Μια σύντομη ιστορία της δύσκολης μαθηματικής τοποθέτησης πλακιδίων | Περιοδικό Quanta

Κάθε μέρα βλέπουμε παραδείγματα επαναλαμβανόμενων μοτίβων. Αυτή η συμμετρία και η κανονικότητα μπορεί να φαίνεται κοσμική και σχεδόν αόρατη, όπως με την πλινθοδομή στους τοίχους του κτιρίου ή το εξαγωνικό σχέδιο σε μια κηρήθρα. Ή αν έχουμε την τύχη να συναντήσουμε κάτι σαν την κομψή εργασία με πλακάκια στην Αλάμπρα της Ισπανίας ή τα δημιουργικά σχέδια του MC Escher, τα σχέδια μπορούν να μας εμπνεύσουν και να μας καταπλήξουν.

Για αιώνες, οι μαθηματικοί έπαιξαν με αυτά τα επαναλαμβανόμενα σχήματα, αποσπώντας συναρπαστικές ιδέες και νέες δυνατότητες. Η ομορφιά των μαθηματικών συναγωνίζεται την ομορφιά των ίδιων των σχεδίων.

Τα απλούστερα πλακάκια είναι κατασκευασμένα από πανομοιότυπα πολύγωνα με πλευρές ίσου μήκους και γωνίες ίσου μέτρου ενωμένες από την πλήρη άκρη με την πλήρη άκρη. Αλλά παρόλο που υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά τα «κανονικά» πολύγωνα - ένα για κάθε αριθμό πλευρών - υπάρχουν μόνο τρία κανονικά πλακίδια, που σχηματίζονται από σχήματα με τρεις, τέσσερις ή έξι πλευρές - δηλαδή τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα.

Τα άλλα σχήματα απλά δεν είναι φτιαγμένα για αυτό. Ένα κανονικό πεντάγωνο (με πέντε πλευρές) έχει εσωτερική γωνία 108 μοιρών. Αυτό δεν διαιρείται ομοιόμορφα σε 360 μοίρες, επομένως οποιαδήποτε προσπάθεια συναρμολόγησης κανονικών πενταγώνων σε πλακάκια είναι βέβαιο ότι θα δημιουργήσει κενά που δεν μπορούν να καλυφθούν. λέμε ότι το κανονικό πεντάγωνο δεν μπορεί να πλακώσει το αεροπλάνο. Και τα κανονικά πολύγωνα με περισσότερες από έξι πλευρές έχουν εσωτερικές γωνίες πολύ μεγάλες για να συναντηθούν τρία σε ένα μόνο σημείο, και έτσι δεν μπορούν ούτε.

Μια άλλη άποψη για την τοποθέτηση πλακιδίων με κανονικά πολύγωνα προέρχεται από τον Johannes Kepler, σήμερα περισσότερο γνωστό για τις ανακαλύψεις του σχετικά με την κίνηση των πλανητών. Το 1619, έδειξε ότι ακόμα κι αν χρησιμοποιείτε περισσότερα από ένα κανονικά πολύγωνα, μπορείτε να δημιουργήσετε μόνο οκτώ νέα σχέδια πλακιδίων όπου η διαμόρφωση γύρω από κάθε κορυφή είναι πανομοιότυπη. (Εάν μας επιτρέπεται να απομακρυνθούμε από αυτόν τον περιορισμό, υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες.)

Όταν επιτρέπουμε ακανόνιστα πολύγωνα, τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα. Παραδόξως, κάθε τρίγωνο μπορεί να πλακώσει το επίπεδο, και ακόμη πιο εκπληκτικά, το ίδιο μπορεί και κάθε τετράπλευρο.

Από την άλλη πλευρά, είναι αδύνατο να επιστρωθεί το επίπεδο με οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο με περισσότερες από έξι πλευρές. το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πολύ μεγάλο. Έτσι αφήνει μόνο πεντάγωνα και εξάγωνα ως εναπομείνασες πιθανότητες.

Στη διδακτορική του διατριβή το 1918, ο Karl Reinhardt απέδειξε ότι είναι δυνατό να πλακώσει το αεροπλάνο με άπειρα κυρτά εξάγωνα - αυτά χωρίς εσοχές - τα οποία ομαδοποίησε σε τρεις οικογένειες.

Τα κυρτά πεντάγωνα που πλακώνουν το αεροπλάνο ήταν πιο δύσκολο να ταξινομηθούν. Ο Reinhardt ανακάλυψε πέντε οικογένειες τέτοιων πενταγώνων. 50 χρόνια αργότερα, ο Richard Kershner βρήκε άλλα τρία. Στη συνέχεια, το 1975, ο Μάρτιν Γκάρντνερ έγραψε για το πρόβλημα για Scientific American, φέρνοντάς το στην προσοχή επαγγελματιών και ερασιτεχνών μαθηματικών. Ένας τέτοιος ερασιτέχνης, ένας προγραμματιστής υπολογιστών ονόματι Richard James III, έστειλε στον Gardner ένα παράδειγμα μιας ένατης οικογένειας, ρωτώντας: "Συμφωνείτε ότι ο Kershner έχασε αυτό;" Είχε.

