Als Daniel Larsen in der Mittelschule war, begann er Kreuzworträtsel zu entwerfen. Er musste das Hobby über seine anderen Interessen legen: Schach, Programmieren, Klavier, Geige. Er qualifizierte sich zweimal für die Scripps National Spelling Bee in der Nähe von Washington, DC, nachdem er seinen regionalen Wettbewerb gewonnen hatte. „Er konzentriert sich auf etwas, und es ist nur peng, peng, peng, bis er Erfolg hat“, sagte Larsens Mutter Ayelet Lindenstrauss. Seine ersten Kreuzworträtsel wurden von großen Zeitungen abgelehnt, aber er blieb dran und brach schließlich ein. Bis heute hat er hält den Rekord für die jüngste Person, um ein Kreuzworträtsel zu veröffentlichen Die New York Times, im Alter von 13 Jahren. „Er ist sehr hartnäckig“, sagte Lindenstrauss.
Dennoch fühlte sich Larsens jüngste Besessenheit anders an, „länger und intensiver als die meisten seiner anderen Projekte“, sagte sie. Mehr als anderthalb Jahre lang konnte Larsen nicht aufhören, über ein bestimmtes mathematisches Problem nachzudenken.
Sie hatte ihre Wurzeln in einer umfassenderen Frage, die der Mathematiker Carl Friedrich Gauß als eine der wichtigsten in der Mathematik ansah: Wie unterscheidet man eine Primzahl (eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist) von einer zusammengesetzten Zahl? Seit Hunderten von Jahren suchen Mathematiker nach einem effizienten Weg, dies zu tun. Das Problem ist auch im Zusammenhang mit der modernen Kryptographie relevant geworden, da einige der heute am häufigsten verwendeten Kryptosysteme Arithmetik mit enormen Primzahlen beinhalten.
Vor über einem Jahrhundert stießen Mathematiker auf der Suche nach einem schnellen, leistungsstarken Primzahltest auf eine Gruppe von Unruhestiftern – Zahlen, die Tests vorgaukeln, sie seien Primzahlen, obwohl sie es nicht sind. Diese als Carmichael-Zahlen bekannten Pseudoprimzahlen waren besonders schwer zu erfassen. Erst Mitte der 1990er-Jahre haben beispielsweise Mathematiker bewiesen, dass es unendlich viele davon gibt. Etwas mehr darüber sagen zu können, wie sie entlang des Zahlenstrahls verteilt sind, war eine noch größere Herausforderung.
Dann kam Larsen mit ein neuer Beweis über genau das, eine, die von neueren epochalen Arbeiten auf einem anderen Gebiet der Zahlentheorie inspiriert wurde. Damals war er gerade mal 17.
Der Funke
Aufgewachsen in Bloomington, Indiana, fühlte sich Larsen schon immer zur Mathematik hingezogen. Seine Eltern, beide Mathematiker, haben ihn und seine ältere Schwester schon in jungen Jahren an das Thema herangeführt. (Sie promoviert jetzt in Mathematik.) Als Larsen drei Jahre alt war, erinnert sich Lindenstrauss, fing er an, ihr philosophische Fragen über die Natur der Unendlichkeit zu stellen. „Ich dachte, dieses Kind hat einen mathematischen Verstand“, sagte er Lindenstrauß, Professor an der Indiana University.
Dann, vor ein paar Jahren – ungefähr zu der Zeit, als er in seine Rechtschreib- und Kreuzworträtselprojekte vertieft war – stieß er auf a Dokumentarfilm About Yitang Zhang, ein unbekannter Mathematiker, der 2013 aus der Vergessenheit auftauchte beweist ein richtungsweisendes Ergebnis die eine Obergrenze für die Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen setzen. Irgendetwas machte in Larsen klick. Er konnte nicht aufhören, über die Zahlentheorie nachzudenken und über das damit verbundene Problem, das Zhang und andere Mathematiker immer noch zu lösen hofften: die Primzahlzwillingsvermutung, die besagt, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die sich nur um 2 unterscheiden.
Nach Zhangs Arbeit, die zeigte, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, die sich um weniger als 70 Millionen unterscheiden, andere sprangen ein um diese Grenze noch weiter zu senken. Innerhalb von Monaten die Mathematiker James Maynard und Terence tao unabhängig voneinander eine noch stärkere Aussage über die Lücken zwischen Primzahlen. Dieser Abstand ist seitdem auf 246 geschrumpft.
Larsen wollte etwas von der Mathematik verstehen, die der Arbeit von Maynard und Tao zugrunde liegt, „aber es war so gut wie unmöglich für mich“, sagte er. Ihre Papiere waren viel zu kompliziert. Larsen versuchte, verwandte Arbeiten zu lesen, nur um sie ebenfalls undurchdringlich zu finden. Er blieb dran, hüpfte von einem Ergebnis zum anderen, bis er schließlich im Februar 2021 auf eine Arbeit stieß, die er sowohl schön als auch verständlich fand. Sein Thema: Carmichael-Zahlen, diese seltsamen zusammengesetzten Zahlen, die sich manchmal als Primzahlen ausgeben konnten.
