Wenn es darum geht, die Form von Blasenclustern zu verstehen, holen Mathematiker seit Jahrtausenden unsere physikalischen Intuitionen ein. Seifenblasencluster in der Natur scheinen oft sofort in den Zustand mit der niedrigsten Energie zu springen, der die Gesamtoberfläche ihrer Wände (einschließlich der Wände zwischen den Blasen) minimiert. Aber zu überprüfen, ob Seifenblasen diese Aufgabe richtig lösen – oder einfach nur vorherzusagen, wie große Blasencluster aussehen sollten – ist eines der schwierigsten Probleme in der Geometrie. Mathematiker brauchten bis Ende des 19. Jahrhunderts, um zu beweisen, dass die Kugel die beste einzelne Blase ist, obwohl der griechische Mathematiker Zenodorus dies mehr als 2,000 Jahre zuvor behauptet hatte.
Das Blasenproblem lässt sich ganz einfach formulieren: Man beginnt mit einer Liste von Zahlen für die Volumen und fragt dann, wie man diese Luftvolumen mit der geringsten Oberfläche separat umschließt. Um dieses Problem zu lösen, müssen Mathematiker jedoch eine Vielzahl unterschiedlicher möglicher Formen der Blasenwände berücksichtigen. Und wenn die Aufgabe darin besteht, sagen wir, fünf Bände einzuschließen, haben wir nicht einmal den Luxus, unsere Aufmerksamkeit auf Ansammlungen von fünf Bläschen zu beschränken – vielleicht besteht der beste Weg, die Oberfläche zu minimieren, darin, eines der Bände auf mehrere Bläschen aufzuteilen.
Selbst in der einfacheren Umgebung der zweidimensionalen Ebene (wo Sie versuchen, eine Sammlung von Bereichen einzuschließen und gleichzeitig den Umfang zu minimieren), weiß niemand, wie man am besten neun oder zehn Bereiche einschließt. Wenn die Anzahl der Blasen zunimmt, „können Sie schnell nicht einmal mehr plausible Vermutungen anstellen“, sagte er Emanuel Milmann des Technion in Haifa, Israel.
Aber vor mehr als einem Vierteljahrhundert John Sullivan, jetzt von der Technischen Universität Berlin, erkannte, dass es in bestimmten Fällen eine leitende Vermutung Übers Ohr gehauen werden. Blasenprobleme sind in jeder Dimension sinnvoll, und Sullivan fand heraus, dass es eine bestimmte Möglichkeit gibt, die Volumen einzuschließen, solange die Anzahl der Volumen, die Sie einzuschließen versuchen, höchstens um eins größer ist als die Dimension, das heißt in gewissem Sinne: schöner als alle anderen – eine Art Schatten einer perfekt symmetrischen Blasenansammlung auf einer Kugel. Dieser Schattencluster, so vermutete er, sollte derjenige sein, der die Oberfläche minimiert.
Im Laufe des folgenden Jahrzehnts schrieben Mathematiker eine Reihe bahnbrechender Arbeiten, die Sullivans Vermutung beweisen, wenn man versucht, nur zwei Bände beizufügen. Hier ist die Lösung die bekannte Doppelblase, die Sie vielleicht an einem sonnigen Tag im Park geblasen haben, bestehend aus zwei kugelförmigen Teilen mit einer flachen oder kugelförmigen Wand dazwischen (je nachdem, ob die beiden Blasen das gleiche oder unterschiedliche Volumen haben).
Aber der Mathematiker beweist Sullivans Vermutung für drei Bände Frank Morgan des Williams College Spekuliert 2007 „könnte durchaus noch hundert Jahre dauern“.
Jetzt ist Mathematikern dieses lange Warten erspart geblieben – und sie haben weit mehr als nur eine Lösung für das Triple-Bubble-Problem bekommen. In einem Krepppapier online gepostet im Mai, Milman und Joe Neemann, von der University of Texas, Austin, haben Sullivans Vermutung für dreifache Blasen in den Dimensionen drei und höher und vierfache Blasen in den Dimensionen vier und höher bewiesen, wobei ein Folgepapier über fünffache Blasen in den Dimensionen fünf und höher in Arbeit ist.
