Die geheimnisvolle Mathematik der Billardtische | Quanta-Magazin

In Disneys Film von 1959 Donald im Land der Mathematik, Donald Duck, inspiriert von den Beschreibungen des Erzählers über die Geometrie von Billard, schlägt energisch auf die Spielkugel, wodurch es über den Tisch abprallt, bevor es schließlich die vorgesehenen Bälle trifft. Donald fragt: „Wie gefällt dir das für die Mathematik?“

Da bei rechteckigen Billardtischen vier Wände im rechten Winkel aufeinander treffen, sind Billardbahnen wie die von Donald vorhersehbar und gut verständlich – auch wenn sie in der Praxis nur schwer umzusetzen sind. Grundlegende Fragen zu den möglichen Flugbahnen von Billardkugeln auf Tischen in Form anderer Polygone (Formen mit flachen Seiten) können forschende Mathematiker jedoch immer noch nicht beantworten. Sogar Dreiecke, die einfachsten Polygone, bergen immer noch Geheimnisse.

Ist es immer möglich, einen Ball so zu schlagen, dass er in die gleiche Richtung zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt und dabei eine sogenannte periodische Umlaufbahn erzeugt? Niemand weiß. Bei anderen, komplizierteren Formen ist nicht bekannt, ob es möglich ist, den Ball von jedem Punkt auf dem Tisch zu jedem anderen Punkt auf dem Tisch zu schlagen.

Obwohl diese Fragen gut in die Grenzen der Geometrie zu passen scheinen, wie sie in der Oberschule gelehrt wird, mussten einige der weltweit führenden Mathematiker bei Versuchen, sie zu lösen, Ideen aus unterschiedlichen Bereichen einbringen, darunter dynamische Systeme, Topologie und Differentialgeometrie. Wie bei jedem großen mathematischen Problem hat die Arbeit an diesen Problemen neue Mathematik hervorgebracht und in diese anderen Bereiche zurückgewirkt und das Wissen erweitert. Doch trotz all dieser Bemühungen und der Erkenntnisse, die moderne Computer hervorgebracht haben, scheitern diese scheinbar einfachen Probleme hartnäckig an einer Lösung.

Hier ist, was Mathematiker seit Donald Ducks episch verworrenem Schuss über Billard gelernt haben.

Sie gehen normalerweise davon aus, dass ihre Billardkugel ein unendlich kleiner, dimensionsloser Punkt ist und dass sie in perfekter Symmetrie von den Wänden abprallt und im gleichen Winkel abfliegt, in dem sie ankommt, wie unten zu sehen ist.

Ohne Reibung bewegt sich der Ball unbegrenzt weiter, es sei denn, er erreicht eine Ecke, die den Ball wie eine Tasche stoppt. Der Grund dafür, dass Billard mathematisch so schwer zu analysieren ist, liegt darin, dass zwei nahezu identische Schläge, die auf beiden Seiten einer Ecke landen, völlig unterschiedliche Flugbahnen haben können.

Eine wichtige Methode zur Analyse von polygonalem Billard besteht darin, sich nicht vorzustellen, dass der Ball von der Tischkante abprallt, sondern sich vorzustellen, dass der Ball jedes Mal, wenn er eine Wand trifft, weiter in eine neue Kopie des Tisches wandert, die umgedreht wird Kante, wodurch ein Spiegelbild entsteht. Dieser Vorgang (siehe unten), der als Entfaltung der Billardbahn bezeichnet wird, ermöglicht es der Kugel, sich auf einer geradlinigen Flugbahn fortzubewegen. Indem Sie die imaginären Tische auf ihre Nachbarn zurückklappen, können Sie die tatsächliche Flugbahn des Balls wiederherstellen. Dieser mathematische Trick ermöglicht es, Dinge über die Flugbahn zu beweisen, die sonst schwer zu erkennen wären.

Beispielsweise kann damit gezeigt werden, warum einfache rechteckige Tabellen unendlich viele periodische Trajektorien durch jeden Punkt haben. Ein ähnliches Argument gilt für jedes Rechteck, aber der Konkretheit halber stellen Sie sich eine Tabelle vor, die doppelt so breit wie lang ist.

Angenommen, Sie möchten eine periodische Umlaufbahn finden, die die Tabelle kreuzt n mal in der langen Richtung und m Mal in die kurze Richtung. Da jedes Spiegelbild des Rechtecks ​​dem von einer Wand abprallenden Ball entspricht, muss seine Flugbahn den Tisch in beiden Richtungen gerade so oft überqueren, damit er in die gleiche Richtung zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren kann. Also m und n muss gerade sein. Legen Sie ein Raster aus identischen Rechtecken an, die jeweils als Spiegelbild ihrer Nachbarn betrachtet werden. Zeichnen Sie ein Liniensegment von einem Punkt auf der Originaltabelle zum identischen Punkt auf einer Kopie n Tische in Längsrichtung weg und m Tische in kurzer Richtung weg. Passen Sie den ursprünglichen Punkt leicht an, wenn der Pfad durch eine Ecke verläuft. Hier ist ein Beispiel, wo n = 2 und m = 6. Beim Zurückklappen erzeugt der Pfad eine periodische Flugbahn, wie im grünen Rechteck dargestellt.

