Εισαγωγή
Όπως πολλοί άνθρωποι που θα γίνονταν μαθηματικοί, Γουέι Χο μεγάλωσε συμμετέχοντας σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Στην όγδοη τάξη, κέρδισε τον κρατικό διαγωνισμό Mathcounts στο Ουισκόνσιν και η ομάδα της κατέλαβε την τρίτη θέση στις εθνικές.
Σε αντίθεση με πολλούς μελλοντικούς μαθηματικούς, δεν ήταν σίγουρη ότι ήθελε ποτέ να γίνει.
«Ήθελα να κάνω τα πάντα, όλη την ώρα», είπε ο Χο. «Έλαβα το μπαλέτο πολύ σοβαρά μέχρι τις αρχές του Λυκείου. Επιμελήθηκα το λογοτεχνικό περιοδικό. Έκανα debate και εγκληματολογία. Έπαιζα τένις και ποδόσφαιρο και πιάνο και βιολί». Αντίθετα, πολλοί επιτυχημένοι μαθηματικοί φάνηκαν να έχουν εμμονή με τα μαθηματικά αποκλείοντας οτιδήποτε άλλο. Πώς θα μπορούσε, ένα άτομο με πολλά πάθη, να ανταγωνιστεί με αυτό το επίπεδο εστίασης;
Τελικά, ο Χο παρασύρθηκε από την αυστηρότητα των μαθηματικών. Εξακολουθεί να της αρέσει το μπαλέτο, να διαβάζει μυθιστορήματα και να κάνει κρυπτικά σταυρόλεξα, παρόλο που βοηθά στην επανεφεύρεση του μαθηματικού μηχανισμού που στηρίζει τα θεμελιώδη μαθηματικά αντικείμενα, όπως οι πολυωνυμικές εξισώσεις, που έχουν μακροχρόνιες και περίπλοκες ανοιχτές ερωτήσεις που σχετίζονται με αυτές.
Η Χο μελετά οικεία γεωμετρικά αντικείμενα, αλλά επαναδιατυπώνει τις ερωτήσεις για να τους τοποθετήσει στο βασίλειο των ορθολογικών αριθμών — αριθμούς που μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα. «Τότε η θεωρία αριθμών αρχίζει να μπλέκει σε όλα αυτά», είπε.
Ενδιαφέρεται ιδιαίτερα για τις ελλειπτικές καμπύλες, οι οποίες ορίζονται από ένα συγκεκριμένο είδος πολυωνυμικής εξίσωσης που έχει εφαρμογές σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών. Οι ελλειπτικές καμπύλες εμφανίζονται στην ανάλυση - σε γενικές γραμμές, στη μελέτη συνεχών πραγμάτων, όπως οι πραγματικοί αριθμοί - και στην άλγεβρα, που αφορά την εύρεση και τον καθορισμό ακριβών μαθηματικών δομών. (Αν και η εστίασή τους είναι διαφορετική, η ανάλυση και η άλγεβρα χωρίζονται περισσότερο από την ευαισθησία παρά από ένα αυστηρό όριο, καθώς υπάρχει άφθονη επικάλυψη μεταξύ τους.)
Εισαγωγή
Σε μια πρωτοτυπία που κυκλοφόρησε το 2018, η Χο και ο συνεργάτης της Levent Alpöge του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ ανακάλυψε ένα νέο άνω όριο για τον αριθμό των ακεραίων λύσεων σε πολυώνυμα που ορίζουν ελλειπτικές καμπύλες. Η τεχνική τους βασίζεται στο έργο δεκαετιών του Louis Mordell, ενός Αμερικανού μαθηματικού που μετανάστευσε στη Βρετανία το 1906. Στην εργασία τους, ο Ho και ο Alpöge μπόρεσαν να συλλέξουν νέες πληροφορίες σχετικά με την κατανομή αυτών των ακεραίων λύσεων που είχαν αποφύγει άλλες ομάδες που μελετούσαν παρόμοια προβλήματα.
Η Χο περνάει το έτος (με άδεια από τη θέση της σχολής στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν) ως επισκέπτρια καθηγήτρια στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, όπου πρόσφατα διορίστηκε η πρώτη διευθύντρια του προγράμματος Γυναικών και Μαθηματικών του IAS. Είναι επίσης υπότροφος του 2023 της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας και ερευνήτρια στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.
