Ένας πύργος εικασιών που στηρίζεται σε μια βελόνα | Περιοδικό Quanta

Στα μαθηματικά, ένα απλό πρόβλημα συχνά δεν είναι αυτό που φαίνεται. Νωρίτερα αυτό το καλοκαίρι, Quanta αναφέρθηκε για ένα τέτοιο πρόβλημα: Ποια είναι η μικρότερη περιοχή που μπορείτε να σκουπίσετε ενώ περιστρέφετε μια απείρως λεπτή βελόνα προς όλες τις πιθανές κατευθύνσεις; Γυρίστε το γύρω από το κέντρο του σαν καντράν και θα έχετε έναν κύκλο. Αλλά περιστρέψτε το πιο έξυπνα και μπορείτε να καλύψετε ένα αυθαίρετα μικρό κλάσμα του χώρου. Εάν δεν απαιτείτε η βελόνα να κινείται με μία συνεχή κίνηση, αλλά απλώς απλώστε μια βελόνα προς κάθε κατεύθυνση, μπορείτε να δημιουργήσετε μια διάταξη βελόνων που να μην καλύπτει καθόλου περιοχή.

Οι μαθηματικοί ονομάζουν αυτές τις ρυθμίσεις σύνολα Kakeya. Παρόλο που γνωρίζουν ότι τέτοια σετ μπορεί να είναι μικρά ως προς την επιφάνεια (ή τον όγκο, εάν τακτοποιείτε τις βελόνες σας σε τρεις ή περισσότερες διαστάσεις), πιστεύουν ότι τα σετ πρέπει να είναι πάντα μεγάλα εάν το μέγεθός τους μετριέται με μια μέτρηση που ονομάζεται Hausdorff. διάσταση.

Οι μαθηματικοί δεν έχουν ακόμη αποδείξει αυτή τη δήλωση, γνωστή ως εικασία Kakeya. Αλλά ενώ είναι φαινομενικά μια απλή ερώτηση σχετικά με τις βελόνες, "η γεωμετρία αυτών των συνόλων Kakeya στηρίζει μια πληθώρα ερωτήσεων σε μερικές διαφορικές εξισώσεις, αρμονική ανάλυση και άλλους τομείς", είπε. Τζόναθαν Χίκμαν του Πανεπιστημίου του Εδιμβούργου.

Η εικασία Kakeya βρίσκεται στη βάση μιας ιεραρχίας τριών κεντρικών προβλημάτων στην αρμονική ανάλυση - ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά πώς οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως αθροίσματα περιοδικών συναρτήσεων όπως τα κανονικά ταλαντούμενα ημιτονοειδή κύματα.

Το επόμενο βήμα σε αυτή την ιεραρχία είναι η εικασία «περιορισμού». Αν είναι αλήθεια, είναι και η εικασία Kakeya. (Αυτό σημαίνει επίσης ότι εάν η εικασία Kakeya αποδειχθεί ψευδής, η εικασία περιορισμού δεν μπορεί να είναι αληθινή.) Η εικασία περιορισμού, με τη σειρά της, υπονοείται από τη λεγόμενη εικασία Bochner-Riesz. Και στην κορυφή κάθεται η τοπική εξομαλυντική εικασία.

Οι δύο πρώτες εικασίες ασχολούνται με τη συμπεριφορά του μετασχηματισμού Fourier, μια τεχνική αρμονικής ανάλυσης για τον υπολογισμό, ουσιαστικά, του τρόπου έκφρασης σχεδόν κάθε συνάρτησης ως άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων. Είναι ένα από τα πιο ισχυρά μαθηματικά εργαλεία που είναι διαθέσιμα σε φυσικούς και μηχανικούς. Ο μετασχηματισμός Fourier έπαιξε θεμελιώδη ρόλο στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, εκφράζοντας κβαντομηχανικές ιδέες όπως η αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg, και αναλύοντας και επεξεργαζόμενοι σήματα – κάνοντας δυνατά πράγματα όπως τα σύγχρονα κινητά τηλέφωνα.

Εφόσον κάθε πρόταση στην ιεραρχία υπονοεί αυτή που βρίσκεται κάτω από αυτήν, εάν η εικασία Kakeya είναι ψευδής, καμία από τις άλλες εικασίες δεν είναι αληθινή. Όλος ο πύργος θα καταρρεύσει. «Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα αντιπαράδειγμα σούπερ τέρας που θα έσπασε πολλές εικασίες», είπε ο Χίκμαν.

