Η 'A-Team' των Μαθηματικών Αποδεικνύει έναν κρίσιμο σύνδεσμο μεταξύ πρόσθεσης και συνόλων | Περιοδικό Quanta

Σε ένα τυχαία επιλεγμένο σύνολο αριθμών, η πρόσθεση μπορεί να γίνει τρελή.

Προσθέστε μαζί κάθε ζευγάρι από ένα τέτοιο σύνολο και θα καταλήξετε σε μια νέα λίστα που είναι πιθανό να έχει πολύ περισσότερους αριθμούς από αυτόν με τον οποίο ξεκινήσατε. Ξεκινήστε με 10 τυχαίους αριθμούς και αυτή η νέα λίστα (που ονομάζεται sumset) θα έχει περίπου 50 στοιχεία. Ξεκινήστε με 100 και το sumset θα έχει πιθανώς περίπου 5,000. 1,000 τυχαίοι αρχικοί αριθμοί θα κάνουν ένα σύνολο 500,000 αριθμών.

Αλλά αν το αρχικό σας σύνολο έχει δομή, το αθροιστικό σύνολο μπορεί να καταλήξει με λιγότερους αριθμούς από αυτόν. Εξετάστε ένα άλλο σύνολο 10 αριθμών: όλοι οι ζυγοί αριθμοί από το 2 έως το 20. Επειδή διαφορετικά ζεύγη θα αθροίζονται στον ίδιο αριθμό — το 10 + 12 είναι ίδιο με το 8 + 14 και το 6 + 16 — το αθροιστικό σύνολο έχει μόλις 19 αριθμούς, όχι 50. Αυτή η διαφορά γίνεται όλο και πιο βαθιά καθώς τα σετ μεγαλώνουν. Μια δομημένη λίστα 1,000 αριθμών μπορεί να έχει ένα σύνολο με μόλις 2,000 αριθμούς.

Στη δεκαετία του 1960, ένας μαθηματικός ονόματι Γκρέγκορι Φράιμαν άρχισε να ερευνά σύνολα με μικρά αθροίσματα σε μια προσπάθεια να διερευνήσει τη σύνδεση μεταξύ πρόσθεσης και δομής συνόλων - μια κρίσιμη σύνδεση που καθορίζει το μαθηματικό πεδίο της συνδυαστικής προσθετικών. Ο Freiman σημείωσε εντυπωσιακή πρόοδο, αποδεικνύοντας ότι ένα σύνολο με μικρό σύνολο πρέπει να περιέχεται από ένα μεγαλύτερο σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι τοποθετημένα σε πολύ κανονικό μοτίβο. Μετά όμως το γήπεδο έμεινε στάσιμο. «Η αρχική απόδειξη του Φράιμαν ήταν εξαιρετικά δυσνόητη, σε σημείο που κανείς δεν ήταν πραγματικά απολύτως σίγουρος ότι ήταν σωστή. Επομένως, δεν είχε πραγματικά τον αντίκτυπο που θα μπορούσε να είχε», είπε Τιμότι Γκίβερς, μαθηματικός στο Collège de France και στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και κάτοχος μεταλλίου Fields. "Αλλά στη συνέχεια Imre Ruzsa ξέσπασε στη σκηνή».

Σε μια σειρά από δύο χαρτιά Στη δεκαετία του 1990, ο Ruzsa απέδειξε ξανά το θεώρημα του Freiman με ένα κομψό νέο επιχείρημα. Μερικά χρόνια αργότερα, Καταλίν Μάρτον, ένας σημαντικός Ούγγρος μαθηματικός που πέθανε το 2019, τροποποίησε το ερώτημα του τι σημαίνει ένα μικρό σύνολο για τη δομή του αρχικού συνόλου. Αντικατέστησε τους τύπους των στοιχείων που εμφανίζονταν στο σετ και το είδος της δομής που έπρεπε να αναζητήσουν οι μαθηματικοί, πιστεύοντας ότι θα επέτρεπε στους μαθηματικούς να εξάγουν ακόμη περισσότερες πληροφορίες. Η εικασία του Marton έχει συνδέσμους με συστήματα απόδειξης, τη θεωρία κωδικοποίησης και την κρυπτογραφία, και καταλαμβάνει μια εξαιρετική θέση στην προσθετική συνδυαστική.

Η εικασία της «μοιάζει πραγματικά σαν ένα από τα πιο βασικά πράγματα που δεν καταλάβαμε», είπε Μπεν Γκριν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. «Απλώς υποστήριξε πολλά πράγματα που με ενδιαφέρουν».

