Die überraschend einfache Mathematik hinter rätselhaften Matchups | Quanta-Magazin

Es ist das Meisterschaftsspiel der Imaginary Math League, bei dem die Atlanta Algebras auf die Carolina Cross Products treffen. Die beiden Teams haben in dieser Saison noch nicht gegeneinander gespielt, aber Anfang des Jahres besiegte Atlanta die Brooklyn Bisectors mit 10 zu 5 und Brooklyn besiegte Carolina mit 7 zu 3. Gibt uns das irgendeinen Einblick, gegen wen? wird den Titel holen?

Nun, hier ist ein Gedankengang. Wenn Atlanta Brooklyn schlägt, dann ist Atlanta besser als Brooklyn, und wenn Brooklyn Carolina besiegt, dann ist Brooklyn besser als Carolina. Wenn also Atlanta besser ist als Brooklyn und Brooklyn besser als Carolina, dann sollte Atlanta besser als Carolina sein und die Meisterschaft gewinnen.

Wenn Sie an Wettkämpfen teilnehmen oder Sport treiben, wissen Sie, dass es nie so einfach ist, den Ausgang eines Spiels vorherzusagen. Aber rein mathematisch gesehen hat dieses Argument durchaus seinen Reiz. Es nutzt eine wichtige Idee der Mathematik, die als Transitivität bekannt ist, eine bekannte Eigenschaft, die es uns ermöglicht, Vergleichsreihen über Beziehungen hinweg zu erstellen. Transitivität ist eine dieser mathematischen Eigenschaften, die so grundlegend sind, dass man sie vielleicht gar nicht bemerkt.

Beispielsweise ist die Zahlengleichheit transitiv. Das heißt, wenn wir das wissen a = b und b = c, können wir schließen, dass a = c. Auch die „Größer-als“-Beziehung ist transitiv: Für reelle Zahlen, wenn a > b und b > c und dann a > c. Wenn Beziehungen transitiv sind, können wir sie vergleichen und kombinieren und so eine Reihenfolge der Objekte erstellen. Wenn Anna größer als Benji und Benji größer als Carl ist, können wir die drei nach ihrer Größe ordnen: A, B, C. Transitivität steckt auch hinter unserem naiven Argument, dass wenn A ist besser als B und B ist besser als C und dann A ist besser als C.

Transitivität ist in Gleichheit, Kongruenz, Ähnlichkeit und sogar Parallelität vorhanden. Es ist Teil aller grundlegenden Mathematik, die wir betreiben, was es mathematisch besonders interessant macht, wenn es nicht vorhanden ist. Wenn Analysten Teams bewerten, Ökonomen Verbraucherpräferenzen untersuchen oder Bürger über ihre bevorzugten Kandidaten abstimmen, kann ein Mangel an Transitivität zu überraschenden Ergebnissen führen. Um diese Art von Systemen besser zu verstehen, untersuchen Mathematiker seit über 50 Jahren „intransitive Würfel“ und a jüngsten Papier Die Ergebnisse der Online-Mathematik-Kollaboration „Polymath“ haben dieses Verständnis erweitert. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie Intransitivität aussieht und sich anfühlt, bilden wir eine eigene Liga und spielen herum.

In unserer neuen Mathe-Liga treten die Spieler gegeneinander an, indem sie individuelle Münzen werfen und die Ergebnisse vergleichen. Sagen wir Spieler A hat eine Münze mit der Zahl 10 auf der einen und der Zahl 6 auf der anderen Seite und den Spieler BDie Münze von hat die Zahlen 8 und 3. Wir gehen davon aus, dass die Münzen fair sind – das heißt, dass beim Werfen der Münzen beide Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheinen – und stellen die Zahlen auf den Münzen so dar.

Bei einem Spiel werfen die Spieler ihre Münzen um, und derjenige, dessen Münze die höhere Zahl zeigt, ist der Gewinner. Wer wird wann gewinnen? A spielt B?

Natürlich kommt es darauf an. Manchmal A wird manchmal gewinnen B wird gewinnen. Aber es ist nicht schwer, das zu erkennen A ist der Favorit, gegen den man gewinnt B. Es gibt vier Möglichkeiten, wie sich das Spiel entwickeln könnte A gewinnt in drei davon.

Also im Spiel von A gegen B, A hat eine Gewinnchance von 75 %.

C kommt und fordert heraus B zu einem Spiel. CDie Münze hat auf der einen Seite eine 5 und auf der anderen Seite eine 4. Auch hier gibt es vier Möglichkeiten.

Hier B und C Jeder gewinnt zwei der vier Matchups, sodass jeder 50 % der Spiele gewinnt. B und C sind gleichmäßig aufeinander abgestimmt.

Nun, was würden Sie wann erwarten? A und C spielen? Also, A normalerweise schlägt B und B ist gleichmäßig abgestimmt mit C, also scheint es vernünftig, das zu erwarten A wird wahrscheinlich dagegen favorisiert werden C.

Jedoch müssen auch A ist mehr als ein Favorit. A dominiert C, 100 % der Zeit gewinnend.

Das mag überraschend erscheinen, aber mathematisch ist es nicht schwer zu verstehen, warum es passiert. CDie Zahlen liegen dazwischen B's, also C gewinnt jederzeit B dreht ihre niedrigere Zahl um. Aber CDie Zahlen von 's sind beide unten A's, also C wird dieses Match niemals gewinnen. Dieses Beispiel verstößt nicht gegen die Idee der Transitivität, zeigt aber, dass die Dinge möglicherweise komplizierter sind als nur A > B > C. Eine kleine Änderung an unserem Spiel zeigt, wie viel komplizierter es sein kann.

