Einleitung
Die Knotentheorie begann als Versuch, den grundlegenden Aufbau des Universums zu verstehen. Als Wissenschaftler 1867 eifrig versuchten, herauszufinden, was möglicherweise für all die verschiedenen Arten von Materie verantwortlich sein könnte, zeigte der schottische Mathematiker und Physiker Peter Guthrie Tait seinem Freund und Landsmann Sir William Thomson sein Gerät zur Erzeugung von Rauchringen. Thomson – später Lord Kelvin (Namensgeber der Temperaturskala) – war fasziniert von den betörenden Formen der Ringe, ihrer Stabilität und ihren Wechselwirkungen. Seine Inspiration führte ihn in eine überraschende Richtung: Vielleicht, dachte er, so wie die Rauchringe Wirbel in der Luft waren, waren Atome verknotete Wirbelringe im leuchtenden Äther, einem unsichtbaren Medium, durch das sich, wie die Physiker glaubten, Licht ausbreitete.
Obwohl diese Idee aus der viktorianischen Ära jetzt lächerlich klingen mag, war es keine leichtfertige Untersuchung. Diese Wirbeltheorie hatte einiges zu bieten: Die schiere Vielfalt der Knoten, jeder leicht anders, schien die unterschiedlichen Eigenschaften der vielen chemischen Elemente widerzuspiegeln. Die Stabilität von Wirbelringen könnte auch die Beständigkeit bieten, die Atome benötigen.
Die Vortex-Theorie gewann in der wissenschaftlichen Gemeinschaft an Bedeutung und inspirierte Tait dazu, mit der Tabellierung aller Knoten zu beginnen und so etwas zu erstellen, von dem er hoffte, dass es einer Tabelle von Elementen entsprechen würde. Natürlich sind Atome keine Knoten, und es gibt keinen Äther. In den späten 1880er Jahren gab Thomson seine Wirbeltheorie allmählich auf, aber bis dahin war Tait von der mathematischen Eleganz seiner Knoten fasziniert und er setzte sein Tabulationsprojekt fort. Dabei begründete er das mathematische Gebiet der Knotentheorie.
Wir alle sind mit Knoten vertraut – sie halten Schuhe an unseren Füßen, Boote an Docks gesichert und Bergsteiger von den Felsen unter uns. Aber diese Knoten sind nicht genau das, was Mathematiker (einschließlich Tait) einen Knoten nennen würden. Obwohl ein verwickeltes Verlängerungskabel verknotet erscheinen mag, ist es immer möglich, es zu entwirren. Um einen mathematischen Knoten zu erhalten, müssen Sie die freien Enden der Schnur zu einer geschlossenen Schleife zusammenstecken.
Da die Stränge eines Knotens flexibel wie eine Schnur sind, betrachten Mathematiker die Knotentheorie als ein Teilgebiet der Knotentheorie Topologie, das Studium formbarer Formen. Manchmal ist es möglich, einen Knoten zu entwirren, sodass er zu einem einfachen Kreis wird, den wir „Entknoten“ nennen. Aber häufiger ist es unmöglich, einen Knoten zu entwirren.
Knoten können sich auch zu neuen Knoten verbinden. Wenn Sie beispielsweise einen einfachen Knoten, der als Kleeblatt bekannt ist, mit seinem Spiegelbild kombinieren, entsteht ein quadratischer Knoten. (Und wenn Sie zwei identische Kleeblattknoten verbinden, machen Sie einen Oma-Knoten.)
Unter Verwendung der Terminologie aus der Welt der Zahlen sagen Mathematiker, dass das Kleeblatt ein Primzahlknoten ist, der Quadratknoten zusammengesetzt ist und, wie die Zahl 1, der Unknoten keines von beiden ist. Diese Analogie wurde 1949 weiter gestützt, als Horst Schubert bewies, dass jeder Knoten entweder eine Primzahl ist oder eindeutig in Primzahlknoten zerlegt werden kann.
