Isaac Newton war nicht für seine Großzügigkeit bekannt, und seine Verachtung für seine Rivalen war legendär. Aber in einem Brief an seinen Konkurrenten Gottfried Leibniz, heute bekannt als der Epistola posterior, Newton wirkt nostalgisch und fast freundlich. Darin erzählt er eine Geschichte aus seiner Studienzeit, als er gerade anfing, Mathematik zu lernen. Er erzählt, wie er eine große Entdeckung machte, indem er Bereiche unter Kurven mit unendlichen Summen durch Raten und Prüfen gleichsetzte. Seine Argumentation in dem Brief ist so charmant und zugänglich, dass es mich an die Musterratespiele erinnert, die kleine Kinder gerne spielen.
Alles begann, als der junge Newton John Wallis’ Buch las. Arithmetica Infinitorum, ein wegweisendes Werk der Mathematik des 17. Jahrhunderts. Wallis fügte eine neuartige und induktive Methode zur Bestimmung des Pi-Werts hinzu, und Newton wollte etwas Ähnliches entwickeln. Er begann mit dem Problem, die Fläche eines „Kreissegments“ einstellbarer Breite zu finden $latexx$. Dies ist der Bereich unter dem Einheitskreis, definiert durch $latex y=sqrt{1-x^2}$, der über dem Teil der horizontalen Achse von 0 bis liegt $latexx$. Hier $latexx$ könnte jede Zahl von 0 bis 1 sein, und 1 ist der Radius des Kreises. Die Fläche eines Einheitskreises ist Pi, wie Newton wohl wusste, also wann $Latex x=1$, ist die Fläche unter der Kurve ein Viertel des Einheitskreises, $latexfrac{π}{4}$. Aber für andere Werte von $latexx$, nichts bekannt.
Wenn Newton einen Weg finden könnte, die Fläche unter der Kurve für jeden möglichen Wert von zu bestimmen $latexx$, es könnte ihm ein beispielloses Mittel zur Annäherung an Pi geben. Das war ursprünglich sein großer Plan. Aber nebenbei fand er etwas noch Besseres: eine Methode, um komplizierte Kurven durch unendliche Summen einfacherer Bausteine aus Potenzen von zu ersetzen $latexx$.
Newtons erster Schritt war der Analogieschluss. Anstatt direkt auf die Fläche des Kreissegments zu zielen, untersuchte er die Flächen analoger Segmente, die durch die folgenden Kurven begrenzt sind:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton wusste, dass die Flächen unter den Kurven in der Liste mit ganzzahligen Potenzen (wie $latex frac{0}{2}=0$ und $latex frac{2}{2} = 1$) einfach zu berechnen wären, weil sie algebraisch vereinfachen. Zum Beispiel,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Ebenso
Aber für die Kreisgleichung — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— oder die anderen Kurven mit halben Potenzen gibt es keine solche Vereinfachung. Zu der Zeit wusste niemand, wie man das Gebiet unter einem von ihnen findet.
Glücklicherweise waren die Bereiche unter den Kurven mit ganzzahligen Potenzen einfach. Nehmen Sie die Kurve $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Eine damals bekannte Regel für solche Funktionen ermöglichte es Newton (und allen anderen), die Fläche schnell zu finden: Für jede ganzzahlige Potenz $latex nge 0$ ist die Fläche unter der Kurve $latex y=x^n$ vorbei das Intervall von $Latex 0$ zu $latexx$ ist gegeben durch $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis hatte diese Regel mit seiner induktiven Methode erraten, und Pierre de Fermat bewies sie schlüssig.) Mit dieser Regel bewaffnet, wusste Newton, dass die Fläche unter der Kurve $latex y_4$ gleich $latex x-frac{2x^3}{3 war } + frac{x^5}{5}$.
