Die verborgene Verbindung, die die Zahlentheorie veränderte | Quanta-Magazin

Es gibt drei Arten von Primzahlen. Der erste ist ein einzelner Ausreißer: 2, die einzige gerade Primzahl. Danach hinterlässt die Hälfte der Primzahlen bei Division durch 1 einen Rest von 4. Die andere Hälfte hinterlässt einen Rest von 3. (5 und 13 fallen in das erste Lager, 7 und 11 in das zweite.) Es gibt keinen offensichtlichen Grund für diesen Rest -1-Primzahlen und Rest-3-Primzahlen sollten sich grundsätzlich unterschiedlich verhalten. Aber sie tun es.

Ein wesentlicher Unterschied ergibt sich aus einer Eigenschaft namens quadratische Reziprozität, die erstmals von Carl Gauß, dem wohl einflussreichsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts, nachgewiesen wurde. „Es ist eine ziemlich einfache Aussage, die überall Anwendung findet, in allen Bereichen der Mathematik, nicht nur in der Zahlentheorie“, sagte er James Rickards, ein Mathematiker an der University of Colorado, Boulder. „Aber es ist auch nicht offensichtlich genug, um wirklich interessant zu sein.“

Die Zahlentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit ganzen Zahlen befasst (im Gegensatz beispielsweise zu Formen oder kontinuierlichen Größen). Die Primzahlen – diejenigen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind – sind der Kern, so wie die DNA der Kern der Biologie ist. Die quadratische Reziprozität hat die Vorstellung der Mathematiker darüber verändert, wie viel man über sie beweisen kann. Wenn man sich Primzahlen als eine Bergkette vorstellt, ist Reziprozität wie ein schmaler Pfad, der es Mathematikern ermöglicht, bis dahin unerreichbare Gipfel zu erklimmen und von diesen Gipfeln aus verborgene Wahrheiten zu erkennen.

Obwohl es sich um einen alten Satz handelt, findet er immer noch neue Anwendungsmöglichkeiten. Diesen Sommer Rickards und sein Kollege Katharina Stange, zusammen mit zwei Studenten, widerlegte eine weithin akzeptierte Vermutung darüber, wie kleine Kreise in einen größeren gepackt werden können. Das Ergebnis schockierte die Mathematiker. Peter Sarak, eine Zahlentheoretikerin am Institute for Advanced Study und der Princeton University, sprach kurz nach ihrem Team auf einer Konferenz mit Stange gepostet ihr Papier. „Sie sagte mir, sie hätte ein Gegenbeispiel“, erinnert sich Sarnak. „Ich fragte sie sofort: ‚Verwenden Sie irgendwo Gegenseitigkeit?‘ Und das war tatsächlich das, was sie benutzte.‘“

Muster in Primzahlpaaren

Um die Reziprozität zu verstehen, müssen Sie zunächst die modulare Arithmetik verstehen. Modulare Operationen basieren auf der Berechnung von Resten, wenn Sie durch eine Zahl dividieren, die als Modul bezeichnet wird. Zum Beispiel ist 9 Modulo 7 2, denn wenn Sie 9 durch 7 dividieren, bleibt ein Rest von 2 übrig. Im Modulo 7-Zahlensystem gibt es 7 Zahlen: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Sie können diese Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Genau wie die ganzen Zahlen können diese Zahlensysteme perfekte Quadrate haben – Zahlen, die das Produkt einer anderen Zahl mal sich selbst sind. Beispielsweise sind 0, 1, 2 und 4 die perfekten Quadrate Modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 und 3 × 3 = 2 mod 7). Jedes gewöhnliche Quadrat ist entweder gleich 0, 1, 2 oder 4 Modulo 7. (Beispiel: 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Da modulare Zahlensysteme endlich sind, sind perfekte Quadrate häufiger anzutreffen.

Die quadratische Reziprozität ergibt sich aus einer relativ einfachen Frage. Gegeben seien zwei Primzahlen p und q, wenn du das weißt p ist ein perfektes quadratisches Modulo q, können Sie sagen, ob oder nicht q ist ein perfektes quadratisches Modulo p?

Es stellt sich heraus, dass beides so lange dauert p or q Bei Division durch 1 bleibt ein Rest von 4 übrig, wenn p ist ein perfektes quadratisches Modulo q und dann q ist auch ein perfektes quadratisches Modulo p. Man sagt, dass die beiden Primzahlen reziprok sind.

Wenn andererseits beide einen Rest von 3 übrig lassen (z. B. 7 und 11), dann erwidern sie nicht: Wenn p ist ein quadratisches Modulo q, das bedeutet, dass q wird kein quadratisches Modulo sein p. In diesem Beispiel ist 11 ein Quadrat modulo 7, da 11 = 4 mod 7 und wir bereits wissen, dass 4 eines der perfekten Quadrate modulo 7 ist. Daraus folgt, dass 7 kein Quadrat modulo 11 ist. Wenn Sie die Liste der gewöhnlichen nehmen Quadrate (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) und betrachte ihre Reste modulo 11, dann wird 7 nie erscheinen.

Das ist, um einen Fachbegriff zu verwenden, wirklich seltsam!

Die Macht der Verallgemeinerung

Wie viele mathematische Ideen war die Reziprozität einflussreich, weil sie verallgemeinert werden kann.

Kurz nachdem Gauß 1801 den ersten Beweis der quadratischen Reziprozität veröffentlichte, versuchten Mathematiker, die Idee über Quadrate hinaus auszuweiten. „Warum nicht Dritte Mächte oder Vierte Mächte? Sie stellten sich vor, dass es vielleicht ein kubisches Reziprozitätsgesetz oder ein quartisches Reziprozitätsgesetz gibt“, sagte er Keith Konrad, ein Zahlentheoretiker an der University of Connecticut.

