei eindimensionalen Funktionen – Kurven, die Sie auf einem Blatt Papier zeichnen können – wissen Mathematiker gut, wie das geht, selbst wenn sie die Fourier-Transformation nur anhand einiger Teile umkehren müssen.

Aber in zwei oder mehr Dimensionen kann es chaotisch werden.

In 1971, Charlie Feffermann, ein Mathematiker an der Princeton University, hat herausgefunden, wie man Kakeya-Mengen verwenden kann, um zu zeigen, dass die Umkehrung der Fourier-Transformation zu seltsamen und überraschenden Ergebnissen in mehreren Dimensionen führen kann.

Mathematiker fanden eine Lösung in Form der Bochner-Riesz-Vermutung, die im Wesentlichen besagt, dass es ausgefeiltere Möglichkeiten gibt, die ursprüngliche Funktion wiederherzustellen, die nicht wie Feffermans Beispiel zusammenbrechen. Aber diese Lösung hing von der Wahrheit der Kakeya-Vermutung ab.

Wenn das stimmt, „führt das Abschneiden von Frequenzen nur zu kleinen Fehlern“, sagte er Betsy Stovall der University of Wisconsin, Madison. „Das bedeutet, dass die kleinen Fehler nicht explodieren.“

So begann die Hierarchie. Später entdeckten Mathematiker einen weiteren wichtigen Zusammenhang: Wenn die Bochner-Riesz-Vermutung zutrifft, impliziert sie auch eine Aussage namens Restriktionsvermutung. Diese Vermutung besagt, dass Sie, wenn Sie mit einer eingeschränkten Version der Fourier-Transformation beginnen und die betrachteten Werte auf nur diejenigen „beschränken“, die auf bestimmten Oberflächen leben, immer noch wichtige Informationen über die ursprüngliche Funktion erhalten. Und es stellte sich heraus, dass, wenn die Restriktionsvermutung wahr war, auch die Kakeya-Vermutung wahr war. (Dies brachte die Restriktionsvermutung zwischen Kakeya und Bochner-Riesz in den Turm.)

Das krönende Problem in der Hierarchie, die sogenannte lokale Glättungsvermutung, befasst sich nicht direkt mit der Fourier-Transformation, sondern legt Grenzen für die Größe von Lösungen von Gleichungen fest, die das Verhalten von Wellen beschreiben.

Sie können sich dies auch im Hinblick auf die Geometrie der Linien in einem Kakeya-Set vorstellen. Sie können eine allgemeine Lösung der Wellengleichung in eine Reihe von Teilen aufteilen, die sich in verschiedene Richtungen bewegen und im Laufe der Zeit auf unterschiedliche Weise miteinander interagieren. Jedes dieser Teile ähnelt mathematisch einer Nadel in einem Kakeya-Set. Die Kakeya-Vermutung besagt, dass eine solche Konfiguration nicht zu viele Überschneidungen aufweisen darf. In diesem physikalischen Kontext würden Überschneidungen dem Fortbestehen unregelmäßiger und unerwarteter Verhaltensweisen in der Lösung entsprechen. Beispielsweise könnte sich eine Schallwelle zu vielen verschiedenen Zeiten in vielen Regionen verstärken.

Die lokale Glättungsvermutung besagt, dass sich solche Unregelmäßigkeiten ausgleichen sollten. „Es ist, als würde man den Durchschnitt des Finanzmarktes nehmen“, sagte er Ciprian Demeter der Indiana University Bloomington. „Hier und da könnte es zu Abstürzen kommen, aber wenn man sein Geld anlegt und in 40 Jahren in Rente geht, besteht eine gute Chance, dass man gute Investitionen tätigt.“

Aber wie bei allen Vermutungen in der Hierarchie hängt dies von der Wahrheit der Kakeya-Vermutung ab. „Die Idee ist, dass, wenn man viele Schnittmengen in Kakeya-Sets ausschließt, man auch Situationen ausschließen kann, in denen Teile der Lösung zusammenwirken und eine Art Explosion erzeugen“, sagte Stovall.

Diese Vermutung ist die schwierigste von allen: Während die zweidimensionalen Fälle des Kakeya-, Restriktions- und Bochner-Riesz-Problems schon vor Jahrzehnten gelöst wurden, wurde die zweidimensionale lokale Glättungsvermutung erst vor wenigen Jahren bewiesen. (In höheren Dimensionen bleiben alle diese Probleme offen.)

Aber trotz der langsamen Fortschritte beim Beweis der lokalen Glättungsvermutung hat die Arbeit daran an anderer Stelle zu enormen Fortschritten geführt. Als der Mathematiker Thomas Wolff 1999 versuchte, die Vermutung anzugehen, führte er eine Methode ein, die als Entkopplung bekannt ist. Seitdem hat diese Technik ein Eigenleben entwickelt: Sie wurde verwendet, um nicht nur in der harmonischen Analyse, sondern auch in der Zahlentheorie, Geometrie und anderen Bereichen große Durchbrüche zu erzielen. „Anhand der Entkopplungsergebnisse haben Sie jetzt Weltrekorde bei sehr berühmten und wichtigen Problemen“, sagte er Christopher Sogge von der Johns Hopkins University, der in den 1990er Jahren erstmals die lokale Glättungsvermutung formulierte. Die Entkopplung wurde beispielsweise verwendet, um zu zählen, auf wie viele Arten eine ganze Zahl als Summe von Quadraten, Kubikzahlen oder einer anderen Potenz dargestellt werden kann.

Wie Demeter es ausdrückte, sind diese Ergebnisse möglich, weil „wir Zahlen als Wellen betrachten können.“ Dass all diese Probleme mit Kakeya-Nadelsets zusammenhängen, „ist faszinierend“, fügte er hinzu. „Man glaubt nicht, dass so viel Schönheit, Schwierigkeit und Wichtigkeit in etwas verborgen sein kann, das sich mithilfe von Liniensegmenten formulieren lässt.“