Wahrscheinlichkeit und Zahlentheorie kollidieren – in einem Moment

Ihre Ambitionen waren immer hoch. Als Will Sawin und Melanie Matchett Wood im Sommer 2020 ihre Zusammenarbeit begannen, machten sie sich daran, die Schlüsselkomponenten einiger der verlockendsten Vermutungen der Zahlentheorie zu überdenken. Die Themen ihrer Aufmerksamkeit, Klassengruppen, sind eng mit grundlegenden Fragen darüber verbunden, wie Arithmetik funktioniert, wenn Zahlen über die ganzen Zahlen hinaus erweitert werden. Savin, an der Columbia University und Holz, in Harvard, wollte Vorhersagen über Strukturen machen, die noch allgemeiner und mathematisch einschüchternder sind als die Klassengruppe.

Noch bevor sie ihre Vorhersagen fertig formuliert hatten, bewiesen sie im Oktober eine neues Ergebnis Damit können Mathematiker eines der nützlichsten Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht nur auf Klassengruppen, sondern auch auf Sammlungen von Zahlen, Netzwerken und vielen anderen mathematischen Objekten anwenden.

„Dies wird nur das grundlegende Papier sein, an das sich jeder wendet, wenn er anfängt, über diese Probleme nachzudenken“, sagte er David Zureick-Brown, Mathematiker an der Emory University. „Es fühlt sich nicht mehr so ​​an, als müsste man Dinge von Grund auf neu erfinden.“

Ein Klassengesetz

Eine Klassengruppe ist ein Beispiel für eine strukturierte mathematische Menge, die als Gruppe bezeichnet wird. Gruppen enthalten viele vertraute Mengen, wie die ganzen Zahlen. Was die ganzen Zahlen zu einer Gruppe und nicht nur zu einer Reihe von Zahlen macht, ist, dass Sie ihre Elemente addieren und eine andere ganze Zahl erhalten können. Im Allgemeinen ist eine Menge eine Gruppe, wenn sie eine Operation enthält, die wie die Addition zwei Elemente so zu einem dritten Element kombiniert, dass einige grundlegende Anforderungen erfüllt werden. Beispielsweise sollte es eine Version von Null geben, ein Element, das keines der anderen ändert.

Die ganzen Zahlen, die Mathematiker normalerweise $latex mathbb{Z}$ nennen, sind unendlich. Aber viele Gruppen haben eine endliche Anzahl von Elementen. Um beispielsweise eine Gruppe mit vier Elementen zu erstellen, betrachten Sie die Menge {0, 1, 2, 3}. Anstatt normal zu addieren, dividiere die Summe zweier beliebiger Zahlen durch 4 und nimm den Rest. (Nach diesen Regeln ist 2 + 2 = 0 und 2 + 3 = 1.) Diese Gruppe heißt $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Wenn Sie eine Gruppe mit $latex n$-Elementen erstellen möchten, können Sie im Allgemeinen die Zahlen von XNUMX bis XNUMX nehmen n – 1 und berücksichtige den Rest beim Teilen durch n. Die resultierende Gruppe heißt $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, obwohl dies nicht immer die einzige Gruppe mit ist n Elemente.

Die Klassengruppe taucht auf, wenn Zahlentheoretiker die Struktur von Zahlen jenseits der ganzen Zahlen untersuchen. Dazu fügen sie den ganzen Zahlen neue Zahlen hinzu, wie z i (die Quadratwurzel von −1), $latex sqrt{5}$ oder sogar $latex sqrt{–5}$.

„Dinge, die wir an Zahlen gewöhnt sind, gelten in diesem Zusammenhang nicht mehr. Oder zumindest sind sie nicht unbedingt wahr“, sagte er Jordan Ellenberg, Mathematiker an der University of Wisconsin, Madison.

Insbesondere funktioniert das Factoring bei Erweiterungen der ganzen Zahlen anders. Wenn Sie sich nur an die ganzen Zahlen halten, können Zahlen nur auf eine Weise in Primzahlen (Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 geteilt werden können) zerlegt werden. Zum Beispiel ist 6 2 × 3 und kann nicht in andere Primzahlen zerlegt werden. Diese Eigenschaft wird als eindeutige Faktorisierung bezeichnet.