Από την άλλη πλευρά, η απόδειξη της αλήθειας της εικασίας Kakeya δεν θα συνεπαγόταν αυτόματα την αλήθεια αυτών των άλλων εικασιών - αλλά θα έδινε στους μαθηματικούς σημαντικές γνώσεις για το πώς να προχωρήσουν.

Και έτσι, «σχεδόν η μισή κοινότητα αρμονικής ανάλυσης που γνωρίζω εργάζεται πάνω σε αυτό και τα σχετικά προβλήματα ή έχει εργαστεί σε αυτά κάποια στιγμή», είπε. Shaoming Guo του Πανεπιστημίου του Ουισκόνσιν, Μάντισον.

Πιο πρόσφατα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν, προς έκπληξή τους, ότι οι τεχνικές που έχουν αναπτύξει για την αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν σημαντικά αποτελέσματα στο φαινομενικά άσχετο πεδίο της θεωρίας αριθμών. «Είναι ένα πολύ πιο γενικό φαινόμενο από ό,τι πίστευαν οι άνθρωποι», είπε ο Guo.

Layer Cake

Η ιστορία ξεκινά με τον μετασχηματισμό Fourier. «Θέλετε να αποσυνθέσετε [συναρτήσεις] σε μικρά κομμάτια, να αναλύσετε τις αλληλεπιδράσεις τους και να τις προσθέσετε ξανά μαζί», είπε Yumeng Ou του Πανεπιστημίου της Πενσυλβάνια. Για μονοδιάστατες συναρτήσεις - καμπύλες που μπορείτε να σχεδιάσετε σε ένα κομμάτι χαρτί - οι μαθηματικοί κατανοούν καλά πώς να το κάνουν αυτό, ακόμη και όταν χρειάζεται να αντιστρέψουν τον μετασχηματισμό Fourier χρησιμοποιώντας μόνο μερικά από τα κομμάτια.

Αλλά σε δύο ή περισσότερες διαστάσεις, τα πράγματα μπορεί να γίνουν ακατάστατα.

Σε 1971, Τσάρλι Φέφερμαν, ένας μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ανακάλυψε πώς να χρησιμοποιήσει τα σύνολα Kakeya για να αποδείξει ότι η αντιστροφή του μετασχηματισμού Fourier μπορεί να οδηγήσει σε παράξενα και εκπληκτικά αποτελέσματα σε πολλαπλές διαστάσεις.

Οι μαθηματικοί βρήκαν μια διόρθωση με τη μορφή της εικασίας Bochner-Riesz, η οποία ουσιαστικά δηλώνει ότι υπάρχουν πιο περίπλοκοι τρόποι για να ανακτηθεί η αρχική συνάρτηση που δεν καταστρέφονται όπως το παράδειγμα του Fefferman. Αλλά αυτή η διόρθωση εξαρτιόταν από την αλήθεια της εικασίας Kakeya.

Εάν είναι αλήθεια, «η περικοπή των συχνοτήτων θα οδηγήσει μόνο σε μικρά σφάλματα», είπε Μπέτσι Στόβαλ του Πανεπιστημίου του Ουισκόνσιν, Μάντισον. «Σημαίνει ότι τα μικρά λάθη δεν ανατινάζονται».

Έτσι ξεκίνησε η ιεραρχία. Αργότερα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια άλλη σημαντική σύνδεση: Αν αληθεύει, η εικασία Bochner-Riesz υπονοούσε επίσης μια δήλωση που ονομάζεται εικασία περιορισμού. Αυτή η εικασία δηλώνει ότι εάν ξεκινήσετε με μια περιορισμένη έκδοση του μετασχηματισμού Fourier — «περιορίζοντας» τις τιμές που βλέπετε μόνο σε εκείνες που ζουν σε συγκεκριμένες επιφάνειες — αυτό μπορεί να σας δώσει σημαντικές πληροφορίες για την αρχική συνάρτηση. Και αποδείχθηκε ότι αν η εικασία περιορισμού ήταν αληθινή, το ίδιο ήταν και η εικασία Kakeya. (Αυτό τοποθέτησε την εικασία περιορισμού μεταξύ Kakeya και Bochner-Riesz στον πύργο.)

Το επιστέγασμα στην ιεραρχία, που ονομάζεται εικασία τοπικής εξομάλυνσης, δεν ασχολείται άμεσα με τον μετασχηματισμό Fourier, αλλά μάλλον θέτει όρια στο μέγεθος των λύσεων σε εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά των κυμάτων.

