Malen nach Zahlen enthüllt arithmetische Muster in Brüchen

Ein Jahr nachdem er seinen Ph.D. in Mathematik an der McGill University hatte Matt Bowen ein Problem. „Ich habe meine Eignungsprüfungen abgelegt und absolut schrecklich abgeschnitten“, sagte er. Bowen war sich sicher, dass seine Ergebnisse nicht seine mathematischen Fähigkeiten widerspiegelten, und er beschloss, es zu beweisen. Letzten Herbst tat er es, als er und sein Berater Marcin Sabok, einen großen Fortschritt verbucht im Bereich bekannt als Ramsey-Theorie.

Ramsey-Theoretiker haben fast ein Jahrhundert lang Beweise dafür gesammelt, dass mathematische Strukturen unter feindlichen Umständen bestehen bleiben. Sie können große Zahlenmengen wie ganze Zahlen oder Brüche auseinanderbrechen oder die Verbindungen zwischen Punkten in einem Netzwerk aufteilen. Sie finden dann Wege, um zu beweisen, dass bestimmte Strukturen unvermeidlich sind, selbst wenn Sie versuchen, sie zu vermeiden, indem Sie sie auf clevere Weise brechen oder zerschneiden.

Wenn Ramsey-Theoretiker davon sprechen, eine Menge von Zahlen aufzuteilen, verwenden sie oft die Sprache der Färbung. Wählen Sie mehrere Farben aus: Rot, Blau und Gelb zum Beispiel. Weisen Sie nun jeder Nummer in einer Sammlung eine Farbe zu. Selbst wenn Sie dies auf zufällige oder chaotische Weise tun, werden bestimmte Muster unvermeidlich entstehen, solange Sie nur eine endliche Anzahl verschiedener Farben verwenden, selbst wenn diese Anzahl sehr groß ist. Ramsey-Theoretiker versuchen, diese Muster zu finden, indem sie nach strukturierten Mengen von Zahlen suchen, die „monochromatisch“ sind, was bedeutet, dass ihren Elementen alle dieselbe Farbe zugewiesen wurde.

Die ersten Färbeergebnisse gehen auf das Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Bis 1916 hatte Issai Schur bewiesen, dass es immer ein Zahlenpaar geben wird, egal wie man die positiven ganzen Zahlen (auch bekannt als natürliche Zahlen) einfärbt x und y so dass x, y, und ihre Summe x+y haben alle die gleiche Farbe. Während des gesamten 20. Jahrhunderts arbeiteten Mathematiker weiter an Färbeproblemen. 1974, Neil Hindmann erweitertes Ergebnis von Schur um eine unendliche Teilmenge der ganzen Zahlen einzuschließen. Wie der Satz von Schur gilt der Satz von Hindman unabhängig davon, wie die natürlichen Zahlen gefärbt sind (mit einer endlichen Anzahl von Buntstiften). Diese ganzen Zahlen in Hindmans Menge haben nicht nur alle die gleiche Farbe, sondern wenn Sie eine Sammlung von ihnen zusammenfassen, wird das Ergebnis auch diese Farbe haben. Solche Mengen ähneln darin den geraden Zahlen, so wie jede Summe von geraden Zahlen immer gerade ist, so würde auch die Summe aller Zahlen in einer von Hindmans Mengen in dieser Menge enthalten sein.

„Der Satz von Hindman ist ein erstaunliches Stück Mathematik“, sagte Sabok. „Es ist eine Geschichte, aus der wir einen Film machen können.“

Aber Hindman hielt mehr für möglich. Er glaubte, man könne eine beliebig große (aber endliche) monochromatische Menge finden, die nicht nur die Summen ihrer Mitglieder, sondern auch die Produkte enthielt. „Ich habe jahrzehntelang behauptet, dass das eine Tatsache ist“, sagte er und fügte hinzu: „Ich behaupte nicht, dass ich es beweisen kann.“

Hindmans Vermutung

Wenn Sie die Summe aufgeben und nur sicherstellen möchten, dass die Produkte die gleiche Farbe haben, ist es einfach, den Satz von Hindman anzupassen, indem Sie Potenzierung verwenden, um Summen in Produkte umzuwandeln (ähnlich wie ein Rechenschieber).

Das gleichzeitige Ringen mit Summen und Produkten ist jedoch weitaus härter. „Es ist sehr schwierig, die beiden dazu zu bringen, miteinander zu reden“, sagte er Joël Moreira, Mathematiker an der University of Warwick. „Zu verstehen, wie Addition und Multiplikation zusammenhängen – das ist in gewisser Weise fast die Grundlage der gesamten Zahlentheorie.“

Selbst eine einfachere Version, die Hindman erstmals in den 1970er Jahren vorschlug, erwies sich als herausfordernd. Er vermutete, dass jede Färbung der natürlichen Zahlen eine monochromatische Menge der Form {x, y, xy, x+y} — zwei Zahlen x und y, sowie deren Summe und Produkt. „Die Leute haben bei diesem Problem jahrzehntelang keine wirklichen Fortschritte gemacht“, sagte Bowen. „Und dann, um 2010 herum, fingen die Leute plötzlich an, immer mehr Sachen darüber zu beweisen.“

Bowen erfuhr von der {x, y, xy, x+y} Problem im Jahr 2016, seinem zweiten Semester am College, als einer seiner Professoren an der Carnegie Mellon University das Problem im Unterricht beschrieb. Bowen war von seiner Einfachheit beeindruckt. „Es ist eines dieser coolen Dinge, bei denen es so ist, nun, ich weiß nicht viel Mathe, aber ich kann das irgendwie verstehen“, sagte er.

