Im dritten Jahrhundert v. Chr. Archimedes gestellt ein Rätsel über das Hüten von Rindern, das, wie er behauptete, nur ein wirklich weiser Mensch lösen könne. Sein Problem lief letztendlich auf eine Gleichung hinaus, die die Differenz zwischen zwei quadrierten Termen beinhaltet, die geschrieben werden kann als x2 - dy2 = 1. Hier d eine ganze Zahl ist – eine positive oder negative Zählzahl – und Archimedes suchte nach Lösungen, bei denen beides möglich ist x und y sind ebenfalls ganze Zahlen.
Diese Klasse von Gleichungen, die als Pell-Gleichungen bezeichnet werden, hat Mathematiker seit Jahrtausenden fasziniert.
Einige Jahrhunderte nach Archimedes stellten der indische Mathematiker Brahmagupta und später der Mathematiker Bhāskara II Algorithmen zur Verfügung, um ganzzahlige Lösungen für diese Gleichungen zu finden. Mitte des 1600. Jahrhunderts entdeckte der französische Mathematiker Pierre de Fermat (der von dieser Arbeit nichts wusste) dies in einigen Fällen wieder, selbst wenn d wurde ein relativ kleiner Wert zugewiesen, für kleinstmögliche ganzzahlige Lösungen x und y könnte massiv sein. Als er eine Reihe von Herausforderungsaufgaben an konkurrierende Mathematiker schickte, enthielten sie die Gleichung x2 - 61y2 = 1, deren kleinste Lösungen neun- oder zehnstellig sind. (Was Archimedes betrifft, so verlangte sein Rätsel im Wesentlichen nach ganzzahligen Lösungen der Gleichung x2 - 4,729,494y2 = 1. „Um die kleinste Lösung auszudrucken, braucht man 50 Seiten“, sagte er Peter Koymans, Mathematiker an der University of Michigan. „In gewisser Weise ist es ein gigantischer Troll von Archimedes.“)
Aber die Lösungen der Pell-Gleichungen können noch viel mehr. Angenommen, Sie möchten $latex sqrt{2}$, eine irrationale Zahl, als Verhältnis ganzer Zahlen approximieren. Es stellt sich heraus, dass das Lösen der Pell-Gleichung x2 - 2y2 = 1 kann Ihnen dabei helfen: $latex sqrt{2}$ (oder allgemeiner $latex sqrt{d}$) kann gut angenähert werden, indem die Lösung als Bruchteil der Form umgeschrieben wird x/y.
Vielleicht noch faszinierender ist, dass diese Lösungen Ihnen auch etwas über bestimmte Zahlensysteme sagen, die Mathematiker als Ringe bezeichnen. In einem solchen Zahlensystem könnten Mathematiker $latex sqrt{2}$ an die ganzen Zahlen anhängen. Ringe haben bestimmte Eigenschaften, und Mathematiker wollen diese Eigenschaften verstehen. Wie sich herausstellt, kann ihnen die Pell-Gleichung dabei helfen.
Und so „haben viele sehr berühmte Mathematiker – fast jeder Mathematiker in einem bestimmten Zeitraum – diese Gleichung tatsächlich untersucht, weil sie so einfach ist“, sagte er Mark Shustermann, Mathematiker an der Harvard University. Zu diesen Mathematikern gehörten Fermat, Euler, Lagrange und Dirichlet. (John Pell, nicht so sehr; die Gleichung wurde fälschlicherweise nach ihm benannt.)
Jetzt Koymans und Carlo Pagano, Mathematiker an der Concordia University in Montreal, haben bewies eine jahrzehntealte Vermutung verwandt mit der Pell-Gleichung, die quantifiziert, wie oft eine bestimmte Form der Gleichung ganzzahlige Lösungen hat. Dazu importierten sie Ideen aus einem anderen Gebiet – der Gruppentheorie – und erlangten gleichzeitig ein besseres Verständnis für ein wichtiges, aber mysteriöses Studienobjekt auf diesem Gebiet. „Sie haben wirklich tiefgründige und schöne Ideen verwendet“, sagte sie Andreas Granville, Mathematiker an der Universität von Montreal. „Sie haben es wirklich auf den Punkt gebracht.“
Gebrochene Arithmetik
In den frühen 1990s, Peter Stevenhagen, ein Mathematiker an der Universität Leiden in den Niederlanden, wurde von einigen der Verbindungen, die er zwischen den Pell-Gleichungen und der Gruppentheorie sah, inspiriert, eine Vermutung darüber anzustellen, wie oft diese Gleichungen ganzzahlige Lösungen haben. Aber „ich habe nicht erwartet, dass es in absehbarer Zeit bewiesen wird“, sagte er – oder sogar zu seinen Lebzeiten. Die verfügbaren Techniken schienen nicht stark genug zu sein, um das Problem anzugehen.
