Στις αρχές της δεκαετίας του 1950, μια ομάδα ερευνητών στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών ξεκίνησε ένα έργο υψηλής τεχνολογίας. Στο εντολή του John von Neumann και του Herman Goldstine, ο φυσικός Hedvig Selberg προγραμμάτισε τον υπολογιστή 1,700 σωλήνων κενού της IAS για να υπολογίσει περίεργα μαθηματικά αθροίσματα των οποίων η προέλευση χρονολογείται από τον 18ο αιώνα.
Τα ποσά σχετίζονταν με τετραγωνικά ποσά Gauss, που ονομάστηκαν από τον διάσημο μαθηματικό Carl Friedrich Gauss. Ο Γκάους θα διάλεγε κάποιον πρώτο αριθμό p, στη συνέχεια αθροίστε τους αριθμούς της μορφής $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Από την έναρξή τους, τα τετραγωνικά αθροίσματα Gauss έχουν αποδειχθεί ανεκτίμητα για εργασίες όπως η μέτρηση λύσεων σε ορισμένους τύπους εξισώσεων. «Αποδεικνύεται ότι τα ποσά του Γκάους είναι μαγικά, ότι απλώς κάνουν υπέροχα πράγματα γιατί ένας Θεός ξέρει ποιος λόγος», είπε. Τζέφρι Χόφσταϊν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Μπράουν.
Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Eduard Kummer έπαιζε με έναν στενό συγγενή με αυτά τα τετραγωνικά ποσά του Gauss, όπου το n2 στον εκθέτη αντικαθίσταται από ένα n3. Ο Kummer παρατήρησε ότι έτειναν να συλλέγουν σχεδόν συγκεκριμένες τιμές σε εκπληκτικό βαθμό - μια έντονη παρατήρηση που θα οδηγούσε σε αιώνες έρευνας στη θεωρία αριθμών.
Εάν τα κυβικά αθροίσματα Gauss δεν επεξεργαστούν εκ νέου σε έναν απλούστερο τύπο, οι τιμές τους είναι δύσκολο να συναχθούν. Χωρίς έναν τέτοιο τύπο, ο Kummer άρχισε να υπολογίζει τα κυβικά ποσά Gauss — και να υπολογίζει και να υπολογίζει. «Ήταν πολύ συνηθισμένο για αυτούς να κάνουν τέτοιου είδους ηρωικούς υπολογισμούς με το χέρι τότε», είπε Μάθιου Γιάν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο A&M του Τέξας. Αφού όργωσε 45 αθροίσματα, που αντιστοιχούν στους πρώτους 45 μη τετριμμένους πρώτους αριθμούς, ο Kummer τελικά τα παράτησε.
Ερευνώντας τα αποτελέσματά του, ο Kummer παρατήρησε κάτι ενδιαφέρον. Θεωρητικά, τα αθροίσματα θα μπορούσαν να είναι οτιδήποτε μεταξύ −1 και 1 (αφού «κανονικοποιηθούν» — διαιρούνται με μια κατάλληλη σταθερά). Όταν όμως έκανε τους υπολογισμούς, ανακάλυψε ότι είχαν κατανεμηθεί με περίεργο τρόπο. Τα μισά αποτελέσματα ήταν μεταξύ ½ και 1, και μόνο το ένα έκτο από αυτά ήταν μεταξύ −1 και −½. Φάνηκαν να συγκεντρώνονται γύρω στο 1.
Ο Kummer παρουσίασε τις παρατηρήσεις του, μαζί με μια εικασία: Αν με κάποιο τρόπο καταφέρατε να σχεδιάσετε όλα τα άπειρα κυβικά ποσά Gauss, θα βλέπατε τα περισσότερα από αυτά μεταξύ ½ και 1. λιγότερα μεταξύ −½ και ½; και ακόμη λιγότερο μεταξύ −1 και −½.
