Ένας μαθηματικός για τη δημιουργικότητα, την τέχνη, τη λογική και τη γλώσσα | Περιοδικό Quanta

Χρειάστηκε πολύς χρόνος για να ερωτευτεί η Claire Voisin τα μαθηματικά.

Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν της άρεσε ποτέ το θέμα. Μεγαλώνοντας στη Γαλλία - το 10ο από τα 12 παιδιά - της άρεσε να περνάει ώρες λύνοντας μαθηματικά προβλήματα με τον πατέρα της, μηχανικό. Όταν έκλεισε τα 12, είχε αρχίσει να διαβάζει μόνη της ένα εγχειρίδιο άλγεβρας γυμνασίου, γοητευμένη από τους ορισμούς και τις αποδείξεις που περιγράφονται στις σελίδες του. «Υπήρχε όλη αυτή η δομή», είπε. «Η άλγεβρα είναι πραγματικά μια θεωρία δομών».

Αλλά δεν έβλεπε τα μαθηματικά ως μια δια βίου κλήση. Μόλις τα χρόνια του πανεπιστημίου της αναγνώρισε πόσο βαθύ και όμορφο θα μπορούσε να είναι - και ότι ήταν ικανή να κάνει νέες ανακαλύψεις. Μέχρι τότε, ακολουθούσε σοβαρά πολλά ενδιαφέροντα εκτός από τα μαθηματικά: φιλοσοφία, ζωγραφική και ποίηση. («Όταν ήμουν 20, νομίζω ότι έκανα μόνο μαθηματικά και ζωγραφική. Αυτό ίσως ήταν λίγο υπερβολικό», γέλασε.) Στις αρχές της δεκαετίας των 20 της, τα μαθηματικά είχαν συνυπολογίσει όλα τα άλλα. Όμως η ζωγραφική και η ποίηση συνέχισαν να την επηρεάζουν. Βλέπει τα μαθηματικά ως τέχνη - και ως έναν τρόπο να πιέσει και να παίξει με τα ίδια τα όρια της γλώσσας.

Δεκαετίες αργότερα, αφού έγινε ηγέτης στον τομέα της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο Voisin βρήκε ξανά χρόνο να ζωγραφίσει και να φτιάξει γλυπτά από πηλό. Ωστόσο, τα μαθηματικά συνεχίζουν να καταλαμβάνουν το μεγαλύτερο μέρος της προσοχής της. προτιμά να περνά το χρόνο της εξερευνώντας αυτόν τον «διαφορετικό κόσμο» όπου «είναι σαν να ονειρεύεσαι».

Ο Voisin είναι ανώτερος ερευνητής στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας της Γαλλίας στο Παρίσι. Εκεί, μελετά αλγεβρικές ποικιλίες, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως σχήματα που ορίζονται από σύνολα πολυωνυμικών εξισώσεων, όπως ένας κύκλος ορίζεται από το πολυώνυμο x² + y² = 1. Είναι μια από τις κορυφαίες ειδικές στον κόσμο στη θεωρία Hodge, μια εργαλειοθήκη που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να μελετήσουν βασικές ιδιότητες αλγεβρικών ποικιλιών.

Η Voisin έχει κερδίσει μια σειρά από βραβεία για το έργο της, συμπεριλαμβανομένου του Clay Research Award το 2008, του Heinz Hopf Prize το 2015 και του Shaw Prize για τα μαθηματικά το 2017. Τον Ιανουάριο, έγινε η πρώτη γυναίκα που τιμήθηκε με το βραβείο Crafoord στο Μαθηματικά.

Quanta μίλησε με τον Voisin για τη δημιουργική φύση των μαθηματικών. Η συνέντευξη έχει συμπυκνωθεί και επεξεργαστεί για λόγους σαφήνειας.

Σου άρεσε τα μαθηματικά ως παιδί, αλλά δεν έβλεπες τον εαυτό σου να τα επιδιώκει. Γιατί όχι?

