Wie groß ist die Unendlichkeit?

Am Ende des Marvel-Blockbusters Avengers: Endgame, Ein vorab aufgezeichnetes Hologramm von Tony Stark verabschiedet sich von seiner kleinen Tochter mit den Worten „I love you 3,000“. Der berührende Moment erinnert an eine frühere Szene, in der die beiden sich mit dem spielerischen Schlafenszeitritual beschäftigen, um ihre Liebe zueinander zu quantifizieren. Laut Robert Downey Jr., dem Schauspieler, der Stark spielt, wurde die Linie durch einen ähnlichen Austausch mit seinen eigenen Kindern inspiriert.

Das Spiel kann eine unterhaltsame Art sein, große Zahlen zu erkunden:

"Ich liebe dich 10."

"Aber ich liebe dich 100."

"Nun, ich liebe dich 101!"

Genau so wurde „Googolplex“ zu einem beliebten Wort in meinem Zuhause. Aber wir alle wissen, wohin diese Argumentation letztendlich führt:

„Ich liebe dich unendlich!“

"Oh ja? Ich liebe dich unendlich plus 1!“

Ob auf dem Spielplatz oder vor dem Schlafengehen, Kinder begegnen dem Konzept der Unendlichkeit lange vor dem Mathematikunterricht und entwickeln verständlicherweise eine Faszination für dieses mysteriöse, komplizierte und wichtige Konzept. Einige dieser Kinder werden zu Mathematikern, die von der Unendlichkeit fasziniert sind, und einige dieser Mathematiker entdecken neue und überraschende Dinge über die Unendlichkeit.

Sie wissen vielleicht, dass einige Zahlenmengen unendlich groß sind, aber wussten Sie, dass einige Unendlichkeiten größer sind als andere? Und dass wir uns nicht sicher sind, ob es zwischen den beiden, die wir am besten kennen, andere Unendlichkeiten gibt? Mathematiker denken seit mindestens einem Jahrhundert über diese zweite Frage nach, und einige neuere Arbeiten haben die Art und Weise verändert, wie Menschen über dieses Thema denken.

Um Fragen zur Größe unendlicher Mengen anzugehen, beginnen wir mit Mengen, die sich leichter zählen lassen. Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten oder Elementen, und eine endliche Menge ist einfach eine Menge, die endlich viele Objekte enthält.

Die Größe einer endlichen Menge zu bestimmen ist einfach: Zählen Sie einfach die Anzahl der Elemente, die sie enthält. Da die Menge endlich ist, wissen Sie, dass Sie irgendwann aufhören werden zu zählen, und wenn Sie fertig sind, kennen Sie die Größe Ihrer Menge.

Diese Strategie funktioniert nicht mit unendlichen Mengen. Hier ist die Menge der natürlichen Zahlen, die mit ℕ bezeichnet wird. (Einige mögen argumentieren, dass Null keine natürliche Zahl ist, aber diese Debatte hat keinen Einfluss auf unsere Untersuchungen zur Unendlichkeit.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Wie groß ist dieses Set? Da es keine größte natürliche Zahl gibt, wird der Versuch, die Anzahl der Elemente zu zählen, nicht funktionieren. Eine Lösung besteht darin, die Größe dieser unendlichen Menge einfach als „unendlich“ zu deklarieren, was nicht falsch ist, aber wenn Sie anfangen, andere unendliche Mengen zu untersuchen, stellen Sie fest, dass es auch nicht ganz richtig ist.

Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen, die alle Zahlen sind, die in einer Dezimalerweiterung wie 7, 3.2, −8.015 oder einer unendlichen Erweiterung wie $latexsqrt{2} = 1.414213…$ ausgedrückt werden können. Da jede natürliche Zahl auch eine reelle Zahl ist, ist die Menge der reellen Zahlen mindestens so groß wie die Menge der natürlichen Zahlen, also auch unendlich.

Aber es ist unbefriedigend, die Größe der Menge der reellen Zahlen mit der gleichen „Unendlichkeit“ zu erklären, die verwendet wird, um die Größe der natürlichen Zahlen zu beschreiben. Um zu sehen, warum, wähle zwei beliebige Zahlen, wie 3 und 7. Zwischen diesen beiden Zahlen gibt es immer endlich viele natürliche Zahlen: Hier sind es die Zahlen 4, 5 und 6. Aber es werden immer unendlich viele reelle Zahlen dazwischen liegen, Zahlen wie 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666 … und so weiter.