Οι Selberg, von Neumann και Goldstine ξεκίνησαν να το δοκιμάσουν στον πρώιμο υπολογιστή τους. Ο Selberg το προγραμμάτισε για να υπολογίσει τα κυβικά αθροίσματα Gauss για όλους τους μη τετριμμένους πρώτους λιγότερους από 10,000 — περίπου 600 αθροίσματα συνολικά. (Η Goldstine και ο von Neumann συνέχισαν τη συγγραφή της εργασίας· οι συνεισφορές της θα κατέληγαν σε μια γραμμή αναγνώρισης στο τέλος.) Ανακάλυψαν ότι καθώς οι πρώτοι γίνονταν μεγαλύτεροι, τα κανονικοποιημένα ποσά έγιναν λιγότερο διατεθειμένα να συγκεντρωθούν κοντά στο 1. πειστικές αποδείξεις ότι η εικασία του Kummer ήταν λάθος, οι μαθηματικοί άρχισαν να προσπαθούν να κατανοήσουν τα κυβικά αθροίσματα του Gauss με έναν βαθύτερο τρόπο που ξεπερνούσε τον απλό υπολογισμό.
Αυτή η διαδικασία έχει πλέον ολοκληρωθεί. Το 1978, ο μαθηματικός Σάμιουελ Πάτερσον αποτόλμησε μια λύση στο μαθηματικό μυστήριο του Kummer, αλλά δεν μπόρεσε να το αποδείξει. Στη συνέχεια, το περασμένο φθινόπωρο, δύο μαθηματικοί από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια απέδειξαν την εικασία του Πάτερσον, επιτρέποντας επιτέλους να κλείσουν τις σκέψεις του Kummer από το 1846.
Ο Πάτερσον συνδέθηκε για πρώτη φορά με το πρόβλημα ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ τη δεκαετία του 1970. Η εικασία του υποκινήθηκε από το τι συμβαίνει όταν οι αριθμοί τοποθετούνται τυχαία οπουδήποτε μεταξύ −1 και 1. Αν προσθέσετε N από αυτούς τους τυχαίους αριθμούς, το τυπικό μέγεθος του αθροίσματος θα είναι $latexsqrt{N}$ (μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό). Ομοίως, αν τα κυβικά αθροίσματα Gauss διασκορπίζονταν ομοιόμορφα από -1 σε 1, θα περίμενε κανείς N από αυτά να αθροιστούν περίπου σε $latexsqrt{N}$.
Έχοντας αυτό κατά νου, ο Πάτερσον συμπλήρωσε N κυβικά αθροίσματα Gauss, αγνοώντας (προς το παρόν) την απαίτηση να παραμείνουμε στους πρώτους αριθμούς. Βρήκε ότι το ποσό ήταν γύρω N5/6 — μεγαλύτερο από $latexsqrt{N}$ (το οποίο μπορεί να γραφτεί ως N1/2), αλλά λιγότερο από N. Αυτή η τιμή υπονοούσε ότι τα αθροίσματα συμπεριφέρονταν σαν τυχαίοι αριθμοί αλλά με μια ασθενή δύναμη που τα πίεζε προς θετικές τιμές, που ονομάζεται προκατάληψη. Οπως και N γινόταν όλο και μεγαλύτερο, η τυχαιότητα θα άρχιζε να κατακλύζει την προκατάληψη, και έτσι αν κοιτούσατε με κάποιο τρόπο όλα τα άπειρα κυβικά ποσά Gauss ταυτόχρονα, θα φαινόταν ομοιόμορφα κατανεμημένα.
Αυτό φαινομενικά εξήγησε τα πάντα: οι υπολογισμοί του Kummer δείχνουν μια μεροληψία, καθώς και οι υπολογισμοί του IAS που αντικρούουν μια προκατάληψη.