Alle außer Prime
Mitte des 17. Jahrhunderts schrieb der französische Mathematiker Pierre de Fermat einen Brief an seinen Freund und Vertrauten Frénicle de Bessy, in dem er seinen später als „kleinen Satz“ bekannten Satz formulierte. Wenn N ist dann eine Primzahl bN - b ist immer ein Vielfaches von N, egal was b ist. Zum Beispiel ist 7 eine Primzahl und daher 27 – 2 (entspricht 126) ist ein Vielfaches von 7. Ebenso 37 – 3 ist ein Vielfaches von 7 und so weiter.
Mathematiker sahen das Potenzial für einen perfekten Test, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist. Sie wussten, dass wenn N ist prim, bN - b ist immer ein Vielfaches von N. Was wäre, wenn es auch umgekehrt wäre? Das heißt, wenn bN - b ist ein Vielfaches von N für alle Werte von b, Muss N Primzahl sein?
Leider stellte sich heraus, dass in sehr seltenen Fällen N kann diese Bedingung erfüllen und trotzdem zusammengesetzt sein. Die kleinste solche Zahl ist 561: Für jede ganze Zahl b, b561 - b ist immer ein Vielfaches von 561, obwohl 561 keine Primzahl ist. Zahlen wie diese wurden nach dem Mathematiker Robert Carmichael benannt, dem oft die Veröffentlichung des ersten Beispiels im Jahr 1910 zugeschrieben wird (obwohl der tschechische Mathematiker Václav Šimerka 1885 unabhängig davon Beispiele entdeckte).
Mathematiker wollten diese Zahlen, die den grundlegendsten Objekten der Zahlentheorie, den Primzahlen, so ähnlich sind, besser verstehen. Es stellte sich heraus, dass 1899 – ein Jahrzehnt vor Carmichaels Ergebnis – ein anderer Mathematiker, Alwin Korselt, eine äquivalente Definition gefunden hatte. Er hatte einfach nicht gewusst, ob es Zahlen gab, die auf die Rechnung passten.
Nach Korselts Kriterium eine Zahl N ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn sie drei Eigenschaften erfüllt. Erstens muss es mehr als einen Primfaktor haben. Zweitens kann sich kein Primfaktor wiederholen. Und drittens für jede Primzahl p das teilt N, p – 1 teilt auch N – 1. Betrachten Sie noch einmal die Zahl 561. Sie ist gleich 3 × 11 × 17, erfüllt also eindeutig die ersten beiden Eigenschaften in Korselts Liste. Um die letzte Eigenschaft zu zeigen, subtrahieren Sie 1 von jedem Primfaktor, um 2, 10 und 16 zu erhalten. Subtrahieren Sie außerdem 1 von 561. Alle drei kleineren Zahlen sind Teiler von 560. Die Zahl 561 ist daher eine Carmichael-Zahl.
Obwohl Mathematiker vermuteten, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, sind es relativ wenige im Vergleich zu den Primzahlen, was es schwierig machte, sie festzunageln. Dann, 1994, Red Alford, Andreas Granville und Carl Pommerance einen Durchbruch veröffentlicht Krepppapier in dem sie schließlich bewiesen, dass es tatsächlich unendlich viele dieser Pseudoprimzahlen gibt.
Leider konnten sie mit den von ihnen entwickelten Techniken nichts darüber sagen, wie diese Carmichael-Zahlen aussahen. Sind sie in Gruppen entlang der Zahlenlinie erschienen, mit großen Lücken dazwischen? Oder konntest du immer in einem kurzen Intervall eine Carmichael-Nummer finden? „Man könnte meinen, wenn man beweisen kann, dass es unendlich viele davon gibt“, sagte Granville, „sollte man sicher auch beweisen können, dass es keine großen Lücken zwischen ihnen gibt, dass sie relativ weit voneinander entfernt sein sollten.“
Insbesondere hofften er und seine Co-Autoren, eine Aussage zu beweisen, die diese Idee widerspiegelte – und zwar bei einer ausreichend großen Zahl X, es wird immer eine Carmichael-Zahl dazwischen stehen X und 2X. „Das ist eine andere Art auszudrücken, wie allgegenwärtig sie sind“, sagte Jon Grantham, ein Mathematiker am Institute for Defense Analyses, der ähnliche Arbeiten durchgeführt hat.