Ελπίζει ότι η διεύθυνση του προγράμματος Γυναίκες και Μαθηματικά «τουλάχιστον θα βοηθήσει την κοινότητα περισσότερο, θα βοηθήσει περισσότερους ανθρώπους, αντί να βρίσκομαι στο γραφείο μου και να κάνω μαθηματική έρευνα μόνη μου ή με συνεργάτες», είπε. «Μπορώ να αποδείξω θεωρήματα, και ίσως κάποια μέρα μπορέσω να αποδείξω ένα θεώρημα που σε 100 χρόνια θα έχει σημασία. Ίσως, ίσως όχι. Όμως ένιωθα ότι δεν είχα αρκετό αντίκτυπο στον κόσμο ή στους ανθρώπους γύρω μου».
Quanta μίλησε με τον Χο σε μια σειρά τηλεδιασκέψεων. Οι συνεντεύξεις έχουν συμπυκνωθεί και επιμεληθεί για λόγους σαφήνειας.
Πώς θα περιγράφατε τον τρόπο που κάνετε τα μαθηματικά;
Μερικές φορές οι μαθηματικοί χωρίζονται σε αλγεβρικούς και αναλυτικούς ανθρώπους. Τα μαθηματικά που κάνω αγγίζουν και τις δύο πλευρές, αλλά κατά βάθος, είμαι αλγεβριστής, αν και είμαι γεωμετρικός στον τρόπο που σκέφτομαι. Συχνά τείνω να βλέπω την άλγεβρα και τη γεωμετρία ως ουσιαστικά το ίδιο.
Αυτό δεν είναι αρκετά ακριβές, αλλά βασικά από το έργο του Descartes και ειδικά τον περασμένο αιώνα, τα δύο θέματα έχουν γίνει πολύ κοντά. Υπάρχει ένα αρκετά ακριβές λεξικό που μπορεί, σε ορισμένες περιπτώσεις, να βοηθήσει στη μετάφραση μιας γεωμετρικής εικόνας σε αλγεβρικές συνέπειες.
Στη δική μου περίπτωση, η γεωμετρική εικόνα συχνά βοηθά στη διατύπωση δηλώσεων και εικασιών και δίνει διαίσθηση, αλλά στη συνέχεια τις μεταφράζουμε σε άλγεβρα όταν γράφουμε. Είναι πιο εύκολο να ανιχνεύσετε λάθη καθώς η άλγεβρα είναι συνήθως πιο αυστηρή. Μπορεί επίσης να είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την άλγεβρα όταν η γεωμετρία γίνεται πολύ δύσκολο να απεικονιστεί.
Σε ποιες ιδέες έχετε επικεντρωθεί στην πρόσφατη δουλειά σας;
Ένα μέρος της δουλειάς μου έχει να κάνει με τις ελλειπτικές καμπύλες, οι οποίες είναι πολύ φυσικά αντικείμενα στη θεωρία αριθμών και στην αριθμητική γεωμετρία.
Θα πρέπει να είναι δύσκολο να έχουμε ακέραιες λύσεις εξισώσεων σαν αυτές. Αναμένουμε, βασικά, σχεδόν όλες οι καμπύλες δεν πρέπει να έχουν ακέραιες λύσεις. Αλλά είναι πολύ δύσκολο να το αποδείξεις αυτό.
Ο Λεβέντ και εγώ μελετήσαμε αυτήν την κατανομή του αριθμού των ακέραιων σημείων. Χρησιμοποιούμε μια κλασική κατασκευή από το βιβλίο του Mordell του 1969 Διοφαντικές Εξισώσεις. Μπορούμε να δώσουμε ένα ανώτερο όριο στον αριθμό των ακέραιων σημείων σε μια ελλειπτική καμπύλη. Άλλοι άνθρωποι έχουν δώσει ανώτερα όρια. Βρήκαμε ένα διαφορετικό όριο που είναι απλό να δηλωθεί.
Τι ρόλο έπαιξε η προηγούμενη δουλειά του Mordell στο πρόσφατο αποτέλεσμα;
Η ερώτησή μας αφορά αναπόσπαστα σημεία σε ελλειπτικές καμπύλες. Ο Mordell έχει έναν τρόπο να το συσχετίσει με κάτι άλλο που μπορούμε να μελετήσουμε.
Αυτό είναι κάτι που κάνουμε συνεχώς στα μαθηματικά: Θέλουμε να κατανοήσουμε ένα αντικείμενο, αλλά πρέπει να βρούμε έναν πληρεξούσιο για να το καταλάβουμε. Μερικές φορές αυτός ο διακομιστής μεσολάβησης είναι πολύ ακριβής. Μερικές φορές χάνει πληροφορίες. Αλλά στην πραγματικότητα είναι κάτι στο οποίο μπορούμε να έχουμε πρόσβαση.