Aber sie blieben stecken, sagte Conrad, „weil es kein einfaches Muster gibt.“ Dies änderte sich, als Gauß die Reziprozität in den Bereich der komplexen Zahlen einführte, die die Quadratwurzel von minus 1 addieren, dargestellt durch i, zu gewöhnlichen Zahlen. Er führte die Idee ein, dass Zahlentheoretiker nicht nur gewöhnliche ganze Zahlen analysieren könnten, sondern auch andere ganzzahlähnliche mathematische Systeme, wie sogenannte Gaußsche ganze Zahlen, bei denen es sich um komplexe Zahlen handelt, deren Real- und Imaginärteil beide ganze Zahlen sind.

Mit den Gaußschen ganzen Zahlen änderte sich die gesamte Vorstellung davon, was als Primzahl gilt. Beispielsweise ist 5 keine Primzahl mehr, da 5 = (2 + i) × (2 − i). „Man muss von vorne anfangen, als wäre man wieder in der Grundschule“, sagte Conrad. Im Jahr 1832 bewies Gauß ein quartisches Reziprozitätsgesetz für die nach ihm benannten komplexen ganzen Zahlen.

Plötzlich lernten Mathematiker, Werkzeuge wie modulare Arithmetik und Faktorisierung auf diese neuen Zahlensysteme anzuwenden. Laut Conrad war die quadratische Reziprozität die Inspiration.

Nun tauchten Muster auf, die ohne komplexe Zahlen schwer fassbar gewesen wären. Mitte der 1840er Jahre hatten Gotthold Eisenstein und Carl Jacobi die ersten kubischen Reziprozitätsgesetze bewiesen.

Dann, in den 1920er Jahren, entdeckte Emil Artin, einer der Begründer der modernen Algebra, das, was Conrad das „ultimative Reziprozitätsgesetz“ nennt. Alle anderen Reziprozitätsgesetze könnten als Sonderfälle des Artinschen Reziprozitätsgesetzes angesehen werden.

Ein Jahrhundert später erarbeiten Mathematiker immer noch neue Beweise für Gauß‘ erstes quadratisches Reziprozitätsgesetz und verallgemeinern es auf neuartige mathematische Kontexte. Es kann hilfreich sein, viele eindeutige Beweise zu haben. „Wenn Sie das Ergebnis auf eine neue Umgebung ausweiten möchten, lässt sich möglicherweise eines der Argumente leicht übertragen, während die anderen dies nicht tun“, sagte Conrad.

Warum Gegenseitigkeit so nützlich ist

Quadratische Reziprozität wird in so unterschiedlichen Forschungsbereichen wie der Graphentheorie, der algebraischen Topologie und der Kryptographie verwendet. Bei letzterem handelt es sich um einen einflussreichen Verschlüsselungsalgorithmus mit öffentlichem Schlüssel, der 1982 von entwickelt wurde Schafi Goldwasser und Silvio Micali hängt von der Multiplikation zweier großer Primzahlen ab p und q zusammenfügen und das Ergebnis ausgeben, N, zusammen mit einer Zahl, x, was kein quadratisches Modulo ist N. Der Algorithmus verwendet N und x um digitale Nachrichten in Zeichenfolgen mit größeren Zahlen zu verschlüsseln. Die einzige Möglichkeit, diese Zeichenfolge zu entschlüsseln, besteht darin, zu entscheiden, ob jede Zahl in der verschlüsselten Zeichenfolge ein quadratisches Modulo ist oder nicht N – praktisch unmöglich, ohne die Werte der Primzahlen zu kennen p und q.

Und natürlich taucht die quadratische Reziprozität in der Zahlentheorie immer wieder auf. Beispielsweise lässt sich damit beweisen, dass jede Primzahl, die gleich 1 modulo 4 ist, als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann (zum Beispiel ist 13 gleich 1 modulo 4 und 13 = 4 + 9 = 2).² + 3²). Im Gegensatz dazu können Primzahlen gleich 3 modulo 4 niemals als Summe zweier Quadrate geschrieben werden.

Sarnak wies darauf hin, dass Reziprozität zur Lösung offener Fragen eingesetzt werden könne, beispielsweise um herauszufinden, welche Zahlen als Summe von drei Würfeln geschrieben werden können. Es ist bekannt, dass Zahlen, die gleich 4 oder 5 Modulo 9 sind, nicht der Summe von drei Würfeln entsprechen, andere bleiben jedoch ein Rätsel. (Im Jahr 2019, Andrew Booker Schlagzeilen generiert als er entdeckte, dass (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Trotz all ihrer vielen Anwendungen und vielen verschiedenen Beweise bleibt etwas an der Reziprozität ein Rätsel, sagte Stange.

„Was bei einem mathematischen Beweis oft passiert, ist, dass man jeden Schritt verfolgen kann; Sie können glauben, dass es wahr ist“, sagte sie. „Und am anderen Ende kann man immer noch mit dem Gefühl herauskommen: ‚Aber warum?‘“

Auf einer viszeralen Ebene zu verstehen, was 7 und 11 von 5 und 13 unterscheidet, könnte für immer unerreichbar sein. „Wir können nur mit einer begrenzten Anzahl an Abstraktionsebenen jonglieren“, sagte sie. „Es taucht überall in der Zahlentheorie auf … und doch ist es nur ein Schritt über das hinaus, was man gefühlt wirklich einfach wissen könnte.“

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