Da unsere Konkurrenten das Spiel mit dem Werfen zweiseitiger Münzen schnell satt haben, da es mathematisch leicht vollständig zu verstehen ist (weitere Einzelheiten finden Sie in den Übungen am Ende der Kolumne), beschließt die Liga, auf dreiseitige Münzen umzusteigen. (Einer der Vorteile des Spielens in einer imaginären Mathe-Liga besteht darin, dass alles möglich ist.)

Hier sind A und B's Münzen:

Wer wird in einem Spiel dazwischen bevorzugt? A und B? Nun, es gibt drei Ergebnisse für A's Münzwurf und drei für B, was zu neun möglichen Spielergebnissen führt, die wir leicht grafisch darstellen können.

Unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, A Beats B in fünf der neun Ergebnisse. Das heisst A sollte $latex frac{5}{9} in ca. $ 55 % der Fälle gewinnen, also A ist dagegen favorisiert B.

Ich fühle mich etwas niedergeschlagen, was ihre Aussichten angeht, B Herausforderungen C zu einem Spiel. CDie Zahlen sind unten aufgeführt. Mögen Sie B's Chancen?

Auch hier gibt es neun mögliche Ergebnisse in einem Spiel B gegen C, also können wir sie einfach auflisten.

Wir können das sehen B sieht dagegen ziemlich gut aus C. In fünf der neun möglichen Ergebnisse B Gewinnt. Also B ist dagegen favorisiert C.

schlecht C Jetzt muss gespielt werden A. Mit A favorisiert dagegen B und B favorisiert dagegen C, was der Zufall bewirkt C musst du gewinnen? Eine ziemlich gute, wie sich herausstellt.

In fünf der neun möglichen Ergebnisse hier: C Beats A. Das bedeutet, dass C ist dagegen favorisiert A, obwohl Aist dagegen favorisiert B und B ist dagegen favorisiert C.

Dies ist ein Beispiel für ein intransitives System. Technisch gesehen ist die Beziehung „bevorzugt sein“ in unserem Spiel nicht transitiv: A ist dagegen favorisiert B und B ist dagegen favorisiert C, Aber A ist nicht unbedingt positiv C.

Wir sehen es nicht oft in der Mathematik, aber Sportfans würde ein solches Verhalten nicht überraschen. Wenn die Giants die Eagles schlagen würden und die Eagles die Cowboys schlagen würden, könnten die Cowboys immer noch sehr gut die Giants schlagen. Es gibt viele Faktoren, die zum Ausgang eines einzelnen Spiels beitragen. Teams können durch Übung besser werden oder stagnieren, wenn sie nicht innovativ sind. Spieler können das Team wechseln. Details wie der Austragungsort des Spiels – zu Hause oder auswärts – oder wie lange die Mannschaften gespielt haben, können Einfluss darauf haben, wer gewinnt und wer verliert.

Aber dieses einfache Beispiel zeigt, dass es auch rein mathematische Gründe für diese Art der Intransitivität gibt. Und diese rein mathematische Überlegung hat etwas mit den realen Zwängen des Wettbewerbs gemeinsam: Matchups.

Hier sind die Zahlen für A, B und C.

Wenn wir sie nebeneinander betrachten, ist es einfacher zu erkennen, warum in dieser Situation Intransitivität auftritt. Obwohl B ist der Favorit, gegen den man gewinnt C, CDie beiden mittelhohen Zahlen – die 7 und die 6 – verschaffen ihnen einen Vorteil gegenüber A zur Verbesserung der Gesundheitsgerechtigkeit B nicht hat. Wenngleich A ist dagegen favorisiert B und B ist dagegen favorisiert C, C Spiele gegen A besser als B tut. Dies ähnelt der Art und Weise, wie eine unterlegene Sportmannschaft gut gegen einen überlegenen Gegner antreten könnte, weil deren Spielstil für diese Mannschaft schwer zu handhaben ist oder weil ein Spieler oder Trainer ihnen einen Vorteil gegenüber diesem bestimmten Gegner verschafft.

Die Tatsache, dass Sport intransitiv ist, macht ihn unterhaltsam und fesselnd. Immerhin, wenn A Beats B und B Beats C, C wird nicht einfach aufgrund der Transitivität verlieren, wenn sie gegeneinander antreten A. Im Wettbewerb kann alles passieren. Wie viele Kommentatoren nach einer Überraschung sagten: „Deshalb spielen sie das Spiel.“

Und deshalb spielen wir mit Mathe. Finden, was Spaß macht, fesselnd und überraschend ist. Alles kann passieren.

Übungen

1. Angenommen, zwei Spieler spielen das Spiel mit zweiseitigen Münzen und die vier Zahlen der beiden Münzen sind alle unterschiedlich. Grundsätzlich gibt es nur sechs mögliche Szenarien dafür, wer wie oft gewinnt. Was sind Sie?

2. Finden Sie im oben beschriebenen dreiseitigen Spielszenario eine andere dreiseitige Münze für C damit B wird immer noch bevorzugt gegen C und C wird immer noch bevorzugt gegen A.

3. Beweisen Sie, dass es in einem Spiel mit zweiseitigen Münzen unmöglich ist, drei Spieler zu haben A, B, C so dass A ist dagegen favorisiert B, B ist dagegen favorisiert C und C ist dagegen favorisiert A.