Ο Green ένωσε τις δυνάμεις του με τον Gowers, Φρέντι Μάνερς του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σαν Ντιέγκο και Τερένς Τάο, κάτοχος μεταλλίου Fields στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες για να σχηματίσει αυτό που ο Ισραηλινός μαθηματικός και μπλόγκερ Γκιλ Καλάι ονομάζεται "Μια ομάδα” των μαθηματικών. Απέδειξαν μια εκδοχή της εικασίας σε μια εργασία κοινοποιήθηκε στις 9 Νοεμβρίου.

Νετς Κατς, ένας μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Rice που δεν συμμετείχε στην εργασία, περιγράφει την απόδειξη ως «όμορφα απλή» — και «λίγο πολύ εντελώς ασυνήθιστη».

Στη συνέχεια, ο Tao ξεκίνησε μια προσπάθεια να επισημοποιήσει την απόδειξη Lean, μια γλώσσα προγραμματισμού που βοηθά τους μαθηματικούς να επαληθεύουν θεωρήματα. Σε λίγες μόνο εβδομάδες, αυτή η προσπάθεια πέτυχε. Νωρίς το πρωί της Τρίτης 5 Δεκεμβρίου, ανακοίνωσε ο Τάο ότι ο Lean είχε αποδείξει την εικασία χωρίς καμία «συγγνώμη» — η τυπική δήλωση που εμφανίζεται όταν ο υπολογιστής δεν μπορεί να επαληθεύσει ένα συγκεκριμένο βήμα. Αυτή είναι η υψηλότερη χρήση τέτοιου είδους εργαλεία επαλήθευσης από το 2021, και σημειώνει ένα σημείο καμπής στους τρόπους με τους οποίους οι μαθηματικοί γράφουν αποδείξεις με όρους που μπορεί να καταλάβει ένας υπολογιστής. Εάν αυτά τα εργαλεία γίνουν αρκετά εύκολα στη χρήση από τους μαθηματικούς, μπορεί να είναι σε θέση να υποκαταστήσουν τη συχνά παρατεταμένη και επαχθή διαδικασία αξιολόγησης από ομοτίμους, είπε ο Gowers.

Τα συστατικά της απόδειξης σιγοβράζουν εδώ και δεκαετίες. Ο Gowers συνέλαβε τα πρώτα του βήματα στις αρχές της δεκαετίας του 2000. Αλλά χρειάστηκαν 20 χρόνια για να αποδειχθεί αυτό που ο Καλάι αποκάλεσε «άγιο δισκοπότηρο» του πεδίου.

Το In-Group

Για να κατανοήσουμε την εικασία του Marton, βοηθάμε να είμαστε εξοικειωμένοι με την έννοια της ομάδας, ενός μαθηματικού αντικειμένου που αποτελείται από ένα σύνολο και μια πράξη. Σκεφτείτε τους ακέραιους - ένα άπειρο σύνολο αριθμών - και τη λειτουργία της πρόσθεσης. Κάθε φορά που προσθέτετε δύο ακέραιους αριθμούς, παίρνετε έναν άλλο ακέραιο. Η προσθήκη υπακούει επίσης σε μερικούς άλλους κανόνες ομαδικών λειτουργιών, όπως η συσχέτιση, που σας επιτρέπει να αλλάξετε τη σειρά των πράξεων: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2.

Μέσα σε μια ομάδα, μερικές φορές μπορείτε να βρείτε μικρότερα σύνολα που ικανοποιούν όλες τις ιδιότητες της ομάδας. Για παράδειγμα, αν προσθέσετε δύο ζυγούς αριθμούς, θα λάβετε έναν άλλο ζυγό αριθμό. Οι ζυγοί αριθμοί είναι μια ομάδα από μόνοι τους, καθιστώντας τους μια υποομάδα των ακεραίων. Οι περιττοί αριθμοί, αντίθετα, δεν αποτελούν υποομάδα. Εάν προσθέσετε δύο περιττούς αριθμούς, θα λάβετε έναν άρτιο αριθμό — όχι στο αρχικό σύνολο. Αλλά μπορείτε να πάρετε όλους τους περιττούς αριθμούς προσθέτοντας απλώς 1 σε κάθε ζυγό αριθμό. Μια μετατοπισμένη υποομάδα όπως αυτή ονομάζεται coset. Δεν έχει όλες τις ιδιότητες μιας υποομάδας, αλλά διατηρεί τη δομή της υποομάδας της με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, όπως και οι άρτιοι αριθμοί, οι περιττοί αριθμοί είναι όλοι ομοιόμορφοι.