Eine Dreiecksungleichung

Komplizierter ist Billard in Dreiecken, die nicht die schöne rechtwinklige Geometrie von Rechtecken haben. Wie Sie sich vielleicht aus der Geometrie der High School erinnern, gibt es verschiedene Arten von Dreiecken: spitze Dreiecke, bei denen alle drei Innenwinkel weniger als 90 Grad betragen; rechtwinklige Dreiecke, die einen 90-Grad-Winkel haben; und stumpfe Dreiecke, deren Winkel mehr als 90 Grad beträgt.

Billardtische in Form spitzer und rechtwinkliger Dreiecke haben periodische Flugbahnen. Aber niemand weiß, ob das Gleiche auch für stumpfe Dreiecke gilt.

Um eine periodische Flugbahn in einem spitzen Dreieck zu finden, zeichnen Sie eine senkrechte Linie von jedem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite, wie unten links zu sehen ist. Verbinden Sie die Punkte, an denen die rechten Winkel auftreten, zu einem Dreieck, wie rechts zu sehen ist.

Dieses eingeschriebene Dreieck ist eine periodische Billardbahn, die Fagnano-Umlaufbahn genannt wird, benannt nach Giovanni Fagnano, der 1775 zeigte, dass dieses Dreieck den kleinsten Umfang aller eingeschriebenen Dreiecke hat.

In den frühen 1990er Jahren arbeitete Fred Holt an der University of Washington und Gregory Galperin und seine Mitarbeiter an der Moskauer Staatsuniversität unabhängig zeigte dass jedes rechtwinklige Dreieck periodische Bahnen hat. Eine einfache Möglichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, das Dreieck um ein Bein und dann um das andere zu spiegeln, wie unten gezeigt.

Beginnen Sie mit einer Flugbahn, die im rechten Winkel zur Hypotenuse (der langen Seite des Dreiecks) verläuft. Die Hypotenuse und ihr zweites Spiegelbild sind parallel, sodass ein sie verbindendes senkrechtes Liniensegment einer Flugbahn entspricht, die für immer hin und her springt: Der Ball verlässt die Hypotenuse im rechten Winkel, prallt von beiden Beinen ab und kehrt rechts zur Hypotenuse zurück Winkel und verfolgt dann seine Route zurück.

Aber stumpfe Dreiecke bleiben ein Rätsel. In ihrer Arbeit aus dem Jahr 1992 haben Galperin und seine Mitarbeiter verschiedene Methoden entwickelt, um stumpfe Dreiecke so zu spiegeln, dass man periodische Umlaufbahnen erzeugen kann, aber die Methoden funktionierten nur in einigen Sonderfällen. Dann, im Jahr 2008, Richard Schwarz an der Brown University zeigte, dass alle stumpfen Dreiecke mit Winkel von 100 Grad oder weniger enthalten eine periodische Flugbahn. Sein Ansatz bestand darin, das Problem in mehrere Fälle zu zerlegen und jeden Fall mithilfe traditioneller Mathematik und Computerunterstützung zu überprüfen. Im Jahr 2018 haben Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore und George Tokarsky an der University of Alberta diese Schwelle verlängert auf 112.3 Grad. (Tokarsky und Marinov hatte mehr als ein Jahrzehnt damit verbracht dieses Ziel verfolgen.)

Eine topologische Wende

Ein anderer Ansatz wurde verwendet, um zu zeigen, dass stumpfe Dreiecke mit noch größeren Winkeln periodische Trajektorien haben müssen, wenn alle Winkel rational sind – das heißt, sie können als Brüche ausgedrückt werden. Anstatt einfach ein Polygon auf einer flachen Ebene zu kopieren, werden bei diesem Ansatz Kopien von Polygonen auf topologische Oberflächen abgebildet, Donuts mit einem oder mehreren Löchern darin.

Wenn Sie ein Rechteck an seiner kurzen Seite spiegeln und dann beide Rechtecke an ihrer längsten Seite spiegeln, so dass vier Versionen des ursprünglichen Rechtecks ​​entstehen, und dann die Ober- und Unterseite sowie die linke und rechte Seite zusammenkleben, haben Sie einen Donut gemacht. oder Torus, wie unten gezeigt. Billardbahnen auf dem Tisch entsprechen Bahnen auf dem Torus und umgekehrt.

In einem bahnbrechenden Artikel aus dem Jahr 1986 heißt es: Howard Masur nutzte diese Technik, um zu zeigen, dass alle Polygontafeln mit rationalen Winkeln periodische Umlaufbahnen haben. Sein Ansatz funktionierte nicht nur bei stumpfen Dreiecken, sondern auch bei weitaus komplizierteren Formen: Unregelmäßige 100-seitige Tische etwa oder Polygone, deren Wände im Zick-Zack verlaufen und Ecken und Winkel bilden, haben periodische Umlaufbahnen, solange die Winkel rational sind.