Aber wenn Sie $latex sqrt{–5}$ zu Ihrem Zahlensystem hinzufügen, haben Sie keine eindeutige Faktorisierung mehr. Du kannst 6 auf zwei verschiedene Arten in Primzahlen zerlegen. Es ist immer noch 2 × 3, aber es ist auch $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Klassengruppen werden aus solchen Erweiterungen der ganzen Zahlen erstellt. „Klassengruppen sind unglaublich wichtig“, sagte Wood. „Und so ist es natürlich, sich zu fragen: Wie sind sie normalerweise?“

Die Größe der Klassengruppe, die mit einer Erweiterung der ganzen Zahlen verbunden ist, ist ein Barometer dafür, wie viel eindeutige Faktorisierung zusammenbricht. Obwohl Mathematiker bewiesen haben, dass Klassengruppen immer endlich sind, ist es kompliziert, ihre Struktur und Größe herauszufinden. Deshalb 1984 Henri Cohen und Hendrik Lenstra wagte einige Vermutungen. Ihre Vermutungen, die heute als Cohen-Lenstra-Heuristiken bezeichnet werden, betrafen alle Klassengruppen, die auftauchen, wenn Sie den ganzen Zahlen neue Quadratwurzeln hinzufügen. Wenn all diese Klassengruppen versammelt wären, schlugen Cohen und Lenstra Antworten auf Fragen vor wie: Welcher Anteil von ihnen enthält die Gruppe $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Oder $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Oder eine andere bekannte Art von endlicher Gruppe?

Cohen und Lenstra drängten Zahlentheoretiker dazu, nicht nur isolierte Beispiele von Klassengruppen zu betrachten, sondern Statistiken, die Klassengruppen als Ganzes zugrunde liegen. Ihre Vorhersagen erschlossen eine Vision der Mathematik als Universum mit Mustern, die es auf allen Ebenen aufzudecken gilt.

Fast 40 Jahre später wird die Cohen-Lenstra-Heuristik allgemein für wahr gehalten, obwohl niemand sie auch nur annähernd beweisen konnte. Ihr Einfluss auf die Mathematik sei spürbar, sagte Nigel Boston, emeritierter Professor an der University of Wisconsin, Madison. „Was entdeckt wurde, ist dieses erstaunliche Netz“, sagte er. „Da ist diese riesige Infrastruktur, wie wir denken, dass die Welt zusammengesetzt ist.“

Das einzige Spiel in der Stadt

Unfähig, die Heuristiken direkt anzugehen, kamen Mathematiker auf handhabbarere Probleme, von denen sie hofften, dass sie die Situation erhellen würden. Aus dieser Arbeit ging eine Reihe nützlicher Größen hervor, die Mathematiker nach einem in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Begriff Momente nannten.

Wahrscheinlich können Ihnen Momente dabei helfen, die Verteilungen hinter Zufallszahlen herauszufinden. Betrachten Sie zum Beispiel die Verteilung der Tageshöchsttemperatur am 1. Januar in New York City – die Wahrscheinlichkeit, dass es am 1. Januar nächsten Jahres 10 Grad Fahrenheit oder 40 Grad oder 70 oder 120 Grad beträgt. Alles, was Sie brauchen, um zu arbeiten mit vergangenen Daten: eine Historie des Tageshochs am 1. Januar jedes Jahres seit Beginn der aufgezeichneten Historie.

Wenn Sie den Durchschnitt dieser Temperaturen berechnen, erfahren Sie ein wenig, aber nicht alles. Eine durchschnittliche Höchsttemperatur von 40 Grad sagt Ihnen nichts über die Wahrscheinlichkeit aus, dass die Temperatur über 50 Grad oder unter 20 Grad liegt.

Dies ändert sich jedoch, wenn Sie mehr Informationen erhalten. Insbesondere können Sie den Durchschnitt des Quadrats der Temperatur lernen, eine Größe, die als zweites Moment der Verteilung bekannt ist. (Der Durchschnitt ist der erste Moment.) Oder Sie könnten den Durchschnitt der Würfel lernen, der als dritter Moment bekannt ist, oder den Durchschnitt der vierten Potenzen – der vierte Moment.

In den 1920er Jahren hatten Mathematiker herausgefunden, dass, wenn Momente in dieser Reihe ausreichend langsam wachsen, man aus der Kenntnis aller Momente schließen kann, dass nur eine mögliche Verteilung diese Momente hat. (Obwohl Sie diese Verteilung nicht unbedingt direkt berechnen können.)