Ο Μάρτον υπέθεσε ότι αν έχεις ένα σετ θα το καλέσουμε A που αποτελείται από στοιχεία ομάδας των οποίων το άθροισμα δεν είναι πολύ μεγαλύτερο από A η ίδια, τότε υπάρχει κάποια υποομάδα — καλέστε την G — με ειδικό ακίνητο. Βάρδια G μερικές φορές για να φτιάξετε κοσέτα, και αυτά τα κοσέτα, μαζί, θα περιέχουν το αρχικό σύνολο A. Επιπλέον, υπέθεσε ότι ο αριθμός των κοσέτων δεν αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα από το μέγεθος του αθροίσματος — πίστευε ότι θα έπρεπε να σχετίζεται με έναν πολυωνυμικό παράγοντα, σε αντίθεση με την πολύ ταχύτερη εκθετική ανάπτυξη.

Αυτό μπορεί να ακούγεται σαν μια εξαιρετικά τεχνική περιέργεια. Αλλά επειδή σχετίζεται με μια απλή δοκιμή — τι συμβαίνει όταν προσθέτετε μόνο δύο στοιχεία στο σύνολο; — για τη γενική δομή μιας υποομάδας, είναι πολύ σημαντικό για τους μαθηματικούς και τους επιστήμονες υπολογιστών. Η ίδια γενική ιδέα εμφανίζεται όταν οι επιστήμονες υπολογιστών προσπαθούν να κρυπτογραφήσουν μηνύματα έτσι ώστε να μπορείτε να αποκωδικοποιήσετε μόνο ένα κομμάτι του μηνύματος κάθε φορά. Εμφανίζεται επίσης σε πιθανολογικά ελεγχόμενες αποδείξεις, μια μορφή απόδειξης που οι επιστήμονες υπολογιστών μπορούν να επαληθεύσουν ελέγχοντας μόνο μερικά μεμονωμένα κομμάτια πληροφοριών. Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, εργάζεστε με μερικά μόνο σημεία σε μια δομή — αποκωδικοποιώντας μόνο μερικά bit από ένα μεγάλο μήνυμα ή επαληθεύοντας ένα μικρό τμήμα μιας περίπλοκης απόδειξης — και καταλήγετε σε κάτι για μια μεγαλύτερη δομή υψηλότερου επιπέδου.

"Μπορείτε είτε να προσποιηθείτε ότι όλα είναι ένα μεγάλο υποσύνολο μιας ομάδας", είπε Tom Sanders, πρώην μαθητής του Gowers που τώρα είναι συνάδελφος του Green στην Οξφόρδη, ή μπορείς, «να πάρεις όλα όσα ήθελες από την ύπαρξη πολλών προσθετικών συμπτώσεων. Και οι δύο αυτές προοπτικές είναι χρήσιμες».

Ruzsa δημοσίευσε την εικασία του Marton το 1999, αποδίδοντάς της όλα τα εύσημα. «Κατέληξε σε αυτήν την εικασία ανεξάρτητα από εμένα και τον Freiman, και πιθανότατα πριν από εμάς», είπε. «Γι’ αυτό, όταν της μίλησα, αποφάσισα να το ονομάσω εικασία της». Ακόμα, οι μαθηματικοί το αναφέρουν τώρα ως η εικασία του πολυωνύμου Freiman-Ruzsa ή PFR.

Μηδενικά και Μονά

Οι ομάδες, όπως πολλά μαθηματικά αντικείμενα, παίρνουν πολλές διαφορετικές μορφές. Ο Μάρτον υπέθεσε ότι η εικασία της ισχύει για όλες τις ομάδες. Αυτό πρέπει ακόμη να φανεί. Το νέο έγγραφο το αποδεικνύει για ένα συγκεκριμένο είδος ομάδας, που παίρνει ως στοιχεία λίστες δυαδικών αριθμών όπως (0, 1, 1, 1, 0). Επειδή οι υπολογιστές λειτουργούν δυαδικά, αυτή η ομάδα είναι ζωτικής σημασίας στην επιστήμη των υπολογιστών. Αλλά ήταν επίσης χρήσιμο στην προσθετική συνδυαστική. «Είναι σαν αυτό το σκηνικό παιχνιδιού στο οποίο μπορείτε να παίξετε και να δοκιμάσετε πράγματα», είπε ο Sanders. «Η άλγεβρα είναι πολύ, πολύ πιο ωραία» από την εργασία με ακέραιους αριθμούς, πρόσθεσε.