Πότε αποφασίσατε να επικεντρωθείτε στα μαθηματικά;
Δεν νομίζω ότι υπήρξε κάποιο σημείο καμπής για μένα. Είμαι ευχαριστημένος με τη ζωή και την καριέρα μου τώρα, αλλά νιώθω ότι αν τα πράγματα ήταν ελαφρώς διαφορετικά, θα μπορούσα να ήμουν ευτυχισμένος σε πολλές καριέρες ή σε άλλους τομείς. Ίσως αυτό είναι κάτι που οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν θα έλεγαν, γιατί τους αρέσει να μιλούν για το πόσο παθιασμένοι είναι με τα μαθηματικά και πώς δεν θα μπορούσαν ποτέ να σκεφτούν κάτι άλλο. Για μένα, δεν νομίζω ότι είναι αλήθεια.
Είμαι περίεργος για πολλά διαφορετικά πράγματα. Ίσως κατέληξα να είμαι μαθηματικός επειδή ήμουν απογοητευμένος με την έλλειψη αυστηρότητας σε άλλους τομείς. Ως παιδί, εκπαιδεύτηκα να σκέφτομαι σαν μαθηματικός με κάποιους τρόπους, γιατί έτσι κάναμε τα πράγματα στο σπίτι. Ο μπαμπάς μου έπαιζε μαθηματικά μαζί μου, πράγμα που σήμαινε ότι μάθαινα λογικούς συλλογισμούς από μικρή. Ήθελα να αποδειχθούν τα πράγματα.
Αλλά δεν ήμουν σίγουρος ότι θα ήμουν καλός μαθηματικός.
Γιατί;
Όταν ήμουν νεότερος, δεν ήξερα τόσους πολλούς μαθηματικούς που ήταν σαν εμένα με διαφορετικούς τρόπους. Πετάμε αυτά τα λόγια για τα πρότυπα. Δεν είναι μόνο ότι δεν είδα αρκετές γυναίκες ή Ασιάτισσες Αμερικανίδες.
Αυτό που εννοώ είναι ότι δεν είδα πολλούς ανθρώπους που ήταν παθιασμένοι με άλλα πράγματα εκτός από τα μαθηματικά. Αυτό με έκανε να αμφιβάλλω πολύ για τον εαυτό μου. Πώς μπορώ να έχω επιτυχία στα μαθηματικά αν δεν αφιερώνω το 100% του χρόνου μου σκεπτόμενος τα μαθηματικά; Αυτό έβλεπα γύρω μου. Είχα την εντύπωση ότι άλλοι άνθρωποι προσέγγιζαν τα μαθηματικά διαφορετικά από μένα, οι συνομήλικοι μου και οι μεγαλύτεροι από εμένα. Σκέφτηκα ότι ήταν δύσκολο να ακολουθήσω μια καριέρα όπου δεν θα ήμουν έτσι. Θα είχα άλλα ενδιαφέροντα.
Η ανθρώπινη πτυχή είναι κάτι που δεν έβλεπα άλλους ανθρώπους να ενδιαφέρονται τόσο πολύ. Φοβόμουν ότι μέρος του εαυτού μου θα με έκανε κακό στο να γίνω μαθηματικός.
Εισαγωγή
Μόλις διορίστηκες διευθυντής του προγράμματος Γυναικών και Μαθηματικών της IAS. Τι προσφέρει αυτό το πρόγραμμα στις γυναίκες μαθηματικούς;
Είναι ένα εβδομαδιαίο εργαστήριο για γυναίκες σε διαφορετικά στάδια καριέρας, συμπεριλαμβανομένων προπτυχιακών γυναικών, μεταπτυχιακών φοιτητών, μεταδιδακτόρων και ορισμένων κατώτερων και ανώτερων σχολών. Είναι η εκμάθηση μαθηματικών σε ένα υποστηρικτικό περιβάλλον.
Οι προπτυχιακοί φοιτητές που μπορεί να μην ήξεραν ότι θέλουν να ακολουθήσουν τα μαθηματικά συναντούν πολύ ανώτερους μαθηματικούς και λαμβάνουν καθοδήγηση σε όλη τη διαδρομή. Μπορούν να δουν πολλούς διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικά στάδια καριέρας και να μιλήσουν σε ανθρώπους για τις εμπειρίες τους. Δεν νομίζω ότι υπάρχουν πολλά άλλα προγράμματα που έχουν όλο αυτό το εύρος και επικεντρώνονται σε ένα συγκεκριμένο υποπεδίο.