Αλλά ο Πάτερσον δεν ήταν σε θέση να κάνει τους ίδιους υπολογισμούς για τους πρώτους αριθμούς, έτσι το 1978, το έγραψε επίσημα ως εικασία: Εάν αθροίσετε τα κυβικά αθροίσματα Gauss για πρώτους αριθμούς, θα πρέπει να λάβετε το ίδιο N5/6 συμπεριφορά.
Αμέσως μετά την ομιλία του για το έργο του στο πρόβλημα του Kummer, ο Patterson επικοινώνησε με έναν μεταπτυχιακό φοιτητή ονόματι Roger Heath-Brown, ο οποίος πρότεινε την ενσωμάτωση τεχνικών από τη θεωρία των πρώτων αριθμών. Οι δυο τους συνεργάστηκαν και σύντομα δημοσιεύθηκε μια πρόοδος για το πρόβλημα, αλλά και πάλι δεν μπορούσαν να δείξουν ότι προέβλεψε ο Πάτερσον N5/6 η προκατάληψη ήταν ακριβής για τους πρώτους.
Τις επόμενες δεκαετίες, υπήρξε μικρή πρόοδος. Τελικά, στο γύρισμα της χιλιετίας, ο Heath-Brown έφτιαξε ένα άλλο επανάσταση, στο οποίο ένα εργαλείο που είχε αναπτύξει ονόματι κυβικό μεγάλο κόσκινο έπαιξε ουσιαστικό ρόλο.
Για να χρησιμοποιήσει το κυβικό μεγάλο κόσκινο, ο Heath-Brown χρησιμοποίησε μια σειρά υπολογισμών για να συσχετίσει το άθροισμα των κυβικών ποσών Gauss με ένα διαφορετικό άθροισμα. Με αυτό το εργαλείο, ο Heath-Brown μπόρεσε να δείξει ότι αν αθροιστούν τα κυβικά αθροίσματα Gauss για πρώτους αριθμούς μικρότερους από N, το αποτέλεσμα δεν μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό N5/6. Αλλά σκέφτηκε ότι θα μπορούσε να τα καταφέρει καλύτερα — ότι το ίδιο το κόσκινο θα μπορούσε να βελτιωθεί. Αν μπορούσε, θα μείωνε το όριο N5/6 ακριβώς, αποδεικνύοντας έτσι την εικασία του Patterson. Σε μια σύντομη γραμμή κειμένου, σκιαγράφησε ποια πίστευε ότι θα ήταν η καλύτερη δυνατή φόρμουλα για το κόσκινο.
Ακόμη και με αυτό το νέο εργαλείο στα χέρια, οι μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να προχωρήσουν περαιτέρω. Στη συνέχεια, δύο δεκαετίες αργότερα, μια τυχερή συνάντηση μεταξύ του μεταδιδακτορικού του Caltech Alexander Dunn και τον προϊστάμενό του Maksym Radziwiłł σήμανε την αρχή του τέλους. Προτού ο Dunn ξεκινήσει τη θέση του τον Σεπτέμβριο του 2020, ο Radziwiłł πρότεινε να εργαστούν μαζί στην εικασία του Patterson. Αλλά με την πανδημία του Covid-19 να μαίνεται ακόμη, η έρευνα και η διδασκαλία συνεχίστηκαν εξ αποστάσεως. Τελικά, τον Ιανουάριο του 2021, η τύχη —ή η μοίρα— επενέβη όταν οι δύο μαθηματικοί έπεσαν απροσδόκητα μεταξύ τους σε ένα πάρκινγκ της Πασαντένα. «Μιλήσαμε εγκάρδια και συμφωνήσαμε ότι θα έπρεπε να αρχίσουμε να συναντιόμαστε και να μιλάμε μαθηματικά», έγραψε ο Νταν σε ένα email. Μέχρι τον Μάρτιο, εργάζονταν επιμελώς σε μια απόδειξη της εικασίας του Πάτερσον.
«Ήταν συναρπαστικό να δουλεύεις, αλλά εξαιρετικά υψηλό ρίσκο», είπε ο Dunn. «Εννοώ, θυμάμαι ότι ερχόμουν στο γραφείο μου, στις 5 π.μ. κάθε πρωί κατευθείαν για τέσσερις ή πέντε μήνες».