Eine andere Möglichkeit, neue Knoten zu erstellen, besteht darin, zwei oder mehr Knoten zu verflechten und so eine Verbindung zu bilden. Die borromäischen Ringe, die so genannt werden, weil sie auf dem Wappen des italienischen Hauses Borromeo erscheinen, sind ein einfaches Beispiel.
Thomson und Tate waren nicht die ersten, die Knoten auf mathematische Weise betrachteten. Bereits 1794 schrieb und zeichnete Carl Friedrich Gauß Knotenbeispiele in sein persönliches Notizbuch. Und Gauß' Schüler Johann Listing schrieb 1847 in seiner Monographie über Knoten Vorstudien zur Topologie („Preliminary Studies of Topology“) – was auch der Ursprung des Begriffs Topologie ist.
Aber Tait war der erste Gelehrte, der sich mit dem befasste, was zum grundlegenden Problem der Knotentheorie wurde: die Klassifizierung und tabellarische Auflistung aller möglichen Knoten. Durch jahrelange akribische Arbeit, nur mit seiner geometrischen Intuition, fand und klassifizierte er alle Hauptknoten, die, wenn sie auf eine Ebene projiziert werden, höchstens sieben Kreuzungen haben.
Ende des 19. Jahrhunderts erfuhr Tait, dass zwei weitere Personen – Rev. Thomas Kirkman und der amerikanische Mathematiker Charles Little – dieses Problem ebenfalls untersuchten. Mit ihren gemeinsamen Bemühungen klassifizierten sie alle Hauptknoten mit bis zu 10 Kreuzungen und viele davon mit 11 Kreuzungen. Erstaunlicherweise waren ihre Tische bis 10 komplett: Sie verfehlten keinen Knoten.
Es ist bemerkenswert, dass Tait, Kirkman und Little so viel erreicht haben, ohne die Theoreme und Techniken, die in den kommenden Jahren entdeckt werden würden. Aber eine Sache, die zu ihren Gunsten wirkte, war die Tatsache, dass die meisten kleinen Knoten „abwechseln“, was bedeutet, dass sie eine Projektion haben, in der die Kreuzungen ein konsistentes Über-Unter-Über-Unter-Muster aufweisen.
Alternierende Knoten haben Eigenschaften, die sie leichter zu klassifizieren machen als nicht alternierende Knoten. Beispielsweise ist es schwierig, die minimale Anzahl von Kreuzungen für jede Projektion eines Knotens zu finden. Aber Tait, der jahrelang fälschlicherweise davon ausgegangen war, dass alle Knoten alternierend sind, vermutete einen Weg, um festzustellen, ob Sie diese Mindestzahl gefunden haben: Wenn eine alternierende Projektion keine Kreuzungen hat, die entfernt werden können, indem Sie einen Teil des Knotens umdrehen, dann muss es so sein die Projektion mit der minimalen Anzahl von Kreuzungen.
Diese und zwei weitere von Taits Vermutungen über alternierende Knoten erwiesen sich schließlich als wahr. Diese berühmten Vermutungen wurden jedoch erst Ende der 1980er und Anfang der 90er Jahre mit einem mathematischen Werkzeug bewiesen, das 1984 von Vaughan Jones entwickelt wurde, der die Fields-Medaille für seine Arbeit in der Knotentheorie erhielt.
Leider bringen Sie abwechselnde Knoten nur so weit. Sobald wir in Knoten mit acht oder mehr Kreuzungen geraten, wächst die Anzahl der nicht alternierenden Knoten schnell, was Taits Techniken weniger nützlich macht.
Die ursprüngliche Tabelle aller 10 sich kreuzenden Knoten war vollständig, aber Tait, Kirkman und Little haben doppelt gezählt. Erst in den 1970er Jahren bemerkte Kenneth Perko, ein Anwalt, der in Princeton Knotentheorie studiert hatte, dass zwei der Knoten Spiegelbilder voneinander sind. Sie sind jetzt zu seinen Ehren als das Perko-Paar bekannt.