Seine Vermutung hängt von einem bestimmten Merkmal von Ringen ab. In dem Zahlenkreis, in dem beispielsweise $latex sqrt{-5}$ zu den ganzen Zahlen hinzugefügt wurde (Mathematiker arbeiten oft mit „imaginären“ Zahlen wie $latex sqrt{-5}$), gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. Die Zahl 6 zum Beispiel kann nicht nur als 2 × 3 geschrieben werden, sondern auch als (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Infolgedessen bricht in diesem Ring die einzigartige Primfaktorzerlegung – ein zentraler Grundsatz der Arithmetik, der bei den normalen ganzen Zahlen praktisch als selbstverständlich angesehen wird – zusammen. Das Ausmaß, in dem dies auftritt, ist in einem Objekt codiert, das diesem Ring zugeordnet ist und als Klassengruppe bezeichnet wird.
Eine Möglichkeit, wie Mathematiker versuchen, tiefere Einblicke in ein Zahlensystem zu gewinnen, an dem sie interessiert sind – sagen wir, $latex sqrt{2}$ neben den ganzen Zahlen – besteht darin, seine Klassengruppe zu berechnen und zu untersuchen. Dennoch ist es fast unerschwinglich schwierig, allgemeine Regeln dafür festzulegen, wie sich Klassengruppen in all diesen verschiedenen Zahlensystemen verhalten.
In den 1980er Jahren die Mathematiker Henri Cohen und Hendrik Lenstra eine breite Palette von Vermutungen darüber aufzustellen, wie diese Regeln aussehen sollten. Diese „Cohen-Lenstra-Heuristiken“ könnten Ihnen viel über Klassengruppen sagen, die wiederum Eigenschaften ihrer zugrunde liegenden Zahlensysteme aufdecken sollten.
Es gab nur ein Problem. Während viele Berechnungen die Cohen-Lenstra-Heuristik zu unterstützen scheinen, sind sie immer noch Vermutungen, keine Beweise. „Was Theoreme betrifft, wussten wir bis vor kurzem fast nichts“, sagte er Alex Bartel, Mathematiker an der University of Glasgow.
Interessanterweise ist das typische Verhalten einer Klassengruppe untrennbar mit dem Verhalten von Pell-Gleichungen verflochten. Das Verständnis eines Problems hilft, das andere zu verstehen – so sehr, dass Stevenhagens Vermutung „auch ein Testproblem für alle Fortschritte war, die bei der Cohen-Lenstra-Heuristik erzielt wurden“, sagte Pagano.
Die neue Arbeit beinhaltet die negative Pell-Gleichung, wo x2 - dy2 gleich −1 statt 1 gesetzt wird. Im Gegensatz zur ursprünglichen Pell-Gleichung, die immer unendlich viele ganzzahlige Lösungen für alle hat d, nicht alle Werte von d in der negativen Pell-Gleichung ergeben eine Gleichung, die gelöst werden kann. Nehmen x2 - 3y2 = −1: Egal wie weit man auf dem Zahlenstrahl schaut, man findet trotzdem keine Lösung x2 - 3y2 = 1 hat unendlich viele Lösungen.
Tatsächlich gibt es viele Werte von d für die die negative Pell-Gleichung nicht gelöst werden kann: Basierend auf bekannten Regeln, wie bestimmte Zahlen zueinander in Beziehung stehen, d darf kein Vielfaches von 3, 7, 11, 15 usw. sein.
Aber selbst wenn Sie diese Werte vermeiden d und nur die verbleibenden negativen Pell-Gleichungen betrachten, ist es immer noch nicht möglich, Lösungen zu finden. In diesem kleineren Satz möglicher Werte von d, welcher Anteil funktioniert tatsächlich?
1993 schlug Stevenhagen eine Formel vor, die eine genaue Antwort auf diese Frage gab. Von den Werten für d das funktionieren könnte (d. h. Werte, die keine Vielfachen von 3, 7 usw. sind), sagte er voraus, dass etwa 58 % zu negativen Pell-Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen führen würden.
Stevenhagens Vermutung wurde insbesondere durch die Verbindung zwischen der negativen Pell-Gleichung und der Cohen-Lenstra-Heuristik zu Klassengruppen motiviert – eine Verbindung, die Koymans und Pagano ausnutzten, als sie ihm 30 Jahre später endlich Recht bewiesen.