Υπάρχει η μαγεία μιας απόδειξης - το συναίσθημα που νιώθεις όταν την καταλαβαίνεις, όταν συνειδητοποιείς πόσο δυνατή είναι και πόσο δυνατή σε κάνει. Ως παιδί, το έβλεπα ήδη αυτό. Και μου άρεσε η συγκέντρωση που απαιτούν τα μαθηματικά. Είναι κάτι που, μεγαλώνοντας, βρίσκω όλο και πιο κεντρικό στην εξάσκηση των μαθηματικών. Ο υπόλοιπος κόσμος εξαφανίζεται. Ολόκληρος ο εγκέφαλός σας υπάρχει για να μελετήσει ένα πρόβλημα. Είναι μια εξαιρετική εμπειρία, μια εμπειρία που είναι πολύ σημαντική για μένα — να αναγκάζομαι τον εαυτό σου να φύγει από τον κόσμο των πρακτικών πραγμάτων, να κατοικήσει σε έναν διαφορετικό κόσμο. Ίσως αυτός είναι ο λόγος που ο γιος μου απολαμβάνει τόσο πολύ τα βιντεοπαιχνίδια.

Αλλά αυτό που με έκανε να έρθω αργά στα μαθηματικά, κατά κάποιο τρόπο, είναι ότι δεν με ενδιαφέρουν απολύτως τα παιχνίδια. Δεν είναι για μένα. Και στο γυμνάσιο, τα μαθηματικά έμοιαζαν με παιχνίδι. Μου ήταν δύσκολο να το πάρω στα σοβαρά. Δεν είδα τα βάθη των μαθηματικών στην αρχή. Ακόμα κι όταν άρχισα να ανακαλύπτω πολύ ενδιαφέρουσες αποδείξεις και θεωρήματα μετά το Λύκειο, σε κανένα σημείο δεν σκέφτηκα ότι θα μπορούσα να εφεύρω κάτι ο ίδιος, ότι θα μπορούσα να το κάνω δικό μου.

Είχα ανάγκη για κάτι πιο βαθύ, πιο σοβαρό, κάτι που θα μπορούσα να κάνω δικό μου.

Πριν το ανακαλύψετε αυτό στα μαθηματικά, πού το αναζητούσατε;

Μου άρεσε η φιλοσοφία και η επιμονή της στην έννοια της έννοιας. Επίσης, μέχρι τα 22 μου, αφιέρωνα πολύ χρόνο ζωγραφίζοντας, ειδικά εικονιστικά κομμάτια εμπνευσμένα από τη γεωμετρία. Και μου άρεσε πολύ η ποίηση — το έργο των Mallarmé, Baudelaire, René Char. Ζούσα ήδη σε έναν διαφορετικό κόσμο. Αλλά αυτό είναι φυσιολογικό, νομίζω, όταν είσαι νεότερος.

Όμως τα μαθηματικά έγιναν όλο και πιο σημαντικά. Πραγματικά παίρνει όλο τον εγκέφαλό σου. Όταν δεν είστε στο γραφείο σας και εργάζεστε για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, το μυαλό σας είναι ακόμα απασχολημένο. Έτσι, όσο περισσότερο έκανα μαθηματικά, τόσο λιγότερο ζωγράφιζα. Μόλις πρόσφατα άρχισα ξανά να ζωγραφίζω, τώρα που τα παιδιά μου έχουν φύγει όλα από το σπίτι και έχω πολύ περισσότερο χρόνο.

Τι σε έκανε τελικά να αφιερώσεις το μεγαλύτερο μέρος της δημιουργικής σου ενέργειας στα μαθηματικά;

Τα μαθηματικά έγιναν όλο και πιο ενδιαφέροντα για μένα. Ως μεταπτυχιακός και Ph.D. μαθητής, ανακάλυψα ότι τα μαθηματικά του 20ου αιώνα ήταν κάτι πολύ βαθύ και εξαιρετικό. Ήταν ένας κόσμος ιδεών και εννοιών. Στην αλγεβρική γεωμετρία, υπήρξε η περίφημη επανάσταση με επικεφαλής τον Alexander Grothendieck. Ακόμη και πριν από το Γκρότεντιεκ, υπήρχαν απίστευτα αποτελέσματα. Είναι λοιπόν ένα πρόσφατο πεδίο, με ιδέες που είναι όμορφες αλλά και εξαιρετικά δυνατές. Η θεωρία του Hodge, την οποία μελετώ, ήταν μέρος αυτού.