Η Μάρτζορι Ράις, μια νοικοκυρά, διάβασε επίσης τη στήλη του Γκάρντνερ και άρχισε να μπερδεύεται με το πρόβλημα στο τραπέζι της κουζίνας της. Κέρδισε πάνω από δύο χρόνια και ανακάλυψε τέσσερις ακόμη οικογένειες από πλακάκια πενταγώνων.

Οι ερευνητές βρήκαν μια 14η οικογένεια πενταγώνων με πλακάκια το 1985 και τρεις δεκαετίες αργότερα, μια άλλη ομάδα βρήκε μια 15η οικογένεια χρησιμοποιώντας μια αναζήτηση υπολογιστή. Κανείς δεν ήξερε αν αυτή η ανακάλυψη ολοκλήρωσε τη λίστα ή αν υπήρχαν ακόμα περισσότερες οικογένειες που κρύβονταν. Αυτή η ερώτηση απαντήθηκε το 2017 όταν ο Michaël Rao αποδείχθηκε ότι όλα τα κυρτά πεντάγωνα πλακιδίων — και μαζί τους, όλα τα κυρτά πλακάκια πολύγωνα — είχαν βρεθεί.

Όλα αυτά τα πλακάκια επαναλαμβάνονται. Δηλαδή, έχουν μια περιοδική συμμετρία, που ουσιαστικά σημαίνει ότι αν ιχνηλατούσαμε το πλακάκι σε ένα κομμάτι χαρτί και σύραμε αυτό το χαρτί προς συγκεκριμένες κατευθύνσεις, θα ευθυγραμμιζόταν ακριβώς με το πλακάκι και πάλι.

Άλλα είδη συμμετριών είναι επίσης δυνατά. Για παράδειγμα, μια συμμετρία καθρέφτη υποδηλώνει ότι τα μοτίβα μας θα ευθυγραμμιστούν αν αναποδογυρίσουμε το χαρτί εντοπισμού μας ανάποδα γύρω από μια σταθερή γραμμή. Η περιστροφική συμμετρία σημαίνει ότι θα ευθυγραμμιστούν αν περιστρέψουμε το χαρτί μας. Και μπορούμε να συνδυάσουμε ενέργειες για να αποκτήσουμε μια συμμετρία ανάκλασης ολίσθησης, που είναι σαν να σύρουμε το χαρτί και μετά να το αναποδογυρίζουμε.

Το 1891, ο Ρώσος κρυσταλλογράφος Evgraf Fedorov απέδειξε ότι υπάρχουν μόνο 17 τρόποι για να συνδυαστούν αυτές οι συμμετρίες. Εφόσον αυτός ο περιορισμός ισχύει για όλες τις περιοδικές διακοσμήσεις του αεροπλάνου, αυτές αναφέρονται ευρέως ως οι 17 «ομάδες ταπετσαρίας».

Μόλις εξοικειωθεί κανείς με αυτήν την ταξινόμηση των μοτίβων συμμετρίας, είναι σχεδόν αδύνατο να δει ένα περιοδικό σχέδιο, όσο περίπλοκο κι αν είναι, και να μην το δει ως ένα παζλ για αποκωδικοποίηση: Πού και πώς ακριβώς επαναλαμβάνεται; Πού είναι αυτές οι συμμετρίες;

Φυσικά, δεν είναι κάθε σχέδιο πλακιδίων περιοδικό. Είναι δυνατό, και συχνά εύκολο, να τοποθετήσετε πλακάκια στο επίπεδο έτσι ώστε το σχέδιο που προκύπτει να μην επαναλαμβάνεται ποτέ. Στο παράδειγμά μας με εξάγωνα, τετράγωνα και τρίγωνα, μπορείτε να το κάνετε αυτό περιστρέφοντας απλώς ένα εξάγωνο και τα πολύγωνα που το περιβάλλουν κατά 30 μοίρες. Το πλακίδιο που προκύπτει δεν έχει πλέον μεταφραστικές συμμετρίες.

Το 1961, ο λογικός Hao Wang υπέθεσε ότι εάν ένα σύνολο σχημάτων πλακώνει το επίπεδο, τότε τα σχήματα πρέπει να μπορούν να πλακώνουν το επίπεδο περιοδικά. Μόλις λίγα χρόνια αργότερα, ο μεταπτυχιακός φοιτητής του Ρόμπερτ Μπέργκερ του απέδειξε ότι έκανε λάθος ανακαλύπτοντας ένα τεράστιο σετ από πάνω από 20,000 πλακάκια που πλακώνουν το αεροπλάνο, αλλά μόνο μη περιοδικά. Τέτοια σετ πλακιδίων ονομάζονται απεριοδικά.

Αν και ο Berger και άλλοι κατάφεραν να μειώσουν σημαντικά το μέγεθος αυτών των απεριοδικών συνόλων, στα μέσα της δεκαετίας του 1970 ο Roger Penrose τράβηξε την προσοχή του κόσμου ανακαλύπτοντας πολύ μικρά σετ από τα δικά του απεριοδικά πλακίδια. Τα μικρότερα σετ απαιτούν μόνο δύο πλακάκια.