„Das ist wirklich nicht intuitiv“, sagte Wood. „Wenn Sie an eine kontinuierliche Verteilung denken, hat sie eine gewisse Form. Es fühlt sich irgendwie so an, als hätte es mehr, als nur in einer Zahlenfolge festgehalten werden kann.“

Mathematiker, die sich für die Cohen-Lenstra-Heuristik interessieren, fanden heraus, dass genau wie Momente in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden können, um zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu gelangen, Momente, die auf eine bestimmte Weise für Klassengruppen definiert sind, eine Linse sein können, durch die wir ihre Größe und Struktur sehen können . Jacob Tsimerman, ein Mathematiker an der University of Toronto, sagte, er könne sich nicht vorstellen, wie die Verteilung der Klassengruppengrößen direkt berechnet werden könne. Momente zu nutzen, sagte er, sei „mehr als einfacher. Es ist das einzige Spiel in der Stadt.“

Dieser magische Moment

Während jedem Wahrscheinlichkeitsmoment eine ganze Zahl zugeordnet ist – die dritte Potenz, die vierte Potenz usw. – entsprechen die neuen Größen, die von Zahlentheoretikern eingeführt werden, jeweils einer Gruppe. Diese neuen Momente hängen davon ab, dass Sie eine Gruppe oft auf eine kleinere Gruppe reduzieren können, indem Sie verschiedene Elemente zusammenklappen.

Um das einer Gruppe zugeordnete Moment zu berechnen G, nehmen Sie alle möglichen Klassengruppen – eine für jede neue Quadratwurzel, die Sie zu den ganzen Zahlen hinzufügen. Zählen Sie für jede Klassengruppe die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, wie Sie sie reduzieren können G. Nimm dann den Durchschnitt dieser Zahlen. Dieser Prozess mag kompliziert erscheinen, aber er ist viel einfacher zu handhaben als die tatsächliche Verteilung hinter den Vorhersagen von Cohen und Lenstra. Obwohl die Cohen-Lenstra-Heuristik selbst kompliziert anzugeben ist, sind die Momente der Verteilung, die sie vorhersagen, alle 1.

"Das lässt dich denken, wow, vielleicht sind die Momente der natürliche Weg, es anzugehen", sagte Ellenberg. „Es scheint glaubwürdiger zu beweisen, dass etwas gleich 1 ist, als zu beweisen, dass es gleich einem verrückten unendlichen Produkt ist.“

Wenn Mathematiker Verteilungen über Gruppen (Klassengruppen oder andere) untersuchen, erhalten sie am Ende eine Gleichung für jede Gruppe G, wobei die Wahrscheinlichkeiten jetzt beispielsweise den Anteil der Klassengruppen darstellen, die wie $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ aussehen. Bei unendlich vielen Gleichungen und unendlich vielen möglichen Klassengruppen ist es schwierig, nach den Wahrscheinlichkeiten zu lösen. Es ist nicht offensichtlich, dass es überhaupt Sinn macht, dies zu tun.

„Wenn Sie unendliche Summen haben, können Dinge schief gehen“, sagte Wood.

Doch Mathematiker, die immer noch keine anderen Wege finden konnten, um die Verteilungen zu untersuchen, kehrten immer wieder zum Moment-Problem zurück. In der Arbeit veröffentlicht in Annalen der Mathematik 2016, Ellenberg, zusammen mit Akshay Venkatesh und Craig Westerland, gebrauchte Momente die Statistiken von Klassengruppen in einem etwas anderen Umfeld zu studieren, als Cohen und Lenstra es in Betracht gezogen hatten. Diese Idee war wiederverwendet mehrere mal. Aber jedes Mal, wenn die Forscher die Momente nutzten, stützten sie sich auf die Macken ihres speziellen Problems, um zu beweisen, dass der unendliche Satz von Gleichungen eine Lösung hatte. Das bedeutete, dass ihre Techniken nicht übertragbar waren. Der nächste Mathematiker, der Momente verwenden müsste, müsste das Momentenproblem noch einmal lösen.