Έγινε όλο και πιο ξεκάθαρο ότι η ζωή μου ήταν εκεί. Φυσικά, είχα οικογενειακή ζωή —σύζυγο και πέντε παιδιά— και άλλα καθήκοντα και δραστηριότητες. Αλλά συνειδητοποίησα ότι με τα μαθηματικά, μπορούσα να δημιουργήσω κάτι. Θα μπορούσα να αφιερώσω τη ζωή μου σε αυτό, γιατί ήταν τόσο όμορφο, τόσο θεαματικό, τόσο ενδιαφέρον.

Έχετε γράψει στο παρελθόν για το πώς τα μαθηματικά είναι μια δημιουργική προσπάθεια.

Είμαι επαγγελματίας μαθηματικός, επομένως η εργάσιμη μέρα μου οργανώνεται επίσημα γύρω από τα μαθηματικά. Κάθομαι σε ένα γραφείο. Δουλεύω σε υπολογιστή. Αλλά το μεγαλύτερο μέρος της μαθηματικής μου δραστηριότητας δεν συμβαίνει κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Χρειάζεστε μια νέα ιδέα, έναν καλό ορισμό, μια δήλωση που πιστεύετε ότι θα μπορέσετε να εκμεταλλευτείτε. Μόνο τότε μπορεί να ξεκινήσει η δουλειά σας. Και αυτό δεν συμβαίνει όταν είμαι στο γραφείο μου. Πρέπει να ακολουθήσω το μυαλό μου, να συνεχίσω να σκέφτομαι.

Φαίνεται ότι τα μαθηματικά είναι βαθιά προσωπικά για εσάς. Έχετε ανακαλύψει κάτι για τον εαυτό σας στη διαδικασία;

Κάνοντας μαθηματικά, τις περισσότερες φορές πρέπει να παλέψω με τον εαυτό μου, γιατί είμαι πολύ διαταραγμένος, δεν είμαι πολύ πειθαρχημένος και τείνω επίσης να με πιάνει κατάθλιψη. Δεν το βρίσκω εύκολο. Αυτό όμως που ανακάλυψα είναι ότι κάποιες στιγμές –όπως το πρωί με πρωινό, ή όταν περπατάω στους δρόμους του Παρισιού ή κάνω κάτι χωρίς σκέψη, όπως το καθάρισμα– ο εγκέφαλός μου αρχίζει να λειτουργεί μόνος του. Συνειδητοποιώ ότι σκέφτομαι τα μαθηματικά, χωρίς να το έχω σκοπό. Είναι σαν να ονειρεύεσαι. Είμαι 62 ετών και δεν έχω καμία πραγματική μέθοδο για να κάνω καλά μαθηματικά: ακόμα λίγο πολύ περιμένω τη στιγμή που θα εμπνευστώ.

Εργάζεστε με πολύ αφηρημένα αντικείμενα — με χώρους υψηλών διαστάσεων, με δομές που ικανοποιούν περίπλοκες εξισώσεις. Πώς σκέφτεσαι έναν τόσο αφηρημένο κόσμο;

Δεν είναι τόσο δύσκολο, στην πραγματικότητα. Ο πιο αφηρημένος ορισμός, αφού τον εξοικειωθείτε, δεν είναι πλέον αφηρημένος. Είναι σαν ένα όμορφο βουνό που το βλέπεις πολύ καλά, γιατί ο αέρας είναι πολύ καθαρός και υπάρχει φως που σε αφήνει να δεις όλες τις λεπτομέρειες. Σε εμάς, τα μαθηματικά αντικείμενα που μελετάμε φαίνονται συγκεκριμένα, γιατί τα γνωρίζουμε πολύ καλύτερα από οτιδήποτε άλλο.