2017 Moreira erwies sich zur Verbesserung der Gesundheitsgerechtigkeit U kann immer Finden Sie ein monochromes Set, das drei der vier gewünschten Elemente enthält: x, xy und x + y. Währenddessen begann Bowen in seinem letzten Jahr, beiläufig an der Frage herumzubasteln. „Ich konnte das Problem nicht wirklich lösen“, sagte er. „Aber ich kam ungefähr alle sechs Monate darauf zurück.“ Nach seinem schlechten Abschneiden bei seinem Ph.D. Qualifizierungsprüfungen im Jahr 2020 verdoppelte er seine Bemühungen. Ein paar Tage später hatte er die {x, y, xy, x+y} Vermutung für den Fall zweier Farben, ein Ergebnis, das Ron Graham bereits in den 1970er Jahren mit Hilfe eines Computers bewiesen hatte.

Mit diesem Erfolg arbeitete Bowen mit Sabok zusammen, um das Ergebnis auf eine beliebige Anzahl von Farben auszudehnen. Doch schnell verstrickten sie sich in technische Details. „Die Komplexität des Problems gerät völlig außer Kontrolle, wenn die Anzahl der Farben groß ist“, sagte Sabok. 18 Monate lang versuchten sie, sich zu befreien, mit wenig Glück. „Während dieser anderthalb Jahre hatten wir etwa eine Million falsche Beweise“, sagte Sabok.

Vor allem eine Schwierigkeit hielt die beiden Mathematiker davon ab, weiterzukommen. Wenn Sie zwei ganze Zahlen zufällig auswählen, können Sie sie wahrscheinlich nicht teilen. Die Division funktioniert nur in dem seltenen Fall, dass die erste Zahl ein Vielfaches der zweiten ist. Dies erwies sich als äußerst einschränkend. Mit dieser Erkenntnis wandten sich Bowen und Sabok dem Beweis der {x, y, xy, x+y} stattdessen Vermutungen in den rationalen Zahlen (wie Mathematiker Brüche nennen). Dort können Zahlen ohne weiteres geteilt werden.

Der Beweis von Bowen und Sabok ist am elegantesten, wenn alle beteiligten Farben in den rationalen Zahlen häufig vorkommen. Farben können auf verschiedene Weise „häufig“ erscheinen. Sie könnten jeweils große Teile der Zahlenreihe abdecken. Oder es könnte bedeuten, dass Sie nicht zu weit entlang der Zahlenlinie reisen können, ohne jede Farbe zu sehen. Normalerweise entsprechen die Farben jedoch nicht solchen Regeln. In diesen Fällen können Sie sich auf kleine Regionen innerhalb der rationalen Zahlen konzentrieren, in denen die Farben häufiger auftreten, erklärte Sabok. „Hier kam der Großteil der Arbeit an“, sagte er.

Im Oktober 2022 veröffentlichten Bowen und Sabok einen Beweis, dass es eine Menge der Form {x, y, xy, x+y} deren Elemente alle dieselbe Farbe haben. "Es ist ein unglaublich cleverer Beweis", sagte er Imre Führer der Universität Cambridge. „Es verwendet bekannte Ergebnisse. Aber es verbindet sie auf absolut brillante, sehr originelle, sehr innovative Weise.“

Es bleiben viele Fragen. Kann eine dritte Nummer z zusammen mit den daraus resultierenden Beträgen und Produkten in die Sammlung aufgenommen werden? Hindmans kühnste Vorhersagen zu erfüllen, würde bedeuten, der Folge eine vierte, eine fünfte und schließlich willkürlich viele neue Zahlen hinzuzufügen. Es würde auch erfordern, von den rationalen Zahlen zu den natürlichen Zahlen überzugehen und einen Weg zu finden, das Divisionsrätsel zu umgehen, das Bowens und Saboks Bemühungen behinderte.

Leader glaubt, dass mit Moreira, Bowen und Sabok, die alle an dem Problem arbeiten, dieser Beweis möglicherweise nicht weit entfernt ist. „Diese Jungs scheinen besonders brillant darin zu sein, neue Wege zu finden, Dinge zu tun“, sagte er. „Deshalb bin ich ziemlich optimistisch, dass sie oder einige ihrer Kollegen es finden werden.“

Sabok ist vorsichtiger in seinen Prognosen. Aber er schließt nichts aus. „Einer der Reize der Mathematik ist, dass vor einem Beweis alles möglich ist“, sagte er.