Bemerkenswerterweise impliziert die Existenz einer periodischen Umlaufbahn in einem Polygon die Existenz unendlich vieler; Eine geringfügige Verschiebung der Flugbahn ergibt eine Familie verwandter periodischer Flugbahnen.

Das Beleuchtungsproblem

Formen mit Ecken und Kanten werfen eine ähnliche Frage auf. Anstatt nach Trajektorien zu fragen, die zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehren, fragt dieses Problem, ob Trajektorien jeden Punkt auf einer bestimmten Tabelle besuchen können. Dies wird als Beleuchtungsproblem bezeichnet, weil wir uns darüber Gedanken machen können, indem wir uns einen Laserstrahl vorstellen, der von den Spiegelwänden reflektiert wird, die den Billardtisch umgeben. Wir fragen, ob man bei gegebenen zwei Punkten auf einem bestimmten Tisch immer einen Laser (idealisiert als unendlich dünner Lichtstrahl) von einem Punkt zum anderen richten kann. Anders ausgedrückt: Wenn wir eine Glühbirne, die in alle Richtungen gleichzeitig leuchtet, irgendwo auf dem Tisch platzieren würden, würde sie dann den ganzen Raum erhellen?

Es gab zwei Hauptforschungsrichtungen zu diesem Problem: die Suche nach Formen, die nicht beleuchtet werden können, und den Nachweis, dass große Klassen von Formen dies können. Während die Suche nach seltsamen Formen, die nicht beleuchtet werden können, durch geschickte Anwendung einfacher Mathematik möglich ist, war der Nachweis, dass viele Formen beleuchtet werden können, nur durch den Einsatz schwerer mathematischer Maschinen möglich.

In 1958, Roger Penrose, ein Mathematiker, der später den gewann 2020-Nobelpreis für Physik, fand eine gekrümmte Tabelle, in der kein Punkt in einer Region irgendeinen Punkt in einer anderen Region beleuchten konnte. Jahrzehntelang gelang es niemandem, ein Polygon mit denselben Eigenschaften zu entwickeln. Aber 1995 nutzte Tokarsky eine einfache Tatsache über Dreiecke, um ein blockartiges 26-seitiges Polygon mit zwei Punkten zu erstellen, die für beide Seiten unzugänglich sind (siehe unten). Das heißt, ein Laserstrahl, der von einem Punkt aus abgefeuert wird, kann unabhängig von seiner Richtung den anderen Punkt nicht treffen.

Der Schlüsselgedanke, den Tokarsky beim Bau seines speziellen Tisches verwendete, war, dass ein Laserstrahl, wenn er in einem der spitzen Winkel in einem 45°-45°-90°-Dreieck beginnt, niemals zu dieser Ecke zurückkehren kann.

Sein gezackter Tisch besteht aus 29 solcher Dreiecke, die so angeordnet sind, dass sie diesen Umstand geschickt ausnutzen. Im Jahr 2019 Amit Wolecki, damals Doktorand an der Universität Tel Aviv, wandte dieselbe Technik an eine Form erzeugen mit 22 Seiten (siehe unten), was er bewies, dass es sich um die kleinstmögliche Anzahl von Seiten für eine Form handelte, die zwei innere Punkte hatte, die sich nicht gegenseitig beleuchten.

Der Nachweis von Ergebnissen in die andere Richtung war viel schwieriger. Im Jahr 2014 war Maryam Mirzakhani, Mathematikerin an der Stanford University, die erste Frau, die dies tat Gewinnen Sie die Fields-Medaille, die prestigeträchtigste Auszeichnung der Mathematik, für ihre Arbeit über die Modulräume von Riemannschen Flächen – eine Art Verallgemeinerung der Donuts, mit denen Masur zeigte, dass alle Polygontafeln mit rationalen Winkeln periodische Umlaufbahnen haben. Im Jahr 2016 Samuel Lelièvre der Universität Paris-Saclay, Thierry Monteil des französischen Nationalen Zentrums für wissenschaftliche Forschung und Barak Weiss von der Universität Tel Aviv wandte eine Reihe von Mirzakhanis Ergebnissen an um zu zeigen, dass jeder Punkt in einem rationalen Polygon alle Punkte außer endlich vielen beleuchtet. Es kann vereinzelte dunkle Flecken geben (wie in den Beispielen von Tokarsky und Wolecki), aber keine dunklen Bereiche wie im Beispiel von Penrose, das eher gekrümmte als gerade Wände hat. In Woleckis Artikel aus dem Jahr 2019Er untermauerte dieses Ergebnis, indem er bewies, dass es nur endlich viele Paare unbeleuchteter Punkte gibt.

Traurigerweise Mirzakhani ist gestorben im Jahr 2017 im Alter von 40 Jahren, nach einem Kampf gegen Krebs. Ihre Arbeit schien weit entfernt von Trickschüssen in Billardhallen zu sein. Und doch zeigt die Analyse der Billardbahnen, wie selbst die abstrakteste Mathematik einen Bezug zur Welt, in der wir leben, herstellen kann.