Ο Dunn και ο Radziwiłł, όπως ο Heath-Brown πριν από αυτούς, βρήκαν το κυβικό μεγάλο κόσκινο απαραίτητο για την απόδειξή τους. Αλλά καθώς χρησιμοποίησαν τον τύπο που είχε γράψει ο Heath-Brown στην εργασία του το 2000 - αυτόν που πίστευε ότι ήταν το καλύτερο δυνατό κόσκινο, μια εικασία ότι η κοινότητα της θεωρίας αριθμών είχε φτάσει να πιστεύει ότι ήταν αληθινή - συνειδητοποίησαν ότι κάτι δεν πήγαινε καλά . «Καταφέραμε να αποδείξουμε ότι 1 = 2, μετά από πολύ, πολύ περίπλοκη δουλειά», είπε ο Radziwiłł.
Σε εκείνο το σημείο, ο Radziwiłł ήταν σίγουρος ότι το λάθος ήταν δικό τους. «Ήμουν κάπως πεπεισμένος ότι βασικά έχουμε ένα λάθος στην απόδειξή μας». Ο Νταν τον έπεισε για το αντίθετο. Το κυβικό μεγάλο κόσκινο, αντίθετα με τις προσδοκίες, δεν μπορούσε να βελτιωθεί.
Οπλισμένοι με την ορθότητα του κυβικού μεγάλου κόσκινου, οι Dunn και Radziwiłł βαθμολόγησαν εκ νέου την προσέγγισή τους στην εικασία του Patterson. Αυτή τη φορά τα κατάφεραν.
«Νομίζω ότι αυτός ήταν ο κύριος λόγος για τον οποίο κανείς δεν το έκανε αυτό, επειδή αυτή η εικασία [Heath-Brown] παραπλανούσε τους πάντες», είπε ο Radziwiłł. «Νομίζω ότι αν έλεγα στον Χιθ-Μπράουν ότι η εικασία του είναι λάθος, τότε πιθανότατα θα καταλάβαινε πώς να το κάνει».
Οι Dunn και Radziwiłł δημοσίευσαν την εργασία τους στις 15 Σεπτεμβρίου 2021. Στο τέλος, η απόδειξή τους βασίστηκε στη γενικευμένη υπόθεση Riemann, μια περίφημη αναπόδεικτη εικασία στα μαθηματικά. Αλλά άλλοι μαθηματικοί θεωρούν ότι αυτό είναι μόνο ένα μικρό μειονέκτημα. «Θα θέλαμε να απαλλαγούμε από την υπόθεση. Αλλά είμαστε χαρούμενοι που έχουμε ένα αποτέλεσμα που είναι ούτως ή άλλως υπό όρους», είπε Heath-Brown, ο οποίος είναι πλέον ομότιμος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
Για τον Heath-Brown, το έργο των Dunn και Radziwiłł είναι κάτι περισσότερο από μια απλή απόδειξη της εικασίας του Patterson. Με την απροσδόκητη εικόνα του στο κυβικό μεγάλο κόσκινο, το χαρτί τους έφερε ένα έκπληξη στο τέλος μιας ιστορίας στην οποία συμμετέχει για δεκαετίες. «Χαίρομαι που στην πραγματικότητα δεν έγραψα στην εργασία μου: «Είμαι σίγουρος ότι μπορεί κανείς να απαλλαγεί από αυτό», είπε, αναφερόμενος στο κομμάτι του κόσκινου που ανακάλυψαν οι Dunn και Radziwiłł ότι ήταν απαραίτητο. «Απλώς είπα, «Θα ήταν ωραίο αν κάποιος μπορούσε να απαλλαγεί από αυτό. Φαίνεται πιθανό να μπορείς». Και έκανα λάθος — όχι για πρώτη φορά».