Und wenn es um sechs oder mehr Blasen geht, haben Milman und Neeman gezeigt, dass der beste Cluster viele der Schlüsselattribute von Sullivans Kandidaten aufweisen muss, was möglicherweise Mathematiker auf den Weg bringt, die Vermutung auch für diese Fälle zu beweisen. „Mein Eindruck ist, dass sie die wesentliche Struktur hinter der Sullivan-Vermutung erfasst haben“, sagte er Franz Maggi der University of Texas, Austin.
Das zentrale Theorem von Milman und Neeman ist „monumental“, schrieb Morgan in einer E-Mail. „Eine tolle Leistung mit vielen neuen Ideen.“
Schattenblasen
Unsere Erfahrungen mit echten Seifenblasen bieten verlockende Hinweise darauf, wie optimale Blasencluster aussehen sollten, zumindest wenn es um kleine Cluster geht. Die drei- oder vierfachen Blasen, die wir durch Seifenstäbe blasen, scheinen kugelförmige Wände zu haben (und gelegentlich flache) und neigen dazu, eher enge Klumpen als beispielsweise eine lange Blasenkette zu bilden.
Aber es ist nicht so einfach zu beweisen, dass dies wirklich die Merkmale optimaler Blasencluster sind. Beispielsweise wissen Mathematiker nicht, ob die Wände in einem sich minimierenden Blasencluster immer kugelförmig oder flach sind – sie wissen nur, dass die Wände eine „konstante mittlere Krümmung“ haben, was bedeutet, dass die durchschnittliche Krümmung von einem Punkt zum anderen gleich bleibt. Kugeln und flache Oberflächen haben diese Eigenschaft, aber auch viele andere Oberflächen, wie Zylinder und wellenförmige Formen, die Unduloide genannt werden. Oberflächen mit konstanter mittlerer Krümmung sind „ein kompletter Zoo“, sagte Milman.
Aber in den 1990er Jahren erkannte Sullivan, dass es, wenn die Anzahl der Volumes, die Sie einschließen möchten, höchstens um eins größer ist als die Dimension, einen Kandidatencluster gibt, der den Rest zu überstrahlen scheint – einen (und nur einen) Cluster, der die von uns bevorzugten Merkmale aufweist in kleinen Clustern echter Seifenblasen zu sehen.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie ein solcher Kandidat aufgebaut ist, verwenden wir Sullivans Ansatz, um einen Drei-Blasen-Cluster in der flachen Ebene zu erstellen (unsere „Blasen“ sind also Bereiche in der Ebene und keine dreidimensionalen Objekte). Wir beginnen damit, vier Punkte auf einer Kugel auszuwählen, die alle den gleichen Abstand voneinander haben. Stellen Sie sich nun vor, dass jeder dieser vier Punkte das Zentrum einer winzigen Blase ist, die nur auf der Oberfläche der Kugel lebt (so dass jede Blase eine kleine Scheibe ist). Blasen Sie die vier Blasen auf der Kugel auf, bis sie anfangen, aneinander zu stoßen, und blasen Sie dann weiter auf, bis sie gemeinsam die gesamte Oberfläche ausfüllen. Am Ende haben wir eine symmetrische Ansammlung von vier Blasen, die die Kugel wie einen aufgeblähten Tetraeder aussehen lässt.
Als nächstes platzieren wir diese Kugel auf einer unendlichen flachen Ebene, als ob die Kugel eine Kugel wäre, die auf einem endlosen Boden ruht. Stellen Sie sich vor, der Ball ist durchsichtig und am Nordpol steht eine Laterne. Die Wände der vier Blasen werfen Schatten auf den Boden und bilden dort die Wände eines Blasenclusters. Von den vier Blasen auf der Kugel werden drei zu Schattenblasen auf dem Boden projizieren; Die vierte Blase (diejenige, die den Nordpol enthält) wird auf die unendliche Weite des Bodens außerhalb der Ansammlung von drei Schattenblasen projizieren.