Φυσικά, υπάρχουν πολλά πράγματα που πρέπει να αποδείξετε, και όταν αρχίσετε να μαθαίνετε κάτι, μπορεί να υποφέρετε λόγω της αφαίρεσης. Αλλά όταν χρησιμοποιείτε μια θεωρία - επειδή κατανοείτε τα θεωρήματα - στην πραγματικότητα αισθάνεστε πολύ κοντά στα εν λόγω αντικείμενα, ακόμα κι αν είναι αφηρημένα. Μαθαίνοντας για τα αντικείμενα, χειρίζοντάς τα και χρησιμοποιώντας τα σε μαθηματικά επιχειρήματα, γίνονται τελικά φίλοι σου.

Και αυτό απαιτεί επίσης να τα δούμε από διαφορετικές οπτικές γωνίες;

Δεν σπούδασα αρχικά αλγεβρική γεωμετρία. Εργάστηκα σε σύνθετη αναλυτική και διαφορική γεωμετρία. Στην αναλυτική γεωμετρία, μελετάτε μια πολύ μεγαλύτερη κατηγορία συναρτήσεων και τα σχήματα που ορίζονται τοπικά από αυτές τις συναρτήσεις. Δεν έχουν συνήθως μια παγκόσμια εξίσωση, σε αντίθεση με την αλγεβρική γεωμετρία.

Δεν έδωσα πολύ σημασία στην αλγεβρική άποψη στην αρχή. Αλλά όσο μεγαλώνω και όσο περισσότερο εργάζομαι σε αυτόν τον τομέα, τόσο περισσότερο βλέπω την αναγκαιότητα να έχω αυτές τις δύο διαφορετικές γλώσσες.

Υπάρχει ένα απίστευτο θεώρημα, που ονομάζεται GAGA, το οποίο είναι λίγο αστείο. σημαίνει «γεροντικός» στα γαλλικά, αλλά σημαίνει επίσης géometrie algébrique et géométrie analytique. Λέει ότι μπορείς να περάσεις από τη μια γλώσσα στην άλλη. Μπορείτε να κάνετε έναν υπολογισμό σε σύνθετη αναλυτική γεωμετρία εάν είναι ευκολότερο και μετά να επιστρέψετε στην αλγεβρική γεωμετρία.

Άλλες φορές, η αλγεβρική γεωμετρία σας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσετε μια διαφορετική εκδοχή ενός προβλήματος που μπορεί να δώσει εξαιρετικά αποτελέσματα. Έχω εργαστεί για την κατανόηση της αλγεβρικής γεωμετρίας στο σύνολό της, αντί να εστιάσω απλώς στην πλευρά της μιγαδικής γεωμετρίας.

Είναι ενδιαφέρον ότι τις θεωρείτε διαφορετικές μαθηματικές γλώσσες.

Η γλώσσα είναι απαραίτητη. Πριν από τα μαθηματικά, υπάρχει η γλώσσα. Πολλή λογική είναι ήδη μέσα στη γλώσσα. Έχουμε όλους αυτούς τους λογικούς κανόνες στα μαθηματικά: ποσοτικοποιητές, αρνήσεις, παρενθέσεις για να υποδείξουμε τη σωστή σειρά πράξεων. Αλλά είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι όλοι αυτοί οι κανόνες που είναι ζωτικής σημασίας για τους μαθηματικούς είναι ήδη στην καθημερινή μας γλώσσα.

Θα μπορούσατε να συγκρίνετε ένα μαθηματικό θεώρημα με ένα ποίημα. Είναι γραμμένο με λόγια. Είναι προϊόν της γλώσσας. Έχουμε τα μαθηματικά μας αντικείμενα μόνο επειδή χρησιμοποιούμε τη γλώσσα, επειδή χρησιμοποιούμε καθημερινές λέξεις και τους δίνουμε ένα συγκεκριμένο νόημα. Έτσι, μπορείτε να συγκρίνετε την ποίηση και τα μαθηματικά, καθώς και τα δύο βασίζονται πλήρως στη γλώσσα, αλλά εξακολουθούν να δημιουργούν κάτι νέο.