Αυτά τα σχήματα και τα μοτίβα ενθουσίασαν μαθηματικούς, επιστήμονες και το ευρύ κοινό. Αλλά έθεσαν ένα προφανές επόμενο ερώτημα: Υπάρχει ένα μόνο απεριοδικό πλακίδιο; Η απόλυτη αναζήτηση της θεωρίας πλακιδίων ήταν τώρα να βρει ένα τέτοιο πλακίδιο «αϊνστάιν» — που δεν πήρε το όνομά του από τον φυσικό, αλλά από τη γερμανική φράση «μία πέτρα».

Το 2010, ο Joshua Socolar και η Joan Taylor έφτασαν πολύ κοντά στην ανακάλυψη ενός Αϊνστάιν. Το πρόβλημα με την προσέγγισή τους ήταν αυτό το πλακάκι τους έπρεπε να αποσυνδεθεί; αυτό θα ήταν σαν να πλακώνετε το αεροπλάνο με σχήματα όπως η πολιτεία της Χαβάης, μια ενιαία οντότητα που αποτελείται από ξεχωριστές περιοχές, παρά με συνδεδεμένα σχήματα όπως η Καλιφόρνια. Όλο και περισσότερο, οι μαθηματικοί υποψιάζονταν ότι αν υπήρχε ένας Αϊνστάιν, θα έπρεπε να ήταν κάτι πολύ περίπλοκο γεωμετρικά.

Τον Μάρτιο του 2023, ένας ερασιτέχνης συγκλόνισε ξανά τον κόσμο. Ένας συνταξιούχος τεχνικός εκτύπωσης και μαθηματικός χομπίστας ονόματι Ντέιβιντ Σμιθ είχε ανακαλύψει όχι μόνο ένα απεριοδικό μονότυπο, αλλά μια άπειρη οικογένεια από αυτούς τους άπιαστους Αϊνστάιν. Έκανε βρόχο στους Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss και Joseph Samuel Myers - ειδικούς στην επιστήμη των υπολογιστών, τα μαθηματικά και τη θεωρία των πλακιδίων - και μαζί παρουσίασαν έναν γεωμετρικά απλό Αϊνστάιν που ονομαζόταν το καπέλο (το οποίο στο Διαδίκτυο νόμιζε ότι έμοιαζε με μπλουζάκι ).

Η αντίδραση ήταν γρήγορη και θετική. Οι ανακαλύψεις μίλησαν σε συνέδρια και έκαναν ομιλίες στο διαδίκτυο. Οι μαθηματικοί καλλιτέχνες άδραξαν την ευκαιρία να βρουν δημιουργικούς τρόπους για να παράγουν σχέδια που μοιάζουν με Escher βασισμένα σε αυτά τα νέα γεωμετρικά ενδιαφέροντα πλακίδια. Το πλακάκι του καπέλου εμφανίστηκε ακόμη και στον μονόλογο μιας μεταμεσονύχτιας τηλεοπτικής εκπομπής.

Ωστόσο, υπήρχε ακόμη περιθώριο βελτίωσης. Για να πλακώσετε το αεροπλάνο με το καπέλο, πρέπει να αναποδογυρίσετε περίπου το ένα έβδομο των πλακιδίων. Ένας ιδιοκτήτης σπιτιού που θέλει να στρώσει το μπάνιο του με το πλακάκι με το καπέλο θα πρέπει να αγοράσει δύο τύπους πλακιδίων: ένα τυπικό πλακάκι και την εικόνα καθρέφτη του. Ήταν πραγματικά απαραίτητο αυτό;

Ακόμη και πριν σβήσει ο ενθουσιασμός του πλακιδίου του καπέλου, η ομάδα έκανε μια άλλη ανακοίνωση. Ο Σμιθ είχε βρει, σε αυτή την άπειρη οικογένεια των απεριοδικών μονότιλων, ένα που ονόμασε «φάντασμα» που μπορούσε να πλακώσει το αεροπλάνο χωρίς να απαιτεί ανακλώμενα αντίγραφα. Ένας αληθινός Αϊνστάιν είχε επιτέλους εμφανιστεί.

Βρισκόμαστε τώρα στη μέση μιας αναζωπύρωσης της μαθηματικής εξερεύνησης των πλακιδίων και των ψηφίδων. Βασίστηκε σε σημαντικές συνεισφορές ερασιτεχνών, ενέπνευσε τη δημιουργικότητα μαθηματικών καλλιτεχνών και αξιοποίησε τη δύναμη των υπολογιστών για να προωθήσει τα όρια της γνώσης. Και από αυτό, έχουμε πετύχει νέες ιδέες για τη φύση της συμμετρίας, της γεωμετρίας και του σχεδιασμού.

διόρθωση: Οκτώβριος 30, 2023
Η αρχική έκδοση αυτού του άρθρου ανέφερε ότι είναι αδύνατο να επιστρωθεί το επίπεδο με οποιοδήποτε πολύγωνο με περισσότερες από έξι πλευρές. Αυτό ισχύει μόνο αν το πολύγωνο είναι κυρτό.

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.