Aber jahrzehntelang konnte es niemand beweisen. Die von Alford, Granville und Pomerance entwickelten Techniken „ermöglichten es uns zu zeigen, dass es viele Carmichael-Zahlen geben würde“, sagte Pomerance, „aber sie erlaubten uns nicht wirklich, viel Kontrolle darüber zu haben, wo sie sich befinden würden. ”
Dann, im November 2021, öffnete Granville eine E-Mail von Larsen, damals 17 Jahre alt und in seinem Abschlussjahr an der High School. EIN Krepppapier angebracht war – und zu Granvilles Überraschung sah es richtig aus. „Es war nicht die einfachste Lektüre aller Zeiten“, sagte er. „Aber als ich es las, war es ziemlich klar, dass er nicht herumspielte. Er hatte brillante Ideen.“
Pomerance, der eine spätere Version des Werks las, stimmte zu. „Sein Beweis ist wirklich ziemlich weit fortgeschritten“, sagte er. „Es wäre eine Arbeit, auf die jeder Mathematiker wirklich stolz wäre, sie geschrieben zu haben. Und hier ist ein Highschool-Kind, der es schreibt.“
Der Schlüssel zu Larsens Beweis war die Arbeit, die ihn überhaupt zu Carmichael-Zahlen geführt hatte: die Ergebnisse von Maynard und Tao über Primzahllücken.
Unwahrscheinlich – nicht unmöglich
Als Larsen zum ersten Mal zeigen wollte, dass man eine Carmichael-Zahl immer in einem kurzen Intervall finden kann, „scheinte es so offensichtlich wahr zu sein, wie schwer kann es sein, es zu beweisen?“ er sagte. Er erkannte schnell, dass es in der Tat sehr schwer sein könnte. „Dies ist ein Problem, das die Technologie unserer Zeit auf die Probe stellt“, sagte er.
In ihrer Arbeit von 1994 hatten Alford, Granville und Pomerance gezeigt, wie man unendlich viele Carmichael-Zahlen erzeugt. Aber sie waren nicht in der Lage gewesen, die Größe der Primzahlen zu kontrollieren, die sie benutzten, um sie zu konstruieren. Das müsste Larsen tun, um Carmichael-Zahlen zu erstellen, die relativ ähnlich groß sind. Die Schwierigkeit des Problems beunruhigte seinen Vater Michael Larsen. „Ich hielt es nicht für unmöglich, aber ich hielt es für unwahrscheinlich, dass er Erfolg haben würde“, sagte er. „Ich habe gesehen, wie viel Zeit er dafür aufgewendet hat … und ich hatte das Gefühl, dass es für ihn niederschmetternd wäre, so viel von sich dafür zu geben und es nicht zu bekommen.“
Trotzdem wusste er es besser, als zu versuchen, seinen Sohn davon abzubringen. „Wenn Daniel sich auf etwas einlässt, das ihn wirklich interessiert, geht er durch dick und dünn“, sagte er.
Also kehrte Larsen zu Maynards Papieren zurück – insbesondere zu der Arbeit, die zeigte, dass, wenn man bestimmte Folgen von genügend Zahlen nimmt, eine Teilmenge dieser Zahlen Primzahlen sein muss. Larsen modifizierte Maynards Techniken, um sie mit den Methoden von Alford, Granville und Pomerance zu kombinieren. Auf diese Weise konnte er sicherstellen, dass die Größe der Primzahlen, die er am Ende erhielt, variieren würde – genug, um Carmichael-Zahlen zu erzeugen, die in die von ihm gewünschten Intervalle fallen würden.
„Er hat mehr Kontrolle über die Dinge als wir je hatten“, sagte Granville. Und er erreichte dies durch einen besonders geschickten Einsatz von Maynards Werk. „Es ist nicht einfach … diesen Fortschritt auf kurze Lücken zwischen Primzahlen anzuwenden“, sagte er Kaisa Matomaki, Mathematiker an der Universität Turku in Finnland. „Es ist ganz nett, dass er das mit dieser Frage zu den Carmichael-Zahlen verbinden kann.“
Tatsächlich erlaubte Larsens Argument nicht nur zu zeigen, dass dazwischen immer eine Carmichael-Zahl stehen muss X und 2X. Sein Beweis funktioniert auch für viel kleinere Intervalle. Mathematiker hoffen nun, dass es auch dazu beitragen wird, andere Aspekte des Verhaltens dieser seltsamen Zahlen aufzudecken. "Es ist eine andere Idee", sagte Thomas Wright, ein Mathematiker am Wofford College in South Carolina, der an Pseudoprimzahlen arbeitet. "Es ändert viele Dinge darüber, wie wir Dinge über Carmichael-Zahlen beweisen könnten."
Grantham stimmte zu. „Jetzt kannst du Dinge tun, an die du nie gedacht hast“, sagte er.
Larsen hingegen hat gerade sein erstes Studienjahr am Massachusetts Institute of Technology begonnen. Er ist sich nicht sicher, an welchem Problem er als nächstes arbeiten wird, aber er ist gespannt, was es da draußen gibt. „Ich nehme nur Kurse … und versuche, aufgeschlossen zu sein“, sagte er.
„Er hat das alles ohne Grundausbildung gemacht“, sagte Grantham. „Ich kann mir nur vorstellen, was ihm in der Graduiertenschule einfallen wird.“