Σας τράβηξαν τα μαθηματικά λόγω της επανάστασης του Grothendieck στην αλγεβρική γεωμετρία. Ουσιαστικά δημιούργησε μια νέα γλώσσα για να κάνει αυτό το είδος μαθηματικών.

Δικαίωμα.

Υπάρχουν τρόποι με τους οποίους η μαθηματική γλώσσα που χρησιμοποιείτε τώρα μπορεί να χρειαστεί να αλλάξει;

Οι μαθηματικοί διαρκώς ξαναεπεξεργάζονται τη γλώσσα τους. Είναι κρίμα, γιατί κάνει τις παλιότερες εφημερίδες αρκετά δυσανάγνωστες. Αλλά ξαναδουλεύουμε τα περασμένα μαθηματικά γιατί τα καταλαβαίνουμε καλύτερα. Μας δίνει έναν καλύτερο τρόπο να γράφουμε και να αποδεικνύουμε θεωρήματα. Αυτό συνέβη με τον Grothendieck, με την εφαρμογή του της κοομολογίας των δεμάτων στη γεωμετρία. Είναι πραγματικά θεαματικό.

Είναι σημαντικό να εξοικειωθείτε με το αντικείμενο που μελετάτε, σε σημείο που για εσάς είναι σαν μια μητρική γλώσσα. Όταν αρχίζει να σχηματίζεται μια θεωρία, χρειάζεται χρόνος για να καταλάβουμε τους σωστούς ορισμούς και να απλοποιήσουμε τα πάντα. Ή ίσως είναι ακόμα πολύ περίπλοκο, αλλά εξοικειωνόμαστε πολύ περισσότερο με τους ορισμούς και τα αντικείμενα. γίνεται πιο φυσικό να τα χρησιμοποιείτε.

Είναι μια συνεχής εξέλιξη. Πρέπει συνεχώς να ξαναγράφουμε και να απλοποιούμε, να θεωρητικοποιούμε για το τι είναι σημαντικό, για τα εργαλεία που πρέπει να διαθέσουμε.

Χρειάστηκε να εισαγάγετε νέους ορισμούς στη δουλειά σας;

Ωρες ωρες. Σε δουλειά που έκανα με Γιάνος Κολλάρ, υπήρξε ένα σημείο καμπής όπου μπορέσαμε τελικά να βρούμε τη σωστή άποψη του προβλήματος — μέσω ενός συγκεκριμένου ορισμού. Αυτό ήταν ένα πολύ κλασικό πρόβλημα και δουλέψαμε με κλασικά εργαλεία, αλλά η απόδειξη βασίστηκε πραγματικά σε αυτόν τον ορισμό που δημιουργήσαμε.

Σε μια άλλη περίπτωση, Ολιβιέ Ντεμπάρ, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì και αποδείχτηκα ωραία αποτέλεσμα ταξινόμησης σχετικά με αντικείμενα που ονομάζονται πολλαπλές υπερ-Kähler. Και το σημείο εκκίνησης για αυτή την απόδειξη ήταν η εισαγωγή ενός αμετάβλητου, το οποίο αρχικά ονομάζαμε "a."[Γέλια.]

Μπορεί να υποτιμάτε τη σημασία των ορισμών στα μαθηματικά, αλλά δεν πρέπει.

Οι ορισμοί και η γλώσσα δεν είναι οι μόνες κατευθυντήριες δυνάμεις στα μαθηματικά. Το ίδιο και οι εικασίες, οι οποίες μπορεί να είναι αληθινές ή όχι. Για παράδειγμα, έχετε κάνει πολλή δουλειά στην εικασία Hodge, ένα πρόβλημα της χιλιετίας του αργίλου του οποίου η λύση έρχεται με 1 εκατομμύριο $ ανταμοιβή.