Die gleiche Regel ermöglichte es ihm, die Fläche unter den anderen Kurven mit ganzzahligen Potenzen in der obigen Liste zu finden. Schreiben wir $latex A_n$ für die Fläche unter der Kurve $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, wobei $latex n= 0, 1, 2, …$ . Die Anwendung der Regel ergibt
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
usw. Newtons schlaue Idee bestand darin, die Lücken zu füllen, in der Hoffnung, $latexA_1$ (die Reihe für den unbekannten Bereich des Kreissegments) zu erraten, basierend auf dem, was er in den anderen Reihen sehen konnte. Eines war sofort klar: Jedes $latexA_n$ begann einfach mit $latex x$ . Das schlug vor, die Formeln wie folgt zu ändern:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Dann sah sich Newton, um die nächste Reihe von Fragezeichen zu ersetzen, die Begriffe $latex x^3$ an. Mit ein wenig Lizenz können wir sehen, dass sogar $latexA_0$ einen dieser kubischen Terme hatte, da wir ihn umschreiben können als $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Wie Newton Leibniz erklärte, beobachtete er, „dass die zweiten Terme $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ usw., waren in arithmetischer Folge“ (er bezog sich auf die 0, 1, 2, 3 in den Zählern). Newton vermutete, dass sich diese arithmetische Folge auch in die Lücken erstrecken könnte, und vermutete, dass die gesamte Folge von Zählern, bekannten und unbekannten, Zahlen sein müssten, die durch $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ „und damit die ersten beiden Terme der Reihe“ interessierten ihn – das noch unbekannte $latex A_1$ , $latex A_3$ und $latex A_5$ – „sollten $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ usw.“
Daher schlugen die Muster Newton in diesem Stadium vor, dass $latex A_1$ beginnen sollte
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Das war ein guter Anfang, aber er brauchte mehr. Als er nach anderen Mustern suchte, bemerkte Newton, dass die Nenner in den Gleichungen immer ungerade Zahlen in aufsteigender Reihenfolge enthielten. Schauen Sie sich zum Beispiel $latex A_6$ an, das 1, 3, 5 und 7 in seinen Nennern hat. Dasselbe Muster funktionierte für $latex A_4$ und $latex A_2$. Einfach genug. Dieses Muster blieb offensichtlich in allen Nennern aller Gleichungen bestehen.
Was blieb, war ein Muster in den Zählern zu finden. Newton untersuchte erneut $latex A_2$, $latex A_4$ und $latex A_6$ und entdeckte etwas. In $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ sah er eine 1, die $latex x$ multiplizierte, und eine weitere 1 im Term $latexfrac {1}{3}x^3$ (er ignorierte sie vorerst negatives Vorzeichen). In $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ sah er Zähler von 1, 2, 1. Und in $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , sah er die Zähler 1, 3, 3, 1. Diese Zahlen sollten jedem bekannt sein Wer hat schon einmal Pascals Dreieck studiert, eine dreieckige Anordnung von Zahlen, die im einfachsten Fall durch Addieren der Zahlen darüber entsteht, beginnend mit 1 oben.
Anstatt sich auf Pascal zu berufen, bezeichnete Newton diese Zähler als „Potenzen der Zahl 11“. Zum Beispiel 112 = 121, das ist die zweite Reihe im Dreieck, und 113 = 1331, das ist das dritte. Heutzutage werden diese Zahlen auch Binomialkoeffizienten genannt. Sie entstehen, wenn Sie die Potenzen eines Binoms wie ($latex a +b$) erweitern, wie in $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Mit diesem Muster in der Hand hatte Newton nun eine einfache Möglichkeit, $latex A_2, A_4, A_6$ und alle anderen geraden Zahlen zu schreiben A'S.
Als Nächstes musste Newton, um seine Ergebnisse auf halbe Potenzen und ungeradzahlige Indizes zu extrapolieren (und schließlich zu der Reihe zu gelangen, die er wollte, $latex A_1$), Pascals Dreieck zu einem fantastischen neuen Regime erweitern: auf halbem Weg zwischen den Reihen. Um die Extrapolation durchzuführen, leitete er eine allgemeine Formel für die Binomialkoeffizienten in einer gegebenen Zeile des Pascalschen Dreiecks ab – Zeile $latex m$ – und fügte dann dreist $latex m= frac{1}{2}$ ein. Und erstaunlicherweise funktionierte es. Das gab ihm die Zähler in der Reihe, die er für einen Einheitskreis suchte, $latexA_1$.
