Ένας αιώνας αργότερα, τα νέα μαθηματικά εξομαλύνουν τη Γενική Σχετικότητα | Περιοδικό Quanta

Η γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν ήταν εξαιρετικά επιτυχημένη στο να περιγράψει πώς λειτουργεί η βαρύτητα και πώς διαμορφώνει τη δομή μεγάλης κλίμακας του σύμπαντος. Συνοψίζεται σε ένα ρητό του φυσικού John Wheeler: «Ο χωροχρόνος λέει στην ύλη πώς να κινηθεί. Η ύλη λέει στον χωροχρόνο πώς να καμπυλωθεί». Ωστόσο, τα μαθηματικά της γενικής σχετικότητας είναι επίσης βαθιά αντίθετα.

Επειδή οι βασικές του εξισώσεις είναι τόσο περίπλοκες, ακόμη και οι πιο απλές δηλώσεις είναι δύσκολο να αποδειχθούν. Για παράδειγμα, μόλις το 1980 οι μαθηματικοί απέδειξαν, ως μέρος ενός κύριου θεωρήματος της γενικής σχετικότητας, ότι ένα απομονωμένο φυσικό σύστημα ή χώρος, χωρίς μάζα σε αυτό, πρέπει να είναι επίπεδο.

Αυτό άφησε άλυτο το ερώτημα πώς μοιάζει ένας χώρος αν είναι σχεδόν κενό, έχοντας μόνο μια μικρή ποσότητα μάζας. Είναι απαραίτητα σχεδόν επίπεδο;

Αν και μπορεί να φαίνεται προφανές ότι η μικρότερη μάζα θα οδηγούσε σε μικρότερη καμπυλότητα, τα πράγματα δεν είναι τόσο κομμένα και στεγνά όταν πρόκειται για τη γενική σχετικότητα. Σύμφωνα με τη θεωρία, οι πυκνές συγκεντρώσεις ύλης μπορούν να «παραμορφώσουν» ένα τμήμα του χώρου, καθιστώντας το εξαιρετικά καμπυλωμένο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτή η καμπυλότητα μπορεί να είναι ακραία, οδηγώντας πιθανώς στο σχηματισμό μαύρων οπών. Αυτό θα μπορούσε να συμβεί ακόμη και σε ένα χώρο με μικρές ποσότητες ύλης, εάν είναι αρκετά συγκεντρωμένη.

Σε μια πρόσφατη χαρτί, Conghan Dong, μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο Stony Brook, και Antoine Song, επίκουρος καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, απέδειξε ότι μια ακολουθία καμπυλωτών χώρων με όλο και μικρότερες ποσότητες μάζας θα συγκλίνει τελικά σε έναν επίπεδο χώρο με μηδενική καμπυλότητα.

Αυτό το αποτέλεσμα είναι μια αξιοσημείωτη πρόοδος στη μαθηματική εξερεύνηση της γενικής σχετικότητας - μια επιδίωξη που συνεχίζει να αποδίδει μερίσματα περισσότερο από έναν αιώνα αφότου ο Αϊνστάιν επινόησε τη θεωρία του. Νταν Λι, ένας μαθηματικός στο Queens College που μελετά τα μαθηματικά της γενικής σχετικότητας αλλά δεν συμμετείχε σε αυτή την έρευνα, είπε ότι η απόδειξη του Dong and Song αντικατοπτρίζει μια βαθιά κατανόηση του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρούν η καμπυλότητα και η μάζα.

Τι απέδειξαν

Η απόδειξη των Dong and Song αφορά τρισδιάστατους χώρους, αλλά πρώτα εξετάστε ένα δισδιάστατο παράδειγμα για λόγους απεικόνισης. Φανταστείτε έναν επίπεδο χώρο χωρίς μάζα ως ένα συνηθισμένο, λείο φύλλο χαρτιού. Ένας χώρος με μικρή μάζα, σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να φαίνεται παρόμοιος από απόσταση - δηλαδή, ως επί το πλείστον επίπεδος. Ωστόσο, μια πιο προσεκτική επιθεώρηση μπορεί να αποκαλύψει κάποιες αιχμηρές αιχμές ή φυσαλίδες που εμφανίζονται εδώ κι εκεί - συνέπειες της συσσώρευσης της ύλης. Αυτές οι τυχαίες προεξοχές θα έκαναν το χαρτί να μοιάζει με ένα καλοδιατηρημένο γκαζόν με το περιστασιακό μανιτάρι ή το κοτσάνι να προεξέχει από την επιφάνεια.