Ας πούμε ότι έχετε μια αλγεβρική ποικιλία που θέλετε να καταλάβετε. Οπότε πηγαίνετε στην πλευρά της μιγαδικής-αναλυτικής γεωμετρίας και τη θεωρείτε αντί αυτού ως αυτό που είναι γνωστό ως σύνθετη πολλαπλότητα. Μπορείτε να σκεφτείτε μια πολύπλοκη πολλαπλότητα όσον αφορά το παγκόσμιο σχήμα ή την τοπολογία της. Υπάρχει ένα αντικείμενο, που ονομάζεται ομολογία, το οποίο σας δίνει πολλές τοπολογικές πληροφορίες για την πολλαπλότητα. Αλλά δεν είναι τόσο εύκολο να οριστεί.

Τώρα εξετάστε τις αλγεβρικές υποποικιλίες μέσα στην αρχική σας ποικιλία. Κάθε ένα θα έχει μια τοπολογική αμετάβλητη, ορισμένες τοπολογικές πληροφορίες που σχετίζονται με αυτό. Ποιο μέρος της ομολογίας της μιγαδικής πολλαπλότητας μπορεί να ληφθεί κοιτάζοντας αυτές τις τοπολογικές αναλλοίωτες;

Η εικασία Hodge δίνει μια συγκεκριμένη απάντηση. Και η απάντηση είναι πολύ λεπτή.

Άρα οι μαθηματικοί δεν είναι σίγουροι αν η εικασία του Hodge θα καταλήξει να είναι αληθινή ή ψευδής;

Θέλετε να πιστέψετε στην εικασία Hodge, γιατί είναι ένας τέτοιος οδηγός σε μεγάλες θεωρίες στην αλγεβρική γεωμετρία.

Θα θέλατε πραγματικά να κατανοήσετε τις κύριες ιδιότητες μιας αλγεβρικής ποικιλίας. Και αν η εικασία Hodge είναι αληθινή, αυτό θα σας έδινε απίστευτο έλεγχο της γεωμετρίας της ποικιλίας σας. Θα λάβετε πολύ σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τη δομή των ποικιλιών.

Υπάρχουν κάποιοι ισχυροί λόγοι για να το πιστέψουμε. Είναι γνωστές συγκεκριμένες περιπτώσεις της εικασίας Hodge. Και υπάρχουν πολλές βαθιές δηλώσεις σχετικά με τις αλγεβρικές ποικιλίες που υπαινίσσονται ότι η εικασία Hodge είναι αληθινή.

Αλλά υπήρξε σχεδόν παντελής έλλειψη προόδου προς την απόδειξη του. Απέδειξε επίσης ότι δεν υπάρχει τρόπος να επεκταθεί η εικασία του Hodge σε ένα άλλο περιβάλλον όπου θα φαινόταν φυσικό. Αυτό λοιπόν ήταν λίγο σοκ.

Μετά από δεκαετίες που εργάζεστε ως μαθηματικός, νιώθετε ότι κάνετε μαθηματικά ακόμα πιο βαθιά τώρα;

Τώρα που μεγάλωσα, έχω πολύ περισσότερο χρόνο να ξοδέψω την ενέργειά μου στα μαθηματικά, να είμαι πραγματικά παρών σε αυτά. Έχω επίσης καλύτερη ικανότητα να πηγαίνω εδώ κι εκεί. Στο παρελθόν, ίσως επειδή είχα λιγότερο χρόνο, είχα λιγότερη κινητικότητα — αν και το να είμαι πολύ κινητικός, απλώς να αγγίζω προβλήματα χωρίς να κολλώ μαζί τους, δεν είναι επίσης καλό. Τώρα είμαι πιο έμπειρος και μπορώ να φτιάξω τη δική μου εικόνα.

Έχετε μια πολύ καλύτερη εικόνα για αυτά που δεν γνωρίζετε, για ανοιχτά προβλήματα. Έχετε μια λεπτομερή άποψη του χωραφιού σας και των συνόρων του. Πρέπει να υπάρχουν κάποιες καλές πτυχές του να μεγαλώνεις. Και υπάρχουν ακόμα τόσα πολλά να κάνουμε.