Hier ist in Newtons eigenen Worten seine Zusammenfassung der Muster, die er bis zu diesem Stadium der Argumentation induktiv bemerkt hat, an Leibniz:
Ich fing an zu überlegen, dass die Nenner 1, 3, 5, 7 usw. in arithmetischer Folge stünden, so dass nur die Zahlenkoeffizienten der Zähler noch einer Untersuchung bedurften. Aber in den wechselweise angegebenen Bereichen waren das die Potenzziffern der Zahl 11 … also zuerst „1“; dann '1, 1'; drittens „1, 2, 1“; viertens '1, 3, 3, 1'; fünftens '1, 4, 6, 4, 1' usw. und so begann ich zu fragen, wie die verbleibenden Zahlen in der Reihe von den ersten beiden gegebenen Zahlen abgeleitet werden könnten, und ich fand dies heraus, indem ich $latex m$ für die zweite setzte Figur, der Rest ergäbe sich durch fortwährende Multiplikation der Terme dieser Reihe,
$latex frac{m-0}{1} mal frac{m-1}{2} mal frac {m-2}{3} mal frac{m-3}{4} mal frac {m-4}{5 }$ usw.
… Dementsprechend habe ich diese Regel angewendet, um Serien unter Serien einzufügen, und da für den Kreis der zweite Term $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ war, habe ich $latex eingesetzt m=frac{1}{2}$, und die sich ergebenden Terme waren
$latex frac {1}{2} mal frac{frac{1}{2}-1}{2}$ oder $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} mal frac{frac{1}{2}-2}{3}$ oder $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} mal frac{frac{1}{2}-3}{4}$ oder $latex – frac {5}{128}$,also bis ins unendliche. Daraus habe ich verstanden, dass die Fläche des Kreissegments, die ich wollte, war
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Schließlich könnte Newton durch Einfügen von $latex x=1$ eine unendliche Summe für $latexfrac{π}{4}$ erhalten. Es war eine wichtige Erkenntnis, aber es stellt sich heraus, dass es bessere Möglichkeiten gibt, Pi durch eine unendliche Summe anzunähern, wie Newton selbst bald nach diesem ersten Ausflug in diese Art von unendlichen Summen entdeckte, die jetzt als Potenzreihen bezeichnet werden. Schließlich berechnete er die ersten 15 Stellen von Pi.
Zurückkommend auf das Problem des Kreissegments erkannte Newton, dass die Gleichung für den Kreis selbst (nicht nur die Fläche darunter) auch durch eine Potenzreihe dargestellt werden könnte. Alles, was er tun musste, war, die Nenner wegzulassen und die Potenzen von $latex x$ in der oben angezeigten Potenzreihe um 1 zu reduzieren. So wurde er dazu gebracht, das zu erraten
Um zu testen, ob dieses Ergebnis sinnvoll ist, multiplizierte Newton es mit sich selbst: „Es wurde $latex 1-x^2$, die restlichen Terme verschwinden durch die Fortsetzung der Reihe bis ins Unendliche.“
Wenn wir ein wenig von den Details zurücktreten, sehen wir hier mehrere Lektionen über das Lösen von Problemen. Wenn ein Problem zu schwierig ist, ändern Sie es. Wenn es zu spezifisch erscheint, verallgemeinern Sie es. Newton tat beides und erzielte Ergebnisse, die wichtiger und aussagekräftiger waren als das, was er ursprünglich angestrebt hatte.
Newton fixierte sich nicht stur auf einen Viertelkreis. Er betrachtete eine viel allgemeinere Form, irgendein kreisförmiges Segment der Breite $latex x$. Anstatt sich an $latex x=1$ zu halten, ließ er $latex x$ frei von 0 bis 1 laufen. Das offenbarte den binomialen Charakter der Koeffizienten in seiner Reihe – das unerwartete Auftreten von Zahlen in Pascals Dreieck und ihre Verallgemeinerungen – was ließ Newton Muster erkennen, die Wallis und anderen entgangen waren. Das Erkennen dieser Muster gab Newton dann die Einsichten, die er brauchte, um die Theorie der Potenzreihen viel umfassender und allgemeiner zu entwickeln.
In seiner späteren Arbeit gab ihm Newtons Power Series ein Schweizer Taschenmesser für die Infinitesimalrechnung. Mit ihnen konnte er Integrale berechnen, Wurzeln algebraischer Gleichungen finden und die Werte von Sinus, Cosinus und Logarithmus berechnen. Wie er es ausdrückte: „Mit ihrer Hilfe erreicht die Analyse, möchte ich fast sagen, alle Probleme.“
Die Moral: Ein Problem zu ändern ist kein Betrug. Es ist kreativ. Und es könnte der Schlüssel zu etwas Größerem sein.