Im Laufe des letzten Jahrhunderts haben Mathematiker viele clevere Wege gefunden, um festzustellen, ob Knoten wirklich unterschiedlich sind. Im Wesentlichen ist die Idee zu identifiziere eine Invariante — eine Eigenschaft, Größe oder algebraische Entität, die mit dem Knoten verbunden ist und oft einfach berechnet werden kann. (Diese Eigenschaften haben Namen wie Färbbarkeit, Brückenzahl oder Writhe.) Mit diesen Bezeichnungen bewaffnet, können Mathematiker jetzt zwei Knoten leicht vergleichen: Wenn sie sich in einem bestimmten Attribut unterscheiden, dann sind sie nicht derselbe Knoten. Keine dieser Eigenschaften ist jedoch das, was Mathematiker eine vollständige Invariante nennen, was bedeutet, dass zwei verschiedene Knoten dieselbe Eigenschaft haben können.
Aufgrund all dieser Komplexität ist es nicht verwunderlich, dass die Tabellierung der Knoten noch im Gange ist. Zuletzt, 2020, Benjamin Burton klassifiziert alle Hauptknoten bis zu 19 Kreuzungen (von denen es fast 300 Millionen gibt).
Die traditionelle Knotentheorie macht nur in drei Dimensionen Sinn: In zwei Dimensionen ist nur das Entknoten möglich, und in vier Dimensionen ermöglicht der zusätzliche Raum den Knoten, sich selbst zu lösen, sodass jeder Knoten gleich dem Entknoten ist.
Im vierdimensionalen Raum können wir jedoch Kugeln knoten. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was das bedeutet, stellen Sie sich vor, Sie schneiden eine gewöhnliche Kugel in regelmäßigen Abständen. Das ergibt Kreise, wie Breitengrade. Wenn wir jedoch eine zusätzliche Dimension hätten, könnten wir die Kugel verknoten, sodass die Scheiben, die jetzt dreidimensional statt zwei sind, Knoten sein könnten.
Diese Idee stand hinter einem der größten neueren Ergebnisse in der Knotentheorie. 2018 die damalige Doktorandin Lisa Piccirillo eine 50 Jahre alte Frage geklärt über einen 11-kreuzenden Knoten, der zuerst von John Conway entdeckt wurde. Die Frage hatte mit einer Eigenschaft namens Sliceness zu tun. Wie wir gesehen haben, erhalten wir, wenn wir eine verknotete Kugel in vier Dimensionen schneiden, einen Knoten oder eine Verbindung in drei Dimensionen. Manchmal können wir einen bestimmten Knoten aus einer schön glatt geknüpften Kugel erhalten, aber für andere Knoten muss die Kugel wie ein Stück Altpapier geknotet und gekräuselt werden. Piccirillo bewies im Wesentlichen, dass Conways Knoten vom letzteren Typ war. Im Fachjargon bewies sie, dass es nicht „glatt geschnitten“ ist.
Die Knotentheorie hat die mathematische Landschaft im Laufe der Jahrhunderte durchzogen. Es begann als angewandtes Gebiet der Mathematik, als Thomson versuchte, mithilfe von Knoten den Aufbau von Materie zu verstehen. Als diese Idee verblasste, wurde sie zu einem Gebiet der reinen Mathematik, einem Zweig des faszinierenden und immer noch unpraktischen Gebiets der Topologie. Aber in den letzten Jahren ist die Knotentheorie wieder zu einem angewandten Bereich der Mathematik geworden, da Wissenschaftler Ideen aus der Knotentheorie verwenden, um sie zu untersuchen Flüssigkeitsdynamik, Elektrodynamik, verknotete Moleküle wie DNA usw. Glücklicherweise erstellten Mathematiker Kataloge von Knoten und die Werkzeuge, um ihre Geheimnisse zu entwirren, während Wissenschaftler damit beschäftigt waren, andere Dinge zu studieren.