Der jeweilige Drei-Blasen-Cluster, den wir erhalten, hängt davon ab, wie wir die Kugel zufällig positioniert haben, als wir sie auf den Boden gelegt haben. Wenn wir die Kugel so drehen, dass sich ein anderer Punkt zur Laterne am Nordpol bewegt, erhalten wir normalerweise einen anderen Schatten, und die drei Blasen auf dem Boden haben unterschiedliche Flächen. Mathematiker haben erwies sich dass es für drei beliebige Zahlen, die Sie für die Bereiche wählen, im Wesentlichen eine einzige Möglichkeit gibt, die Kugel so zu positionieren, dass die drei Schattenblasen genau diese Bereiche haben.
Es steht uns frei, diesen Prozess in jeder Dimension durchzuführen (obwohl höherdimensionale Schatten schwieriger zu visualisieren sind). Aber es gibt eine Grenze dafür, wie viele Blasen wir in unserem Schattencluster haben können. Im obigen Beispiel hätten wir im Flugzeug keinen Vier-Blasen-Cluster machen können. Dazu hätte man mit fünf Punkten auf der Kugel beginnen müssen, die alle den gleichen Abstand voneinander haben – aber es ist unmöglich, so viele gleich weit entfernte Punkte auf einer Kugel zu platzieren (obwohl Sie dies mit höherdimensionalen Kugeln tun können). Sullivans Verfahren funktioniert nur, um Cluster von bis zu drei Blasen im zweidimensionalen Raum, vier Blasen im dreidimensionalen Raum, fünf Blasen im vierdimensionalen Raum und so weiter zu erzeugen. Außerhalb dieser Parameterbereiche existieren einfach keine Blasencluster im Sullivan-Stil.
Aber innerhalb dieser Parameter liefert uns Sullivans Verfahren Blasencluster in Umgebungen, die weit über das hinausgehen, was unsere physische Intuition erfassen kann. „Es ist unmöglich, sich eine 15-Blase im [23-dimensionalen Raum] vorzustellen“, sagte Maggi. „Wie kannst du nur davon träumen, ein solches Objekt zu beschreiben?“
Doch Sullivans Blasenkandidaten erben von ihren kugelförmigen Vorläufern eine einzigartige Sammlung von Eigenschaften, die an die Blasen erinnern, die wir in der Natur sehen. Ihre Wände sind alle kugelförmig oder flach, und wo sich drei Wände treffen, bilden sie 120-Grad-Winkel, wie in einer symmetrischen Y-Form. Jedes der Volumes, die Sie einzuschließen versuchen, liegt in einer einzelnen Region, anstatt auf mehrere Regionen aufgeteilt zu sein. Und jede Blase berührt jede andere (und das Äußere) und bildet einen engen Cluster. Mathematiker haben gezeigt, dass Sullivans Blasen die einzigen Cluster sind, die alle diese Eigenschaften erfüllen.
Als Sullivan die Hypothese aufstellte, dass dies die Cluster sein sollten, die die Oberfläche minimieren, sagte er im Wesentlichen: „Nehmen wir Schönheit an“, sagte Maggi.
Aber Blasenforscher haben guten Grund, sich davor zu hüten anzunehmen, dass eine vorgeschlagene Lösung nur deshalb richtig ist, weil sie schön ist. „Es gibt sehr berühmte Probleme … bei denen man Symmetrie für die Minimierer erwarten würde, und die Symmetrie spektakulär versagt“, sagte Maggi.