Ο Dong and Song απέδειξε α εικασία που διατυπώθηκε το 2001 από τους μαθηματικούς Γκέρχαρντ Χούισκεν και Τομ Ίλμανεν. Η εικασία δηλώνει ότι καθώς η μάζα ενός χώρου πλησιάζει το μηδέν, το ίδιο πρέπει και η καμπυλότητά του. Οι Huisken και Ilmanen αναγνώρισαν, ωστόσο, ότι αυτό το σενάριο περιπλέκεται από την παρουσία φυσαλίδων και αιχμών (που είναι μαθηματικά διακριτές μεταξύ τους). Υπέθεσαν ότι οι φυσαλίδες και οι αιχμές θα μπορούσαν να αποκοπούν με τέτοιο τρόπο ώστε η οριακή περιοχή που αφήνεται πίσω στην επιφάνεια του χώρου από κάθε εκτομή να είναι μικρή. Πρότειναν, αλλά δεν μπορούσαν να αποδείξουν, ότι ο χώρος που απέμεινε μετά την αφαίρεση αυτών των ενοχλητικών εξαρτημάτων θα ήταν σχεδόν επίπεδος. Επίσης, δεν ήταν σίγουροι πώς έπρεπε να γίνουν τέτοιες περικοπές.

«Αυτές οι ερωτήσεις ήταν δύσκολες και δεν περίμενα να δω μια λύση στην εικασία Huisken-Ilmanen», είπε ο Lee.

Στο επίκεντρο της εικασίας βρίσκεται μια μέτρηση της καμπυλότητας. Ο χώρος μπορεί να καμπυλωθεί με διαφορετικούς τρόπους, διαφορετικά μεγέθη και διαφορετικές κατευθύνσεις - όπως μια σέλα (σε δύο διαστάσεις) που καμπυλώνει προς τα επάνω προς τα εμπρός και προς τα πίσω, αλλά προς τα κάτω πηγαίνοντας προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. Οι Dong and Song αγνοούν αυτές τις λεπτομέρειες. Χρησιμοποιούν μια έννοια που ονομάζεται κλιμακωτή καμπυλότητα, η οποία αντιπροσωπεύει την καμπυλότητα ως έναν ενιαίο αριθμό που συνοψίζει την πλήρη καμπυλότητα προς όλες τις κατευθύνσεις.

Η νέα δουλειά των Dong and Song, είπε Ντάνιελ Στερν του Πανεπιστημίου Cornell, είναι «ένα από τα ισχυρότερα αποτελέσματα που έχουμε μέχρι στιγμής που μας δείχνει πώς η κλιμακωτή καμπυλότητα ελέγχει τη γεωμετρία» του χώρου στο σύνολό του. Το χαρτί τους δείχνει ότι «αν έχουμε μη αρνητική βαθμωτή καμπυλότητα και μικρή μάζα, κατανοούμε πολύ καλά τη δομή του χώρου».

Η απόδειξη

Η εικασία Huisken-Ilmanen αφορά τη γεωμετρία των χώρων με σταθερά μειούμενη μάζα. Προβλέπει μια συγκεκριμένη μέθοδο για να πούμε πόσο κοντά είναι ένας χώρος με μικρή μάζα στον επίπεδο χώρο. Αυτό το μέτρο ονομάζεται απόσταση Γκρόμοφ-Χάουσντορφ, που πήρε το όνομά του από τους μαθηματικούς Μιχαήλ Γκρόμοφ και Felix Hausdorff. Ο υπολογισμός της απόστασης Gromov-Hausdorff είναι μια διαδικασία δύο βημάτων.

Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε την απόσταση Hausdorff. Ας υποθέσουμε ότι έχετε δύο κύκλους, τον Α και τον Β. Ξεκινήστε με οποιοδήποτε σημείο στο Α και υπολογίστε πόσο απέχει από το πλησιέστερο σημείο του Β.

Επαναλάβετε αυτό για κάθε σημείο του A. Η μεγαλύτερη απόσταση που βρίσκετε είναι η απόσταση Hausdorff μεταξύ των κύκλων.