Οι λίστες έχουν σταθερά μήκη και κάθε bit μπορεί να είναι είτε 0 είτε 1. Τα προσθέτετε μαζί προσθέτοντας κάθε καταχώρηση στο αντίστοιχο της σε μια άλλη λίστα, με τον κανόνα ότι 1 + 1 = 0. Άρα (0, 1, 1, 1 , 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1). Το PFR είναι μια προσπάθεια να καταλάβουμε πώς μπορεί να μοιάζει ένα σύνολο αν δεν είναι αρκετά υποομάδα αλλά έχει κάποια χαρακτηριστικά που μοιάζουν με ομάδες.

Για να κάνετε το PFR ακριβές, φανταστείτε ότι έχετε καλέσει ένα σύνολο δυαδικών λιστών A. Τώρα πάρτε κάθε ζεύγος στοιχείων από A και αθροίστε τα. Τα αθροίσματα που προκύπτουν αποτελούν το άθροισμα των A, Που ονομάζεται A + A. Αν τα στοιχεία του A επιλέγονται τυχαία, τότε τα περισσότερα ποσά είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Εάν υπάρχουν k στοιχεία σε A, αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν γύρω k²/2 στοιχεία στο σύνολο. Οταν k είναι μεγάλο - ας πούμε, 1,000 - k²/2 είναι πολύ μεγαλύτερο από k. Αλλα αν A είναι μια υποομάδα, κάθε στοιχείο του A + A είναι A, εννοώντας A + A έχει το ίδιο μέγεθος με A Itself.

Το PFR θεωρεί σύνολα που δεν είναι τυχαία, αλλά δεν είναι ούτε υποομάδες. Σε αυτά τα σύνολα, ο αριθμός των στοιχείων A + A είναι κάπως μικρό - ας πούμε, 10kΉ 100k. "Είναι πραγματικά χρήσιμο όταν η ιδέα σου για τη δομή είναι πολύ πιο πλούσια από το να είσαι απλώς μια ακριβής αλγεβρική δομή", είπε Shachar Lovett, επιστήμονας υπολογιστών στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Σαν Ντιέγκο.

Όλα τα σύνολα που γνώριζαν οι μαθηματικοί ότι υπάκουαν σε αυτήν την ιδιότητα «είναι πολύ κοντά σε πραγματικές υποομάδες», είπε ο Tao. «Αυτή ήταν η διαίσθηση, ότι δεν υπήρχαν άλλου είδους ψεύτικες ομάδες τριγύρω». Ο Freiman είχε αποδείξει μια εκδοχή αυτής της δήλωσης στο πρωτότυπο έργο του. Το 1999, ο Ruzsa επέκτεινε το θεώρημα του Freiman από τους ακέραιους αριθμούς στη ρύθμιση των δυαδικών λιστών. Το απέδειξε ότι όταν ο αριθμός των στοιχείων σε A + A είναι σταθερό πολλαπλάσιο του μεγέθους του A, A περιέχεται σε μια υποομάδα.

Αλλά το θεώρημα του Ruzsa απαιτούσε η υποομάδα να είναι τεράστια. Η διορατικότητα του Marton ήταν να υποθέσει ότι αντί να περιέχεται σε μια γιγάντια υποομάδα, A θα μπορούσε να περιέχεται σε έναν πολυωνυμικό αριθμό συνόλων μιας υποομάδας που δεν είναι μεγαλύτερος από το αρχικό σύνολο A.

«Ξέρω μια πραγματική ιδέα όταν βλέπω μια πραγματική ιδέα»

Γύρω στο γύρισμα της χιλιετίας, ο Gowers συνάντησε τις αποδείξεις του Ruzsa για το θεώρημα του Freiman, ενώ μελετούσε ένα διαφορετικό πρόβλημα σχετικά με τα σύνολα που περιέχουν συμβολοσειρές ομοιόμορφων αριθμών. «Χρειαζόμουν κάτι τέτοιο, να πάρω δομικές πληροφορίες από πολύ πιο χαλαρές πληροφορίες για ένα συγκεκριμένο σύνολο», είπε ο Gowers. «Ήμουν πολύ τυχερός που όχι πολύ καιρό πριν, η Ruzsa έδωσε αυτή την απολύτως υπέροχη απόδειξη».