Bemerkenswerterweise gibt es immer unendlich viele reelle Zahlen dazwischen, egal wie nahe zwei verschiedene reelle Zahlen beieinander liegen. Das bedeutet an sich nicht, dass die Mengen der reellen Zahlen und der natürlichen Zahlen unterschiedliche Größen haben, aber es deutet darauf hin, dass diese beiden unendlichen Mengen etwas grundlegend Unterschiedliches haben, das weitere Untersuchungen rechtfertigt.

Der Mathematiker Georg Cantor hat dies Ende des 19. Jahrhunderts untersucht. Er zeigte, dass diese beiden unendlichen Mengen wirklich unterschiedliche Größen haben. Um zu verstehen und zu würdigen, wie er das gemacht hat, müssen wir zuerst verstehen, wie man unendliche Mengen vergleicht. Das Geheimnis ist ein fester Bestandteil des Mathematikunterrichts überall: Funktionen.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, über Funktionen nachzudenken – Funktionsnotation wie $latex f(x) = x^2 +1$, Graphen von Parabeln in der kartesischen Ebene, Regeln wie „nimm die Eingabe und addiere 3 dazu“ – aber hier stellen wir uns eine Funktion als Möglichkeit vor, die Elemente einer Menge mit den Elementen einer anderen in Übereinstimmung zu bringen.

Nehmen wir an, eine dieser Mengen sei ℕ, die Menge der natürlichen Zahlen. Für das andere Set, das wir anrufen werden S, nehmen wir alle geraden natürlichen Zahlen. Hier sind unsere beiden Sets:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Es gibt eine einfache Funktion, die die Elemente von ℕ in die Elemente von umwandelt S: $latex f(x) = 2x$. Diese Funktion verdoppelt einfach ihre Eingaben. Wenn wir uns also die Elemente von ℕ als Eingaben von $latex f(x)$ vorstellen (wir nennen die Menge der Eingaben einer Funktion den „Bereich“), sind die Ausgaben immer Elemente von S. Beispiel: $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ und so weiter.

Sie können sich das veranschaulichen, indem Sie die Elemente der beiden Mengen nebeneinander aufreihen und mit Pfeilen anzeigen, wie die Funktion $latex f$ Eingaben von ℕ in Ausgaben in umwandelt S.

Beachten Sie, wie $latex f(x)$ genau ein Element von zuweist S zu jedem Element von ℕ. Das ist es, was Funktionen tun, aber $latex f(x)$ tut es auf besondere Weise. Zuerst weist $latex f$ alles zu S zu etwas in ℕ. Unter Verwendung der Funktionsterminologie sagen wir, dass jedes Element von S ist das „Bild“ eines Elements von ℕ unter der Funktion $latex f$. Zum Beispiel ist die gerade Zahl 3,472 drin S, und wir können eine finden x in ℕ, so dass $latex f(x) = 3,472$ (nämlich 1,736). In dieser Situation sagen wir, dass die Funktion $latex f(x)$ auf ℕ abbildet S. Eine schickere Art, es auszudrücken, ist, dass die Funktion $latex f(x)$ „surjektiv“ ist. Wie auch immer Sie es beschreiben, wichtig ist Folgendes: Da die Funktion $latex f(x)$ Eingaben von ℕ in Ausgaben in umwandelt S, Nichts in S wird dabei übersehen.

Die zweite Besonderheit bei der Zuweisung von Ausgängen zu Eingängen durch $latex f(x)$ ist, dass keine zwei Elemente in ℕ in dasselbe Element in umgewandelt werden S. Wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann sind auch ihre Doppelzahlen verschieden; 5 und 11 sind verschiedene natürliche Zahlen in ℕ und ihre Ausgaben in S sind ebenfalls unterschiedlich: 10 und 22. In diesem Fall sagen wir, dass $latex f(x)$ „1-zu-1“ (auch „1-1“ geschrieben) ist, und wir beschreiben $latex f(x)$ als „injektiv“. Der Schlüssel hier ist, dass nichts drin ist S wird doppelt verwendet: Jedes Element in S ist mit nur einem Element in ℕ gepaart.