Eine bessere Kanone
Im Jahr 2010 waren Koymans und Pagano noch Studenten im Grundstudium – noch nicht mit Stevenhagens Vermutung vertraut – als ein Artikel herauskam, der einige der ersten Fortschritte seit Jahren in Bezug auf das Problem machte.
In dieser Arbeit, die war veröffentlicht im Annalen der Mathematik, die Mathematiker Etienne Fouvry und Jürgen Klüners zeigte, dass der Anteil der Werte von d das für die negative Pell-Gleichung funktionieren würde, fiel in einen bestimmten Bereich. Dazu haben sie das Verhalten einiger Elemente der relevanten Klassengruppen in den Griff bekommen. Aber sie müssten viel mehr Elemente verstehen, um auf Stevenhagens viel genauere Schätzung von 58 % zu kommen. Leider blieben diese Elemente unergründlich: Es waren immer noch neuartige Methoden erforderlich, um ihre Struktur zu verstehen. Weitere Fortschritte schienen unmöglich.
Dann, im Jahr 2017, als Koymans und Pagano beide gemeinsam an der Graduiertenschule an der Universität Leiden studierten, ein Papier erschien das hat alles verändert. „Als ich das sah, war mir sofort klar, dass das ein sehr, sehr beeindruckendes Ergebnis war“, sagte Koymans. “Es war wie, OK, jetzt habe ich eine Kanone, mit der ich auf dieses Problem schießen kann, und hoffe, dass ich Fortschritte machen kann.” (Zu dieser Zeit waren Stevenhagen und Lenstra auch Professoren in Leiden, was dazu beitrug, Koymans und Paganos Interesse an dem Problem zu wecken.)
Das Papier wurde von einem Doktoranden in Harvard, Alexander Smith (der jetzt Clay Fellow in Stanford ist). Koymans und Pagano waren nicht die Einzigen, die die Arbeit als Durchbruch feierten. „Die Ideen waren fantastisch“, sagte Granville. "Revolutionär."
Smith hatte versucht, die Eigenschaften von Lösungen von Gleichungen, die als elliptische Kurven bezeichnet werden, zu verstehen. Dabei hat er einen bestimmten Teil der Cohen-Lenstra-Heuristik herausgearbeitet. Es war nicht nur der erste große Schritt, diese umfassenderen Vermutungen als mathematische Tatsache zu zementieren, sondern es beinhaltete auch genau den Teil der Klassengruppe, den Koymans und Pagano in ihrer Arbeit an Stevenhagens Vermutung verstehen mussten. (Dieses Stück enthielt die Elemente, die Fouvry und Klüners in ihrem Teilergebnis untersucht hatten, ging aber auch weit darüber hinaus.)
Koymans und Pagano konnten Smiths Methoden jedoch nicht sofort anwenden. (Wenn das möglich gewesen wäre, hätte Smith es wahrscheinlich selbst getan.) Smiths Beweis betraf Klassengruppen, die mit den richtigen Zahlenringen verbunden sind (solche, in denen $latex sqrt{d}$ an die ganzen Zahlen angehängt wird) – aber er hat alle berücksichtigt ganzzahlige Werte von d. Koymans und Pagano hingegen dachten nur an einen winzigen Teil dieser Werte von d. Infolgedessen mussten sie das durchschnittliche Verhalten eines viel kleineren Bruchteils von Klassengruppen bewerten.
Diese Klassengruppen machten im Wesentlichen 0 % von Smiths Klassengruppen aus – was bedeutet, dass Smith sie wegwerfen konnte, als er seinen Beweis schrieb. Sie trugen überhaupt nicht zu dem durchschnittlichen Verhalten bei, das er studierte.
Und als Koymans und Pagano versuchten, seine Techniken nur auf die Klassengruppen anzuwenden, die ihnen wichtig waren, brachen die Methoden sofort zusammen. Das Paar müsste erhebliche Änderungen vornehmen, um sie zum Laufen zu bringen. Darüber hinaus charakterisierten sie nicht nur eine Klassengruppe, sondern eher die Diskrepanz, die zwischen zwei verschiedenen Klassengruppen bestehen könnte (dies wäre ein wesentlicher Teil ihres Beweises für Stevenhagens Vermutung) – was auch einige andere Werkzeuge erfordern würde.
Also fingen Koymans und Pagano an, Smiths Papier sorgfältiger zu durchkämmen, in der Hoffnung, genau zu bestimmen, wo die Dinge aus dem Ruder zu laufen begannen. Es war eine schwierige, mühsame Arbeit, nicht nur, weil das Material so kompliziert war, sondern weil Smith zu dieser Zeit noch immer an seinem Vorabdruck arbeitete und notwendige Korrekturen und Klarstellungen vornahm. (Er hat die gepostet neue Version seiner Arbeit letzten Monat online.)