Auch Sawin und Wood planten zu Beginn ihrer Zusammenarbeit diesen Weg. Sie würden Momente nutzen, um Vorhersagen darüber zu treffen, wie kompliziertere Versionen von Klassengruppen verteilt waren. Aber etwa ein Jahr nach Beginn ihres Projekts konzentrierten sie sich auf das eigentliche Problem.

Abgelenkt werden

Kollegen beschreiben Sawin und Wood als ungewöhnlich leidenschaftlich bei ihrer Arbeit. „Sie sind beide sehr schlau. Aber es gibt viele schlaue Leute“, sagte Zureick-Brown. „Sie haben einfach diese positive Einstellung zur Mathematik.“

Ursprünglich wollten Sawin und Wood Momente nutzen, um die Cohen-Lenstra-Vorhersagen auf neue Einstellungen auszudehnen. Aber sie wurden bald unzufrieden mit ihrem momentanen Problemargument. „Wir mussten wiederholt ähnliche Argumente schreiben“, erinnert sich Sawin. Darüber hinaus fügte er hinzu, dass die mathematische Sprache, die sie verwendeten, „scheinbar nicht den Kern dessen, was die Argumentation bewirkte, zu treffen schien … Die Ideen waren da, aber wir hatten einfach nicht den richtigen Weg gefunden, sie auszudrücken.“

Sawin und Wood gingen tiefer in ihre Beweise ein und versuchten herauszufinden, was wirklich dahinter steckte. Am Ende hatten sie einen Beweis, der das Momentenproblem nicht nur für ihre spezifische Anwendung löste, sondern für jede Verteilung von Gruppen – und für alle möglichen anderen mathematischen Strukturen.

Sie teilen das Problem in kleine, überschaubare Schritte auf. Anstatt zu versuchen, die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einmal zu lösen, konzentrierten sie sich nur auf einen kleinen Teil der Momente.

Um beispielsweise das Momentenproblem für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Gruppen zu lösen, würde jeder Moment einer Gruppe zugeordnet werden G. Zunächst betrachteten Sawin und Wood ein Gleichungssystem, das nur die Momente für eine eingeschränkte Liste von Gruppen enthielt. Dann fügten sie der Liste langsam Gruppen hinzu und sahen sich jedes Mal mehr und mehr Momente an. Indem sie das Problem schrittweise komplexer machten, machten sie jeden Schritt zu einem lösbaren Problem. Stück für Stück bauten sie auf eine vollständige Lösung des momentanen Problems hin.

„Diese feste Liste ist so etwas wie die Brille, die Sie aufsetzen, und je mehr Gruppen Sie berücksichtigen möchten, desto besser ist Ihre Brille“, erklärte Wood.

Als sie endlich die letzten nebensächlichen Details weggewischt hatten, fanden sie sich mit einem Argument wieder, dessen Tentakel über die Mathematik reichten. Ihr Ergebnis funktionierte für Klassengruppen, für Gruppen, die mit geometrischen Formen verbunden sind, für Netzwerke aus Punkten und Linien sowie für andere Sätze mit mathematischer Komplexität. In all diesen Situationen haben Sawin und Wood eine Formel gefunden, die eine Reihe von Momenten aufnimmt und die Verteilung ausspuckt, die diese Momente enthält (solange die Momente neben anderen Anforderungen nicht zu schnell wachsen).

"Es ist sehr in Melanies Stil", sagte Ellenberg. "Zum Beispiel: 'Beweisen wir einen sehr allgemeinen Satz, der viele verschiedene Fälle irgendwie einheitlich und elegant behandelt.'"

Sawin und Wood kehren nun zu ihrem ursprünglichen Ziel zurück. Anfang Januar teilten sie sich ein neues Papier das korrigiert fehlerhafte Vorhersagen von Cohen-Lenstra Ende der 1980er Jahre von Cohen und seinem Kollegen Jacques Martinet hergestellt. Darüber hinaus haben sie noch mehr Ergebnisse in ihrer Warteschlange und planen, die Heuristik auf noch mehr neue Situationen auszudehnen. „Ich weiß nicht, ob dieses Projekt jemals enden wird“, sagte Sawin.

Das momentane Problem, das Sawin und Wood gelöst haben, war „eine Art Dorn im Hinterkopf für viele verschiedene Fragen“, sagte Tsimerman. „Ich denke, viele Mathematiker werden erleichtert aufatmen.“