Diese beiden Eigenschaften von $latex f(x)$ werden auf eine wirkungsvolle Weise kombiniert. Die Funktion $latex f(x)$ erzeugt ein perfektes Matching zwischen den Elementen von ℕ und den Elementen von S. Die Tatsache, dass $latex f(x)$ „onto“ ist, bedeutet, dass alles drin ist S hat einen Partner in ℕ, und die Tatsache, dass $latex f(x)$ 1-zu-1 ist, bedeutet, dass nichts drin ist S hat zwei Partner in ℕ. Kurz gesagt paart die Funktion $latex f(x)$ jedes Element von ℕ mit genau einem Element von S.

Eine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, wird Bijektion genannt, und eine Bijektion erzeugt eine 1-zu-1-Korrespondenz zwischen den beiden Mengen. Das bedeutet, dass jedes Element in einer Menge genau einen Partner in der anderen Menge hat, und dies ist eine Möglichkeit zu zeigen, dass zwei unendliche Mengen die gleiche Größe haben.

Da unsere Funktion $latex f(x)$ eine Bijektion ist, zeigt dies, dass die beiden unendlichen Mengen ℕ und S sind gleich groß. Das mag überraschen: Schließlich ist jede gerade natürliche Zahl selbst eine natürliche Zahl, also enthält ℕ alles in S und mehr. Sollte das nicht ℕ größer machen als S? Wenn wir es mit endlichen Mengen zu tun hätten, wäre die Antwort ja. Aber ein unendliches Set kann ein anderes vollständig enthalten und sie können immer noch die gleiche Größe haben, so wie „unendlich plus 1“ eigentlich keine größere Menge an Liebe ist als das einfache alte „unendlich“. Dies ist nur eine der vielen überraschenden Eigenschaften unendlicher Mengen.

Eine noch größere Überraschung könnte sein, dass es unendlich viele Sets in verschiedenen Größen gibt. Zuvor haben wir die unterschiedlichen Naturen der unendlichen Mengen reeller und natürlicher Zahlen untersucht, und Cantor hat bewiesen, dass diese beiden unendlichen Mengen unterschiedliche Größen haben. Er tat dies mit seinem brillanten und berühmten diagonalen Argument.

Da es unendlich viele reelle Zahlen zwischen zwei unterschiedlichen reellen Zahlen gibt, konzentrieren wir uns für den Moment einfach auf die unendlich vielen reellen Zahlen zwischen null und 1. Jede dieser Zahlen kann man sich als (möglicherweise unendliche) Dezimalerweiterung vorstellen, so wie hier.

Hier sind $latex a_1, a_2, a_3$ usw. nur die Ziffern der Zahl, aber wir verlangen, dass nicht alle Ziffern Null sind, also nehmen wir die Zahl Null selbst nicht in unseren Satz auf.

Das Diagonalargument beginnt im Wesentlichen mit der Frage: Was würde passieren, wenn zwischen den natürlichen Zahlen und diesen reellen Zahlen eine Bijektion bestünde? Wenn es eine solche Funktion gäbe, hätten die beiden Mengen dieselbe Größe, und Sie könnten die Funktion verwenden, um jede reelle Zahl zwischen null und 1 mit einer natürlichen Zahl abzugleichen. Sie können sich eine geordnete Liste der Übereinstimmungen wie diese vorstellen.

Das Geniale am diagonalen Argument ist, dass Sie diese Liste verwenden können, um eine reelle Zahl zu konstruieren, die nicht auf der Liste stehen kann. Beginnen Sie mit dem Aufbau einer reellen Zahl Ziffer für Ziffer auf folgende Weise: Machen Sie die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt anders als $latex a_1$, machen Sie die zweite Ziffer anders als $latex b_2$, machen Sie die dritte Ziffer anders als $latex c_3 $ und so weiter.

Diese reelle Zahl wird durch ihre Beziehung zur Diagonalen der Liste definiert. Ist es auf der Liste? Es kann nicht die erste Nummer auf der Liste sein, da sie eine andere erste Ziffer hat. Es kann auch nicht die zweite Nummer auf der Liste sein, da sie eine andere zweite Ziffer hat. Eigentlich kann es das nicht sein nNummer auf dieser Liste, weil es eine andere hat nte Ziffer. Und das gilt für alle n, also kann diese neue Zahl, die zwischen null und 1 liegt, nicht auf der Liste stehen.