Ein ganzes Jahr lang lernten Koymans und Pagano den Beweis Zeile für Zeile gemeinsam. Sie trafen sich jeden Tag, diskutierten beim Mittagessen über einen bestimmten Abschnitt, bevor sie ein paar Stunden an einer Tafel verbrachten und sich gegenseitig halfen, die relevanten Ideen durchzuarbeiten. Wenn einer von ihnen alleine Fortschritte machte, schrieb er dem anderen eine SMS, um ihn auf den neuesten Stand zu bringen. Shusterman erinnert sich, dass er sie manchmal bis spät in die Nacht arbeiten sah. Trotz (oder vielleicht wegen) der damit verbundenen Herausforderungen „hat es sehr viel Spaß gemacht, das zusammen zu tun“, sagte Koymans.
Schließlich erkannten sie, wo sie einen neuen Ansatz ausprobieren mussten. Anfangs konnten sie nur bescheidene Verbesserungen vornehmen. Zusammen mit den Mathematikern Stephanie Chan und Djordjo Milović, fanden sie heraus, wie sie einige zusätzliche Elemente in der Klassengruppe in den Griff bekommen konnten, wodurch sie bessere Grenzen als Fouvry und Klüners erreichten. Aber bedeutende Teile der Struktur der Klassengruppe entgingen ihnen immer noch.
Ein Hauptproblem, das sie angehen mussten – etwas, für das Smiths Methode in diesem neuen Kontext nicht mehr funktionierte – war sicherzustellen, dass sie wirklich „durchschnittliches“ Verhalten für Klassengruppen als Werte von analysierten d wurde größer und größer. Um den richtigen Grad an Zufälligkeit festzulegen, bewiesen Koymans und Pagano einen komplizierten Satz von Regeln, die sogenannten Reziprozitätsgesetze. Das erlaubte ihnen schließlich, die nötige Kontrolle über den Unterschied zwischen den beiden Klassengruppen zu erlangen.
Dieser Fortschritt, zusammen mit anderen, ermöglichte es ihnen, Anfang des Jahres endlich den Beweis von Stevenhagens Vermutung zu vervollständigen. „Es ist erstaunlich, dass sie es vollständig lösen konnten“, sagte Chan. „Früher hatten wir all diese Probleme.“
Was sie taten, „hat mich überrascht“, sagte Smith. „Koymans und Pagano haben meine alte Sprache beibehalten und sie nur benutzt, um immer weiter in eine Richtung vorzudringen, die ich kaum noch verstehe.“
Das schärfste Werkzeug
Seit seiner Einführung vor fünf Jahren wurde Smiths Beweis eines Teils der Cohen-Lenstra-Heuristik als Weg gesehen, Türen zu einer Vielzahl anderer Probleme zu öffnen, einschließlich Fragen zu elliptischen Kurven und anderen interessanten Strukturen. (In ihrer Arbeit listen Koymans und Pagano etwa ein Dutzend Vermutungen auf, auf die sie hoffen, ihre Methoden anwenden zu können. Viele haben nichts mit der negativen Pell-Gleichung oder sogar Klassengruppen zu tun.)
„Viele Objekte haben Strukturen, die diesen algebraischen Gruppen nicht unähnlich sind“, sagte Granville. Aber viele der gleichen Hindernisse, mit denen sich Koymans und Pagano auseinandersetzen mussten, sind auch in diesen anderen Kontexten vorhanden. Die neue Arbeit an der negativen Pell-Gleichung hat dazu beigetragen, diese Hindernisse abzubauen. „Alexander Smith hat uns gesagt, wie man diese Sägen und Hämmer baut, aber jetzt müssen wir sie so scharf wie möglich und so schlagkräftig wie möglich und so anpassungsfähig wie möglich an verschiedene Situationen machen“, sagte Bartel. „Eines der Dinge, die dieses Papier tut, ist, sehr viel in diese Richtung zu gehen.“
All diese Arbeiten haben inzwischen das Verständnis der Mathematiker von nur einer Facette von Klassengruppen verfeinert. Der Rest der Cohen-Lenstra-Vermutungen bleibt zumindest für den Moment außer Reichweite. Aber das Papier von Koymans und Pagano „ist ein Hinweis darauf, dass die Techniken, die wir haben, um Probleme in Cohen-Lenstra anzugehen, irgendwie erwachsen werden“, sagte Smith.
Lenstra selbst war ähnlich optimistisch. Es sei „absolut spektakulär“, schrieb er in einer E-Mail. „Es schlägt wirklich ein neues Kapitel in einem Zweig der Zahlentheorie auf, der genauso alt ist wie die Zahlentheorie selbst.“