Το πρόγραμμα του 2023 ονομάζεται "Μοτίβα σε ακέραιους αριθμούς". Θα έχει πολλούς ανθρώπους στην προσθετική συνδυαστική και στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Φέρνουμε ανθρώπους από διαφορετικούς επαγγελματικούς δρόμους για να συναντηθούν.
Για τους μεγαλύτερους μεταπτυχιακούς φοιτητές που εργάζονται ήδη σε αυτόν τον τομέα, συναντούν μεταδιδακτορικούς, κατώτερους και ανώτερους καθηγητές στον τομέα τους και έχουν την ευκαιρία να εργαστούν μαζί τους για μια εβδομάδα.
Συμμετέχετε επίσης στο Έργο στοίβες, που είναι ένας εκτενής διαδικτυακός πόρος. Τι είναι μοναδικό σε αυτό;
Ο τεράστιος όγκος και η προσβασιμότητα του. Είναι αυτό το τεράστιο — περισσότερες από 7,500 σελίδες αν το εκτυπώσατε — διαδικτυακό συλλογικό έργο. Αλλά ρεαλιστικά, [ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου Κολούμπια] Aise Johan de Jong τα γράφει σχεδόν όλα. Είναι μια αυστηρή, προσεκτικά γραμμένη πηγή για αλγεβρικούς γεωμέτρους. Είναι καταπληκτικό πράγμα που έχει κάνει για την κοινότητα.
Κάθε εβδομάδα ή δύο, μεγαλώνει. Είναι μια αξιόπιστη αναφορά για σχεδόν οτιδήποτε. Καλύπτει ένα τεράστιο ποσό αλγεβρικής γεωμετρίας που θα χρειαστεί να κοιτάξετε σαν 20 σχολικά βιβλία.
Είναι να ζεις με την έννοια ότι τα πράγματα μπορούν να προστεθούν και να επεξεργαστούν. Αν υπάρχουν λάθη, θα πιαστούν.
Το άλλο πράγμα που είναι κάπως ενδιαφέρον σε αυτό είναι το σύστημα ετικετών. Παρόλο που αυτό το έγγραφο αυξάνεται συνεχώς, μπορείτε να αναφέρετε μια συγκεκριμένη ετικέτα για πάντα. Υπάρχουν πάνω από 21,000 μόνιμες ετικέτες για συγκεκριμένα αποτελέσματα που μπορεί να θέλετε να αναφέρετε. Ο Pieter Belmans κατασκεύασε ολόκληρο το πίσω μέρος, το οποίο έχει χρησιμοποιηθεί και σε άλλα έργα. Άλλοι άνθρωποι έχουν προσαρμόσει την τεχνολογία του.
Το πρόβλημα είναι - και ο Johan το ξέρει αυτό - τελικά δεν θα μπορέσει να συνεχίσει να το γράφει. Κάποια μέρα, αν θέλουμε να συνεχιστεί αυτό, χρειάζεται και άλλοι άνθρωποι να συμμετέχουν περισσότερο.
Τι ρόλο παίζουν τα εργαστήριά σας στο έργο Stacks;
Το θέμα είναι να αρχίσουμε να εμπλέκουμε νεότερους. Τους βάζουμε να γράφουν κομμάτια που μπορεί τελικά να ενσωματωθούν σε αυτό. Υπάρχουν κάποιες εντάσεις εδώ, γιατί για να παραμείνει ο ιστότοπος σωστός και υψηλής ποιότητας ως πόρος, πρέπει να ελέγχεται προσεκτικά. Έτσι, ο Johan χρειάζεται ακόμα να κάνει πολλή δουλειά για να βάλει τα πράγματα σε αυτό. Δεν μπορεί να είναι σαν τη Βικιπαίδεια όπου ο καθένας μπορεί να την αγγίξει. Αυτό είναι λίγο ατυχές, αλλά πρέπει να συμβεί αν θέλετε να λειτουργήσει.
Προσπαθούμε να βρούμε τρόπους για να εμπλέκουμε σιγά σιγά περισσότερους ανθρώπους στο έργο Stacks. Φέρνουμε μέντορες για να εργαστούν σε έργα με μεταπτυχιακούς φοιτητές και μεταδιδακτορικούς. Μαθαίνουν κάποια αλγεβρική γεωμετρία. Μετά γράφουν κάτι.
We μόλις δημοσιεύθηκε ένας τόμος με μια δέσμη εκθετικών άρθρων που ελπίζουμε ότι θα μπουν τελικά στο έργο Stacks.
Το έργο Stacks θα μπορούσε να συνεχίσει να είναι εξαιρετικά επιδραστικό για εκατοντάδες χρόνια, εάν αρκετοί άνθρωποι εμπλακούν και συνεχίσουν.