Aber alle reellen Zahlen zwischen null und 1 sollten auf der Liste stehen! Dieser Widerspruch ergibt sich aus der Annahme, dass es eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen zwischen null und 1 gibt und es daher keine solche Bijektion geben kann. Dies bedeutet, dass diese unendlichen Mengen unterschiedliche Größen haben. Ein wenig mehr Arbeit mit Funktionen (siehe Übungen) kann zeigen, dass die Menge aller reellen Zahlen dieselbe Größe hat wie die Menge aller reellen Zahlen zwischen Null und 1, und daher müssen die reellen Zahlen, die die natürlichen Zahlen enthalten, a sein größere unendliche Menge.

Der Fachausdruck für die Größe einer unendlichen Menge ist ihre „Kardinalität“. Das Diagonalargument zeigt, dass die Kardinalität der reellen Zahlen größer ist als die Kardinalität der natürlichen Zahlen. Die Kardinalität der natürlichen Zahlen wird $latex aleph_0$ geschrieben, ausgesprochen „aleph naught“. In einer Standardansicht der Mathematik ist dies die kleinste unendliche Kardinalzahl.

Die nächste unendliche Kardinalzahl ist $latex aleph_1$ („Aleph Eins“), und eine einfach formulierte Frage hat Mathematiker seit mehr als einem Jahrhundert verwirrt: Ist $latex aleph_1$ die Kardinalität der reellen Zahlen? Mit anderen Worten, gibt es noch andere Unendlichkeiten zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen? Cantor dachte, die Antwort sei nein – eine Behauptung, die als die bekannt wurde Kontinuumshypothese – aber beweisen konnte er es nicht. In den frühen 1900er Jahren wurde diese Frage als so wichtig angesehen, dass die Kontinuumshypothese die Nummer eins war, als David Hilbert seine berühmte Liste von 23 wichtigen offenen Problemen in der Mathematik zusammenstellte.

Hundert Jahre später wurden viele Fortschritte erzielt, aber diese Fortschritte haben zu neuen Rätseln geführt. 1940 der berühmte Logiker Kurt Gödel bewies dass es nach den allgemein anerkannten Regeln der Mengenlehre unmöglich ist zu beweisen, dass zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen eine Unendlichkeit existiert. Das mag wie ein großer Schritt erscheinen, um zu beweisen, dass die Kontinuumshypothese wahr ist, aber zwei Jahrzehnte später der Mathematiker Paul Cohen erwies sich dass es unmöglich ist zu beweisen, dass eine solche Unendlichkeit nicht existiert! Es stellt sich heraus, dass die Kontinuumshypothese nicht auf die eine oder andere Weise bewiesen werden kann.

Zusammengenommen begründeten diese Ergebnisse die „Unabhängigkeit“ der Kontinuumshypothese. Das bedeutet, dass die allgemein akzeptierten Mengenregeln einfach nicht genug aussagen, um uns zu sagen, ob zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen eine Unendlichkeit existiert oder nicht. Aber anstatt Mathematiker in ihrem Streben nach dem Verständnis der Unendlichkeit zu entmutigen, hat es sie in neue Richtungen geführt. Mathematiker suchen nun nach neuen Grundregeln für unendliche Mengen, die sowohl erklären können, was bereits über die Unendlichkeit bekannt ist, als auch dabei helfen, die Lücken zu füllen.

Zu sagen „Meine Liebe zu dir ist unabhängig von den Axiomen“ ist vielleicht nicht so lustig wie „Ich liebe dich unendlich plus 1“, aber vielleicht hilft es der nächsten Generation von Mathematikern, die die Unendlichkeit lieben, besser zu schlafen.

Übungen

1. Sei $latex T = {1,3,5,7,…}$, die Menge der positiven ungeraden natürlichen Zahlen. Ist T größer als, kleiner als oder gleich groß wie ℕ, die Menge der natürlichen Zahlen?

2. Finden Sie eine 1-zu-1-Entsprechung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen ℕ und der Menge der ganzen Zahlen $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Finden Sie eine Funktion $latex f(x)$, die eine Bijektion zwischen der Menge der reellen Zahlen zwischen Null und 1 und der Menge der reellen Zahlen größer als Null ist.

4. Finden Sie eine Funktion, die eine Bijektion zwischen der Menge der reellen Zahlen zwischen Null und 1 und der Menge aller reellen Zahlen ist.

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