Zum Beispiel gibt es das eng verwandte Problem, unendlichen Raum mit Blasen gleichen Volumens so zu füllen, dass die Oberfläche minimiert wird. 1887 schlug der britische Mathematiker und Physiker Lord Kelvin vor, dass die Lösung eine elegante wabenartige Struktur sein könnte. Mehr als ein Jahrhundert lang glaubten viele Mathematiker, dass dies die wahrscheinlichste Antwort sei – bis 1993, als ein Paar Physiker besser erkannt, wenn auch weniger symmetrisch, Option. „Mathematik ist voll … von Beispielen, wo so etwas Seltsames passiert“, sagte Maggi.
Eine dunkle Kunst
Als Sullivan 1995 seine Vermutung verkündete, schwebte die Doppelblase davon bereits seit einem Jahrhundert herum. Mathematiker hatten das gelöst 2D-Doppelblasenproblem zwei Jahre zuvor und im folgenden Jahrzehnt lösten sie es dreidimensionaler Raum und dann in höher Größe. Aber als es um den nächsten Fall von Sullivans Vermutung ging – dreifache Blasen – konnten sie es beweise die Vermutung nur in der zweidimensionalen Ebene, wo die Grenzflächen zwischen Blasen besonders einfach sind.
Dann, im Jahr 2018, bewiesen Milman und Neeman eine analoge Version von Sullivans Vermutung in einem Umfeld, das als Gaußsches Blasenproblem bekannt ist. In dieser Einstellung können Sie sich vorstellen, dass jeder Punkt im Weltraum einen Geldwert hat: Der Ursprung ist der teuerste Ort, und je weiter Sie sich vom Ursprung entfernen, desto billiger wird das Land und bildet eine Glockenkurve. Das Ziel besteht darin, Gehege mit vorgewählten Preisen (anstelle von vorgewählten Volumina) so zu erstellen, dass die Kosten für die Grenzen der Gehege (anstelle der Fläche der Grenzen) minimiert werden. Dieses Gaußsche Blasenproblem hat Anwendungen in der Informatik bei Rundungsschemata und Fragen der Rauschempfindlichkeit.
Milman und Neeman reichten ihre ein Beweis zu den Annalen der Mathematik, die wohl renommierteste Zeitschrift der Mathematik (wo sie später angenommen wurde). Aber das Paar hatte nicht die Absicht, es einen Tag zu nennen. Ihre Methoden schienen auch für das klassische Blasenproblem vielversprechend.
Sie warfen mehrere Jahre lang Ideen hin und her. „Wir hatten ein 200-seitiges Dokument mit Notizen“, sagte Milman. Zuerst fühlte es sich an, als würden sie Fortschritte machen. „Aber dann wurde es schnell so: ‚Wir haben es in diese Richtung versucht – nein. Wir haben [diese] Richtung versucht – nein.'“ Um sich abzusichern, verfolgten beide Mathematiker auch andere Projekte.
Dann kam Milman letzten Herbst für ein Sabbatical und beschloss, Neeman zu besuchen, damit das Paar das Blasenproblem konzentriert angehen konnte. „Während des Sabbaticals ist es eine gute Zeit, Dinge mit hohem Risiko und hohem Gewinn auszuprobieren“, sagte Milman.
In den ersten Monaten kamen sie nirgendwo hin. Schließlich beschlossen sie, sich eine etwas leichtere Aufgabe als Sullivans vollständige Vermutung zu stellen. Wenn Sie Ihren Blasen eine zusätzliche Dimension des Atemraums geben, erhalten Sie einen Bonus: Der beste Blasencluster hat eine Spiegelsymmetrie über einer zentralen Ebene.
Sullivans Vermutung handelt von dreifachen Blasen in den Dimensionen zwei und höher, vierfachen Blasen in den Dimensionen drei und höher und so weiter. Um die Bonussymmetrie zu erhalten, beschränkten Milman und Neeman ihre Aufmerksamkeit auf dreifache Blasen in den Dimensionen drei und höher, vierfache Blasen in den Dimensionen vier und höher und so weiter. „Erst als wir es aufgegeben haben, es für die gesamte Bandbreite an Parametern zu bekommen, haben wir wirklich Fortschritte gemacht“, sagte Neeman.