Αφού έχετε την απόσταση Hausdorff, μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση Gromov-Hausdorff. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε τα αντικείμενά σας σε μεγαλύτερο χώρο έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσετε την απόσταση Hausdorff μεταξύ τους. Στην περίπτωση δύο πανομοιότυπων κύκλων, αφού θα μπορούσατε να τους βάλετε κυριολεκτικά ο ένας πάνω στον άλλο, η απόσταση Γκρόμοφ-Χάουσντορφ μεταξύ τους είναι μηδέν. Γεωμετρικά πανομοιότυπα αντικείμενα όπως αυτά ονομάζονται «ισομετρικά».

Η μέτρηση της απόστασης είναι πιο δύσκολη, φυσικά, όταν τα αντικείμενα ή οι χώροι που συγκρίνονται είναι όμοια αλλά όχι ίδια. Η απόσταση Gromov-Hausdorff παρέχει ένα ακριβές μέτρο των ομοιοτήτων (ή διαφορών) μεταξύ των σχημάτων δύο αντικειμένων που αρχικά βρίσκονται σε διαφορετικούς χώρους. «Η απόσταση Γκρόμοφ-Χάουσντορφ είναι ένας από τους καλύτερους τρόπους που έχουμε για να πούμε ότι δύο κενά είναι σχεδόν ισομετρικά και δίνει έναν αριθμό σε αυτό το «σχεδόν»», είπε ο Στερν.

Προτού οι Dong και Song προλάβουν να κάνουν συγκρίσεις μεταξύ ενός χώρου με μικρή μάζα και ενός χώρου που είναι απόλυτα επίπεδος, έπρεπε να κόψουν τις ενοχλητικές προεξοχές - τις στενές αιχμές όπου η ύλη είναι σφιχτά συσκευασμένη και ακόμη πιο πυκνές φυσαλίδες που μπορεί να φιλοξενούν μικροσκοπικές μαύρες τρύπες. «Τα κόψαμε έτσι ώστε η οριακή περιοχή [όπου έγινε η φέτα] να είναι μικρή», είπε ο Σονγκ, «και δείξαμε ότι η περιοχή μικραίνει καθώς η μάζα κατεβαίνει».

Αν και αυτή η τακτική μπορεί να ακούγεται σαν απάτη, ο Stern είπε ότι είναι επιτρεπτό για την απόδειξη της εικασίας να γίνει ένα είδος προεπεξεργασίας κόβοντας φυσαλίδες και αιχμές των οποίων η περιοχή συρρικνώνεται στο μηδέν καθώς μειώνεται η μάζα.

Ως αντιπρόσωπος ενός χώρου με μικρή μάζα, πρότεινε, θα μπορούσαμε να φανταστούμε ένα τσαλακωμένο φύλλο χαρτιού που, αφού εξομαλυνθεί ξανά, εξακολουθεί να έχει αιχμηρές πτυχές και πτυχώσεις. Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε μια διάτρηση για να αφαιρέσετε τις πιο εμφανείς ανωμαλίες, αφήνοντας ένα ελαφρώς ανομοιόμορφο κομμάτι χαρτί με μερικές τρύπες. Καθώς το μέγεθος αυτών των οπών συρρικνώνεται, τόσο θα συρρικνώνεται και η ανομοιομορφία του εδάφους του χαρτιού. Στο όριο, θα μπορούσατε να πείτε, οι τρύπες θα συρρικνωθούν στο μηδέν, οι αναχώματα και οι κορυφογραμμές θα εξαφανίζονταν και θα σας έμενε ένα ομοιόμορφα λείο κομμάτι χαρτί - μια γνήσια βάση για επίπεδο χώρο.

Αυτό προσπάθησαν να αποδείξουν οι Dong and Song. Το επόμενο βήμα ήταν να δούμε πώς αυτοί οι απογυμνωμένοι χώροι - χωρίς τα τραχιά χαρακτηριστικά τους - στοιβάζονται ενάντια στο πρότυπο της απόλυτης επιπεδότητας. Η στρατηγική που ακολούθησαν έκανε χρήση ενός ειδικού είδους χάρτη, ο οποίος είναι ένας τρόπος σύγκρισης δύο χώρων συνδέοντας σημεία σε έναν χώρο με σημεία σε άλλο. Ο χάρτης που χρησιμοποίησαν αναπτύχθηκε σε α χαρτί γραμμένο από τον Stern και τρεις συναδέλφους του — Hubert Bray, Demetre Kazaras και Marcus Khuri. Αυτή η διαδικασία μπορεί να προσδιορίσει ακριβώς πόσο κοντά είναι δύο κενά.