Μπορείτε να το σκεφτείτε αυτό, επίσης, όσον αφορά τη γεωμετρία των γραμμών σε ένα σύνολο Kakeya. Μπορείτε να χωρίσετε μια γενική λύση της εξίσωσης κυμάτων σε μια δέσμη κομματιών που κινούνται σε διαφορετικές κατευθύνσεις και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με διαφορετικούς τρόπους με την πάροδο του χρόνου. Κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια μοιάζει μαθηματικά με βελόνα σε σετ Kakeya. Η εικασία Kakeya υποστηρίζει ότι μια τέτοια διαμόρφωση δεν μπορεί να έχει υπερβολική επικάλυψη. Σε αυτό το φυσικό πλαίσιο, οι επικαλύψεις θα αντιστοιχούσαν στην εμμονή ακανόνιστες και απροσδόκητες συμπεριφορές στη λύση. Για παράδειγμα, ένα ηχητικό κύμα θα μπορούσε να ενισχυθεί σε πολλές περιοχές σε πολλές διαφορετικές χρονικές στιγμές.

Η τοπική εικασία εξομάλυνσης δηλώνει ότι τέτοιες παρατυπίες θα πρέπει να υπολογίζονται κατά μέσο όρο. «Είναι σαν να παίρνουμε τον μέσο όρο της χρηματοπιστωτικής αγοράς», είπε Ciprian Demeter του Πανεπιστημίου της Ιντιάνα Μπλούμινγκτον. «Μπορεί να υπάρξουν ατυχήματα εδώ κι εκεί, αλλά αν επενδύσετε τα χρήματά σας και συνταξιοδοτηθείτε σε 40 χρόνια, υπάρχει μια καλή πιθανότητα να κάνετε κάποιες καλές επενδύσεις».

Αλλά όπως συμβαίνει με όλες τις εικασίες στην ιεραρχία, αυτό εξαρτάται από την αλήθεια της εικασίας Kakeya. "Η ιδέα είναι ότι αν αποκλείσετε πολλές διασταυρώσεις στα σετ Kakeya, αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να αποκλείσετε αυτές τις καταστάσεις όπου μέρη της λύσης σας συνωμοτούν για να δημιουργήσουν κάποιου είδους έκρηξη", είπε ο Stovall.

Αυτή η εικασία είναι η πιο δύσκολη από τη δέσμη: Ενώ οι δισδιάστατες περιπτώσεις των προβλημάτων Kakeya, περιορισμού και Bochner-Riesz επιλύθηκαν πριν από δεκαετίες, η δισδιάστατη εικασία τοπικής εξομάλυνσης αποδείχθηκε μόλις πριν από λίγα χρόνια. (Σε υψηλότερες διαστάσεις, όλα αυτά τα προβλήματα παραμένουν ανοιχτά.)

Όμως, παρά την αργή πρόοδο στην απόδειξη της τοπικής εξομάλυνσης εικασίας, η εργασία πάνω σε αυτήν έχει οδηγήσει σε τεράστια πρόοδο αλλού. Το 1999, ενώ προσπαθούσε να αντιμετωπίσει την εικασία, ο μαθηματικός Thomas Wolff εισήγαγε μια μέθοδο γνωστή ως αποσύνδεση. Από τότε, αυτή η τεχνική έχει αποκτήσει τη δική της ζωή: Χρησιμοποιήθηκε για να κάνει σημαντικές ανακαλύψεις όχι μόνο στην αρμονική ανάλυση, αλλά στη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και άλλους τομείς. «Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα αποσύνδεσης, έχετε πλέον παγκόσμια ρεκόρ σε πολύ διάσημα, σημαντικά προβλήματα», είπε Κρίστοφερ Σογκ του Πανεπιστημίου Johns Hopkins, ο οποίος διατύπωσε για πρώτη φορά την τοπική εικασία εξομάλυνσης τη δεκαετία του 1990. Για παράδειγμα, η αποσύνδεση έχει χρησιμοποιηθεί για να βοηθήσει στην μέτρηση με πόσους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένας ακέραιος ως άθροισμα τετραγώνων, κύβων ή κάποιας άλλης δύναμης.

Όπως το έθεσε η Demeter, αυτά τα αποτελέσματα είναι πιθανά επειδή «μπορούμε να δούμε τους αριθμούς ως κύματα». Το ότι όλα αυτά τα προβλήματα συνδέονται με τα σετ βελόνων Kakeya «είναι συναρπαστικό», πρόσθεσε. «Δεν νομίζετε ότι τόση ομορφιά, δυσκολία και σημασία μπορεί να κρύβεται σε κάτι που μπορεί να διαμορφωθεί χρησιμοποιώντας τμήματα γραμμής».