Mit dieser ihnen zur Verfügung stehenden Spiegelsymmetrie kamen Milman und Neeman auf ein Störungsargument, das darin besteht, die Hälfte des Blasenclusters, die über dem Spiegel liegt, leicht aufzublasen und die darunter liegende Hälfte zu entleeren. Diese Störung ändert nicht das Volumen der Blasen, aber sie könnte ihre Oberfläche verändern. Milman und Neeman zeigten, dass es eine Möglichkeit gibt, diese Störung so zu wählen, dass sie die Oberfläche des Clusters verringert, wenn der optimale Blasencluster Wände hat, die nicht kugelförmig oder flach sind – ein Widerspruch, da der optimale Cluster bereits die kleinste Oberfläche hat Bereich möglich.
Die Verwendung von Störungen zur Untersuchung von Blasen ist alles andere als eine neue Idee, aber herauszufinden, welche Störungen die wichtigen Merkmale eines Blasenclusters erkennen, ist „ein bisschen wie eine dunkle Kunst“, sagte Neeman.
Im Nachhinein „sehen Sie [Milmans und Neemans Störungen] ganz natürlich aus“, sagte er Joel Hass der University of California, Davis.
Aber die Störungen als natürlich zu erkennen, ist viel einfacher, als sie überhaupt zu finden, sagte Maggi. „Es ist bei weitem nicht etwas, von dem man sagen kann: ‚Irgendwann hätten die Leute es gefunden'“, sagte er. „Es ist wirklich genial auf einem sehr bemerkenswerten Niveau.“
Milman und Neeman konnten ihre Störungen verwenden, um zu zeigen, dass der optimale Blasencluster alle Kernmerkmale von Sullivans Clustern erfüllen muss, mit Ausnahme vielleicht einer: der Bedingung, dass jede Blase einander berühren muss. Diese letzte Anforderung zwang Milman und Neeman, sich mit all den Möglichkeiten auseinanderzusetzen, wie sich Blasen zu einem Cluster verbinden könnten. Wenn es nur um drei oder vier Blasen geht, gibt es nicht so viele Möglichkeiten zu berücksichtigen. Aber wenn Sie die Anzahl der Blasen erhöhen, wächst die Anzahl verschiedener möglicher Konnektivitätsmuster sogar schneller als exponentiell.
Milman und Neeman hofften zunächst, ein übergreifendes Prinzip zu finden, das all diese Fälle abdecken würde. Aber nachdem sie ein paar Monate damit verbracht hatten, „uns den Kopf zu zerbrechen“, sagte Milman, beschlossen sie, sich vorerst mit einem Ad-hoc-Ansatz zu begnügen, der es ihnen ermöglichte, mit dreifachen und vierfachen Blasen umzugehen. Sie haben auch einen unveröffentlichten Beweis dafür angekündigt, dass Sullivans fünffache Blase optimal ist, obwohl sie noch nicht festgestellt haben, dass dies der einzige optimale Cluster ist.
Die Arbeit von Milman und Neeman ist „eher ein ganz neuer Ansatz als eine Erweiterung früherer Methoden“, schrieb Morgan in einer E-Mail. Es ist wahrscheinlich, sagte Maggi voraus, dass dieser Ansatz noch weiter vorangetrieben werden kann – vielleicht zu Ansammlungen von mehr als fünf Blasen oder zu den Fällen von Sullivans Vermutung, die keine Spiegelsymmetrie haben.
Niemand rechnet damit, dass weitere Fortschritte leicht von der Hand gehen; aber das hat Milman und Neeman nie abgeschreckt. „Aus meiner Erfahrung“, sagte Milman, „mussten all die wichtigen Dinge, die ich glücklicherweise tun konnte, einfach nicht aufgeben.“