Ο Gowers άρχισε να επεξεργάζεται μια πιθανή απόδειξη της πολυωνυμικής εκδοχής της εικασίας. Η ιδέα του ήταν να ξεκινήσει με ένα σετ A του οποίου το sumset ήταν σχετικά μικρό, στη συνέχεια σταδιακά χειριστείτε A σε μια υποομάδα. Αν μπορούσε να αποδείξει ότι η υποομάδα που προέκυψε ήταν παρόμοια με το αρχικό σύνολο A, μπορούσε εύκολα να συμπεράνει ότι η εικασία ήταν αληθινή. Ο Gowers μοιράστηκε τις ιδέες του με τους συναδέλφους του, αλλά κανείς δεν μπορούσε να τις διαμορφώσει σε πλήρη απόδειξη. Αν και η στρατηγική του Gowers ήταν επιτυχής σε ορισμένες περιπτώσεις, σε άλλες χρειάστηκαν οι χειρισμοί A πιο μακριά από το επιθυμητό συμπέρασμα της πολυωνυμικής εικασίας Freiman-Ruzsa.

Τελικά, το γήπεδο προχώρησε. Το 2012, ο Σάντερς σχεδόν αποδεδειγμένο PFR. Αλλά ο αριθμός των μετατοπισμένων υποομάδων που χρειαζόταν ήταν πάνω από το πολυωνυμικό επίπεδο, αν και μόνο λίγο. «Μόλις το έκανε αυτό, σήμαινε ότι έγινε λιγότερο επείγον πράγμα, αλλά εξακολουθεί να είναι ένα πολύ ωραίο πρόβλημα για το οποίο τρέφω μεγάλη αγάπη», είπε ο Gowers.

Αλλά οι ιδέες του Gowers έζησαν στις μνήμες και στους σκληρούς δίσκους των συναδέλφων του. «Υπάρχει μια πραγματική ιδέα εκεί», είπε ο Γκριν, ο οποίος ήταν επίσης μαθητής του Γκόουερς. «Ξέρω μια πραγματική ιδέα όταν βλέπω μια πραγματική ιδέα». Αυτό το καλοκαίρι, οι Green, Manners και Tao απελευθέρωσαν επιτέλους τις ιδέες του Gowers από το καθαρτήριο τους.

Οι Green, Tao και Manners είχαν μια βαθιά συνεργασία 37 σελίδων πριν σκεφτούν να επιστρέψουν στις 20χρονες ιδέες του Gowers. Στις 23 Ιουνίου χαρτί, είχαν χρησιμοποιήσει με επιτυχία μια έννοια από τη θεωρία πιθανοτήτων που ονομάζεται τυχαίες μεταβλητές για να διερευνήσουν τη δομή συνόλων με μικρά αθροίσματα. Κάνοντας αυτήν την αλλαγή, η ομάδα θα μπορούσε να χειριστεί τα σετ της με περισσότερη φινέτσα. «Η ενασχόληση με τυχαίες μεταβλητές είναι κατά κάποιο τρόπο πολύ λιγότερο άκαμπτη από την αντιμετώπιση συνόλων», είπε ο Manners. Με μια τυχαία μεταβλητή, "μπορώ να τροποποιήσω μία από τις πιθανότητες κατά ένα μικρό ποσό, και αυτό μπορεί να μου δώσει μια καλύτερη τυχαία μεταβλητή."

Χρησιμοποιώντας αυτή την πιθανολογική προοπτική, οι Green, Manners και Tao θα μπορούσαν να περάσουν από την εργασία με τον αριθμό των στοιχείων σε ένα σύνολο σε μια μέτρηση των πληροφοριών που περιέχονται σε μια τυχαία μεταβλητή, μια ποσότητα που ονομάζεται εντροπία. Η εντροπία δεν ήταν νέα στην προσθετική συνδυαστική. Στην πραγματικότητα, Tao είχε επιχειρήσει να διαδώσει την έννοια στα τέλη της δεκαετίας του 2000. Αλλά κανείς δεν είχε ακόμη προσπαθήσει να το χρησιμοποιήσει στην πολυωνυμική εικασία Freiman-Ruzsa. Οι Green, Manners και Tao ανακάλυψαν ότι ήταν ισχυρό. Αλλά και πάλι δεν μπόρεσαν να αποδείξουν την εικασία.