Για να απλοποιήσουν το έργο τους, ο Dong και ο Song υιοθέτησαν ένα άλλο μαθηματικό τέχνασμα από τον Stern και τους συν-συγγραφείς του, το οποίο έδειξε ότι ένας τρισδιάστατος χώρος μπορεί να χωριστεί σε άπειρες δισδιάστατες φέτες που ονομάζονται σετ επιπέδων, όπως μπορεί ένα βραστό αυγό. χωρίζονται σε στενά φύλλα από τα τεντωμένα σύρματα ενός τεμαχιστή αυγών.

Τα σύνολα επιπέδων κληρονομούν την καμπυλότητα του τρισδιάστατου χώρου που αποτελούν. Εστιάζοντας την προσοχή τους στα επίπεδα και όχι στον μεγαλύτερο τρισδιάστατο χώρο, οι Dong και Song μπόρεσαν να μειώσουν τη διάσταση του προβλήματος από τρεις σε δύο. Αυτό είναι πολύ ωφέλιμο, είπε ο Song, επειδή «γνωρίζουμε πολλά για τα δισδιάστατα αντικείμενα… και έχουμε πολλά εργαλεία για να τα μελετήσουμε».

Εάν μπορούσαν να δείξουν με επιτυχία ότι κάθε σετ επιπέδων είναι «κάπως επίπεδο», είπε ο Song, αυτό θα τους επέτρεπε να επιτύχουν τον γενικό τους στόχο να δείξουν ότι ένας τρισδιάστατος χώρος με μικρή μάζα είναι σχεδόν επίπεδος. Ευτυχώς, αυτή η στρατηγική πέτυχε.

Επόμενα βήματα

Κοιτάζοντας το μέλλον, ο Song είπε ότι μία από τις επόμενες προκλήσεις του πεδίου είναι να καταστήσει πιο σαφή την απόδειξη, καθορίζοντας μια ακριβή διαδικασία για την απαλλαγή από φυσαλίδες και αιχμές και περιγράφοντας καλύτερα τις περιοχές που έχουν αποκοπεί. Αλλά προς το παρόν, παραδέχτηκε, «δεν έχουμε ξεκάθαρη στρατηγική για να το πετύχουμε αυτό».

 Μια άλλη πολλά υποσχόμενη λεωφόρος, είπε ο Σονγκ, θα ήταν να εξερευνήσετε α χωριστή εικασία που διατυπώθηκε το 2011 από τον Lee και Χριστίνα Σορμάνη, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο City της Νέας Υόρκης. Η εικασία Lee-Sormani θέτει μια παρόμοια ερώτηση με αυτή που έθεσαν οι Huisken και Ilmanen, αλλά βασίζεται σε έναν διαφορετικό τρόπο μέτρησης της διαφοράς μεταξύ των σχημάτων. Αντί να λαμβάνεται υπόψη η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σχημάτων, όπως κάνει η απόσταση Gromov-Hausdorff, η προσέγγιση Lee-Sormani ρωτά για το όγκο του χώρου μεταξυ τους. Όσο μικρότερος είναι αυτός ο όγκος, τόσο πιο κοντά είναι.

Ο Song, εν τω μεταξύ, ελπίζει να εξετάσει βασικά ερωτήματα σχετικά με τη βαθμωτή καμπυλότητα που δεν υποκινούνται από τη φυσική. «Στη γενική σχετικότητα», είπε, «ασχολούμαστε με πολύ ειδικούς χώρους που είναι σχεδόν επίπεδοι στο άπειρο, αλλά στη γεωμετρία μας ενδιαφέρουν όλα τα είδη χώρων».

"Υπάρχει ελπίδα ότι αυτές οι τεχνικές θα μπορούσαν να έχουν αξία σε άλλα περιβάλλοντα" που δεν σχετίζονται με τη γενική σχετικότητα, είπε ο Stern. «Υπάρχει μια μεγάλη οικογένεια σχετικών προβλημάτων», είπε, που περιμένει να διερευνηθεί.

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.