Καθώς η ομάδα μασούσε τα νέα της αποτελέσματα, συνειδητοποίησαν ότι τελικά είχαν δημιουργήσει ένα περιβάλλον στο οποίο θα μπορούσαν να ανθίσουν οι αδρανείς ιδέες του Gowers. Εάν μετρούσαν το μέγεθος ενός συνόλου χρησιμοποιώντας την εντροπία του και όχι τον αριθμό των στοιχείων του, οι τεχνικές λεπτομέρειες θα μπορούσαν να λειτουργήσουν πολύ καλύτερα. «Κάποια στιγμή συνειδητοποιήσαμε ότι αυτές οι παλιές ιδέες του Tim από πριν από 20 χρόνια ήταν στην πραγματικότητα πιο πιθανό να λειτουργήσουν από αυτές που προσπαθούσαμε», είπε ο Tao. «Και έτσι επαναφέραμε τον Τιμ στο έργο. Και τότε όλα τα κομμάτια ταιριάζουν εκπληκτικά όμορφα».

Παρόλα αυτά, υπήρχαν πολλές λεπτομέρειες που έπρεπε να μάθουμε προτού εμφανιστεί μια απόδειξη. «Ήταν κάπως ανόητο που και οι τέσσερις μας ήμασταν απίστευτα απασχολημένοι με άλλα πράγματα», είπε ο Manners. «Θέλετε να δημοσιεύσετε αυτό το υπέροχο αποτέλεσμα και να το πείτε στον κόσμο, αλλά στην πραγματικότητα πρέπει ακόμα να γράψετε τις ενδιάμεσες εκλογές». Τελικά, η ομάδα προχώρησε και στις 9 Νοεμβρίου, δημοσίευσαν το χαρτί τους. Απέδειξαν ότι αν A + A δεν είναι μεγαλύτερο από k φορές το μέγεθος του A, Τότε A μπορούν να καλυφθούν όχι περισσότερο από περίπου k¹² μετατοπίσεις μιας υποομάδας που δεν είναι μεγαλύτερη από A. Αυτός είναι ένας δυνητικά τεράστιος αριθμός μετατοπίσεων. Αλλά είναι ένα πολυώνυμο, επομένως δεν αναπτύσσεται εκθετικά πιο γρήγορα όπως k γίνεται μεγαλύτερο, όπως θα γινόταν αν k ήταν στον εκθέτη.

Λίγες μέρες αργότερα, ο Τάο άρχισε να επισημοποιήστε την απόδειξη. Έτρεξε το έργο επισημοποίησης από κοινού, χρησιμοποιώντας το πακέτο ελέγχου έκδοσης GitHub για να συντονίσει τις συνεισφορές από 25 εθελοντές σε όλο τον κόσμο. Χρησιμοποίησαν ένα εργαλείο που ονομάζεται Προσχέδιο αναπτύχθηκε από Πάτρικ Μασό, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Paris-Saclay, για να οργανώσει τις προσπάθειες μετάφρασης από αυτό που Tao που ονομάζεται Τα «μαθηματικά αγγλικά» σε κώδικα υπολογιστή. Το Blueprint μπορεί, μεταξύ άλλων, να δημιουργήσει ένα διάγραμμα απεικονίζοντας τα διάφορα λογικά βήματα που εμπλέκονται στην απόδειξη. Μόλις καλύφθηκαν όλες οι φυσαλίδες σε αυτό που ο Τάο αποκαλούσε «υπέροχη απόχρωση του πράσινου», η ομάδα τελείωσε. Ανακάλυψαν μερικά πολύ μικρά τυπογραφικά λάθη στην εφημερίδα — σε ένα διαδικτυακό μήνυμα, ο Tao σημείωσε ότι «τα πιο ενδιαφέροντα μαθηματικά τμήματα του έργου ήταν σχετικά απλά να επισημοποιηθούν, αλλά ήταν τα τεχνικά «προφανή» βήματα που κράτησαν περισσότερο».

Ο Μάρτον πέθανε λίγα μόλις χρόνια πριν αποδειχτεί η περίφημη εικασία της, αλλά η απόδειξη την αντηχεί δουλειά της ζωής για την εντροπία και τη θεωρία της πληροφορίας. "Όλα λειτουργούν πολύ καλύτερα όταν το κάνεις σε αυτό το πλαίσιο εντροπίας από το πλαίσιο που προσπαθούσα να το κάνω", είπε ο Gowers. «Για μένα, εξακολουθεί να φαίνεται κάπως μαγικό».

Quanta διεξάγει μια σειρά από έρευνες για την καλύτερη εξυπηρέτηση του κοινού μας. Πάρτε το δικό μας έρευνα αναγνωστών μαθηματικών και θα μπείτε για να κερδίσετε δωρεάν Quanta εμπόριο.